LEZIONE 25. P si dice speciale se det(p ) = 1 non

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1 LEZIONE Matrici ortogonali. Facciamo una breve digressione su un importante famiglia di matrici, quelle ortogonali. Definizione 5... P R n,n si dice ortogonale se t P I n. Prima di dare esempi di matrici ortogonali, facciamo alcune osservazioni. Osservazione 5... Si noti che la matrice identità I n è ortogonale in base alla definizione data: anche ogni matrice ottenuta da I n cambiando segno ad una o più delle sue entrate è ortogonale. Sia P R n,n ortogonale. i) Poiché t P I n, segue che P è invertibile e P = t P : in particolare si ha anche P t I n. In maniera analoga si dimostra che se P t I n allora anche t P I n, cioè P è ortogonale se e solo se P t I n. ii) Si ha = det(i n )=det( t PP)=det( t P )det(p)=det(p),dunquedet(p)=±: quanto sopra osservato sulla matrice identità ci permette di a ermare che esistono matrici di entrambe i tipi. iii) Poiché la riga i esima di t P è la colonna i esima P i di P, la condizione t P I n si può leggere dicendo che il prodotto scalare standard (si veda l Esempio 4..5 con la solita identificazione di R n con R n, ) delle colonne P i e P j di P è i,j : in altre parole una matrice è ortogonale se e solo se le sue colonne sono un insieme ortonormale, rispetto al prodotto scalare standard, di n vettori di R n,. iv) In maniera simile, poiché anche P t I n, anche le righe di P formano un insieme ortonormale, rispetto al prodotto scalare standard, di n vettori di R,n. Le matrici ortogonali si dividono, quindi, in due classi non vuote, quelle con determinante e quelle con determinante. Ha senso dare un nome a questi due tipi di matrici. Definizione 5... Sia P R n,n ortogonale. speciale det(p )=. P si dice speciale se det(p ) = non Grazie a quanto osservato sopra, siamo perciò in grado di dare esempi non banali di matrici ortogonali. Esempio Le matrici di R, P A, P A, Typeset by AMS-TEX

2 5.. MATRICI ORTOGONALI sono ortogonali. La prima è non speciale, la seconda speciale. Esempio Determiniamo tutte le matrici ortogonali d ordine. Sia p, p, R, p, p, ortogonale. La condizione P t I si traduce allora nel sistema 8 >< p, + p, = p, p, + p, p, = >: p, + p, =. La prima e la terza equazione implicano l esistenza di #, ' [, ] tali che p, =, p, =, p, =sin#, p, = cos #. La seconda equazione è allora equivalente a = sin # cos # =sin(# '). In particolare, a meno di multipli di, sideveavereo' = # ovvero ' + = #. Nel primo caso, (in tal caso P è ortogonale speciale) nel secondo (in tal caso P è ortogonale non speciale). Esempio Si considerino nel piano due sistemi di riferimento O~ı~ e O~ı ~. Assumiamo che O~ı ~ sia ruotato di un angolo ' in senso antiorario rispetto a O~ı~ y x' y' v O ϕ x Figura 5..6.

3 LEZIONE 5 Dato ~v = x~ı + y~, vogliamo determinare la decomposizione ~v = x ~ı + v y~. Si deve avere ~ı = a~ı + b~, ~ = c~ı + d~ e si ha, per la Proposizione 4..6 ii), a = h~ı,~ı i =, b = h~ı,~ i =sin', c = h~,~ı i =, d = h~,~ i =. Se ora considero ~v = x ~ı + y ~ = x~ı + y~, sostituendo le espressioni ottenute sopra di ~ı e ~ in funzione di ~ı e ~, tenendo conto che (~ı,~ ) è una base di V (O), si ottiene x x y =. y Concludiamo che le matrici ortogonali speciali corrispondono alle rotazioni nel piano. Per questo spesso indichiamo con R ' la matrice. Un analoga interpretazione può essere data per matrici ortogonali in R n,n con n. 5.. Diagonalizzazione ortogonale per matrici simmetriche. Come abbiamo visto, ogni matrice A Sim n (R) è diagonalizzabile (si veda la Proposizione..). Il risultato principale di questa sezione è che la matrice che diagonalizza può essere scelta ortogonale, quindi tale che P = t P. Infatti siano,..., h R gli autovalori a due a due distinti di A. In ciascuno degli autospazi E A ( j ) fisso una base, diciamo B j =(P j,,...,p j,mj )ovem j = m a ( j,a)= m g ( j,a). Per la Proposizione 4..5 B j può essere supposta ortonormale rispetto al prodotto scalare standard di R n, (si veda l Esempio 4..5 con la solita identificazione di R n, con R n ). Si noti che autovettori di A relativi ad autovalori distinti sono fra loro ortogonali. Infatti, se P i E A ( i )ep j E A ( j ) con i 6= j, allora j t P i P j = t P i (AP j )= t P i AP j = t P i t AP j = t (AP i )P j = i t P i P j. Quindi ( j i ) t P i P j = : poiché j 6= i segue j i 6=, dunque t P i P j = necessariamente. Quanto detto ci permette di a ermare che è sempre possibile trovare una base ortonormale di autovettori di A, ovvero una matrice ortogonale P R n,n tale che P AP sia diagonale. Più precisamente Proposizione 5... Sia A Sim n (R). Allora esiste una matrice ortogonale P R n,n tale che P A t P AP sia diagonale. La matrice P può essere scelta speciale. Illustriamo quato detto con un esempio.

4 4 5.. DIAGONALIZZAZIONE ORTOGONALE PER MATRICI SIMMETRICHE Esempio 5... Sia A Come già visto nell Esempio.., gli autovalori di A sono e e E A ( ) = L( t ( ), t ( )), E A () = L( t ( )). Per ottenere una matrice ortogonale P che diagonalizzi A è necessario determinare tre autovettori P,P,P ortonormali. A tale scopo basta determinare basi ortonormali in E A ( ) e E A (). Per quanto riguarda E A () basta andare a scegliere in esso un versore, ad esempio consideriamo P = Invece il discorso è un po più complicato in E A ( ). Iniziamo a determinare un versore, per esempio P = Per determinare P cerchiamo R tale che i vettori P e X A A siano ortogonali. Si ha che hp,x i =(+ )/ p. A che = /, dunque possiamo scegliere P = 6 ché hp,x i =sideveavere Quindi la matrice ortogonale cercata è p p p6 p p p6 p p6 C P è speciale e risulta P A t P

5 Per esercizio si verifichi invece che P = è non speciale e che ancora risulta P AP = t P AP = LEZIONE 5 5 p p p6 p p p6 p p6 C