il numero dei campioni ordinati senza restituzione di ampiezza k estraibili da una popolazione di n individui è n(n 1)...(n k + 1) := k k!(n k)!

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1 il numero delle possibili coppie (a i,b j ) con i A e j B è A B. (vedere l analogo per k-puple.) il numero di disposizioni in cui si possono disporre n oggetti è il numero dei campioni ordinati senza restituzione di ampiezza k estraibili da una popolazione di n individui è n(n 1)...(n k + 1) il numero di modi in cui si possono estrarre k oggetti su n è ( ) n n! := k k!(n k)! il numero di modi in cui si possono disporre k 1 + k k m = n oggetti in m scatole in modo che la prima contenga esattamente k 1 oggetti, la seconda k 2 oggetti etc è n! n! k 1!...k m! il numero di modi in cui si possono disporre k oggetti in n scatole è ( ) n + k 1 k Esercizi combinatorici, probabilità classica. Capitolo 1, Appendice Problema 1. In quanti modi 10 persone nate nello stesso anno possono compiere gli anni in giorni diversi? Problema 2 (Esempio A.1.4 (a)). In una collettività di 100 individui si elegge un comitato di 5 persone. Quante sono le configurazioni possibli del comitato? [Si tratta di campioni non ordinati senza restituzione, cosicché il numero cercato è ( ) ] Problema 3 (Esempio A.1.3). Su un tavolo sono disposte n buste recanti n indirizzi diversi, n lettere ciascuna delle quali da recapitare ad uno degli indirizzi precedenti. In quanti modi possiamo inserire le n lettere nelle n buste? [ Il numero rischiesto è D n,n = n!.] Problema 4. Un urna contiene 3 palline bianche e 4 nere. Se ne estraggono 2 senza reimmissione. Calcolare il numero totale di coppie possibili il numero di coppie che presentano due palline bianche il numero di coppie che presentano due palline nere il numero di coppie che presentano una pallina bianca e una nera Problema 5. Ci sono 3 scatole e 16 buste. In quanti modi posso disporre le buste nelle scatole, con il vincolo che nella prima scatola ve ne finiscano 5, nella seconda 4 e nella terza 7? 1

2 Problema 6 (Esempio A.1.5 (a)). Si dispone di k dadi indistinguibili. Quanti sono i risultati possibli del lancio degli k dadi? [ Il risultato del lancio è un campione di k elementi estratti da {1,...,6}; il campione è non ordinato, perché i dadi sono indistinguibli, e con restituzione, perché lo stesso punteggio può presentarsi ripetutamente. Quindi, il numero dei risultati possibili è ( ) ( ) 6 + k k =.] n k Problema 7. Si consideri un reticolo n n. In quanti modi posso congiungere il punto (0,0) con il punto (n,n) con traiettorie con vadano solo in orizzontale da sinistra a destra e in verticale dal basso verso l alto? [ ( 2n n ) ] Problema 8. Un urna contiene 1 pallina di colore c 1, 2 palline di colore c 2,..., N palline di colore c N. Si estrae una pallina. Determinare la probabilità che la pallina estratta sia del colore c k (k = 1,...,N). [2k/N(N + 1)] Problema 9. Si lanciano due dadi. Valutare la probabilità degli eventi seguenti: a) i due dadi mostrano la stessa faccia (punteggio); b) la somma dei punteggi è 7 o 11; c) il prodotto dei punteggi è pari. Problema 10 (**). Si consideri un tavolo rotondo con 2n sedie. In quanti modi si possono disporre n uomini e n donne in modo che ogni donna abbia da entrambi i lati un uomo? [2(n!) 2 ]] Dimostrare che vi sono ( ) 2n k k modi di riempire 2n scatole con 2k oggetti in modo che in ogni scatola vi sia al piu un oggetto e che le scatole piene compaiano sempre a coppie. Dimostrare che il numero di modi possibili di scegliere coppie adiacenti su un cerchio con 2n punti è ( ) ( ) 2(n 1) (k 1) 2n k + k 1 k Problema 11. Si lanciano 3 monete e i casi elementari dell esperimento sono ritenuti equiprobabili. Determinare la probabilità degli eventi: A = {la prima moneta è testa}; B = {si presentano esattamente due teste}; C = {si presentano non più di due teste}. Problema 12. In un urna vi sono 10 palline: 3 bianche, 3 rosse e 4 blu. Se ne estraggono 4 senza reimmissione. Si definiscano gli eventi A = {tutte le palline estratte sono dello stesso colore}, B = {vengono estratte tutte le palline bianche presenti nell urna}, C = {vengono estratte tutte le palline blu presenti nell urna}. a) Dire quali delle seguenti inclusioni fra eventi sono vere A B, B C, C A, A C. 2

3 b) Calcolare gli eventi elementari relativi alla famiglia {A,B,C}. c) Calcolare la probabilità degli eventi elementari individuati ai punti precedenti. Problema 13. Si consideri come Ω l insieme N degli interi positivi e si fissi la classe A dei sottoinsiemi di N che sono finiti o cofiniti; quindi A A se e solo se A contiene un numero finito di casi elementari oppure il complementare di A presenta la stessa caratteristica. Verificare che A è un algebra. Su A si definisca la funzione { 0 se E N è finito P(E) = 1 se E N è cofinito. Verificare che P è una probabilità finitamente additiva ma non σ-additiva. [1 = P(Ω) > 0 = n 0 P({n}).] Problema 14. Sia Ω = {1,2,...,N}. Si ponga P(E) = k E q k con ( ) N q k := p k (1 p) N k k dove p appartiene a (0,1). -Verificare che P è una misura di probabilità. -Calcolare la probabilità assegnata all insieme dei numeri dispari. [1/2 (1 2p) N /2] Funzioni di Ripartizione, densità, probabilità di eventi. Capitolo 2 Problema 15. Determinare quali fra le seguenti funzioni sono funzioni di ripartizione e tracciarne un grafico qualitativo. F(x) = e x I (0,+ ) (x) F(x) = sin(x) F(x) = (1 e x )I (0,+ ) (x) F(x) = e e x F(x) = e x I (,0] (x) + I (0,+ ] (x) F(x) = e x I (,0) (x) F(x) = 1 9 xi (0,3](x) I (3,4)(x) + I [4,+ ) (x) F(x) = 1 x I (0,+ )(x) F(x) = ( x )I (0,+ )(x) F(x) = (1 1 a + x )I (0,+ )(x) a > 0 F(x) = (1 1 a + x )I [0,+ )(x) a > 0 F(x) = (1 1 a + x )I ( a,+ )(x) a > 0 F(x) = (1 1 a + x )I (a,+ )(x) a > 0 3

4 Problema 16. Sia X una variabile aleatoria con funzione di ripartizione F. Determinare (in funzione di F) le funzioni di ripartizione delle seguenti variabili aleatorie. 1. Y 1 := 3X Y 2 := Y 3 := µ + σ 2 X 4. Y 4 := exp(x) 5. Y 5 := X 2 6. Y 6 := XI X 3 7. Y 7 := max{5,x} Problema 17. Determinare (a,b) in modo che sia una funzione di ripartizione continua. F(x) = 1 9 xi (0,3](x) I (3,4)(x) + (ax + b)i (4,5) (x) + I [5,+ ) (x) Problema 18. Per quali a x 1 F(x) = I (0,a) (x) dt + I [a,+ (x) 0 t è una funzione di ripartizione? Per quali a F è continua? Per quali a F è assolutamente continua? Problema 19. Determinare c in modo che F(x) = c x e t dt sia una funzione di ripartizione. Per tale c scrivere esplicitamente F. Sia X una v.a. con funzione di ripartizione F. Calcolare: P {X > 3}; P { X 5}; P {(X 3) (X 6)}; Problema 20. Un urna contiene due palline marcate con 2 e tre con 1. Se ne estraggano due senza (con, rispettivamente) reimmissione e sia S (Z, rispettivamente) la somma dei numeri riportati sulle palline estratte. Calcolare la funzione di ripartizione di S (Z, rispettivamente). Problema 21. Siano X 1 e X 2 due variabili aleatorie con funzione di ripartizione rispettivamente, F X1 (x) = (1 e x )I [0,+ ) (x) e F X2 (x) = (1 1 x )I [1,+ )(x). Si ponga Y = 3X e Z = max(5,x 2 ). Si calcolino la funzione di ripartizione di Y e di Z. Problema 22. Un autobus arriva ad intervalli regolari di 10 minuti a partire dalle ore Tizio esce di casa alle 12.X dove X è un numero aleatorio distribuito con distribuzione uniforme su [0,60]. Calcolare la probabilità che tizio aspetti meno di 5 minuti. 4

5 [5/60] Problema 23. Sia N un numero aleatorio con distribuzione uniforme su [0,1]. Calcolare P {il primo decimale di N sia 1} P {il secondo decimale di N sia 5} P {il primo decimale di N sia 3} [1/10, 1/10, 0.07] Problema 24 (Lognormale). Sia X una variablie aleatoria positiva tale che log(x) è una variabile aleatoria distribuita come una normale di media µ e di varianza σ 2. Determinare la densità di X. [f(x) = 1 x x u)2 exp{ (log 2πσ 2σ } ] 2 Problema 25. Sia f(x) = 2xI (0,b) (x) + 3b 2 I (1,2)(x) calcolare per quale/i b f è una densità di probabilità; Sia X una variabile aleatoria con densità f calcolare media e varianza di X; Vettori aleatori, indipendenza, probabilità condizionata Capitolo 3,4 Problema 26 (Bose-Einstein**). Supponiamo che k clienti entrino in n negozi uno dopo l altro con la seguente regola. Il cliente j+1 (j = 0,...,k 1) sceglie il negozio i (i = 1,...,n) con probabilità proporzionale al numero di clienti prensenti nel negozio i più uno. Determinare la probabilità che nel negozio 1 ci siano n 1 clienti, nel negozio due n 2,..., nel negozio n ce ne siano n n, con j n j = k. [ Si ponga ξ j = i se il cliente j va nel negozio i (j = 1,...,k); ν (k) = (ν (k) 1,...,ν(k) n ) con ν (k) i = k j=1 I{ξ j = i} (la somma vuota si ponga uguale a 0); La probabilità cui si è interessati è P { ν (k) = (n 1,...,n n )}. a)prima di tutto osserviamo che P {ξ 1 = i} = 1/n e P {ξ j+1 = i ν (j) = (n (j) 1,...,n(j) n )} = n(j) i + 1 n + j (dimostrarlo-vederlo) b) Per quanto visto in a) dimostrare che se k j=1 n j = k, P {ξ 1 = 1,ξ 2 = 1,...,ξ n1 = 1,ξ n1+1 = 2,...,ξ n1+n 2 = 2,...,ξ k n1 = n,...,ξ k = n} = 1 2 n n n n + n 1 1 n + n 1 n + n n n n + n 1 + n n n 1 n 1!...n n! = (n + k 1)!/(n 1)! 5

6 (è la probabilità che i primi n 1 finiscano in 1 i successivi n 2 in 2 e così via). Analogamente osservaredimostrare che n 1!...n n! P {ξ 1 = e 1,...,ξ k = e k } = (n + k 1)!/(n 1)! se n 1 = {j : e j = 1},...,n n = {j : e j = n}. c) Dimostrare-osservare che P { ν (k) = (n 1,...,n n )} = e 1,...,e n P {ξ 1 = e 1,...,ξ k = e k } dove la somma è estesa a tutti gli (e 1,...,e k ) tali che n 1 = {j : e j = 1},...,n n = {j : e j = n}. Quindi, ] P { ν (k) k! n 1!...n n! = (n 1,...,n n )} = n 1!...n n! (n + k 1)!/(n 1)! Problema 27. Siano N,X 1,X 2,... variabili aleatorie indipendenti tali che ( ) n P {N = k} = p k (1 p) n k =: B n,p (k) (k = 0,...,n) k i.e. B(n,p) e Si ponga Calcolare P {X i = 1} = 1 P {X i = 0} = γ (0,1) S = N X i. P {S = j N = k} P {S = j,n = k} P {S = j} P {N = i S = j} [B k,γ (j)] [B n,p (k)b k,γ (j)] [B n,pγ (j)] [B n j,(1 p)/(1 pγ) (n i)]. Problema 28. Siano T,X 1,X 2,... variabili aleatorie indipendenti tali che e Si ponga Si determini la legge di S. [Pois λq ] λ λk P {T = k} = e k! =: Pois λ(k) (k = 0,...) P {X i = 1} = 1 P {X i = 0} = q. S = T X i. Problema 29 (**). Per una certa compagnia di assicurazioni sia N il numero (aleatorio) di sinistri fra gli assicurati. Si supponga che P {N = n} = e λ λ n /n! (λ > 0). Siano poi X 1 il numero di sinistri risarciti al 50 per cento e X 2 il numero di sinistri risarciti completamente. Supponiamo che la probabilità di risarcire un sinistro (condizionatamente al numero totale di sinistri) sia indipendente da quella di ogni altro risarcimento e che il singolo sinistro venga risarcito al 50 per cento con probabilità p 1 e completamente con probabiltà p 2 (p 1 + p 2 < 1). Si dimostri che 6

7 P {X 1 = k 1,X 2 = k 2 N = n} = n! p k 1 k 1!k 2! 1 pk 2 2 (1 p1 p2)n k 1 k 2 (n k 1 k 2)! se k 1 + k 2 n, 0 altrimenti; P {X i = k i N = n} = n! k i!(n k i)! pki i!(1 p i) n ki (i = 1,2); P {X 1 = k 1,X 2 = k 2 } = (λp1)k 1 k 1! e λp1 (λp2)k 2 k 2! e λp2 Problema 30. Al tempo 0 due popolazioni A e B distinte sono costituite da N ed M individui, di cui N 1 (M 1, rispettivamente) con una data caratteristica X. Al tempo 1 avviene una migrazione casuale di un soggetto della popolazione A alla popolazione B, (ossia un soggetto viene estratto a caso dalla popolazione A e messo nella popolazione B). Al tempo 2 un soggetto viene estratto dalla popolazione B (costituita ora da M + 1 individui). Determinare che il soggetto estratto al tempo 2 possieda la caratteristica X. Problema 31. Siano date due urne U 1,U 2. U 1 contenga 3 palline marcate con il numero 1, 6 palline marcate con il numero 2 e una pallina marcata con il numero 3. U 2 contenga 2 palline marcate con il numero 1, 3 palline marcate con il numero 2 e una pallina marcata con il numero 4. Si tiri una moneta equilibrata. Se esce testa si estragga una pallina da U 1 altrimenti si estragga una pallina da U 2. Si denoti con X il numero riportato sulla pallina estratta. 1) Determinare la probabilià dell evento X = 1. 2) Determinare la probabilità che sia uscita testa nell ipotesi che X = 1. 3) Determinare la funzione di ripartizione di X. 4) Calcolare E(X) e E(XI X>2 ). Problema 32. Un urna U 1 contiene 9 palle, 3 numerate con 1, 3 numerate con 2 e 3 numerate con 3. Un urna U 2 contiene una palla numerata con 1 una palla numerata con 2 e una numerata con 3. Si consideri l esperimento seguente. Si estrae una palla dall urna U 1, il numero indicato sulla palla estratta viene indicato con T. Si aggiungono all urna U 2 T palle marcate con il numero T; infine si estrae dall urna U 2 una palla e si registra il numero X con cui è marcata. Si calcoli la probabilità dell evento {X = 3}. Si calcoli P {T = 3 X = 3}. Problema 33. Si estrae un numero a caso T fra {1,...,6}. In seguito si tirano T monete equilibrate e si registra il numero di teste (S). Calcolare la probabilità che S sia maggiore uguale di 4. Problema 34. Siano date tre urne U i, (i = 1,2,3). U 1 contenga 4 palline nere (N) e 2 rosse (R). U 2 contenga 3 palline nere (N) e 5 rosse (R). U 3 contenga 6 palline nere (N) e 2 rosse (R). Si estragga una pallina da U 1. Se si estrae una pallina N si estraggano 2 palline da U 2 se si estrae una pallina R si estraggano 2 palline da U 3 1) Determinare la probabilià di estrarre almeno una pallina rossa alla seconda estrazione. 2) Determinare la probabilità che si sia estratta una pallina nera alla prima estrazione nell ipotesi che si estraggano due palline nere alla seconda estrazione. Problema 35. Una fabbrica produce computer in due stabilimenti. La frazione dei difettosi nella produzione del primo stabilimento è 0.01 e, nel secondo, Nel primo stabilimento si producono 1000 computer nel secondo 1500 e i computer prodotti vengono raccolti assieme in un unico magazzino. -Qual è la probabilità che un computer prelevato a caso dal magazzino sia difettoso? -Subordinatamente all ipotesi che il computer scelto sia difettoso, qual è la probabilità che esso provenga dal primo stabilimento? Problema 36. Sia (X n ) n 1 una successione di variabili aleatorie i.i.d. con comune funzione di ripartizione F. Determinare la funzione di ripartizione di M n = max{x 1,...,X n } 7

8 e di (a) Sia e si ponga m n = min{x 1,...,X n }. F(x) = (1 exp{ λx})i [0,+ ) (x) (λ > 0) Z n = (λm n log n) determinare esplicitamente la funzione di ripartizione di Z n, indicata con F n. Determinare, per ogni x R G 1 è una funzione di ripartizione? (b) Sia e si ponga lim F n(x) =: G 1 (x). n + F(x) = (1 1 x γ )I [1,+ )(x) (γ > 0) Z n = M n /n 1/γ. Determinare esplicitamente la funzione di ripartizione di Z n, indicata con F n. Determinare, per ogni x R lim n + F n(x) =: G 2 (x). G 2 è una funzione di ripartizione? (c) Sia F(x) = x β I [0,1) (x) + I [1,+ ) (x) (β > 0) e si ponga Z n = n 1/β (M n 1). Determinare esplicitamente la funzione di ripartizione di Z n, indicata con F n. Determinare, per ogni x R lim F n(x) =: G 3 (x). n + G 3 è una funzione di ripartizione? (d) Sia ora F(x) = (1 exp{ λ(x a)})i [a,+ ) (x). Determinare esplicitamente la funzione di ripartizione di m n, indicata con F n. Determinare, per ogni x R G 4 è una funzione di ripartizione? lim n + F n(x) =: G 4 (x). [G 1 (x) = expexp( x) per ogni x R. Sì.] [G 2 (x) = exp( x γ )I [0,+ ) (x). Sì.] [G 3 (x) = exp(x β )I (,0] (x)+ I (0,+ ) (x). Sì.] [G 4 (x) = I [a,+ ) (x). Sì.] Problema 37. Sia (X,Y ) un vettore aleatorio con legge assolutamente continua la cui densità è data da ye y f(x,y) = ai (0,+ ) (x)i (0,+ ) (y) (x + y) 2. Determinare a. Calcolare la densità (marginale) di Y. Calcolare la densità condizionale di X dato Y. [a = 1. f Y (y) = e y.f X Y (x y) = y/(x + y) 2 x,y > 0. ] 8

9 Problema 38 (Urna di Polya). Si consideri un urna contenente A palline, numerate con i numeri 0 e 1. La frazione di palline numerate con 1 è p 0. Si estragga una pallina a caso e si indichi con X 1 il suo numero. Si reinserisca la pallina estratta nell urna assieme a una pallina con il numero X 1. Si proceda cosí, indicando con X i il numero che porta la pallina all i-esima estrazione. Sia (e 1,...,e n ) {0,1} n. Determinare P {X 2 = 1 X 1 = e 1 } P {X 2 = 1} P {X n+1 = 1 X 1 = e 1,...,X n = e n } n P {X n+1 = 1 X i = k} P {X 1 = e 1,...,X n = e n } n P {X 1 = e 1,...,X n = e n X i = k} P {X n = 1} Problema 39. Y 1,...Y n siano variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con comune legge Calcolare per k 1,...,k n tali che n k i = k. P {Y i = k} = θ k (1 θ) k 0. P {Y 1 = k 1,...,Y n = k n n Y i = k} [Si usi il fatto che la somma di variabili aleatorie indipendenti geometriche è una binomiale negativa. Quindi, poiché Y i = X i 1 con X i Geom(θ), si ha facilmente che n ( ) k + n 1 P { Y i = k} = θ k (1 θ) n. n 1 E facile concludere che la distribuzione cercata è una Bose-Einstein (n,k)] Problema 40. Sia data la seguente densità Calcolare le marginali di f. [f X (x) = e x x 3 /6, f Y (y) = e y ( y + 1)/4] f(x,y) = 1 8 (x2 y 2 )e x I{x > 0, y x}. Problema 41. Siano X ed Y due variabili aleatorie indipendenti con leggi esponenziali di parametri λ 1 e λ 2. Si ponga Z 1 = min(x 1,X 2 ) Calcolare Z 2 = X 1 X 2. F 1 (t) = P {Z 1 > t} F 2 (s) = P {Z 2 > s} F(t,s) = P {Z 1 > t,z 2 > s} F(t,s) = P {Z 1 t,z 2 s}. 9

10 Problema 42. Siano X ed Y variabili aleatorie indipendenti. X sia distribuita uniformente su [0, 2] mentre Y sia distribuita uniformemente su [0,1]. Si calcoli la funzione di ripartizione di X Y e di max(x,y ). Valori attesi Capitolo 5 Problema 43. Sia X una v.a. Poisson di parametro λ. Calcolare E[1/(1 + X)]. Problema 44. Sia X una variabile aleatoria Gamma(α,λ) Dimostrare che [Una variabile Gamma(α,λ) ha densità E(X k ) = 1 Γ(α + k) λ k. Γ(α) f(x) = 1 Γ(α) λα x α 1 e λx I (0,+ ) (x).] Problema 45. Sia T distribuita come una Gamma(n,θ). Dimostrare che E( 1 T ) = θ n 1 Problema 46. Sia X una variabile assolutamente continua con densità Per quali α è ben definito E(X α )? [ 1 < α < 2m 1] f(x) = c(x 2 + 1) m. Problema 47. Siano X 1,...,X n variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite. Si ponga S n = n X i e S k = k X i (k n). Si dimostri che se E[ X 1 / S n ] < +, allora E(S k /S n ) = m/n. Problema 48. Sia (X n ) n 1 una successione di i.i.d. tale che E X 1 < +. Sia T una variabile aleatoria indipendente da (X n ) n 1 a valori nei naturali positivi dotata di momento primo finito. Dimostrare che T E( X i ) = E(X 1 )E(T). Problema 49. Siano X 1 e X 2 due variabili aleatorie discrete con densità p 1 e p 2. Usare la relazione per dimostrare che log(x) x 1 (x 0) E(log(p 2 (X 1 ))) E(log(p 1 (X 1 ))). Problema 50. Sia (X n ) n 1 una successione di i.i.d. tale che E X 1 < +. Sia T una variabile aleatoria indipendente da (X n ) n 1 con legge di Poisson di parametro λ. Posto µ = EX 1, determinare dove per convenzione si intende 0 X i = 1. T E( X i ) 10

11 [exp{ λ(1 µ)}] Problema 51. Sia ponga f a (x) = a(x 2 I (0,1) (x) + xi (5,6) (x)). 1) Determinare a in modo che f a risulti una densità. Sia X una variabile aleatoria con densità f a. 2) Determinare la funzione di ripartizione di X. 3) Calcolare E(X) e V ar(x). 4) Si ponga Y = 3X 5. Calcolare E(Y ) e V ar(y ). 5) Siano X 1,X 2,X 3,N variabili aleatorie indipendenti tali che X i (i = 1,2,3) abbiano densità f a e N sia tale che P {N = 1} = 1 4 P {N = 2} = 1 2 P {N = 3} = 1 4. Calcolare N E( X i ) Problema 52. Una compagnia ha sviluppato un nuovo prodotto. La domanda di tale prodotto (incognita) viene rappresentata come una variabile aleatoria uniforme a valori in {0,1,...,N}. Il prodotto viene fabbricato in anticipo. Per ogni oggetto prodotto venduto si ha un guadagno di b euro, per ogni oggetto prodotto invenduto si a una perdita di b. Sia Y m il guadagno aleatorio se si producono in anticipo m poggetti. Dimostrare che Dedurre che E(Y m ) = m (b(n + 1/2) c/2 m(b + c)/2). N + 1 2(N + 1)(E(Y m+1 ) E(Y m )) = (2N + 1)b c (2m + 1)(b + c). Dedurre che il guadagno medio è massimizzato per m 0 = max{0,[(nb c)/(c + b)]}. Problema 53. Sia X una v.a. assolutamente continua con densità di probabilità [ f(x) = a xi (0,1] (x) + 1 ] x I (1,2)(x) Determinare a. Calcolare la funzione di ripartizione di X. Calcolare E(X) e V ar(x). Posto Y = 2X 5 calcolare V ar(y ) e E[sin(Y )I (9,10) (Y )]. Problema 54. Sia X una v.a. assolutamente continua con densità di probabilità f(x) = α 1 x α (α > 1). Dopo aver determinato per quali γ E(X γ ) è finito, calcolarlo. Determinare la funzione di ripartizione di X. Determinare la funzione di ripartizione di Y = log(x). α [γ < α 1, α γ 1. Y ha legge esponenziale di parametro (α 1).] Problema 55. Si consideri la distribuzione del vettore aleatorio (ξ 1,ξ 2 ) data da 11

12 ξ 1 ξ Calcolare i primi due momenti delle distribuzioni marginali; Calcolare la covarianza di ξ 1 e ξ 2 ; Sulla base del valore del coefficiente di correlazione lineare, stabilire se si può ritenere che ξ 1 e ξ 2 propendano a dipendere linearmente. Calcolare E[ξ 1 ξ 2 = 2] Problema 56. Siano (N,X 1,...,X n,...) variabili aleatorie indipendenti, con X i (i = 1,...) identicamente distribuite e N a valori interi non negativi. Supponiamo che E(N 2 ) < + e che E(X 2 1) < +. Posto dimostrare che S = T X i V ar(s) = E(X 1 ) 2 V ar(t) + E(T)V ar(x 1 ). Problema 57 (Branching processes). Siano X 1,1 X 2,1,X 2,2,... X 3,1,X 3,2, viariabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite a valori interi non negativi con comune valore atteso (finito) EX i,j = µ. Si definisca una successione (Z n ) n come segue Z 1 = X 1,1 Z n = Z n 1 con la convenzione che la successione vale 0 per ogni n m se Z m = 0. Interpretare il processo come processo di riproduzione. Z n è il numero di soggetti presenti alla generazione n, ognuno di essi ha X n,j figli, etc. Dimostrare che E(Z n ) = E(Z n 1 )µ e quindi che X n,i E(Z n ) = µ n. Concludere che se µ < 1 allora E(Z n ) 0 mentre se µ > 1 E(Z n ) +. Concludere (usando il Problema 58) che P {Z n 0} 0 se µ < 1. 12

13 Disuguaglianze, legge dei grandi numeri, esercizi più laboriosi Capitolo 6 Problema 58 (Metodo del Momento primo e secondo). Sia X una variabile aleatoria a valori interi non negativi. Dimostrare che P {X 0} E(X) e che P {X = 0} V ar(x)/e(x 2 ). [suggerimenti: per la prima usare la disuguaglianza di Markov, per la seconda applicare la disuguaglianza di Cauchy a E(X) 2 = E(I{X 1}X) 2.] Problema 59 (**). Sia (X n ) n una successione di v.a. con V ar(x i ) C e E(X i ) = µ per ogni i 1 e con ρ(x i,x j ) 0 qunado i j +, (dove ρ(x,y ) = cov(x,y )/ V ar(x)v ar(y )). Dimostrare che per ogni ǫ > 0 P { 1 n X i µ ǫ} 0. n Problema 60 (Statistiche d ordine, **). Siano X 1,...,X n variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con comune funzione di ripartizione F. Siano X i(j,n) le statistiche d ordine di X 1,...,X n, ossia, X i(1,n) X i(2,n) X i(n,n). Ad esempio X i(1,n) = min{x 1,...,X n } e X i(n,n) = max{x 1,...,X n }. Si dimostri che P {X i(k,n) x} = n j=k ( ) n F j (x)[1 F(x)] n j. j Sfruttando il precedente risultato dimostrare che se F è assolutamente continua con densità f allora X i(k,n è assolutamente continua con densità ( ) n f i(k,n) (x) = f(x) F k 1 (x)[1 F(x)] n k k Problema 61 (*). Sia (X n ) n una successione di variabili aleatorie i.i.d.. Si definisca R = min{n : X 1 X 2 X n 1,X n > X n 1 }. Dimostrare che [ Suggerimento P {R = k} = k 1 k! {R = k} = {(X 1,...,X r ) = (X (r,r),x (r 1,r)...,X (k+1,r),x (k 1,r),...,X (1,r),X (k,r) ),per qualche k, 2 k r} ] Problema 62 (Pulci**). Inizialmente il cane A ha n pulci Rosse e il cane B ha n pulci Nere. Ad ogni istante k = 1,2,... una pulce a caso dal cane A salta sul cane B e viceversa. Supponiamo che le pulci Rosse siano numerate da 1 ad n. Determinare la probabilità che dopo k istanti la pulce Rossa i si trovi sul cane A. Indicato con N k il numero di pulci Rosse sul cane A dopo k istanti calcolare E(N k ). N.B. Il modello può essere visto come un modello di due gas che si miscelano. Cosa succede al numero medio di particelle (pulci) di un colore contenute nel primo recipiente (cane) quando il tempo (k) diverge? 13

14 [(1 + (1 2/n) k )/2, E(N k ) = (1 + (1 2/n) k )n/2. Suggerimenti: la prob cercata è uguale alla prob che una pallina su n sia pescata un numero pari k di volte.] Problema 63 (Kafka**). Una persona sfortunata deve scegliere, per ritirare un documento, una coda fra un infinità numerabile di code. La coda i-esima (scelta dal malcapitato con probabilità pari a 6/(π 2 i 2 ), dove π / 6 = i i 2 ) ha un tempo d attesa aleatorio con legge Poisson(i). Quale sarà il tempo medio di attesa del mal capitato? [infinito, del resto è una persona sfortunata...] Statistica Capitolo 7 Problema 64. Siano ξ 1,...,ξ n variabili aleatorie indipendenti con legge comune Gamma di parametri (α, 1 λ ) α > 0,λ > 0, ossia con comune densità di probabilità f α,1/λ (x) = I (0,+ ) (x) xα 1 λ α Γ(α) e x/λ. Supposto noto α determinare lo stimatore di massima verosimiglianza ˆλ n di λ basato sul campione ξ 1,...,ξ n e calcolare E(ˆλ n ). Problema 65. Siano ξ 1,...,ξ n v.a. indipendenti con comune legge di Poisson di parametro λ > 0, i.e. tali che P {ξ i = k} = λk e λ (k 0). k! 1. Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza λ n di λ basato sul campione ξ 1,...,ξ n 2. Calcolare E(λ n ). Problema 66. Siano ξ 1,...,ξ n variabili aleatorie indipendenti con legge comune Weibull di parametri (α,λ), α > 0,λ > 0, ossia con comune densità di probabilità f α,λ (x) = I (0,+ ) (x) αxα 1 e xα /λ. λ 1. Supposto noto α determinare lo stimatore di massima verosimiglianza ˆλ n di λ basato sul campione ξ 1,...,ξ n ; 2. calcolare E(ˆλ n ). Problema 67. Sia (ξ n ) n 1 una successione di v.a. i.i.d. con comune densità di probabilità Si ponga Y i = log(ξ i /a). f λ,a (x) = λa λ 1 x λ+1 I (a,+ )(x) (a > 0,λ > 0). 1. Dimostrare che Y i ha legge esponenziale di parametro λ. 2. Noto λ determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di a. 3. Noto a determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di λ. Problema 68. Sia (ξ n ) n 1 una successione di v.a. i.i.d. con comune legge esponenziale di parametri (a,λ). 14

15 1. Si scriva la verosimiglianza delle prime n osservazioni. 2. Si mostri che noto a lo stimatore di massima verosimiglianza di λ è dato da ˆλ n := n n (ξ i a) e che E(ˆλ n ) = n n 1 λ. 3. Si mostri che noto λ lo stimatore di massima verosimiglianza di a è dato da e che ν n := min{ξ 1,...,ξ n } E(ν n ) = 1 λn + a. Problema 69 (Ipergeometrica, Feller Vol I). In un lago vi siano N pesci. Per stimare il numero incognito di pesci si procede nel seguente modo. Si pescano R pesci e si marcano, poi si rimettono nel lago. In seguito si ripescano n pesci e, fra questi, si osservano r pesci marcati. Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di N sulla base di r,n,r. Problema 70. Sia (ξ n ) n 1 una successione di v.a. i.i.d. con comune densità di probabilità f θ (x) = I [θ,θ+1] (x). Esiste lo stimatore di massima verosimiglianza di θ sulla base di ξ 1,...,ξ n? Se esiste, lo stimatore è unico? 15