Capitolo 2 Spazi vettoriali

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1 Capitolo 2 Spazi vettoriali Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Anno accademico Tutorato di geometria e algebra lineare

2 Definizione (Spazio vettoriale) Uno spazio vettoriale reale è un inseme V in cui siano definite due operazioni: 1) L addizione; dove: u, v V, (u, v) u + v V ; 2) La moltiplicazione per scalare; dove: v V, λ R, v λv V ; tali che siano soddisfatte le PROPRIETA 2.3 di pag del libro di testo Lezioni di algebra lineare con applicazioni alla geometria analitica(f.bisi,f.bonsante,s.brivio).

3 Definizione (Sottospazio vettoriale) Dato uno spazio vettoriale reale V, un sottoinsieme W di V è un sottospazio vettoriale di V se W è non vuoto e se: 1) 0 V W ; 2) v, w W = v + w W ; 3) v W, λ R = λv W

4 Definizione (Span di un insieme di vettori) Siano V uno spazio vettoriale reale, e u 1,..., u k una lista di k vettori di V ; Span (u 1,..., u k ) è l insieme di tutti i vettori di V che si ottengono come combinazioni lineari di u 1,..., u k. In simboli: Span (u 1,..., u k ) = {λ 1 u 1 + λ 2 u λ k u k λ i R}

5 Definizione (Vettori linearmente indipendenti) Sia u 1,..., u k una lista di vettori di V. I vettori u 1,..., u k si dicono: linarmente indipendenti, se sono tutti non nulli e ciascun elemento u i non è combinazione lineare degli altri elementi della lista; linearmente dipendenti, se è possibile scrivere almeno un vettore di tale lista come combinazione lineare degli altri;

6 Algoritmo - Verificare se i vettori in un insieme sono linearmente indipendenti Dati i vettori {u 1,..., u k } V, i vettori sono linearmente indipendenti se e solo se: u 1 0 V u 2 / Span (u 1 ) u 3 / Span (u 1, u 2 ) u k / Span (u 1,..., u k 1 )

7 Definizione (Base) Un insieme di vettori B = {u 1,..., u k } V è una base per V se soddisfa contemporaneamente le due proprietà: B è un sistema di generatori di V ; i vettori di B sono linearmente indipendenti; Per ottenere una base a partire da un insieme di generatori di V esistono due metodi, che non sono nient altro che l applicazione di uno stesso algoritmo, detto Algoritmo di estrazione, seguendo strade differenti.

8 Definizione (Coordinate di un vettore in una base) Dato un vettore u V e una base B = {v 1,..., v n } di V, per determinare le coordinate di u nella base B bisogna risolvere la seguente equazione vettoriale: u 1 v 11 v 21 v n1 u 2 v 12 = λ λ v λ v n2 n. u n v B 1n v 2n v nn La soluzione univoca di tale equazione, cioè il vettore (λ 1,..., λ n ) R n rappresenta le coordinate del vettore u nella base B.

9 Algoritmo di estrazione (standard) Dato un insieme di vettori U = {u 1,..., u k } V, per estrarre una base di V a partire da tali vettori bisogna verificare che: 1) u k Span (U)? Se sì, allora il vettore u k va eliminato e il successivo passo dell algoritmo andrà applicato all insieme U privato del vettore u k, cioè U = {u 1,..., u k 1 }. Se no invece il vettore u k va tenuto e quindi U 1 = U; 2) u k 1 Span (U 1 )? Se sì, allora il vettore u k 1 va eliminato e il successivo passo dell algoritmo andrà applicato all insieme U 1 privato del vettore u k 1, che chiameremo U 2.Se no invece il vettore u k va tenuto e quindi U 2 = U 1 ;.

10 Algoritmo di estrazione standard.. k 1) u 2 Span (U k 2 )? Se sì, allora il vettore u 2 va eliminato, altrimenti va tenuto. Questo algoritmo impiega k 1 passi! E piuttosto scomodo quando si ha a che fare con spazi vettoriali di modeste dimensioni (per esempio R 3 o R 4 ). In tal caso conviene usare la variante mostrata nella prossima slide.

11 Algoritmo di estrazione ( in avanti ) Dato un insieme di vettori U = {u 1,..., u k } V, per estrarre una base di V a partire da tali vettori bisogna verificare che: u 1 0 V? Se sì, allora il vettore va tenuto, altrimenti è superfluo e viene eliminato; u 2 Span (u 1 )? Se sì, allora il vettore va eliminato in quanto superfluo. Se no, allora il vettore va tenuto; u 3 Span (u 1, u 2 )? Se sì, allora il vettore va eliminato in quanto superfluo. Se no, allora il vettore va tenuto;...

12 Algoritmo di estrazione ( in avanti )... u i Span (u 1,..., u i 1 )? Se sì, allora il vettore va eliminato in quanto superfluo. Se no, allora il vettore va tenuto; L algoritmo ha termine nel momento in cui abbiamo un numero di vettori pari a n, dove n è la dimensione dello spazio V. Questo metodo è molto comodo quando bisogna trovare basi di spazi vettoriali come R 3, dove basta trovare 3 vettori linearmente indipendenti e il gioco è fatto... Noi negli esercizi useremo sempre questa variante dell algoritmo di estrazione.

13 Algoritmo di completamento Dato un insieme di vettori U = {u 1,..., u k } V, per ottenere una base di V a partire da tali vettori bisogna aggiungere all insieme di vettori U i vettori della base canonica di V nel modo seguente: e 1 Span (U)? Se sì allora e 1 non va preso. Definiamo U 1 = U Se no, e 1 va preso e aggiunto all insieme U, così da ottenere l insieme U 1 = {u 1,..., u k, e 1 }; e 2 Span (U 1 )? Se sì allora e 2 non va preso. Definiamo U 2 = U 1 Se no, e 2 va preso e aggiunto all insieme U 1, così da ottenere l insieme U 2 = {U 1, e 2 }; si ripete il procedimento appena descritto con i vettori rimanenti della base canonica;

14 Algoritmo di completamento Non è necessario tuttavia controllare tutti i vettori della base canonica: infatti una volta che avremo un numero di vettori linearmente indipendenti pari a n, dove n è la dimensione di V, il procedimento termina.

15 Definizione (Somma di sottospazi) Dati i sottospazi U V, W V, l insieme somma dei sottospazi è dato da: U + W = {u + w u U, w W } che è ancora un sottospazio di V.

16 Algoritmo - Trovare una base per la somma di sottospazi Dati i sottospazi U V, W V, per trovare una base del sottospazio U + W bisogna seguire il seguente procedimento: 1) Si prendono due basi B U e B W qualsiasi di U e W, e le si uniscono in un unico insieme di vettori {B U, B W }; 2) Si applica l algoritmo di estrazione di una base all insieme {B U, B W }. I vettori linearmente indipendenti che rimarranno alla fine dell algoritmo sono una base per U + W ;

17 Definizione (Intersezione tra sottospazi) Dati i sottospazi U V, W V, l insieme intersezione dei sottospazi è dato da: U W = {v V v U v W } che è ancora un sottospazio di V.

18 Algoritmo - Trovare una base per l intersezione di sottospazi Dati i sottospazi U V, W V, per trovare una base del sottospazio U W bisogna seguire il seguente procedimento: 1) Si prendono due basi B U e B W qualsiasi di U e W, e le si uniscono in un unico insieme di vettori {B U, B W }; 2) Si applica l algoritmo di estrazione di una base all insieme {B U, B W }. Si tengono i vettori scartati utilizzando tale algoritmo; 3) Si scrivono tali vettori scartati come combinazione lineare degli altri vettori dell insieme {B U, B W }. Quindi, se chiamiamo u i B U uno di tali vettori scartati, dobbiamo scriverlo come: u i = λ 1 u λ i 1 u i 1 +λ i+1 u i+1 + +λ k u k +ν 1 w ν m w m

19 Algoritmo - Trovare una base per l intersezione di sottospazi 4) Per ciascuno dei vettori scartati, si riscrive: u i λ 1 u 1... λ i 1 u i 1 λ i+1 u i+1 λu k = ν 1 w ν m w m = p j Ovvero si portano a sinistra dell uguale tutti i vettori che appartengono allo stesso insieme del vettore scartato u i (in questo caso tutti i vettori appartenenti a U), lasciando a sinistra quelli dell altro insieme. Il risultato di tale uguaglianza sarà il vettore p j della base di U W ;

20 Definizione (Unione tra sottospazi) Dati i sottospazi U V, W V, l insieme unione dei sottospazi è dato da: U W = {v V v U v W } che NON E un sottospazio di V.

21 Definizione (Formula di Grasssmann) Dati i sottospazi U, W V, vale l uguaglianza: dim (U) + dim (W ) = dim (U W ) + dim (U + W )

22 Osservazione (Qualcosa di molto utile...) Dato uno spazio vettoriale V ed un suo sottospazio W, si ha che: dim (W ) = dim (V ) n equazioni cartesiane di W Questa formula ci tornerà estremamente utile nei capitoli successivi!

23 Definizione (Somma diretta di sottospazi) I sottospazi U 1,... U k sono in somma diretta se: U 2 U 1 = {0 V } ; U 3 (U 2 U 1 ) = {0 V } ; U 4 (U 3 (U 2 U 1 )) = {0 V } ; e così via;

24 Definizione (Sottospazio complementare) Dati i sottospazi U, W V, W è uno spazio complementare a U se: U e W sono in somma diretta; dim (U) + dim (W ) = n; dove n = dim (V ).

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