Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci. Fasci. N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario. Fasci di rette nel piano

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1 Fasci N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario Fasci di rette nel piano 1

2 Fasci di piani nello spazio 2

3 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Date due rette r ed r di equazione: : 0 : 0. L equazione del fascio sarà: 0,, 0,0. Una variante dell equazione del fascio sarà: 0 Esempio Considero due punti A(1,2) e B(3,5). Posso studiare l equazione del fascio nel punto A e poi considerare quella retta del fascio che passa anche per B. B A Dati due piani nello spazio: : 0 : 0 L equazione del fascio sarà: 0,, 0,0 Oppure anche nella forma: 0 Esercizio 3 0 Data la retta r: e il punto P(1,1,-1), 1), determinare il piano passante per r e P. L equazione del fascio di piani sarà: Sostituisco P per ottenere K e ottengo il piano desiderato: k(2-1+1)=0 -> k=1/2-> sostituisco k all equazione originaria e ottengo l eq. del piano: 4x-2y+z-1=0 3

4 Fasci di circonferenze: Date 2 circonferenze : + +++=0 : =0. Il fascio di circonferenze sarà dato dall equazione: + = 0, 0,0 oppure + =0 { } Asse radiale del fascio B A Esempio Dati A,B pti base delle 2 circonferenze A B 4

5 L equazione del fascio sarà: 0. Di solito l equazione del fascio è di secondo grado, ma cosa succede se +=0? Ottengo la retta passante per A e B, mentre se + è diverso da 0 ottengo le circonferenze. Due circonferenze tangenti sono passanti per un punto base doppio Se due circonferenze non si intersecano si parla di intersezione immaginaria A B I centri della circonferenza sono situati sulla medesima retta, la quale interseca l asse radiale nel suo pto. Medio. Nell intersezione immaginaria l asse radiale non esiste-> l eq. degenera + =0 + =0 det =0 h Premessa per le coniche/quadriche: Una conica/quadrica dipendente da un parametro può essere: 2+ + =0. è h: =0 Fasci di coniche: Date due coniche: :, =0 :, =0, 2, l equazione dei fasci sono:,+,=0, 0,0 oppure,+,=0 { } Pti. In comune immaginari 5

6 Mentre due circonferenze hanno solo due punti in comune, le coniche possono averne di più Esempio A B C D Combinando linearmente i tre ottengo un fascio è è è Se voglio ottenere tutti i punti di una circonferenza all infinito devo usare le coordinate omogenee, cioè: + +++= =0 Ma con u=0: =0 + =0 : =1,,0; =1,,0 Se ho un fascio e uso i punti ciclici ottengo: 6

7 Retta impropria A B I punti per cui passa la circonferenza sono 4: (A,B,, ) 0 Se ++ =0 ++ Se è. h è Dati determinati punti base distinti, questi appartengono a un fascio di coniche A B Con un fascio di coniche possiamo avere due o più punti coincidenti. Esempio Dati i punti A(1,1), B(1,-1), C(0,0) tangenti all asse x (y=0), e sapendo che:, studiare il fascio Studio l equazioni delle rette passanti per i punti considerati: : 1=0 :=0 : =0 :+=0 7

8 L equazione del fascio sarà: 1+ +=0. Sviluppando l equazione si ottiene l equazione della generica conica del fascio: + =0. Considero ora la 1 /2 0 matrice = /2 1 /2 = 1 /2. Determino ora l invariante /2 1 0 /2 0 cubico =det=. Quindi =0 =0 2 h <0 hè = (quindi in realtà dovrebbero essere 3). Calcolo l invariante quadratico =det= 1 <0 0 Calcolo = =1 1=0 8

9 Esempio Dati i punti A(1,1)=B tangente alla retta x+y-2=0, e C(0,0)=D tangente alla retta y=0. Sapendo che + 2=0,=0 =0, =0, studiare il fascio. L equazione del fascio sarà: + 2+ =0 Sviluppo l equazione e ottengo: =0. 0 Considero la matrice = +1 1 = Studio gli invarianti: =det= =0 = 9

10 0 allora: =det=2 1 4 =1 8 Se k=1/8 -> parabola Se k>1/8-> ellisse a punti reali (k infatti è reale) 10

11 Se k<1/8 iperbole e, in particolare se 0 2+1=0 = 1/2 si ha un iperbole equilatera Esempio Dati i punti A=(1,1)=B tangenti alla retta x-y=0, e C=(0,0)=D tangenti alla retta y=0. Sapendo che =0,=0 =0, studiare il fascio. 11

12 L equazione del fascio è: 0 { }. Sviluppo l equazione e ottengo: =0. Considero le matrici = = =det=0 Calcolo =det= Se k=0 ottengo due rette coincidenti Se k è diverso da 0 ottengo due rette distinte 12