Le trasformazioni NON isometriche

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1 Le trasformazioni NON isometrihe Sono trasformazioni non isometrihe quelle trasformazioni he non onservano le distanze fra i punti Fra queste rientrano le affinità L insieme delle affinità si può osì rappresentare e shematizzare: Traslazioni Simmetrie entrali Rotazioni Simmetrie assiali Glissosimmetrie Isometrie DIRETTE Isometrie INDIRETTE Si osserva he: All insieme delle affinità appartengono le similitudini e le isometrie ome asi partiolari di affinità All insieme delle similitudini appartengono le omotetie e le isometrie ome asi partiolari di similitudine Le dilatazioni sono partiolari affinità aratterizzate dall avere gli assi oordinati e l origine uniti (vedremo anhe dall equazione orrispondente) 6

2 O P Le omotetie Dato un numero reale non nullo h e un punto P del piano, l omotetia di rapporto h e entro O è quella trasformazione he assoia a P il punto P' tale he P OP' = h OP Se è P(x,) allora P'(hx ; h) ed è allineato on P P' è detto omotetio di P O si die entro di omotetia Il numero h è detto rapporto di omotetia Se h=1 si ha l identità; Se h=-1 si ha la simmetria rispetto all origine; Se h>0 l omotetia si die diretta (P e P' si trovano dalla stessa parte rispetto ad O); Se h<0 l omotetia si die indiretta (P e P' si trovano da parti opposte rispetto ad O) Omotetia deriva dal greo e signifia simile-posto ; in effetti, per omotetia una figura risulta ingrandita o rimpiiolita, ma non risulta spostata rispetto al entro della trasformazione x = hx Se il entro dell omotetia è l origine degli assi O, le equazioni sono ω0, h :, dove la matrie della = h h 0 trasformazione è e vale det(a)=h 0 h x = h( x xc) + xc Se il entro è invee il punto C( xc; C) le equazioni sono ωch, : o anhe, svolgendo i = h( C) + C x = hx+ p aloli ωch, : il ui entro è alolabile riordando he esso è l'unio punto unito per l omotetia = h + q Le rette passanti per il entro dell omotetia sono invee rette unite per l omotetia Proprietà fondamentali delle omotetie trasforma un segmento in un segmento proporzionale, una retta in una retta ad essa parallela, onserva le ampiezze degli angoli, il parallelismo e la perpendiolarità (ome aade on le similitudini, di ui le omotetie sono asi partiolari) trasforma una figura geometria in una figura simile a quella data, ingrandendola se h > 1 o riduendola se h < 1 1 Ogni omotetia ω Ch, ammette l omotetia inversa ω 1 C, h 7

3 Le similitudini Una similitudine è una trasformazione geometria he onserva il rapporto fra le lunghezze di segmenti orrispondenti; ioè omunque si selgano A e B, onsiderati i loro trasformati A' e B' si ha AB ' ' A' B' = k dove k (sempre positivo, ioè k>0) si hiama rapporto di similitudine A B = kabossia Se k=1, la similitudine è un isometria Le similitudini sono definite anhe ome partiolari trasformazioni affini he trasformano ironferenze in ironferenze Dal punto di vista analitio, affinhé iò aada, le equazioni di una similitudine sono: x = ax+ b+ on la ondizione però he sia: a + a = b + b [***] = ax + b + ab + a b = 0 Da queste relazioni segue he una similitudine può essere espressa in due soli modi: x = ax b+ a b σ = bx + a + b a σ 1 : on = a + b = k > 0 x = ax+ b+ a b = bx a + b a : on = a b = k < 0 SIMILITUDINE DIRETTA x oppure SIMILITUDINE INDIRETTA x = a b b a = a b b a x x + + In entrambi i asi il rapporto di similitudine k positivo di ui sopra è dato da k A a b = det( ) = + Proprietà fondamentali delle similitudini onservano il rapporto fra le lunghezze (per definizione); mantengono la "forma", in partiolare trasformano ironferenze in ironferenze (trasformano una figura geometria in una figura simile a quella data, ome si die normalmente) trasformano un angolo in un angolo ongruente (onservano l ampiezza degli angoli); trasformano rette parallele in rette parallele e rette perpendiolari in rette perpendiolari; se F' è la figura geometria trasformata di F, allora valgono: Area(F')=k Area(F) perimetro(f')=k perimetro(f); k = det( A) = a + b omponendo due similitudini di rapporti k1 e k, si ha anora una similitudine di rapporto k1 k ; il entro di similitudine è punto unito Osservazione Un omotetia è un tipo partiolare di similitudine Inoltre il valore assoluto h del rapporto di omotetia è uguale al rapporto di similitudine k, ioè h = k = a + b Composizione di un omotetia e di un isometria La omposizione di un omotetia on un isometria è sempre una similitudine; ogni similitudine si può ottenere dalla omposizione di un omotetia e di un isometria (o vieversa) In partiolare si ha una similitudine diretta se è il omposto di un omotetia e di un isometria diretta (in ordine qualsiasi), mentre si ha una similitudine indiretta se è il omposto di un omotetia e di un isometria indiretta (in ordine qualsiasi) Il omposto di due similitudini dirette è una similitudine diretta, mentre il omposto di due similitudini indirette è una similitudine diretta 8

4 [***] Premessa! I versori di un sistema di riferimento sono: i = 1 0 = 1;0 geometria, he lasia fissa l origine, ioè = =0, osì:! i = 1 0 i'! a = a, j! = 0 1 "! j ' b = b' ( )! 0 j = 1 = 0;1 ( ) x = ax + b = a x + b La matrie A dei oeffiienti A = a b a b Mediante l appliazione di una trasformazione, i versori si trasformano fornise quindi informazioni su ome si trasformano i versori fondamentali: le due olonne orrispondono alle omponenti dei trasformati dei versori fondamentali Se i versori fondamentali formano un quadrato di area 1, a seguito della trasformazione affine, il quadrato si trasforma in un parallelogramma la ui area non è più in generale uguale 1 Anzi, si può provare he: l area del parallelogramma nel quale si trasforma il quadrato di lato unitario è uguale al valore assoluto del determinante della matrie della trasformazione: Area = det( A) = a b a b = a b a b x = ax+ b+ a + a = b + b = 1 Un affinità di equazioni è un isometria vale: e det(a)=±1 = ax + b + ab + a b = 0! Per isometria due figure sono ongruenti e in partiolare hanno la stessa area Questo omporta he i versori fondamentali i e! j devono essere trasformati in modo da definire anora un quadrato di lato unitario Per quanto appena detto, iò implia he sia det ( A ) =± 1 Però questo non basta; affinhé il parallelogramma dei versori trasformati sia un quadrato di lato unitario oorre he i!"!" e j siano perpendiolari e abbiano modulo 1 a b Dalla matrie della trasformazione A = a b si ottengono i omponenti dei trasformati dei versori fondamentali per i quali a b deve valere: = 1 ossia ab = a b ioè: ab + a b = 0 (ondizione di perpendiolarità) a b b, si ha m 1 m m 1 m = 1 Inoltre deve valere: i!"!" = j = 1 ossia a + a = b + b = 1, ioè: poihé m 1 = a a,m = b a + a = b + b = 1 (moduli dei versori fondamentali trasformati uguali a 1) x = ax+ b+ a + a = b + b Un affinità di equazioni è una similitudine vale: = ax + b + ab + a b = 0 x = ax b+ L omotetia è una partiolare similitudine diretta (si ottiene dall equaz on b = 0 ) = bx + a + similitudine gli angoli rimangono gli stessi) e iò omporta he i!"!" e j ab + a b = 0 (ondizione di perpendiolarità) Affinhé un affinità sia una similitudine oorre omunque he il parallelogramma dei versori trasformati sia anora un quadrato (per Inoltre per similitudine basta he i moduli dei versori trasformati siano fra loro uguali, ossia: a + a = b + b i siano anora perpendiolari; quindi deve valere: (moduli dei versori fondamentali trasformati uguali fra loro) 9

5 Le affinità Fissato un sistema di assi artesiani (non neessariamente ortogonali), si hiama affinità la orrispondenza biunivoa he del piano in sé tale he ad ogni punto P( x; ) fa orrispondere il punto P' di oordinate x = ax+ b+ P ( x ; ) seondo le equazioni: dove i oeffiienti a, b,, a, b, sono numeri reali = ax + b + L appliazione è biiettiva se e solo se det( ) a b A = = ab ab 0 Il fatto he sia det(a) 0 garantise he si a b possa alolare la trasformazione inversa La matrie A si hiama matrie dell affinità Se e sono nulli l origine resta fissa Proprietà fondamentali delle affinità A una retta orrisponde un altra retta (onserva l allineamento); A rette parallele orrispondono rette parallele (onserva il parallelismo); A rette inidenti orrispondono rette inidenti (onserva l inidenza); Le onihe si trasformano in onihe (ellisse ellisse, parabola parabola, iperbole iperbole); Il rapporto delle aree di figure orrispondenti è ostante, ioè: se la figura F' è l'immagine orrispondente di una figura F, allora Area (F')= det(a) Area (F) Area(F') Il rapporto ostante fra tali aree si hiama rapporto di affinità r, ioè r = det( A) = Area(F) Esso rappresenta l area del parallelogramma nel quale si trasforma il quadrato di lato unitario In generale un affinità: non onserva la forma delle figure (non onserva le distanze fra i punti) Infatti l immagine di un rettangolo è in generale un parallelogramma, osì ome l'immagine di una ironferenza è un ellisse; non onserva gli angoli, per esempio rette perpendiolari non neessariamente sono trasformate in rette perpendiolari ma solo in rette inidenti Nel aso in ui il rapporto di affinità r sia uguale a +1, l affinità onserva le aree e si die equivalenza Affinità diretta (si onserva l orientamento dei vertii di un poligono) det(a)>0; Affinità indiretta (si inverte l orientamento dei vertii di un poligono) det(a)<0; Partiolari affinità: le dilatazioni x = hx + p Le equazioni on hh, 0 rappresentano partiolari affinità hiamate dilatazioni di rapporti h e = h + q h x = ax+ b+ Si ottengono dall equazione on b= 0 a = 0 = ax + b + 10