Elementi di Logica matematica. Elementi di logica matematica

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1 1 Elementi di logica matematica Molte grammatiche definiscono la roosizione come un giudizio della mente esresso con arole, cioè da un unto di vista grammaticale la arola roosizione sta ad indicare l esressione di un ensiero comiuto, formato da almeno un soggetto e da un redicato (cui ossono fare eventualmente seguito alcuni comlementi). La logica matematica resinge uesta definizione e er la logica matematica la roosizione è una combinazione di arole o di simboli a cui comete uno solo dei seguenti attributi: vero o falso. Tali attributi saranno simbolicamente indicati con le lettere,. Definizione: Nella logica matematica si definisce roosizione una frase er la uale si uò stabilire se è vera o se è falsa. << Roma è una città bella>> non raresenta una roosizione in uanto non ossiamo stabilire se la circostanza è vera o falsa. Raresenteremo le nostre roosizioni mediante lettere, ad esemio,,. La terra è un ianeta è una roosizione vera, la luna è una stella è una roosizione falsa. Definizione: Si chiama variabile logica ogni lettera utilizzata al osto di una roosizione. Definizione: Se la roosizione è vera, diremo che il valore di verità di è o anche che il valore di verità di è 1. Se la roosizione è falsa, diremo che il valore di verità di è o anche che il valore di verità di è 0. La logica formale alla uale intendiamo riferirci si occua unicamente di uelle roosizioni alle uali comete uno ed uno solo degli attributi vero o falso. Si tratta di una logica bivalente. In tale logica sussistono ancora i rincii fondamentali della logica aristotelica, che sono: (1) il rinciio di identità secondo il uale ogni oggetto del ensiero logico è identico a se stesso e a nessun altro oggetto Pagina 1 di 11 1

2 2 (2) il rinciio di non contraddizione secondo il uale una roosizione non uò essere sia vera che falsa (3) il rinciio del terzo escluso (tertium non datur) secondo il uale i valori di verità di una roosizione sono soltanto due e sono il vero o il falso non otendo esistere un terzo valore di verità. Definizione: Una roosizione si dice semlice o atomica o elementare se non uò essere scomosta in roosizioni iù semlici; altrimenti si dice comosta o molecolare. La arte della logica che si occua delle oerazioni con le roosizioni rende il nome di calcolo delle roosizioni o logica delle roosizioni. Le tavole di verità Attribuire un valore di verità ad una singola articolare roosizione significa affermare che essa è vera oure falsa. Se invece consideriamo una roosizione generica A, dobbiamo esaminare i casi ossibili: A è vera, oure A è falsa. In uesto caso usiamo una tabella, chiamata tavola di verità formata da una colonna erché la roosizione esaminata è una. Se le roosizioni da analizzare sono due, A e B, si ossono resentare i seguenti uattro casi: sono entrambe vere, la rima è vera e la seconda è falsa, la rima è falsa e la seconda è vera, sono entrambe false. Se le roosizioni sono tre, A, B, C si resentano sono n allora i casi ossibili sono 2 n. 3 2 = 8 casi. Se le roosizioni resi in considerazione A B C A B A Pagina 2 di 11 2

3 3 I connettivi logici Abbiamo visto che si ossono eseguire oerazioni con gli insiemi. Anche con le roosizioni si ossono eseguire oerazioni: due o iù roosizioni si ossono connettere tra loro mediante oortuni connettivi in modo da ottenere una nuova roosizioni. Ad ognuno di uesti connettivi corrisonde un oerazione elementare. Mediante uno di uesti connettivi a due roosizioni date in un certo ordine corrisonde una terza nuova roosizione. Definizione: Nella logica matematica, due roosizioni, ossono essere unite mediante oortune articelle dette connettivi o oeratori logici er formare una nuova roosizione. Il connettivo, cioè la congiunzione logica Si definisce congiunzione di due roosizioni e e si indica col simbolo (si legge e oure et ) la roosizione comosta che è vera se e sono contemoraneamente vere, mentre è falsa in ogni altro caso. La tavola di verità della roosizione comosta. La rima riga della tavola si legge: Se è vera, se è vera, allora è vera. La seconda riga si legge: Se è vera, se è falsa, allora è falsa. Il connettivo, cioè la disgiunzione inclusiva Si definisce disgiunzione inclusiva di due roosizioni e e si indica col simbolo (si legge o ed anche vel ) la roosizione comosta che è vera se almeno una delle due roosizioni è vera, ed è falsa se entrambe le roosizioni sono false. La tavola di verità della roosizione comosta è: Pagina 3 di 11 3

4 4 Il connettivo, cioè la disgiunzione esclusiva Si definisce disgiunzione esclusiva di due roosizioni e e si indica col simbolo (si legge o ed anche aut ) la roosizione comosta che è vera se una soltanto delle due roosizioni è vera, falsa in tutti gli altri casi. La tavola di verità della roosizione comosta è: Il connettivo di negazione La negazione di una roosizione, che si indica col simbolo (oure con ) è la roosizione che è vera se è falsa ed è falsa se è vera. ( ) L imlicazione materiale Si definisce imlicazione materiale di due roosizioni e e si indica col simbolo (si legge se.allora oure imlica ) la roosizione che risulta falsa se solo se è vera e è falsa. In tutti gli altri casi è vera. A B A A B A B Pagina 4 di 11 4

5 5 Coimlicazione materiale Si definisce coimlicazione materiale di due roosizioni e e si indica col simbolo (si legge se e solo se, oure coimlica ) la roosizione che è vera uando e hanno lo stesso valore di verità ed è falsa in caso contrario. A B A B B A ( A B) ( B A) La doia imlicazione euivale alla congiunzione di delle due imlicazioni A B e B A, come si vede dalla tavola di verità. I valori di verità ( A B) ( B A ) coincidono con i valori A B. Deduzione logica Un imortantissimo concetto fondamentale è uello di deduzione o imlicazione logica. Se e sono due roosizioni, se dalla verità di deduciamo, attraverso ragionamenti logici, la verità di, diciamo che imlica e scriviamo e uesto rocedimento del ragionamento logico matematico si chiama imlicazione o deduzione logica. La roosizione si chiama iotesi, la roosizione si chiama tesi, il ragionamento che ci ermette di assare dalla verità di alla verità di si chiama dimostrazione. Il simbolo si dice simbolo di imlicazione logica. Iotesi, dimostrazione e tesi costituiscono il teorema come risulta dallo schema realizzato nella figura accanto. Teorema dimostrazione 0 (iotesi) imlicazione (tesi) A volte succede che si verifichino contemoraneamente le due seguenti imlicazioni: e In tal caso si dice che le roosizioni e sono logicamente euivalenti e si scrive Pagina 5 di 11 5

6 6 Quando una roosizione è la conseguenza di una roosizione si dice che imlica e si scrive: ( imlica ). Questa scrittura vuole dire che << se è vera la roosizione è vera anche la roosizione >>: dicesi remessa o iotesi, conseguenza o tesi. In matematica ogni teorema del tio: << è condizione sufficiente er >> oure, ed è la stessa cosa, << è condizione necessaria er >> si uò esrimere semlicemente scrivendo:, cioè ogni teorema avente come iotesi e come tesi si esrime dicendo che è condizione sufficiente er, mentre è condizione necessaria er. Quando l'imlicazione è vera si dice che è un TEOREMA, si chiama iotesi, tesi. Quindi, in ogni teorema la verità dell'iotesi è condizione sufficiente er la verità della tesi, mentre la verità della tesi è condizione necessaria (ma in generale non sufficiente) er la verità dell'iotesi; cioè una condizione sufficiente va osta come iotesi, una condizione necessaria come tesi. Il segno raresenta il simbolo di imlicazione logica. Il simbolo si legge <<non imlica>>. Se è vera l'imlicazione risultare vera l'imlicazione inversa Esemio: Paolo è torinese. non è detto che debba Paolo è italiano, mentre Paolo è italiano Paolo è torinese. Se e sono due roosizioni er le uali risulta contemoraneamente e allora diremo che le roosizioni e sono euivalenti e scriviamo: e leggiamo: << euivale logicamente a >> oure iù semlicemente << euivale a >> oure << coimlica >>. simbolo di euivalenza logica o di doia imlicazione o di coimlicazione si legg : << euivale logicamente oure coimlica >> non euivale a In matematica, ogni teorema del tio << è condizione necessaria e sufficiente erché valga >> si uò esrimere semlicemente scrivendo: La coesistenza di un teorema e del suo inverso determina le cosiddette condizioni necessarie e sufficienti. Precisamente una condizione C, risetto ad una rorietà P si dice che è: Pagina 6 di 11 6

7 7 1) necessaria uando considerando P come iotesi si deduce C come tesi 2) sufficiente uando considerando C come iotesi si deduce P come tesi Le tautologie Definizione: Una roosizione comosta è una tautologia se risulta semre vera, ualunue valore di verità si attribuisce alle roosizioni elementari di cui è comosta. La formula ( ) è una tautologia, come si verifica costruendo la seguente tavola di verità: ( ) Come si vede, ualunue sia il valore di verità attribuito alle lettere e, la formula ( ) risulta semre vera. Le contraddizioni Definizione: Una roosizione comosta è una contraddizione se risulta semre falsa, ualunue valore di verità si attribuisce alle roosizioni elementari di cui è comosta. La roosizione 11 è un numero rimo ed ha 3 divisori è una contraddizione. Infatti essa uò essere così formalizzata: ed euivale all affermazione 11 è un numero rimo e non lo è. erifichiamo che la roosizione è una contraddizione, cioè che è semre falsa, attraverso la seguente tavola di verità: Pagina 7 di 11 7

8 8 Le rorietà formali delle oerazioni logiche Prorietà di idemotenza: = = Prorietà commutativa: = = = Prorietà associativa: ( ) r= ( r) ( ) r= ( r) ( ) r= ( r) Prorietà distributiva: ( r) = ( ) ( r) ( r) = ( ) ( r) Prorietà della doia negazione: ( ) = = Prorietà della negazione: = = Leggi di assorbimento: ( ) = ( ) = Prima legge di De Morgan: ( ) = ( ) ( ) ed anche ( ) = La negazione della congiunzione di due roosizioni è euivalente alla disgiunzione inclusiva delle negazioni delle due roosizioni. Seconda legge di De Morgan: ( ) = ( ) ( ) ed anche ( ) = La negazione della disgiunzione inclusiva di due roosizioni è euivalente alla congiunzione delle negazioni delle due roosizioni. I ragionamenti logici Per ragionamento logico o inferenza deduttiva intendiamo un rocedimento attraverso il uale, a artire da una o iù roosizioni vere, le remesse, otteniamo una o iù roosizioni altrettanto vere, le conclusioni. Un esemio di ragionamento logico usato di solito in matematica è la dimostrazione di un teorema. Un ragionamento è valido se ci assicura che da remesse vere giungiamo ad una conclusione vera. In uesto caso esso rende il nome di deduzione logica. Esistono diverso forme di deduzione logica; noi ne analizziamo due: il modus onens ed il modus tollens. Pagina 8 di 11 8

9 9 Modus onens Lo schema di un ragionamento che utilizza il modus onens è il seguente: ( ) Se sono vere le roosizioni e allora è vera anche la roosizione. Se studio arendo ( ) e studio ( ), dunue arendo ( ). Regola fondamentale di inferenza: ogni ualvolta un imlicazione è vera ed anche è accettata come vera, dobbiamo accettare come vera la roosizione, cioè la conclusione. Modus tollens Lo schema di un ragionamento che utilizza il modus tollens è il seguente: ( ) Se è vera la roosizione ed è vera la negazione di, cioè, allora deve essere vera anche la negazione della roosizione, cioè deve essere vera. Se ho sete bevo ( ) ma non bevo ( ) uindi n on ho sete ( ). L imlicazione materiale e la deduzione logica Il simbolo che abbiamo utilizzato er la deduzione logica non deve essere confuso col simbolo dell imlicazione materiale, in uanto la deduzione logica indica un ragionamento mentre l imlicazione materiale è un connettivo. L imlicazione materiale se allora è un connettivo logico che ci consente di costruire una nuova roosizione a artire da due roosizioni e. La verità della nuova roosizione diende soltanto dai valori di verità delle roosizioni che la comongono. L imlicazione logica indica che bisogna effettuare una serie di ragionamenti che artendo dalla verità della remessa si deduce la verità della conclusione. Pagina 9 di 11 9

10 10 Metodi di dimostrazione di un teorema Per dimostrare un teorema si utilizzano due tii di ragionamento: il metodo diretto o il metodo indiretto, detto anche ragionamento er assurdo. Metodo diretto: La dimostrazione col metodo diretto si realizza attraverso una successione di ragionamenti che artendo dalle verità dell iotesi (I), si erviene alla verità della tesi (T). Metodo indiretto o er assurdo: Il metodo indiretto o ragionamento er assurdo consiste nel suorre falsa la tesi (T ) e nel dimostrare, attraverso una successioni di ragionamenti corretti, che anche l iotesi è falsa ( I ). Ma l iotesi di un teorema è semre vera e non uò essere negata e uindi la tesi non uò essere falsa. Se la tesi non uò essere negata è vera ed il teorema è dimostrato. Definizione: Si definisce redicato o enunciato aerto un affermazione contenente una o iù variabili che diviene una roosizione doo avere sostituito dei valori (scelti in un insieme universo U) alle variabili. Considero la roosizione 6 è un numero negativo. A tale roosizione ossiamo attribuire soltanto il valore vero. Consideriamo l affermazione x è un numero negativo. La lettera x raresenta una variabile alla uale ossiamo attribuire un determinato valore scelto in un insieme universo, che uò essere l insieme, l insieme, l insieme o un ualsiasi altro insieme. A differenza della roosizione recedente non ossiamo dire se è vero o è falso. Per uesto motivo tale affermazione rende il nome di redicato o enunciato aerto. Le scrittura del tio A( x ). Bxy (, ), (,, ) C xyz stanno ad indicare redicati ad una, due, tre variabili. Definizione: Un redicato in una o iù variabili è soddisfatto da certi valori delle variabili se tali valori lo trasformano in una roosizione vera. E evidente che ad ogni redicato A( x ), definito in un insieme universo U, è associato un sottoinsieme di U i cui elementi soddisfano A( x ). Pagina 10 di 11 10

11 11 Definizione: Per insieme verità di un redicato si intende un sottoinsieme dell insieme universo U contenente tutti i ossibili valori che soddisfano il redicato. Quindi si chiama insieme verità di un enunciato aerto ad una variabile l insieme di tutti i valori scelti in un insieme universo U che, sostituiti nella variabile, trasformano il redicato in una roosizione vera. Esemio: Consideriamo il redicato P( x) :"x èdivisoredi 256", con L insieme dei divisori di 256 è: P = { 1, 2, 4,8,16,32,64,128, 256} P è l insieme verità del redicato P( x ), cioè la totalità dei valori della x che soddisfano P( x ). Tale { } insieme, scritto in forma comatta, diventa: P x : P( x) = }. x Condizione necessaria e sufficiente La verità dell imlicazione ( x) ( x) si uò esrimere dicendo che la verità di ( ) condizione necessaria erché ( x ) sia vera. x è La verità dell imlicazione ( x) ( x) si uò esrimere dicendo che la verità di ( ) condizione sufficiente erché ( x ) sia vera. x è La verità della doia imlicazione ( x) ( x) si esrime dicendo che condizione necessaria e sufficiente erché ( x ) e che sia vera ( x ), oure che condizione necessaria e sufficiente erché ( x ) e che sia vera ( x ). Osservazione: Occorre non confondere i simboli e con i simboli ed. I rimi indicano l imlicazione e la coimlicazione materiale. Sono uindi dei connettivi logici che consentono di costruire un nuovo redicato, artendo da due redicati. I secondi simboli si riferiscono alla imlicazione logica ed alla euivalenza logica. Non sono dei connettivi ma dei simboli di relazioni tra redicati. Le scritture ( x) ( x) e ( x) ( x) affermano che tra i redicati ( x ) e ( x ) valgono determinare relazioni. non indicano dei nuovi redicati, bensì Pagina 11 di 11 11