Analisi Matematica 3 (Fisica e Astronomia) Esercizi di autoverifica sull integrazione di campi vettoriali

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1 Analisi Matematica (Fisica e Astronomia) Esercizi di autoverifica sull integrazione di campi vettoriali Università di Padova - Lauree in Fisica ed Astronomia - A.A. 8/9 martedì novembre 8 Istruzioni generali. Risolvere i quesiti senza guardare lo svolgimento, che sarà fornito martedì /. Al termine, autovalutare la propria risoluzione con l ausilio dello svolgimento indicato. Istruzioni per l autovalutazione. Ex. : pt (+). Ex. : pt (+). Ex. : 8 pt ( 7). Ex. : 8 pt ( 7). Totale: pt. Lo studente valuti da sè quanto assegnarsi per una risoluzione parziale dei quesiti. Consigli. Questa verifica vuole aiutare lo studente a capire il proprio grado di comprensione degli argomenti trattati a lezione, dunque andrebbe svolta individualmente con impegno, usando lo svolgimento fornito solo per l autovalutazione e per rendersi conto delle difficoltà incontrate nel lavoro solitario. Inoltre, per provare l impegno di un esame, la verifica andrebbe affrontata col minor numero possibile di interruzioni (ad es. in due sedute da ore).. In R si considerino i campi F = ( y,, xz), G = (, z, ) e H = (,, z), (i) Disegnare le varietà X = {(x, y, z) : z =, y x } e Y = {(x, y, z) : +y +z x, y }, dire qual è il bordo, e calcolare in due modi sia X F dx che il flusso Φ Y (H). (ii) Gli insiemi espressi in coordinate cilindriche l = {(r, θ, z) : r =, θ = z, z } e L = {(r, θ, z) : θ = π, r, z r} a cosa corrispondono in coordinate cartesiane? Calcolare direttamente dalla definizione gli integrali di linea l G dx e F dx e i flussi Φ L ( G) e Φ L (H). Qualcuno di questi integrali si può calcolare alternativamente anche usando i teoremi classici d integrazione vettoriale?. Nel piano (x, y) siano A il dominio racchiuso dalla curva (cos t, sin t) per t [, π], e A il dominio compatto nel primo quadrante compreso tra i grafici di e x (sotto) e x e (sopra). (i) Usando la formula di Green, calcolare l area di A (provare anche in coordinate cartesiane) e l integrale A dx dy. (ii) Dimostrare che (u, v) = ( y, y) rappresenta un cambio di coordinate nel primo quadrante; calcolare poi l area di A in tre modi (di cui uno con Green e uno col cambio proposto).. ( ) Nel piano verticale (x, z) sia A = {(x, z) : x, z, x + z, x + z }, e sia U il solido ottenuto ruotando A di un giro attorno all asse z (disegnare). (i) Calcolare l area di A e l integrale A (z x) dx dz in due modi (tra cui usando Green). (ii) Calcolare U zα dx dy dz per gli α per cui è finito; usarlo per trovare volume e baricentro di U. (iii) Trovare il flusso del campo F (x, y, z) = ( y, x, z) uscente da U e dalle singole porzioni di frontiera (guardando con un po d astuzia come sono messi tra loro il campo e i pezzi di frontiera si può evitare ogni calcolo). (iv) Verificare la formula di Kelvin-Stokes per F e le superfici esterne conica e sferica di U. ( ) Esercizio tratto da prove d esame composte da Giuseppe De Marco.

2 . Sia D il solido {(x, y, z) R : a + y z, z, y } (ove < a < ). (i) Disegnare D e calcolarne volume, area esterna, baricentro e momento d inerzia rispetto z. (ii) Calcolare in due modi (di cui uno con Green) area e baricentro della base superiore S di D. (iii) Calcolare in due modi il flusso uscente totale del campo F (x, y, z) = (αx y, y αz, ) attraverso la superficie esterna di D. Per quali α R tale valore coincide col volume di D? (iv) Sia S la faccia incurvata non cilindrica di D. Determinare l area di S e la circuitazione di F lungo Γ = S, quest ultima sia direttamente che usando la formula di Kelvin-Stokes. Soluzioni.. (i) (Figura ) L insieme X = {(x, y, z) : z =, y x } è un settore di forma parabolica contenuto nel piano z =, il cui bordo X è il circuito fatto dalla giunzione del tratto di parabola x = y tra i punti (,, ) e (,, ) unito al segmento tra essi; invece Y = {(x, y, z) : + y + z x, y } è la mezza palla di centro (,, ) e raggio data da y, il cui bordo Y è la superficie chiusa costituita dal disco Y dato da (x ) + z nel piano y = e dalla semisuperficie sferica Y di equatore (nel piano y = ) (x ) + z = e con y. Il bordo X va percorso in senso antiorario se guardato dall alto, dunque F dx = ( y,, ) (,, ) dy + ( y,, (y )) (y,, ) dy = X ( y,, ) (,, ) dy + ( y,, (y )) (y,, ) dy = + y( y) dy =. D altra parte, per la formula di Kelvin-Stokes (teorema del rotore) questo deve essere anche il valore del flusso Φ X( F ): si calcola F = (, z, ), dunque Φ X( F ) = X det dx dy = Area X = (y ) dy =. L orientazione naturale del piano (x, z), data dalla base ordinata (e, e ), orienta positivamente Y (la cui normale uscente rispetto Y è e : infatti ( e, e, e ) è base positiva per Y, ovvero per R ) e negativamente Y (la cui normale uscente rispetto Y ha la coordinata y positiva): pertanto, indicando D = {(x, z) : + z x} e considerando le parametrizzazioni (x,, z) di Y e (x, x z, z) di Y con (x, z) D, vale Φ Y (H) = D det x ( x D x z dx dz det D x z x z x z z dx dz = x x + z( z )) dx dz = z x z D dà π dα ρ cos α (+ρ cos α) +ρ sin α ρ dρ = π dα ρ (ρ ρ ρ sin α cos α ρ cos α ρ cos α) dρ; ( x)+z x dx dz che, posto (x, z) = ( + ρ cos α, ρ sin α), z eliminando i termini con α-integrale nullo si ha π dα ρ ρ (sin α cos α) dρ = π ( sin α ρ dρ, che posto ξ = ρ dà ( (α sin α cos α) ρ α]π 6π. Alternativamente, ricordando il teorema di Gauss possiamo invece calcolare Y ) dα ξ ξ ( ξ) dξ = π(ξ ξ ] = ( H) dx dy dz = Y ( x) dx dy dz, che in coordinate sferiche adattate è π dθ π dϕ ( ( + r cos θ sin ϕ)) r sin ϕ dr: eliminando il termine con cos θ che ha θ-integrale nullo su [, π] si ottiene π dθ π dϕ ( ) r sin ϕ dr = Vol (Y ) = π() = 6π, lo stesso risultato di poco fa. (ii) Gli insiemi l = {(r, θ, z) : r =, θ = z, z } e L = {(r, θ, z) : θ = π, r, z r}, che in coordinate cilindriche sono un segmento e un triangolo, in coordinate cartesiane sono rispettivamente il tratto di elica cilindrica (cos z, sin z, z) con z e il triangolo contenuto nel semipiano x = con y di vertici (,, ), (,, ) e (,, ). Parametrizzando l in coordinate cilindriche come (cos θ, sin θ, θ) con θ vale G dx = (, θ, ) ( sin θ, cos θ, ) dθ = (sin θ + θ cos θ) dθ = l ( cos θ + θ sin θ + cos θ] = cos sin. Sul piano x = il campo F = ( y,, ) è parallelo all asse x e dunque ortogonale allo stesso piano x = (in particolare anche a L e al suo bordo ), pertanto F dx =. Si calcola G = (, z, ) = (,, ), dunque (scegliendo e come normale positiva al triangolo L) si ha Φ L( G) = (G e) dy dz = Area L =. Sul piano x = il campo H = (,, z) è L

3 parallelo all asse z e dunque parallelo allo stesso piano x = (in particolare anche a L), pertanto Φ L(H) =. Degli integrali precedenti, possono essere ricalcolati con i teoremi classici F dx (circuitazione del campo L lungo il perimetro del triangolo L) e Φ L( G) (flusso di un rotore), in entrambi i casi usando la formula di Kelvin-Stokes. Il primo sarà dunque uguale anche Φ L( F ) = Φ L(, z, ) che è nullo perché (, z, ) è un campo parallelo al piano x = e dunque anche a L, mentre il secondo sarà uguale anche alla circuitazione G dx, dunque (partendo dal vertice (,, ) del triangolo e girando in senso antiorario) a (,, ) (,, ) dy + (, z, ) (,, ) dz + (, z, ) (,, ) dz = + z dz + =. Entrambi i valori concordano con quanto già trovato in precedenza.. (i) (Figura ) Nella situazione presentata in questo esercizio, in cui A è descritto tramite il suo bordo in forma parametrica (cos t, sin t) con t [, π], la formula di Green fornisce il modo più agevole per fare i conti richiesti. L area di A risulta A x dy = π cos t( cos t sin t dt) = π sin t dt = π sin τ dτ = (τ 8 6 sin τ cos τ] π = π. Proviamo, come proposto, il calcolo dell area in coordinate cartesiane: se t π dalle equazioni parameriche si ricava che x = y /, dunque per evidenti ragioni di simmetria si ha che l area di A risulta dy y / dx = y / dy, un integrale binomio. Posto y/ = u, sostituendo si y / arriva a + u u du. Ora, col metodo di Hermite si ricava che = ( +( u u ) ), pertanto (u +) (u +) 8 u + (u +) il nostro conto continua come + ( + ( u u ) ) du = ( arctg u + u u ] 8 u + (u +) (u +) = π, come già trovato in precedenza. Con Green l integrale A dx dy diventa A x dy = π cos t( cos t sin t dt) = π cos t sin t dt = π (sin t sin t + sin 6 t) dt = π π + π = π 8 8.( ) (ii) Da (u, v) = ( y, y) si ricava (x, y) = φ(u, v) = ( v/u, uv), dunque la funzione φ è una biiezione del primo quadrante in sè; lo jacobiano J φ (u, v) = u v u uv vu uv ha determinante <, dunque u v effettivamente si tratta di un cambio di coordinate. L insieme A è definito da x y e y, che corrispondono a u e v : l area di A risulta allora A dx dy = du dv = u v u du v dv = (u ] ( v ] = ( ). Il conto cartesiano, che è praticamente lo stesso che si farebbe con Green calcolando A y dx, è è A x dy = y dy + y dy + ( ) dx + ( x ) dx, e l altro conto con Green y dy + y dy: entrambi portano al medesimo risultato.. (i) (Figura ) L area di A = {(x, z) : x, z, x + z, x + z } è la differenza tra quella del triangolo rettangolo A di base e altezza e quella del quarto di cerchio A di raggio (inscritto nel triangolo e tangente nell interno all ipotenusa), dunque risulta π = π ; usando Green si riottiene x d( x) + / x d( x ) = x dx / dx = [posto x = x sin α] π sin α dα = π = π. Anche l integrale A (z x) dx dz conviene calcolarlo come differenza degli integrali su A e A : essendo A (z x) dx dz = dx x (z x) dz = ( z xz] x dx = ( 9x + 9 x ) dx = (x 9 x + x x ] = e A (z x) dx dz = π dθ (r sin θ r cos θ) r dr = π ( r sin θ r cos θ] dθ = π ( sin θ 6 6 cos θ) dθ = ( (θ sin θ cos θ) sin θ] π = π 6 si ottiene A (z x) dx dz = 6 π. Alternativamente, con Green, l integrale viene trasformato in A (xz ) dz = (x( x) ) dx / (x( x ) x ) dx = (x 9x + x ) dx π ( sin α( cos α) sin α)( sin α) dα, che a conti fatti ridà lo stesso risultato. (ii) La funzione z α è positiva su U, dunque per Tonelli e Fubini I α := U zα dx dy dz sarà uguale (finito o no) a un iterato. Detti U e U i solidi ottenuti ruotando rispettivamente A e A, converrà calcolare separatamente i due integrali su U e U, prendendone poi la differenza. La z-sezione di U (risp. U ) ha area ( z) π (risp. ( z )π), dunque integrando per z-fette si ha U z α dx dy dz = zα ( z) π dz = zα (z α z α+ + zα+ )π dz = [se α > ] ( zα+ U z α dx dy dz = / z α ( z )π dz = [se α > ] π ( zα+ + α+ α+ z α+ zα+ α+ α+ ]/ = z α+ α+ ] = I α è la differenza di questi due valori. In particolare vale Vol (U) = I = ( π 6 z G = I()/I() = π 7π ( 8 = 9 ) ( 8 (mentre xg = yg = per simmetria). ) α+ π (α+)(α+)(α+) α+ α+ (α+)(α+) e π: pertanto ) ( 8 )π = π e 7 ( ) Se I n = sin n t dt (con n ), integrando per parti si ricava che n I n = (n ) I n sin n t cos t: in particolare si ha π sin n t dt = n π sin (n ) t dt = = (n )(n ) π dt = (n )(n ) π. n n(n ) n(n )

4 (iii) Poiché F =, per il teorema di Gauss il flusso totale Φ U (F ) del campo F uscente da U è pari a Vol (U) = ( 8 ) π. La frontiera di U è costituita dai tre pezzi ( U) 7 (la superficie conica esterna), ( U) (la superficie semisferica sottostante) e ( U) (la corona circolare sul piano z = ). Notando che F = ( y, x, )+(,, z) si vede subito che Φ ( U) (F ) = : infatti ( y, x, ) è un campo parallelo a ( U) e dunque a flusso nullo, mentre (,, z) si annulla su ( U). Si ha allora Φ U (F ) = Φ ( U) (F ) + Φ ( U) (F ). Ora, detto B il disco-base della semisfera U, poiché F = si ricava sempre per Gauss che Φ ( U) (F ) + Φ B(F ) = Vol (U ) = π( ) = 6 π: ma vale ΦB(F ) = (per le stesse ragioni esposte per ( U)), e dunque Φ ( U) (F ) = 6 π; si ottiene allora infine che Φ ( U) (F ) = Φ U (F ) Φ ( U) (F ) = Vol (U) Φ ( U) (F ) = π. A quest ultimo valore si poteva arrivare allo stesso modo di prima notando che Φ ( U) (F ) = Vol (U ) = π = π; naturalmente erano possibili anche i (stavolta abbastanza semplici) calcoli diretti dei singoli flussi. (iv) Il rotore di F è F = e ; parametrizzando la superficie esterna conica tramite (r cos θ, r sin θ, ( r)) con r e θ π, il flusso uscente da essa di F risulta π dθ det dr = π cos θ r sin θ sin θ r cos θ dθ r dr = π; d altra parte il bordo della superficie esterna conica è la circonferenza di centro l origine e raggio nel piano z =, parametrizzata da (cos θ, sin θ, ) con θ π su cui la circuitazione di F vale π ( y, x, z) ( sin θ, cos θ, ) dθ = π ( sin θ, cos θ, ) ( sin θ, cos θ, ) dθ = π, valore uguale al precedente. Parametrizzando la superficie esterna sferica tramite ( cos θ sin ϕ, sin θ sin ϕ, cos sin ϕ) θ π e ϕ π, il flusso uscente di F è π dθ π det sin θ sin ϕ cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ sin ϕ dϕ = 6 π π sin ϕ cos ϕ dϕ = 8 π; d altra parte il bordo della superficie esterna sferica è la circonferenza di centro l origine e raggio nel piano z =, parametrizzata da (cos θ, sin θ, ) con θ π, su cui la circuitazione di F vale come la precedente circuitazione moltiplicata per ( ) =, ovvero ancora 8 π.. (i) (Figura ) Per z la z-sezione del solido D = {(x, y, z) R : a + y z, z, y } è la semicorona circolare di raggi a e z, che ha area (( z) a )π: dunque Vol (D) = ( z a )π dz = π (( a )z z ] = ( a )π 8 e z 8 G = ( z ( a )π a )zπ dz = ( ( a a )z 6 z ] = ( a ). Si ha poi ( a ) xg (per simmetria), yg = 8 y dx dy dz = ( a )π D 8 dz π dθ z (r sin θ) r dr = dz z r dr = (( a a z)/ a ) dz = ( a )π 6 ( a )π ( ( z)/ a z] = π ( 6 ( a )π 6 ( a )π 6 ( ( a )π a ), e il momento d inerzia (ove µ è la densità di massa) I z = µ D (x + y ) dx dy dz = µ dz π dθ z r r dr = µπ (( a z) a ) dz = µπ( ( z) a z] = µπ( 7 a ). (ii) L area della base superiore, semicorona circolare di raggi a e, vale ( a )π = a π; con Green si ritrova x dy = π S cos θ cos θ dθ π a cos θ a cos θ dθ = ( a) π cos θ dθ = ( a )( (θ + sin θ cos θ)] π = a π. Il baricentro ha per simmetria x G =, mentre y G = y dx dy = ( a )π D π dθ r sin θ r dr = ( a ). Con Green calcoliamo l integrale y dx dy = xy dy = ( a )π a ( a )π D S cos θ sin θ cos θ dθ π a cos θ a sin θ a cos θ dθ = ( a ) π sin θ cos θ dθ = ( a )( cos θ] π = a ) = ( a ), che diviso per l area a π ridà il risultato precedente. 6 (iii) Il flusso uscente totale del campo F (x, y, z) = (αx y, y αz, ) attraverso la superficie esterna di D è dato, in base al teorema di Gauss, da ( F ) dx dy dz = (α + ) Vol (D) = (α + ) ( a )π : dunque il D 8 volume di D si ritroverà per α + =, ovvero per α =. Potremmo naturalmente calcolare i flussi del campo F attraverso le varie porzioni del campo F. Notando che il campo è orizzontale in quanto la sua terza componente è nulla, il flusso attraverso le due basi è certamente nullo (esse sono parallele al campo). Inoltre sul piano y = il campo diventa (αx, αz, ), e la sua componente normale uscente (αx, αz, ) (,, ) = αz è la stessa per entrambe le parti di superficie su tale piano: il flusso totale uscente per esse è dunque dz z αz dx = α z( z a) dz che, posto z = a u (dunque z = ( u ), da cui dz = u du) si ottiene 6α u( u )(u a) du (si omettono ulteriori calcoli). Quanto alla superficie cilindrica, parametrizzata da (a cos θ, a sin θ, z) con θ π e z, il flusso uscente è π dθ det dz (si omettono ulteriori calcoli). Infine, la superficie αa cos θ a sin θ a sin θ a sin θ αz a cos θ di paraboloide è parametrizzata da (r cos θ, r sin θ, ( r )) con θ π e π dθ / det (α cos θ sin θ)r cos θ r sin θ r sin θ α( r ) sin θ r cos θ r r, e il flusso uscente è dr (si omettono ulteriori calcoli). E la somma di questi

5 flussi parziali dovrebbe ridare il flusso totale trovato in precedenza. (iv) L area della faccia anteriore di paraboloide S di D la possiamo trovare con la parametrizzazione appena data qui sopra: l elemento d area risulta r 6r + dr dθ, dunque l area è π dθ / r 6r + dr = π 8 ((6r + ) / ] / = (7/ 7)π. In base alla formula di Kelvin-Stokes, per trovare la circuitazione di F 8 lungo Γ = S basta calcolare il flusso uscente attraverso S del rotore di F, che è F = (α,, ), flusso dato da π dθ / det α cos θ r sin θ sin θ r cos θ r dr = π dθ / (αr cos θ + r) dr, che eliminando il termine con cos θ (a integrale nullo in θ) diventa π dθ / r dr = π. Alternativamente, calcoliamo le quattro circuitazioni di F in modo diretto: parametrizzando in modo naturale i quattro tratti del bordo S e tenendo presente la corretta orientazione (secondo la quale partiremo ad esempio dal punto (,, ), percorreremo l arco alto di circonferenza fino a (,, ), scenderemo l arco di parabola fino a (,, ), quindi percorreremo l arco basso di circonferenza fino a (,, ), per risalire infine a (,, ) lungo l arco di parabola) si ottiene S F dl = π ( α cos θ sin θ, sin θ α, ) ( sin θ, cos θ, ) dθ + (αx, α( ), ) (,, x) dx + π (α cos θ sin θ, sin θ, ) ( sin θ, cos θ, ) dθ + (αx, α( ), ) (,, x) dx = π + α + π α = π, come ottenuto poco fa. () Ex.. () Ex.. () Ex.. () Ex..