Regressione e correlazione

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1 Regressone e correlazone Corso d statstca socale prof. Natale Carra - Unverstà degl Stud d Bergamo a.a

2 Regressone Questo modello d anals bvarata esamna le relazon fra coppe d varabl contnue. Un utle strumento per approccare l modello è quello d vsualzzare le modaltà n cu due varabl contnue covarano.

3 Il dagramma d dspersone Costruto un dagramma cartesano, ponamo valor della varable ndpendente sull asse e quell della varable dpendente su Y Y

4 Il dagramma d dspersone In corrspondenza delle coordnate e Y s tracca un punto Y

5 Il dagramma d dspersone L nseme d quest rappresenta le modaltà d covarazone Y

6 Esempo per la regressone - tabella Arrv e presenze negl esercz rcettv per resdenza de clent e provnca - 00 Provnce Torno Vercell Bella Verbano-Cuso-Ossola Novara Cuneo Ragusa Sracusa Sassar Nuoro Orstano Caglar Permanenza talan 3,1 5,13 3,41 3,8 3,10 3,4.. 3,53 3,67 5,47 6,78 3,58 5,18 Permanenza straner 3,06 3,06,96 3,98,68,5.. 6,65,83 5,3 6,14 3,16 5,19

7 Esempo per la regressone - grafco Arrv e presenze negl esercz rcettv per resdenza de clent e provnca - 00 Straner Italan

8 Regressone (lneare) bvarata Le relazon fra coppe d varabl contnue sono postulate lnear In termn algebrc, l equazone lneare è: Y = a + b dove: a corrsponde al punto n cu la retta ncroca l asse cartesano vertcale (Y) b esprme l nclnazone della retta

9 Equazone predttva Il valore assunto dalla varable dpendente per cascuna osservazone, è funzone lneare esatta del corrspondente valore della varable ndpendente. Y ˆ = a + b Y

10 Modello d regressone lneare I dat emprc non seguono ma relazon lnear perfette, dunque: Y = a + b + Y e L errore e rappresenta la porzone del valore Y n non predetta dalla sua relazone lneare con. L errore e è detto anche resduo.

11 Modello d regressone lneare L errore e è detto anche resduo perché: [ a b e ] [ a b ] e Y Y Y Y ˆ = = L anals d regressone stma valor d a e b utlzzando dat osservat. Compto del modello è mnmzzare resdu

12 Stma dell equazone Crtero de mnm quadrat N ( ) Y Y = = 1 ˆ N = 1 e La somma delle dfferenze (al quadrato) deve essere mnma.

13 Coeffcente d regressone La stma de mnm quadrat per l coeffcente d regressone bvarata è calcolato così: b Y ( )( ) Y Y ( ) =

14 Intercetta La stma dell ntercetta è pù semplce e s rcava conoscendo l coeffcente e le mede delle N osservazon dsponbl: a = Y b Y

15 L esempo d applcazone Provnce Torno Vercell Bella Verbano-Cuso-Ossola Novara Cuneo Ragusa Sracusa Sassar Nuoro Orstano Caglar Permanenza talan 3,1 5,13 3,41 3,8 3,10 3,4.. 3,53 3,67 5,47 6,78 3,58 5,18 Permanenza straner 3,06 3,06,96 3,98,68,5.. 6,65,83 5,3 6,14 3,16 5,19 = 4,37 Y = 4,00

16 L esempo d applcazone Provnce Torno Vercell Bella Verbano-Cuso-Ossola Novara Cuneo Ragusa Sracusa Sassar Nuoro Orstano Caglar Y Y ( Y Y )( ) -0,99-1,05 1,04 ( ) 0,99 0,93-1,05-0,97 0,86-0,79-1,15 0,91 0,63-0,9-0,13 0,1 0,85-1,10-1,43 1,57 1,1-0,78-1,59 1,4 0,61-0,67,54-1,71 0,45-0,53-1,8 0,68 0,8 1,7 1,13 1,4 1,60,58,03 5,4 6,64-0,63-0,95 0,60 0,39 0,98 1,08 1,06 0,96 7,41 67,81

17 L esempo d applcazone - rsultat b Y = ( )( ) Y Y ( ) = 0,8491 a = Y b Y = 0,540 Yˆ = 0, , 8491

18 Coeffcente d regressone Il numeratore d b Y dvso per N 1 determna la covaranza, ndcata come s Y : s Y ( Y Y )( ) = N 1 Il denomnatore d b Y dvso per N 1 determna la varanza, ndcata come s : s ( ) = N 1

19 Coeffcente d regressone Poché N 1 compare al denomnatore d covaranza e varanza, nel rapporto d queste vene elmnato s s Y = ( Y )( Y )( N 1) ( ) ( N 1) Allora lo stmatore può essere così espresso: b = Y s s Y