Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del f(x, y) = 2 x 2 y 2 x y 2 + x y

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1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio punti Data la funzione fx, y x y x y + x y i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; ii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω x, y R : y, x, y x + } Esercizio 8 punti Calcolare l integrale x y Ω x + y 5 dx dy dove Ω x, y R : x, y, x + y, y x } Esercizio punti Data la superficie Σ x, y, z R : x + y e z }, z i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P,, ; ii calcolare il volume del solido V x, y, z R : x + y e z, z, y, x e z }

2 Svolgimento Esercizio Data la funzione fx, y x y x y + x y i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; La funzione è un polinomio definito su tutto R, dunque è anche differenziabile su tutto R Per trovare i punti critici dobbiamo dunque risolvere il sistema fx, y, ossia y 4x y + x x 4y + Studiando la prima equazione si ottiene che il sistema è equivalente a y x x 4y + 4x y + x x 4y + Nel primo sottosistema, sostituendo y nella seconda troviamo xx +, quindi due soluzioni C e C Nel secondo sottosistema, ricaviamo dalla prima y 4x +, che sostituita nella seconda porta a x x Otteniamo quindi altre due soluzioni C e C 4 Per caratterizzare i quattro punti critici andiamo a calcolare la matrice Hessiana di f Osserviamo che essendo f un polinomio, è una funzione differenziabile due volte su tutto il dominio, dunque la matrice Hessiana sarà simmetrica In particolare troviamo 4y 4x 4y + Hfx, y 4x 4y + 4x Sostituendo i punti critici troviamo: HfC Hf,, si ha det HfC <, dunque C è punto di sella; HfC Hf,,

3 si ha det HfC <, dunque C è punto di sella; HfC Hf,, si ha det HfC <, dunque C è punto di sella; HfC 4 Hf,, si ha det HfC 4 > e tr HfC 4 4 >, dunque C 4 è punto di minimo locale ii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω x, y R : y, x, y x + } L insieme Ω è il triangolo rappresentato nella figura Figure : L insieme Ω Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume su eventuali punti di non differenziabilità, sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω e sugli eventuali spigoli del bordo La funzione f è un polinomio e dunque non ha punto di non differenziabilità I punti critici liberi sono stati trovati al punto i, quelli interni a Ω sono C e C 4 Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω Gli spigoli sono i punti S, S e S Il bordo lo dividiamo in tre parti: Γ x, y }, Γ y x +, x },

4 Γ y, x } Per quanto riguarda Γ, possiamo usare la parametrizzazione γ t, t, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t fγ t t + t, t [, ] Risulta g t 4t +, dunque c è un solo punto critico interno all intervallo [, ] in t 4, cui corrisponde il punto critico vincolato Q γ 4 Per quanto riguarda Γ, possiamo usare la parametrizzazione γ t t, t +, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t fγ t t t, t [, ] Risulta g t t, dunque c è un solo punto critico interno all intervallo [, ] in t, cui corrisponde il punto critico vincolato Q γ Infine, per quanto riguarda Γ, possiamo usare la parametrizzazione 4 γ t t,, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t fγ t, t [, ] Essendo la funzione costante, tutti i punti di Γ sono critici vincolati, e il valore della funzione in questi punti è uguale a quello sugli estremi S ed S I valori che dobbiamo confrontare sono dunque fc, fc 4 8, fs fs, fs, fq 9 8, fq 4, Dunque il massimo di f è 9 8 e il minimo è 4

5 Figure : L insieme Ω Esercizio Calcolare l integrale Ω x y x + y 5 dx dy dove Ω x, y R : x, y, x + y, y x } L insieme Ω è rappresentato nella figura La funzione da integrare e il dominio suggeriscono di risolvere l integrale usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψρ, θ x, y con x ρ cos θ y ρ sin θ e det J ψ ρ, θ ρ Dunque ponendo S l insieme tale che ψs Ω, abbiamo Ω x y x + y 5 dx dy S cos θ sin θ dρ dθ Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice troviamo Dalla definizione di Ω S ρ, θ [, + [, ] : ρ cos θ, ρ sin θ, ρ, ρ sin θ ρ cos θ } Le prime tre condizioni ci dicono che ρ [, ] e θ [, ] L ultima condizione per S si riscrive, trattandola come una disequazione di secondo grado in ρ, come sin θ sin θ + 8 cos θ 4 cos θ ρ sin θ + sin θ + 8 cos θ 4 cos θ Osserviamo che la funzione a sinistra è negativa per θ [, ], dunque mettendo insieme tutte le condizioni otteniamo l insieme S rappresentato nella figura con ρ sulle ascisse e θ sulle ordinate 5

6 Figure : L insieme S Per scriverlo come insieme semplice dobbiamo trovare θ [, ] tale che sin θ + sin θ + 8 cos θ 4 cos θ Risolvendo l equazione, o osservando che cos θ, sin θ sono le coordinate del punto di intersezione tra x + y e y x, ricaviamo che θ Possiamo quindi scrivere S come unione di due insiemi semplici, usando sin θ + 8 cos θ + 7 cos θ, S ρ, θ : θ, ρ sin θ + } + 7 cos θ 4 cos ρ, θ : θ θ }, ρ Dunque 4 Ω sin θ+ +7 cos θ 4 cos θ x y x + y 5 cos θ sin θ ρ dx dy cos θ sin θ dρ dθ + sin θ+ +7 cos θ 4 cos θ S cos θ sin θ dρ dθ dθ + cos θ sin θ + cos θ sin θ + 7 cos θ sin θ cos θ cos θ sin θ dρ dθ cos θ sin θ ρ dθ dθ cos4 θ cos θ sin θ dθ Esercizio Data la superficie Σ x, y, z R : x + y e z }, z

7 i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P,, ; La superficie Σ è scritta come insieme di livello della funzione differenziabile F x, y, z x + y e z + che verifica F x, y, z x y e z e F P F,, Quindi P è un punto regolare per Σ, e l equazione cartesiana del piano tangente a Σ in P è data da x + y z ii calcolare il volume del solido } V x, y, z R : x + y e z, z, y, x e z Si tratta del solido di rotazione della forma Ṽ x, y, z R : a z b, x + y g z } dove a log, b e gz e z, osserviamo infatti che per z si ha gz per z [ log, ], intersecato con l insieme y, x } gz Calcoliamo il volume di V integrando per strati, usando la formula VolumeV dxdydz dxdy dz V log dove per ogni z [ log, ] V z x, y R : x + y g z, y, x } gz Svolgendo quindi prima l integrale su V z usando le coordinate polari x ρ cos θ con ρ, θ, + [, ], y ρ sin θ V z 7

8 otteniamo dove dxdy V z S z ρ dρdθ S z ρ, θ, + [, ] : ρ g z, ρ sin θ >, ρ cos θ } gz Le prime tre condizioni ci dicono che per ogni z [ log, ] fissato [ ρ [, gz] e θ, ] L ultima condizione per S si riscrive come ρ gz cos θ, dove abbiamo usato che cos θ > per θ [, ] Dunque mettendo insieme tutte le condizioni otteniamo l insieme S rappresentato nella figura 4 per z, con ρ sulle ascisse e θ sulle ordinate Figure 4: L insieme S Per scriverlo come insieme semplice dobbiamo trovare θ [, ] tale che gz cos θ gz cos θ θ Possiamo quindi scrivere S come unione di due insiemi semplici S z ρ, θ : θ, ρ gz } ρ, θ : cos θ θ }, ρ gz Quindi V z S z dxdy ρ dρdθ gz cos θ ρ dρ dθ + gz ρ dρ dθ 8

9 g z 8 cos θ dθ + g z dθ g z 8 tan + g z g z Tornando allora al calcolo del volume di V troviamo, ponendo g z e z, 8 + VolumeV log V z dxdy dz 8 + e z dz log 8 + e z z log 8 + e log 9

10 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito B del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio punti Data la funzione fx, y x y x y x y i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; ii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω x, y R : y, x, x + y } Esercizio 8 punti Calcolare l integrale x y Ω x + y 5 dx dy dove Ω x, y R : x, y, x + y 4, x y } Esercizio punti Data la superficie Σ x, y, z R : x + y z +, z } i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P,, ; ii calcolare il volume del solido V x, y, z R : x + y z +, z, x, y } z +

11 Svolgimento Esercizio Data la funzione fx, y x y x y x y i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; La funzione è un polinomio definito su tutto R, dunque è anche differenziabile su tutto R Per trovare i punti critici dobbiamo dunque risolvere il sistema fx, y, ossia y y x x y x Studiando la prima equazione si ottiene che il sistema è equivalente a y x y x y x x y x Nel primo sottosistema, sostituendo y nella seconda troviamo xx +, quindi due soluzioni C e C Nel secondo sottosistema, ricaviamo dalla prima y x +, che sostituita nella seconda porta a x9x + Otteniamo quindi altre due soluzioni 9 C e C 4 Per caratterizzare i quattro punti critici andiamo a calcolare la matrice Hessiana di f Osserviamo che essendo f un polinomio, è una funzione differenziabile due volte su tutto il dominio, dunque la matrice Hessiana sarà simmetrica In particolare troviamo y y x Hfx, y y x x Sostituendo i punti critici troviamo: HfC Hf,, si ha det HfC 4 <, dunque C è punto di sella; HfC Hf, 4,

12 si ha det HfC 4 <, dunque C è punto di sella; HfC Hf,, si ha det HfC 4 <, dunque C è punto di sella; HfC 4 Hf 9, 4 4 9, si ha det HfC 4 4 > e tr HfC <, dunque C 4 è punto di massimo locale ii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω x, y R : y, x, x + y } L insieme Ω è il triangolo rappresentato nella figura Figure 5: L insieme Ω Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume su eventuali punti di non differenziabilità, sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω e sugli eventuali spigoli del bordo La funzione f è un polinomio e dunque non ha punto di non differenziabilità I punti critici liberi sono stati trovati al punto i, l unico interno a Ω è C 4 Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω Gli spigoli sono i punti S, S e S Il bordo lo dividiamo in tre parti: Γ x, y }, Γ y x, x },

13 Γ y, x } Per quanto riguarda Γ, possiamo usare la parametrizzazione γ t, t, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t fγ t t t, t [, ] Risulta g t t, dunque non ci sono punti critici interni all intervallo [, ], dunque non ci sono punti critici vincolati da considerare Per quanto riguarda Γ, possiamo usare la parametrizzazione γ t t, t, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t fγ t 4t 8t, t [, ] Risulta g t t t, dunque ci sono due punti critici interni all intervallo [, ] in t e t 4, cui corrispondono i punti critici vincolati Q γ e Q γ 4 Infine, per quanto riguarda Γ, possiamo usare la parametrizzazione γ t t,, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t fγ t, t [, ] Essendo la funzione costante, tutti i punti di Γ sono critici vincolati, e il valore della funzione in questi punti è uguale a quello sugli estremi S ed S I valori che dobbiamo confrontare sono dunque Dunque il massimo di f è fc 4 8 8, fs fs, fs, fq, fq 8 7, e il minimo è Esercizio Calcolare l integrale Ω x y x + y 5 dx dy

14 Figure : L insieme Ω dove Ω x, y R : x, y, x + y 4, x y } L insieme Ω è rappresentato nella figura La funzione da integrare e il dominio suggeriscono di risolvere l integrale usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψρ, θ x, y con x ρ cos θ y ρ sin θ e det J ψ ρ, θ ρ Dunque ponendo S l insieme tale che ψs Ω, abbiamo Ω x y x + y 5 dx dy S cos θ sin θ dρ dθ Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice troviamo Dalla definizione di Ω S ρ, θ [, + [, ] : ρ cos θ, ρ sin θ, ρ 4, ρ cos θ ρ sin θ } Le prime tre condizioni ci dicono che ρ [, ] e θ [, ] L ultima condizione per S si riscrive, trattandola come una disequazione di secondo grado in ρ, come cos θ cos θ + 8 sin θ sin θ ρ cos θ + cos θ + 8 sin θ sin θ Osserviamo che la funzione a sinistra è negativa per θ [, ], dunque mettendo insieme tutte le condizioni otteniamo l insieme S rappresentato nella figura 7 con ρ sulle ascisse e θ sulle ordinate Per scriverlo come insieme semplice dobbiamo trovare θ [, ] tale che cos θ + cos θ + 8 sin θ sin θ 4

15 Figure 7: L insieme S Risolvendo l equazione, o osservando che cos θ, sin θ sono le coordinate del punto di intersezione tra x + y 4 e x y, ricaviamo che θ Possiamo quindi scrivere S come unione di due insiemi semplici, usando cos θ + 8 sin θ + 7 sin θ, S ρ, θ : θ }, ρ ρ, θ : θ, ρ cos θ + } + 7 sin θ sin θ Dunque Ω x y x + y 5 dx dy cos θ sin θ dρ dθ + cos θ sin θ dρ dθ S cos θ+ +7 sin θ sin θ cos θ sin θ ρ dθ + cos θ sin θ ρ cos θ sin θ dθ + cos θ sin θ + cos θ sin θ cos θ sin θ dρ dθ cos θ+ +7 sin θ sin θ sin4 θ + cos θ sin θ dθ + 7 sin θ dθ Esercizio Data la superficie Σ x, y, z R : x + y z +, z } i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P,, ; 5

16 La superficie Σ è scritta come insieme di livello della funzione differenziabile F x, y, z x + y z che verifica F x, y, z x y z e F P F,, Quindi P è un punto regolare per Σ, e l equazione cartesiana del piano tangente a Σ in P è data da x + y z ii calcolare il volume del solido V x, y, z R : x + y z +, z, x, y } z + Si tratta del solido di rotazione della forma Ṽ x, y, z R : a z b, x + y g z } dove a, b e gz z +, osserviamo infatti che per z si ha gz per z [, ], intersecato con l insieme x, y gz } Calcoliamo il volume di V integrando per strati, usando la formula VolumeV dxdydz dxdy dz V dove per ogni z [, ] V z x, y R : x + y g z, x, y } gz Svolgendo quindi prima l integrale su V z usando le coordinate polari x ρ cos θ con ρ, θ, + [, ], y ρ sin θ otteniamo dove dxdy V z S z ρ dρdθ S z ρ, θ, + [, ] : ρ g z, ρ cos θ >, ρ sin θ } gz V z

17 Le prime tre condizioni ci dicono che per ogni z [, ] fissato [ ρ [, gz] e θ, ] L ultima condizione per S si riscrive come ρ gz sin θ, dove abbiamo usato che sin θ > per θ [, ] Dunque mettendo insieme tutte le condizioni otteniamo l insieme S rappresentato nella figura 8 per z, con ρ sulle ascisse e θ sulle ordinate Figure 8: L insieme S Per scriverlo come insieme semplice dobbiamo trovare θ [, ] tale che gz sin θ gz sin θ θ Possiamo quindi scrivere S come unione di due insiemi semplici S z ρ, θ : θ }, ρ gz ρ, θ : θ, ρ gz } sin θ Quindi V z S z dxdy ρ dρdθ g z dθ + gz ρ dρ g z 8 sin θ dθ g z + g z 8 dθ + tan gz sin θ ρ dρ dθ g z + 8 Tornando allora al calcolo del volume di V troviamo, ponendo g z z +, VolumeV dxdy dz V z + z + dz z4 + z 7 + 7