MODELLAZIONE NUMERICA AI VOLUMI FINITI DI MOTI A SUPERFICIE LIBERA LA SIMULAZIONE DI EVENTI NATURALI

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "MODELLAZIONE NUMERICA AI VOLUMI FINITI DI MOTI A SUPERFICIE LIBERA LA SIMULAZIONE DI EVENTI NATURALI"

Transcript

1 XXX Convegno di Idraulica e Costruzioni Idrauliche - IDRA 2006 Master Class: Modelli numerici di correnti fluviali su fondo fisso e fondo mobile MODELLAZIONE NUMERICA AI VOLUMI FINITI DI MOTI A SUPERFICIE LIBERA LA SIMULAZIONE DI EVENTI NATURALI Lorenzo Begnudelli 1 (1) Dipartimento di Ingegneria, Università degli Studi di Ferrara Ferrara (IT) Parole chiave: idrodinamica delle acque basse, meccanica dei fluidi, simulazione numerica. SOMMARIO In questa memoria vengono presentati due modelli numerici ai volumi finiti per la soluzione delle equazioni alle acque basse (su mesh costituite da celle triangolari o quadrangolari) e la loro applicazione alla simulazione di inondazioni dovuti ad eventi di crollo diga. I modelli numerici, di tipo-godunov, sono basati sullo stesso schema, sono accurati al secondo ordine nel tempo e nello spazio, ed utilizzano una nuova tecnica di trattamento delle celle parzialmente sommerse. Ciò conferisce al modello robustezza, accuratezza e perfetta conservazione della massa anche in simulazioni di fenomeni in cui ampie parti del dominio sono soggette a fenomeni di wetting/drying. Delle applicazioni che verranno mostrate, due sono relative ad eventi realmente accaduti e dei quali sono disponibili testimonianze, dati e ricostruzioni. L ultima simulazione, invece, riguarda un evento non accaduto ma del quale si sono volute studiare le possibili conseguenze elaborando diversi scenari a scopo di protezione civile. Oltre che i risultati delle simulazioni, verrà illustrato il particolare approccio seguito nell esecuzione delle simulazioni stesse. 1 INTRODUZIONE Le equazioni alle acque basse sono largamente utilizzate nella simulazione e modellazione dell idrodinamica di fiumi, canali, laghi, lagune, zone costiere e estuari, ed eventi quali inondazioni successive al crollo di dighe o argini fluviali. E stato sviluppato un modello numerico sviluppato risolve le equazioni alle acque basse attraverso uno schema di integrazione numerica ai volumi finiti. In particolare, sono state create due versioni del modello, una basata su una mesh non strutturata di celle triangolari ed una su un mesh strutturata di celle quadrangolari, per studiare pro e contro di ciascuna soluzione. Gran parte delle importanti applicazioni che verranno descritte nel seguito riguarda domini dalla geometria e topografia molto complesse, ed è estremamente importante disporre di modelli robusti ed accurati in grado di affrontare la più ampia varietà possibile di applicazioni pratiche, con ogni regime di moto (eventi di crollo-diga, moto di fiumi, laghi, estuari, lagune) in cui ampie parti del dominio sono soggette a wetting/drying. Sono stati affrontati in particolare i seguenti problemi Trattamento dei termini sorgente dovuti alla pendenza del fondo nelle SWEs Questo tema è stato sviluppato elaborando una nuova tecnica di trattamento dei termini sorgente (Valiani e Begnudelli 2006). Questo argomento non verrà trattato qui in quanto già presentato in un altro articolo presentato al XXX Convegno di Idraulica e Costruzioni Idrauliche (Begnudelli e Valiani 2006). Trattamento delle celle parzialmente sommerse (frontiera wet/dry) 77

2 L. Begnudelli E stata sviluppata una nuova tecnica di trattamento delle celle parzialmente sommerse che verrà descritta nel seguito. In particolare, importanti requisiti che un modello idraulico dovrebbe verificare e che molto spesso sono violati in caso di presenza di frontiera mobile tra zona asciutta e zona sommersa sono: 1) Il modello deve conservare la massa e non deve generare oscillazioni spurie (frontiera wet/dry); 2) Nel caso di simulazione del trasporto di scalari, il modello deve conservare la massa disciolta e non deve introdurre concentrazioni / diluizioni spurie. 2 MODELLO MATEMATICO Come già accennato, il modello numerico utilizzato è basato sulle equazioni alle acque basse (SWE). Esse sono costituite da un equazione di bilancio di massa e due equazioni di bilancio di quantità di moto (in direzioni x ed y) mediate lungo la verticale, derivate sotto alcune ipotesi standard. Le SWE possono essere scritte in forma conservativa come (Liggett 1994) U + F + G = S + S (1) 0 f t x y dove U è il vettore delle variabili conservative, F e G sono vettori di flusso in direzione x, y e S 0 e S f sono termini sorgente. Tali vettori sono così definiti Uh h Vh h U= Uh ; F= U h g ; UVh ; ghs 0x ; ghs + fx 2 G= S = = 0 S f (2) Vh 2 ghs 2 h 0 y ghs UVh fy V h+ g 2 dove: h = profondità; U, V = componenti lungo x, y della velocità (valori mediate sulla veriticale); S 0x, S 0 y e S fx, S fy = componenti cartesiane dei termini rispettivamente della pendenza del fondo e della pendenza d attrito. S 0x, S 0 y e S fx, S fy costituiscono i termini sorgente rispettivamente corrispondenti alla pendenza del fondo ed alla resistenza al moto, e sono z S = b 0x 2 2 x Sfx = cd U U + V zb 2 2 S S 0 y = fy = cd V U + V y dove z b è la quota del fondo e c D è un coefficiente di drag che può essere trattato come una costante, calcolato a partire dal coefficiente di Manning come cd = gnmh o calcolato localmente in base alla sca brezza del fondo ed al numero di Reynolds (Haaland 1983). In forma integrale, considerando come dominio di integrazione una generica cella Ω di contorno Ω, le equazioni alle acque basse possono essere espresse come dω+ ( dx dy) = ( + ) dω t U Ω F G Ω t S0 Sf (4) Ω Analogamente, le equazioni di trasporto delle sostanze disciolte, trattate come scalari passivi, sono e- spresse in forma integrale come dω+ ( dx dy) = dω t Q Ω FQ GQ Ω t SQ (5) Ω (3) 78

3 Modellazione ai volumi finiti di eventi naturali dove Q è il vettore delle concentrazioni integrate sulla verticale degli N scalari modellati, F Q e G Q i vettori di flusso in direzione x, y ed S Q il vettore dei termini sorgente (che può rappresentare sorgenti puntuali, diffuse o reazioni): hϕ 1 huϕ 1 hvϕ 1 s 1 hϕ 2 huϕ 2 hvϕ 2 s 2 Q= ; ; ; FQ = GQ = SQ = (6) hϕ N huϕ N hvϕ N s N dove φ i è la concentrazione mediata sulla verticale dello scalare i-esimo. Queste equazioni ignorano i fenomeni di diffusione e dispersione che non sono stati presi in considerazione in questo studio. 3 GRIGLIA DI CALCOLO Sono state create due versioni del modello numerico, una basata su una mesh non strutturata di celle triangolari ed una su un mesh strutturata di celle quadrangolari. Ciò è stato fatto per valutare pro e contro di ciascun tipo di griglia di calcolo, in termini di facilità di generazione, versatilità, e tempi di calcolo. Le celle triangolari presentano diversi vantaggi per qualunque applicazioni pratica che riguardi sistemi idrici dalla geometria complessa: Facile generazione attraverso algoritmi di triangolazione (Delaunay) Facile raffittimento locale della griglia Trattamento più semplice delle celle parzialmente sommerse Il principale svantaggio che è stato riscontrato nell uso di griglie a maglia triangolare è che, in problemi con geometria semplice, come casi test in canali rettangolari ed idrodinamica fondamentalmente 1D, per avere la stessa accuratezza ottenuta con griglie a maglia quadrangolare, occorre utilizzare almeno il doppio delle celle. In questo tipo di casi test, infatti, il modello beneficia dell allineamento tra moto e direzione delle maglie della griglia. Tuttavia, nei problemi reali raramente si ritrovano geometrie così semplici. 4 MODELLO NUMERICO Sono stati utilizzati, come già anticipato, due schemi ai volumi finiti: uno basato su una mesh non strutturata di celle triangolari ed uno su una mesh strutturata di celle quadrangolari. Per entrambi i casi, la struttura del modello numerico è la stessa, ed è presentata in Fig. (1). Viene di seguito riportata una breve descrizione delle singole parti dell algoritmo. Maggiori dettagli su ogni singolo punto possono essere trovati in Begnudelli and Sanders (2006). Pre-Processing: Caricamento della griglia di calcolo e delle condizioni iniziali ed al contorno; elaborazione della metrica (Begnudelli and Sanders 2006). Definizione celle wet/dry: Ogni cella viene definita wet o dry: se tutti i nodi della cella sono sommersi con una profondità maggiore di una certa tolleranza δ w, questa la cella è classificata wet, altrimenti dry. Slopes limiting: I gradienti delle variabili di stato vengono calcolati in ogni cella in base ai valori (cellcentered) nelle celle vicine oppure in base ai valori ai nodi della cella (ottenuti per interpolazione). L operazione di limiting impone che non si generino nuovi massimi ai punti medi delle interfacce tra celle (oppure ai nodi, ma in questo caso il limiter risulta più diffusivo). La tecnica utilizzata è la LCD, Limiting Central Differencing (Hubbard 1999). Predictor: Risolve le equazioni alle acque basse espresse in forma differenziale, e solo nelle celle definite come wet (Bradford e Sanders 2005) 79

4 L. Begnudelli Valutazione dei flussi all interfaccia: Il flusso numerico all interfaccia è calcolato attraverso il solutore di Roe, utilizzando i valori delle variabili di stato ottenute attraverso una ricostruzione MUSCL (Monotone Upwind Scheme for Conservation Laws) delle variabili. Corrector: Il passo corrector risolve le SWE in conservativa (Bradford e Sanders 2005), nelle celle dry viene risolta la sola equazione di continuità. Trasporto Scalari: Le equazioni di trasporto degli scalari sono risolte usando la stessa mesh, gli stesso passi temporali, ed applicando la stessa tecnica predictor-corrector usata per il fluido. Figura 1. Scherma a diagramma di flusso del codice numerico. 4.1 Celle Parzialmente Sommerse Le celle parzialmente sommerse NON sono correttamente rappresentate dall altezza d acqua nel baricentro. Per esempio, se una cella parzialmente bagnata contiene fluido, ma non a sufficienza per sommergere il baricentro, la profondità media (h) è un numero positivo, mentre la profondità misurata rispetto al baricentro è un numero negativo: 80

5 Modellazione ai volumi finiti di eventi naturali Le equazioni Volume/Free-surface Relationships (VFRs) legano il volume di fluido contenuto nella cella alla quota del pelo libero: Rendono più facile e precisa la ricostruzione delle variabili all interfaccia e la valutazione dei flussi Permettono una esatta conservazione delle massa di fluido e scalari, e trascurabili concentrazioni/diluizioni spurie dei soluti Possono essere incorporate in qualsiasi modello ai volumi finiti, vbasati su celle triangolari o quadrangolari 4.2 VFRs per celle triangolari Le equazioni che legano le quota del pelo libero ed il contenuto di fluido in una cella dipendono dal numero di nodi della cella che sono sommersi dal fluido. Le possibili equazioni, ricavate da semplici considerazioni di geometria solida, sono riportate qui di seguito. Nelle seguenti equazioni, z 1, z 2 e z 3 sono le quote dei 3 nodi della generica cella, tali che: z 1 z 2 z 3. La quota del pelo libero è indicata con η, il volume di fluido contenuto nella cella con V e l area della cella con A. z < η z z3 < η 2 3 z < η z 1 2 Range z1 < η z2 3 V ( η z1 ) h = = A 3( z z )( z z ) (7) η = z + 3 3h( z z )( z z ) (8) Range z2 < η z V η + ηz 3ηz z z + z z + z h = = A 3( z z ) 3 1 (9) 81

6 L. Begnudelli con: η= γ + γ γ γ1 = z3 z1 γ = hz1 3hz3 z3z2 z1z2 z1 (10) z3 < η η = h+ z con: c z c z + z + z = (11) Maggiori dettagli sono riportati su Begnudelli and Sanders (2006). 4.3 VFRs per celle quadrangolari Nel caso di celle quadrangolari, poiché i quattro nodi di una cella non giacciono in generale su un piano, si considera la cella quadrangolare come composta da 2 triangoli. Viene definito un criterio univoco di suddivisione della cella in base alle quote dei nodi della cella: a seconda della tipologia della cella, variano i coefficienti che compaiono nelle equazioni VFRs. Come per celle triangolari, n 1, n 2, n 3 e n 4 sono i 4 nodi della generica cella, e z 1, z 2, z 3 e z 4 sono le corrispondenti quote dei nodi tali che: z1 z2 z3 z4. Le figure seguenti illustrano le diverse tipologie di cella con diversi gradi di riempimento. Tipo 1: n 1 e n 4 (i nodi con quota maggiore e minore) non sono adiacenti (sono gli estremi di una delle due diagonali). La cella è divisa in due triangoli dalla diagonale che connette i nodi n 1 e n 4 : 82

7 Modellazione ai volumi finiti di eventi naturali Tipo 2: n 1 e n 4 (i nodi con quota maggiore e minore) sono adiacenti ed n 2 è adiacente ad n 1. La cella è divisa in due triangoli dalla diagonale che connette i due nodi n 2 e n 4 Tipo 3: n 1 e n 4 sono adiacenti ed n 2 è adiacente ad n 4 (è il caso meno frequente). La cella è divisa in due triangoli dalla diagonale che connette i due nodi n 3 e n 4 : A seconda del numero di nodi sommersi dal fluido, le equazioni VFRs nel caso di celle quadrangolari (per qualsiasi tipologia di cella) sono: z1 < η z2 z2 < η z3 h= α ( η z ) 3 (12) 1, ,3 2,2 2,1 2,0 h = α η + α η + α η+ α (13) 83

8 L. Begnudelli z3 < η z4 2 3,2 3,1 3,0 h = α η + α η+ α (14) z4 < η h = η+ α 4,0 (15) I coefficienti che compaiono nelle equazioni (12) - (15) dipendono dalla tipologia di cella e non sono qui riportati per motivi di spazio (si rimanda a Begnudelli e Sanders 2007). Nel caso z2 < η z3 l equazione cubica è risolta con il metodo di Newton Raphson, con valore di tentativo iniziale η = ( z2 + z3)/2. Nel caso z3 < η z4 l equazione da risolvere è di secondo grado, e la sola soluzione accettabile è quella che appartiene all intervallo [ z3, z 4]. 4.4 Incorporazione delle equazioni VFRs nella struttura dell algoritmo Le equazioni VFRs sono risolte nel modello sia nella loro forma diretta (calcolare h dato η ) sia nella forma inversa (calcolare η dato h). In particolare, nella fase di pre-processing, data la quota del pelo libero η in ogni cella (che costituisce le condizioni iniziali) viene calcolato il volume di fluido presente in ogni cella, e quindi h. Durante la simulazione, ad ogni passo temporale di integrazione numerica, dopo il corrector, a partire dal valore di h aggiornato in funzione dei flussi fra le celle, si applicano invece le VFRs in senso opposto per calcolare in nuovo valore aggiornato di η che viene utilizzato poi al passo di calcolo successivo per valutare lo status wet/dry della cella e per la ricostruzione della quota del pelo libero all interfaccia fra le celle. 5 VERIFICA DEL MODELLO NUMERICO Il modello numerico è stato verificato eseguendo una serie di casi test classici: crollo diga su fondo asciutto e bagnato, e moto permanente su bump parabolico nei tre casi di moto subcritico, moto con transizione per lo stato critico senza shock, e moto transcritico con shock. Le performances del modello in questi casi test sono state anche utilizzate per ottimizzare le procedure di calcolo dei gradienti, limiting e calcolo del flusso numerico, scegliendo le procedure che hanno mostrato le migliori prestazioni in termini di accuratezza, stabilità, e tempo di calcolo. Maggiori dettagli a riguardo possono essere reperiti su Begnudelli e Sanders (2006). 5.1 Crollo diga su 3 bumps conici Un ulteriore caso test è stato utilizzato per verificare i miglioramenti nella prestazione del modello introdotti dall utilizzo delle VFRs. Il caso test consiste in un crollo diga su fondo asciutto con tre ostacoli a forma conica presenti a valle della diga. Il canale utilizzato in questo problema è a sezione rettangolare (eccetto che nelle sezioni ove sono presenti gli ostacoli conici), lungo 75 m e largo 30 m. I tre ostacoli conici hanno i vertici in coordinate (x, y) = (30, 6), (30, 24) e (47.5, 15) m, le altezze dei coni sono 1 m, 1 m e 3 m rispettivamente e le la pendenze sono 1:8, 1:8 e 3:10 rispettivamente. La diga si trova alla posizione x = 16m, e la quota del pelo libero a monte è η = m: l acqua è in quiete ed in essa si trova disciolta una sostanza con concentrazione φ = 1. All istante t = 0 s la diga viene istantaneamente rimossa, e l acqua si riversa verso valle. L evento è stato simulato per 8 s con un passo temporale di t = 0.01 s, dapprima non utilizzando le equazioni VFRs (considerando η = h + z c e considerando la cella vuota per 84

9 Modellazione ai volumi finiti di eventi naturali valori di profondità inferiori ad una piccola tolleranza δ w ) e poi introducendo le VFRs ed utilizzando il modello come descritto in precedenza. Qui di seguito sono riportati i risultati delle due simulazioni, ed in particolare: A) plot della superficie libera per t = 8 s, B) plot dei vettori di velocità, C) concentrazione dello scalare trasportato. Alcune considerazioni: Senza VFRs, l errore sulla conservazione della massa è ERR = 0.14%, mentre Con VFRs, l errore sulla conservazione della massa è ERR < (errore di macchina) Gli stessi errori si ritrovano nella quantità di scalare disciolto. La soluzione è in entrambi i casi smooth ed i campi di velocità non differiscono sensibilmente Senza VFRs, la concentrazione/diluizione artificiale dello scalare tocca il 10% Con VFRs, la concentrazione/diluizione artificiale dello scalareraggiunge al massimo lo 0.01% (è quindi trascurabile quindi per un gran numero di applicazioni) Figura 2. Test Crollo diga su 3 ostacoli conici: risultati senza VFRs. 85

10 L. Begnudelli Figura 3. Test Crollo diga su 3 ostacoli conici: risultati con VFRs. 6 APPLICAZIONI PRATICHE / 1: CROLLO DELLA DIGA DI ST. FRANCIS La diga di St Francis (Fig. 4) era una diga a gravità in cemento, costruita tra il 1924 ed il 1926 dal Los Angeles Bureau of Water Works and Supply (ora Department of Water and Power), sotto la direzione dell ingegnere capo William Mulholland. La diga era situata nel San Francisquito Canyon, circa 15 km a nord di quella che ora è la città di Santa Clarita, California (Fig. 5). La diga era alta 57 metri, e la cresta lunga 213 metri; la capacità dell invaso era 47 milioni di metri cubi. Il crollo avvenne alle 23:57:30 (ora locale) del 12 marzo 1928, poco dopo che la diga era stata completamente riempita per la prima volta, fino ad appena sotto la cresta. 86

11 Modellazione ai volumi finiti di eventi naturali Figura 4. Diga di St Francis (foto concessa da: Santa Clarita Valley Historical Society) Figura 5. Diga di St. Francis e St. Francis Reservoir in California del Sud a nord di Los Angeles Dopo il crollo, l onda di sommersione avanzò dapprima verso Sud lungo il San Francisquito Canyon (SFC) verso quella che è ora Clarita, e poi verso Ovest lungo la Santa Clara Valley (SCV) verso Ventura, raggiungendo l Oceano Pacifico, a circa 87 km di distanza, in meno di 6 ore. Lungo il loro cammino, le acque travolsero 1000 case, 10 ponti, numerose strade e campi, e le vite di circa 500 persone. L ammontare dei danni è stato stimato a milioni di dollari dell epoca. Ci sono diverse interpretazioni sul meccanismo di rottura, ma è ormai accertato che una delle principali cause fu la presenza di cattive fondazioni. La storia della diga è ampiamente descritta da Outland (1963). 87

12 L. Begnudelli Figura 6. Diga di St. Francis riempita fino alla cresta. Figura 7. Diga di St. Francis dopo il crollo: un concio centrale della diga rimase in piedi Ciò che verrà descritto in seguito non è solo la descrizione della simulazione dell evento, ma anche di una metodologia di studio di fenomeni analoghi, e dell importanza che diversi fattori di incertezza possono avere sulla precisione dei risultati della simulazione. 88

13 Modellazione ai volumi finiti di eventi naturali 6.1 Metodologia di Studio Si può schematizzare la metodologia adottata nei seguenti passaggi: 1) Acquisizione della topografia (DEM) Per gli USA sono a disposizione i modelli del National Elevation Dataset (NED) con risoluzione 1 o 1/3 arc sec (secondi d arco), che possono essere scaricati gratuitamente dal sito dell USGS (http://seamless.usgs.com) 2) Creazione di una mesh computazionale Definizione del contorno Triangolazione (E stato usato il software Triangle (Shewchuk 1996), ottenibile on-line all indirizzo: Interpolazione delle quote dal DEM ai nodi della mesh A seconda della risoluzione richiesta, possono essere utilizzati datasets di diversa risoluzione per eseguire l interpolazione (Fig. 8). Figura 8. DEMs utilizzati nel presente studio. I diversi riquadri rappresentano le aree effettivamente scaricate dal sito e le corrispondenti risoluzioni. Possono essere imposti raffittimenti localizzati, o comunque essere scelte risoluzioni differenti per le diverse parti del dominio (Fig. 9) 89

14 L. Begnudelli Figura 9. Mesh computazionale con raffittimenti localizzati. 3) Definizione condizioni iniziali ed al contorno Il programma accetta come possibili condizioni iniziali la quota del pelo libero o la profondità (se costante) in una parte del dominio di calcolo (Fig. 10). Inoltre, può essere specificata una certa velocità iniziale e le concentrazioni iniziale di eventuali scalari trasportati. Come condizioni al contorno, il questo caso viene imposto il livello nell oceano (all estremità sud-ovest del dominio di calcolo), mentre altrove il contorno si comporta come un muro impermeabile. Figura 10. St Francis Reservoir: veduta prospettica delle condizioni iniziali. 90

15 Modellazione ai volumi finiti di eventi naturali 4) Esecuzione della simulazione 5) Raffittimenti localizzati selettivi Successivi raffittimenti localizzati della mesh di calcolo possono essere eseguiti in seguito alle prime simulazioni per aumentare la risoluzione della griglia nelle zone interessate dall evento. Differenti criteri possono essere scelti per definire i successivi raffittimenti, in questo caso si è scelto di affittire in corrispondenza delle celle che sono state sommerse nella simulazione precedente, dimezzando ogni volta l area massima (locale) delle celle. Mesh 1: celle Mesh 2: celle Mesh 3: celle 91

16 L. Begnudelli Mesh 4: celle 6.2 Comparazione tra simulazione e testimonianze storiche Le seguenti figure mostrano una comparazione tra l evento riprodotto dal modello e le testimonianze dell epoca, in particolare foto scattate subito dopo l evento stesso. La prima coppia di immagini (Figure 11 e 12) raffigura una vista da monte verso valle di un tratto del San Francisquito Canyon. Si può riconoscere in particolare in figura (11) una collina posta al centro della vallata, la cui sommità non fu sommersa dalle acque. Il corso principale rimane alla sinistra della collina, mentre sulla destra è presente una forcella che fu sommersa dall onda. In figura (12) si vede una raffigurazione della simulazione dell evento da parte del modello relativo alla stessa area, ed in particolare un inviluppo delle massime profondità raggiunte durante la simulazione. Figura 11. Vista da monte verso valle di un tratto del San Francisquito Canyon subito dopo l evento 92

17 Modellazione ai volumi finiti di eventi naturali Figura 12. Vista da monte verso valle di un tratto del San Francisquito Canyon, evento ricostruito dal modello. (Inviluppo delle massime profondità raggiunte durante la simulazione) Nella seconda coppia di immagini (Figure 13 e 14), la figura (13) raffigura due ricostruzioni dell area i- nondata nella Santa Clara Valley tra Saugus e Castaic Junction, una basata su foto aeree ortorettificate (Rogers and James 2003, in blu) ed una su testimonianze raccolte poco dopo l evento (Charles Lee, ca. 1928, in rosa). Figura 13. Ricostruzioni dell area inondata nella Santa Clara Valley tra Saugus e Castaic Junction, basate su foto aeree ortorettificate (Rogers and James 2003, in blu) e su testimonianze raccolte poco dopo l evento (Charles Lee, ca. 1928, in rosa) 93

18 L. Begnudelli La figura 14 invece rappresenta una simulazione dell evento ottenuta dal modello, corrispondente ad n = e crollo diga parziale. E evidenziata in fig. (13) la posizione della odierna Intestate 5, la principale arteria di comunicazione della California, che collega Los Angeles con San Francisco e Sacramento. Figura 14. ricostruzioni dell area inondata nella Santa Clara Valley tra Saugus e Castaic Junction, basate su una simulazione corrispondente a n = e crollo diga parziale 6.3 Validazione del Modello: Analisi di Sensitività Data la ricchezza di informazioni e dati sull evento, questo si presta in modo eccellente ad una validazione del modello. Sono infatti disponibili foto aeree scattate subito dopo l evento (che recenti studi hanno raccolto, ordinato ed ortorettificato), oltre a testimonianze dell epoca ed informazioni precise sul tempo di transito dell onda legati all istante di sommersione di tralicci e cabine di trasformazione. Occorre considerare che il modello deve ricevere come input due datasets sui quali si hanno incertezze: Topografia (DEM) Parametri di resistenza al moto (es: Manning, Chezy) Altri fattori a cui il modello è sensibile sono: Risoluzione della griglia Configurazione della breccia / rottura della diga Per valutare la sensitività del modello a tali elementi sono stati comparati i risultati di simulazioni corrispondenti a differenti: Risoluzioni della griglia (da Mesh 1 a Mesh 4) Valori del parametro di resistenza di Manning (n = 0.020, n = 0.025, n = ) Configurazioni della breccia (Crollo totale e crollo parziale, corrispondente al concio centrale di diga rimasto in piedi) in termini di: Area interessata dall inondazione Tempi di transito del fronte di sommersione 94

19 Modellazione ai volumi finiti di eventi naturali Figura 15. Localizzazione del St Francis Reservoir e delle sezioni considerate nella misura dei tempi di transito 6.4 Influenza della risoluzione della griglia sul tempo di transito La tabella (1) mostra i tempi di transito dell onda di sommersione alle sezioni A-A G-G (vedi Fig. 15) al variare della risoluzione della griglia computazionale, da Mesh 1 a Mesh 4. Tabella 1. Tempi di transito dell onda di sommersione al variare della Mesh. E evidente come il progressivo raffittimento della griglia di calcolo produca una riduzione molto importante dei tempi di arrivo dell onda di sommersione. L utilizzo di una griglia computazionale troppo rada può comportare una sovrastima molto importante del tempo di transito, per cui la simulazione va ripetuta con mesh sempre più raffittite fino a quando i risultati delle successive simulazioni non convergono. 6.5 Influenza del parametro di resistenza sul tempo di transito Le tabelle (2) e (3) mostrano i tempi di transito dell onda di sommersione alle sezioni A-A G-G (vedi Fig. 15) e l estensione dell area inondata al variare del valore del parametro di resistenza della con- 95

20 L. Begnudelli figurazione della breccia. Riguardo a quest ultima, per Crollo Parziale si intende che invece di rimuovere completamente la diga all istante t = 0 s, si lascia il concio centrale come mostrato in fig. (7) Tabella 2. Tempi di transito dell onda di sommersione al variare del valore del parametro di resistenza e della configurazione della breccia. Tipologia Crollo Manning Coeff. [ m -1/3 s ] Area Inondata [10 6 m 2 ] Parziale n = Parziale n = Parziale n = Totale n = Totale n = Totale n = Ricostruzione di Rogers and James (2003) Ricostruzione di Charles Lee (ca. 1928) Tabella 3. Area inondata al variare del valore del parametro di resistenza e della configurazione della breccia. Il confronto fra Crollo Parziale e Crollo Totale mostra che comunque le differenze sono limitate sia in termini di tempo di transito sia in termini di area inondata prevista. Il valore del parametro di resistenza invece si mostra molto decisivo del determinare il tempo di transito (cioè: la velocità di avanzamento) mentre ha effetti estremamente limitati sull area inondata prevista. 6.6 Conclusioni Dall analisi dei risultati qui presentati, si può evidenziare come la risoluzione influenzi in modo decisivo i risultati, sia in termini di area inondata complessiva sia in termini di tempi di transito (e quindi velocità di propagazione). Il valore del parametro di resistenza, invece, ha influenza molto limitata sull area complessiva inondata, mentre ha maggiore peso sui tempo di transito del fronte. Questi risultati hanno importanza poiché informano su quali errori ci si può aspettare di commettere nel caso in cui, a differenza del presente caso di studio, si simulino ipotetici scenari futuri e non eventi passati di cui si hanno tutti i dati a disposizione. 96

21 Modellazione ai volumi finiti di eventi naturali 7 APPLICAZIONI PRATICHE / 2: SIMULAZIONI CROLLO DIGHE DI KALOKO E WAITA Il 14 febbraio 2006, a seguito di eccezionali piogge abbattutesi sull arcipelago delle Hawaii, il rilevato in terra che conteneva il Ka Loko Reservoir (isola di Kauai, Hawaii, USA) cedette, causando una inondazione che provocò la morte di 7 persone e la distruzione di diverse case ed un tratto di strada costiera (HWY 56) nei pressi di Kilauea (Fig. 16). Dato l ampio risalto dato all evento dai media locali, e quindi la ampia mole di dati a disposizione, è stato possibile utilizzare il modello per ricostruire l inondazione, utilizzando la stessa metodologia di lavoro descritta in precedenza. La Fig. (17) mostra l evento come ricostruito dal modello, e come confermato dai dati a disposizione. Figura 16. Ka Loko Reservoir, isola di Kauai, Hawaii, USA. Figura 17. Inondazione seguita al crollo della diga del Ka Loko Reservoir, come ricostruita dal modello. 97

22 L. Begnudelli Nei giorni successivi a tale evento, in seguito alla caduta di nuove piogge, la protezione civile dello Stato delle Hawaii manifestò crescente preoccupazione per una seconda diga, posta nella parte sud della stessa isola: la diga del Waita Reservoir, vicino all abitato di Kaloa. Quello che segue è un estratto dello studio eseguito per conto di, ed in collaborazione con, la protezione civile dello Stato delle Hawaii, per delineare mappe di rischio idraulico corrispondenti a diversi possibili scenari di rottura della diga. Il Waita Reservoir, mostrato in figura (18), ha un invaso massimo di circa 12.1 x 10 6 m 3, ed una profondità abbastanza costante, che in condizioni di quota idrica massima (definita dalla presenza di uno sfioratore di superficie), raggiunge gli 8m. Fig. 18: Waita Reservoir, vicino a Kaloa, Isola si Kauai, Hawaii, USA. Lo studio ha seguito la metodologia descritta per la simulazione del crollo della diga di St Francis: è stato scaricato il modello digitale del terreno (DEM) con risoluzione 1/3 arc sec dal sito dell USGS, quindi è stato delineato un contorno approssimativo del dominio di calcolo ed è stata costruita una prima mesh computazionale basata su semplici considerazioni dettate dalla conformazione del terreno. Sono poi stati eseguiti alcuni run preliminari e ricavate due mesh di calcolo per lo studio vero e proprio: una costituita da celle ed una da celle. Sono poi stati definiti quattro possibili di scenari di inondazione, corrispondenti a 2 possibili valori del parametro di resistenza di Manning (n = e n = 0.050) ed a 2 possibili configurazioni della breccia (crollo parziale di un tratto lungo 100m e crollo totale istantaneo di tutta la diga, lunga più di 1 km). In 98

Valutazione modellistica ricaduta al suolo delle emissioni dell impianto Rena Energia srl

Valutazione modellistica ricaduta al suolo delle emissioni dell impianto Rena Energia srl Valutazione modellistica ricaduta al suolo delle emissioni dell impianto Rena Energia srl Studio Settembre 2014 1 Pag / indice 3 / Premessa 4 / Descrizione della catena modellistica 6 / Lo scenario simulato

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

Risposta sismica dei terreni e spettro di risposta normativo

Risposta sismica dei terreni e spettro di risposta normativo Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Aerospaziale e Geotecnica Risposta sismica dei terreni e spettro di risposta normativo Prof. Ing. L.Cavaleri L amplificazione locale: gli aspetti matematici u=spostamentoin

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

Prof. Ing. Alberto Pistocchi, Ing Davide Broccoli. Ing Stefano Bagli, PhD. Ing Paolo Mazzoli. Torino, 9-10 Ottobre 2013. Italian DHI Conference 2013

Prof. Ing. Alberto Pistocchi, Ing Davide Broccoli. Ing Stefano Bagli, PhD. Ing Paolo Mazzoli. Torino, 9-10 Ottobre 2013. Italian DHI Conference 2013 Implementazione di un modello dinamico 3D densità a dipendente all'interno di un sistema Web-GIS per la gestione e il monitoraggio della qualità delle acque di falda per un comparto di discariche Prof.

Dettagli

F S V F? Soluzione. Durante la spinta, F S =ma (I legge di Newton) con m=40 Kg.

F S V F? Soluzione. Durante la spinta, F S =ma (I legge di Newton) con m=40 Kg. Spingete per 4 secondi una slitta dove si trova seduta la vostra sorellina. Il peso di slitta+sorella è di 40 kg. La spinta che applicate F S è in modulo pari a 60 Newton. La slitta inizialmente è ferma,

Dettagli

Curve di risonanza di un circuito

Curve di risonanza di un circuito Zuccarello Francesco Laboratorio di Fisica II Curve di risonanza di un circuito I [ma] 9 8 7 6 5 4 3 0 C = 00 nf 0 5 0 5 w [KHz] RLC - Serie A.A.003-004 Indice Introduzione pag. 3 Presupposti Teorici 5

Dettagli

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Figura 1: Foto dell apparato sperimentale. 1 Premessa 1.1 Velocità delle onde trasversali in una corda E esperienza comune che quando

Dettagli

Flusso a costo minimo e simplesso su reti

Flusso a costo minimo e simplesso su reti Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo

Dettagli

Strumenti Elettronici Analogici/Numerici

Strumenti Elettronici Analogici/Numerici Facoltà di Ingegneria Università degli Studi di Firenze Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Strumenti Elettronici Analogici/Numerici Ing. Andrea Zanobini Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Legge del Raffreddamento di Newton

Legge del Raffreddamento di Newton Legge del Raffreddamento di Newton www.lepla.eu Obiettivo L'obiettivo di questo esperimento è studiare l'andamento temporale della temperatura di un oggetto che si raffredda e trovare un modello matematico

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Verifica sismica di dighe a gravità in calcestruzzo

Verifica sismica di dighe a gravità in calcestruzzo Verifica sismica di dighe a gravità in calcestruzzo Keywords: dighe a gravità in calcestruzzo, verifica sismica, metodi semplificati, programmi di calcolo. Autore: L. Furgoni, Relatore: Prof. C. Nuti,

Dettagli

Sabina Bellodi,, Enrica Canossa Ecosistema Urbano, Servizio Sistemi Ambientali ARPA sez.provinciale di Ferrara

Sabina Bellodi,, Enrica Canossa Ecosistema Urbano, Servizio Sistemi Ambientali ARPA sez.provinciale di Ferrara La Qualità dell Aria stimata: applicazioni modellistiche ADMS per uno studio della diffusione degli inquinanti atmosferici nel comune di Ferrara e aree limitrofe Sabina Bellodi,, Enrica Canossa Ecosistema

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

IL SAMPLE AND HOLD UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO. Progetto di Fondamenti di Automatica. PROF.: M. Lazzaroni

IL SAMPLE AND HOLD UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO. Progetto di Fondamenti di Automatica. PROF.: M. Lazzaroni UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Informatica IL SAMPLE AND HOLD Progetto di Fondamenti di Automatica PROF.: M. Lazzaroni Anno Accademico

Dettagli

Cognome... Nome... LE CORRENTI MARINE

Cognome... Nome... LE CORRENTI MARINE Cognome... Nome... LE CORRENTI MARINE Le correnti marine sono masse d acqua che si spostano in superficie o in profondità negli oceani: sono paragonabili a enormi fiumi che scorrono lentamente (in media

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

TERMODINAMICA DI UNA REAZIONE DI CELLA

TERMODINAMICA DI UNA REAZIONE DI CELLA TERMODINAMICA DI UNA REAZIONE DI CELLA INTRODUZIONE Lo scopo dell esperienza è ricavare le grandezze termodinamiche per la reazione che avviene in una cella galvanica, attraverso misure di f.e.m. effettuate

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

ANALISI MEDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA

ANALISI MEDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA ANALISI EDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA arco BOZZA * * Ingegnere Strutturale, già Direttore della Federazione regionale degli Ordini degli Ingegneri del Veneto (FOIV), Amministratore di ADEPRON DINAICA

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO

TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO Capitolo 14 EORIA PERURBAIVA DIPENDENE DAL EMPO Nel Cap.11 abbiamo trattato metodi di risoluzione dell equazione di Schrödinger in presenza di perturbazioni indipendenti dal tempo; in questo capitolo trattiamo

Dettagli

Metodi e Strumenti per la Caratterizzazione e la Diagnostica di Trasmettitori Digitali RF ing. Gianfranco Miele g.miele@unicas.it

Metodi e Strumenti per la Caratterizzazione e la Diagnostica di Trasmettitori Digitali RF ing. Gianfranco Miele g.miele@unicas.it Corso di laurea magistrale in Ingegneria delle Telecomunicazioni Metodi e Strumenti per la Caratterizzazione e la Diagnostica di Trasmettitori Digitali RF ing. Gianfranco Miele g.miele@unicas.it Trasmettitore

Dettagli

Circuiti Elettrici. Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale

Circuiti Elettrici. Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale Circuiti Elettrici Corrente elettrica Legge di Ohm Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale Leggi di Kirchhoff Elementi di circuito: voltmetri, amperometri, condensatori

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

bipolari, quando essi, al variare del tempo, assumono valori sia positivi che negativi unipolari, quando essi non cambiano mai segno

bipolari, quando essi, al variare del tempo, assumono valori sia positivi che negativi unipolari, quando essi non cambiano mai segno Parametri dei segnali periodici I segnali, periodici e non periodici, si suddividono in: bipolari, quando essi, al variare del tempo, assumono valori sia positivi che negativi unipolari, quando essi non

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Guida rapida. Cos è GeoGebra? Notizie in pillole

Guida rapida. Cos è GeoGebra? Notizie in pillole Guida rapida Cos è GeoGebra? Un pacchetto completo di software di matematica dinamica Dedicato all apprendimento e all insegnamento a qualsiasi livello scolastico Riunisce geometria, algebra, tabelle,

Dettagli

Prof. Caterina Rizzi Dipartimento di Ingegneria Industriale

Prof. Caterina Rizzi Dipartimento di Ingegneria Industriale RUOLO DELLA MODELLAZIONE GEOMETRICA E LIVELLI DI MODELLAZIONE PARTE 2 Prof. Caterina Rizzi... IN QUESTA LEZIONE Modelli 2D/3D Modelli 3D/3D Dimensione delle primitive di modellazione Dimensione dell oggettoy

Dettagli

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA Un conduttore ideale all equilibrio elettrostatico ha un campo elettrico nullo al suo interno. Cosa succede se viene generato un campo elettrico diverso da zero al suo

Dettagli

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Maurizio Palesi Maurizio Palesi 1 Introduzione Obiettivo della sintesi logica: ottimizzazione delle cifre di merito area e prestazioni Prestazioni:

Dettagli

Equilibrio Termico tra Due Corpi

Equilibrio Termico tra Due Corpi Equilibrio Termico tra Due Corpi www.lepla.eu OBIETTIVO L attività ha l obiettivo di fare acquisire allo sperimentatore la consapevolezza che: 1 il raggiungimento dell'equilibrio termico non è istantaneo

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

Le funzioni di una rete (parte 1)

Le funzioni di una rete (parte 1) Marco Listanti Le funzioni di una rete (parte 1) Copertura cellulare e funzioni i di base di una rete mobile Strategia cellulare Lo sviluppo delle comunicazioni mobili è stato per lungo tempo frenato da

Dettagli

MODULO D LE VENTI REGIONI ITALIANE VOLUME 1 CAPITOLO 2 ... ... ... ... ... ...

MODULO D LE VENTI REGIONI ITALIANE VOLUME 1 CAPITOLO 2 ... ... ... ... ... ... VOLUME 1 CAPITOLO 2 MODULO D LE VENTI REGIONI ITALIANE ACQUE INTERNE 1. Parole per capire A. Conosci già queste parole? Scrivi il loro significato o fai un disegno: valle... ghiacciaio... vulcano... cratere...

Dettagli

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli

ANALISI PUSHOVER Statica Lineare Dinamica Lineare Statica Non Lineare Dinamica Non Lineare PUSH-OVER

ANALISI PUSHOVER Statica Lineare Dinamica Lineare Statica Non Lineare Dinamica Non Lineare PUSH-OVER ANALISI PUSHOVER - Analisi sismica Statica Lineare - Analisi sismica Dinamica Lineare - Analisi sismica Statica Non Lineare - Analisi sismica Dinamica Non Lineare Con il nome di analisi PUSH-OVER si indica

Dettagli

Derivazione elementare dell espressione della quantità di moto e dell energia in relativività ristretta

Derivazione elementare dell espressione della quantità di moto e dell energia in relativività ristretta Derivazione elementare dell espressione della quantità di moto e dell energia in relativività ristretta L. P. 22 Aprile 2015 Sommario L espressione della quantità di moto e dell energia in relatività ristretta

Dettagli

Le misure di energia elettrica

Le misure di energia elettrica Le misure di energia elettrica Ing. Marco Laracca Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell Informazione Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale Misure di energia elettrica La misura

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

Appendice III. Criteri per l utilizzo dei metodi di valutazione diversi dalle misurazioni in siti fissi

Appendice III. Criteri per l utilizzo dei metodi di valutazione diversi dalle misurazioni in siti fissi Appendice III (articolo 5, comma 1 e art. 22 commi 5 e 7) Criteri per l utilizzo dei metodi di valutazione diversi dalle misurazioni in siti fissi 1. Tecniche di modellizzazione 1.1 Introduzione. In generale,

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

Sistemi di supporto alle decisioni Ing. Valerio Lacagnina

Sistemi di supporto alle decisioni Ing. Valerio Lacagnina Cosa è il DSS L elevato sviluppo dei personal computer, delle reti di calcolatori, dei sistemi database di grandi dimensioni, e la forte espansione di modelli basati sui calcolatori rappresentano gli sviluppi

Dettagli

Introduzione al GIS (Geographic Information System)

Introduzione al GIS (Geographic Information System) Introduzione al GIS (Geographic Information System) Sommario 1. COS E IL GIS?... 3 2. CARATTERISTICHE DI UN GIS... 3 3. COMPONENTI DI UN GIS... 4 4. CONTENUTI DI UN GIS... 5 5. FASI OPERATIVE CARATTERIZZANTI

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

Istituto per l Energia Rinnovabile. Autori: David Moser, PhD; Daniele Vettorato, PhD. Bolzano, Gennaio 2013

Istituto per l Energia Rinnovabile. Autori: David Moser, PhD; Daniele Vettorato, PhD. Bolzano, Gennaio 2013 Istituto per l Energia Rinnovabile Catasto Solare Alta Val di Non Relazione Versione: 2.0 Autori: David Moser, PhD; Daniele Vettorato, PhD. Coordinamento e Revisione: dott. Daniele Vettorato, PhD (daniele.vettorato@eurac.edu)

Dettagli

Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 2011/2012 - Docente: Prof. Carlo Isetti

Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 2011/2012 - Docente: Prof. Carlo Isetti Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 0/0 - Docente: Prof. Carlo Isetti LAVORO D NRGIA 5. GNRALITÀ In questo capitolo si farà riferimento a concetto quali lavoro ed energia termini che hanno nella

Dettagli

Corrente elettrica (regime stazionario)

Corrente elettrica (regime stazionario) Corrente elettrica (regime stazionario) Metalli Corrente elettrica Legge di Ohm Resistori Collegamento di resistori Generatori di forza elettromotrice Metalli Struttura cristallina: ripetizione di unita`

Dettagli

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

OO.PP. Puglia 2008. Unità Misura. Prezzo DESCRIZIONE

OO.PP. Puglia 2008. Unità Misura. Prezzo DESCRIZIONE IG 01.001 IG 01.002 IG 01.003a Approntamento dell' attrezzatura di perforazione a rotazione compreso il carico e lo scarico e la revisione a fine lavori. Per ogni approntamento dellattrezzatura cad 667,35

Dettagli

Analisi dei requisiti e casi d uso

Analisi dei requisiti e casi d uso Analisi dei requisiti e casi d uso Indice 1 Introduzione 2 1.1 Terminologia........................... 2 2 Modello del sistema 4 2.1 Requisiti hardware........................ 4 2.2 Requisiti software.........................

Dettagli

TRAVE SU SUOLO ELASTICO

TRAVE SU SUOLO ELASTICO Capitolo 3 TRAVE SU SUOLO ELASTICO (3.1) Combinando la (3.1) con la (3.2) si ottiene: (3.2) L equazione differenziale può essere così riscritta: (3.3) La soluzione dell equazione differenziale di ordine

Dettagli

General Linear Model. Esercizio

General Linear Model. Esercizio Esercizio General Linear Model Una delle molteplici applicazioni del General Linear Model è la Trend Surface Analysis. Questa tecnica cerca di individuare, in un modello di superficie, quale tendenza segue

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

ELABORAZIONE DEL VALORE MEDIO NELLE MISURE ELETTRONICHE

ELABORAZIONE DEL VALORE MEDIO NELLE MISURE ELETTRONICHE NOTE PER IL TECNICO ELABORAZIONE DEL VALORE MEDIO NELLE MISURE ELETTRONICHE da BRUEL & KJAER Le cosiddette «application notes» pubblicate a cura della Bruel & Kjaer, nota Fabbrica danese specializzata

Dettagli

Modal 2 Modulo Analisi modale Modulo per l Analisi della dinamica strutturale.

Modal 2 Modulo Analisi modale Modulo per l Analisi della dinamica strutturale. Modal 2 Modulo Analisi modale Modulo per l Analisi della dinamica strutturale. L analisi modale è un approccio molto efficace al comportamento dinamico delle strutture, alla verifica di modelli di calcolo

Dettagli

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno La Vista CAS L ambiente di lavoro Le celle Assegnazione di una variabile o di una funzione / visualizzazione

Dettagli

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione METODO DELLE FORZE CORSO DI PROGETTZIONE STRUTTURLE a.a. 010/011 Prof. G. Salerno ppunti elaborati da rch. C. Provenzano 1. METODO DELLE FORZE PER L SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTTICHE 1.1 Introduzione

Dettagli

UN CRITERIO PER LA DEFINIZIONE DI GIORNO CON NEVE AL SUOLO

UN CRITERIO PER LA DEFINIZIONE DI GIORNO CON NEVE AL SUOLO UN CRITERIO PER LA DEFINIZIONE DI GIORNO CON NEVE AL SUOLO Cosa si intende per giorno con neve al suolo? Se può essere relativamente semplice definirlo per un territorio pianeggiante ampio e distante da

Dettagli

Analisi termografica su celle litio-ione sottoposte ad esperienze di "second life" Francesco D'Annibale, Francesco Vellucci. Report RdS/PAR2013/191

Analisi termografica su celle litio-ione sottoposte ad esperienze di second life Francesco D'Annibale, Francesco Vellucci. Report RdS/PAR2013/191 Agenzia nazionale per le nuove tecnologie, l energia e lo sviluppo economico sostenibile MINISTERO DELLO SVILUPPO ECONOMICO Analisi termografica su celle litio-ione sottoposte ad esperienze di "second

Dettagli

Capitolo 4 Protezione dai contatti indiretti.

Capitolo 4 Protezione dai contatti indiretti. Capitolo 4 Protezione dai contatti indiretti. La protezione contro i contatti indiretti consiste nel prendere le misure intese a proteggere le persone contro i pericoli risultanti dal contatto con parti

Dettagli

III.8.2 Elementi per il bilancio idrico del lago di Bracciano

III.8.2 Elementi per il bilancio idrico del lago di Bracciano III.8.2 Elementi per il bilancio idrico del lago di Bracciano (Fabio Musmeci, Angelo Correnti - ENEA) Il lago di Bracciano è un importante elemento del comprensorio della Tuscia Romana che non può non

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento.

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. 1 IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. Quando un corpo è in movimento? Osservando la figura precedente appare chiaro che ELISA è ferma rispetto a DAVIDE, che è insieme a lei sul treno; mentre

Dettagli

Energy Studio Manager Manuale Utente USO DEL SOFTWARE

Energy Studio Manager Manuale Utente USO DEL SOFTWARE Energy Studio Manager Manuale Utente USO DEL SOFTWARE 1 ANALYSIS.EXE IL PROGRAMMA: Una volta aperto il programma e visualizzato uno strumento il programma apparirà come nell esempio seguente: Il programma

Dettagli

MODELLI DI VALUTAZIONE DELLA QUALITÀ DELL'ARIA IMPIANTO DISCARICA DI COLLE FAGIOLARA (COLLEFERRO)

MODELLI DI VALUTAZIONE DELLA QUALITÀ DELL'ARIA IMPIANTO DISCARICA DI COLLE FAGIOLARA (COLLEFERRO) MODELLI DI VALUTAZIONE DELLA QUALITÀ DELL'ARIA IMPIANTO DISCARICA DI COLLE FAGIOLARA (COLLEFERRO) 1. INQUADRAMENTO TERRITORIALE E METEOROLOGICO Colleferro è un comune di oltre 22.000 abitanti che si trova

Dettagli

Guida Illustrata alle Risposte

Guida Illustrata alle Risposte IDRAIM sistema di valutazione IDRomorfologica, AnalisI e Monitoraggio dei corsi d'acqua Guida Illustrata alle Risposte Appendice al Manuale tecnico operativo per la valutazione ed il monitoraggio dello

Dettagli

APPLICAZIONE MODELLISTICA PER LA VALUTAZIONE DELLA QUALITÀ DELL ARIA NELL AREA DI INSEDIAMENTO DEL CENTRO AGRO ALIMENTARE TORINESE

APPLICAZIONE MODELLISTICA PER LA VALUTAZIONE DELLA QUALITÀ DELL ARIA NELL AREA DI INSEDIAMENTO DEL CENTRO AGRO ALIMENTARE TORINESE APPLICAZIONE MODELLISTICA PER LA VALUTAZIONE DELLA QUALITÀ DELL ARIA NELL AREA DI INSEDIAMENTO DEL CENTRO AGRO ALIMENTARE TORINESE Introduzione La porzione di territorio situata a sud-ovest dell Area Metropolitana

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

Integrazione numerica

Integrazione numerica Integrazione numerica Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ Lezione 6-20-26 ottobre 2009 Indice 1 Formule di quadratura semplici e composite Formule di quadratura

Dettagli

SCUOLA PRIMARIA DI MONTE VIDON COMBATTE CLASSE V INS. VIRGILI MARIA LETIZIA

SCUOLA PRIMARIA DI MONTE VIDON COMBATTE CLASSE V INS. VIRGILI MARIA LETIZIA SCUOLA PRIMARIA DI MONTE VIDON COMBATTE CLASSE V INS. VIRGILI MARIA LETIZIA Regoli di Nepero Moltiplicazioni In tabella Moltiplicazione a gelosia Moltiplicazioni Con i numeri arabi Regoli di Genaille Moltiplicazione

Dettagli

Forma d onda rettangolare non alternativa.

Forma d onda rettangolare non alternativa. Forma d onda rettangolare non alternativa. Lo studio della forma d onda rettangolare è utile, perché consente di conoscere il contenuto armonico di un segnale digitale. FIGURA 33 Forma d onda rettangolare.

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

Vetro e risparmio energetico Controllo solare. Bollettino tecnico

Vetro e risparmio energetico Controllo solare. Bollettino tecnico Vetro e risparmio energetico Controllo solare Bollettino tecnico Introduzione Oltre a consentire l ingresso di luce e a permettere la visione verso l esterno, le finestre lasciano entrare anche la radiazione

Dettagli

I n d i c e. 163 Appendice B Questionari su utilità e uso delle Strategie di Studio (QS1 e QS2)

I n d i c e. 163 Appendice B Questionari su utilità e uso delle Strategie di Studio (QS1 e QS2) I n d i c e 9 Introduzione 11 CAP. 1 I test di intelligenza potenziale 17 CAP. 2 La misura dell intelligenza potenziale nella scuola dell infanzia 31 CAP. 3 La misura dell intelligenza potenziale nella

Dettagli

Attività 9. La città fangosa Minimal Spanning Trees

Attività 9. La città fangosa Minimal Spanning Trees Attività 9 La città fangosa Minimal Spanning Trees Sommario la nostra società ha molti collegamenti in rete: la rete telefonica, la rete energetica, la rete stradale. Per una rete in particolare, ci sono

Dettagli

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 1.1 Che cos è un algoritmo CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 Gli algoritmi sono metodi per la soluzione di problemi. Possiamo caratterizzare un problema mediante i dati di cui si dispone all inizio

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

Metodo speditivo per la costruzione di carte della suscettibilità da crolli in roccia prerilievo di terreno (Metodo Arpa-prog.

Metodo speditivo per la costruzione di carte della suscettibilità da crolli in roccia prerilievo di terreno (Metodo Arpa-prog. Metodo speditivo per la costruzione di carte della suscettibilità da crolli in roccia prerilievo di terreno (Metodo Arpa-prog. MASSA) Davide Damato, Michele Morelli, Luca Lanteri, Daniele Bormioli, Rocco

Dettagli

M A G N E T I C I G E N E R A L I T A'

M A G N E T I C I G E N E R A L I T A' S C H E R M I M A G N E T I C I G E N E R A L I T A' Gli schermi magnetici hanno la funzione di proteggere oggetti sensibili dall'aggressione magnetica esterna. Questi schermi possono essere suddivisi

Dettagli

Turbine I-20 Ultra 2 N E I. l t. R r. Gli irrigatori dei professionisti per gli spazi verdi residenziali di piccole e medie dimensioni

Turbine I-20 Ultra 2 N E I. l t. R r. Gli irrigatori dei professionisti per gli spazi verdi residenziali di piccole e medie dimensioni R r INFORMAZIONE PRODOTTO Turbine I-20 Ultra Gli irrigatori dei professionisti per gli spazi verdi residenziali di piccole e medie dimensioni E I - 2 0 N I B U l t U a T a PRESENTAZIONE DEL PRODOTTO L

Dettagli

Calc è il programma per la gestione di fogli di calcolo della suite OpenOffice.org.

Calc è il programma per la gestione di fogli di calcolo della suite OpenOffice.org. Calc è il programma per la gestione di fogli di calcolo della suite OpenOffice.org. Nuovo documento Anteprima di stampa Annulla Galleria Apri Controllo ortografico Ripristina Sorgente dati Salva Controllo

Dettagli

AUTOLIVELLI (orizzontalità ottenuta in maniera automatica); LIVELLI DIGITALI (orizzontalità e lettura alla stadia ottenute in maniera automatica).

AUTOLIVELLI (orizzontalità ottenuta in maniera automatica); LIVELLI DIGITALI (orizzontalità e lettura alla stadia ottenute in maniera automatica). 3.4. I LIVELLI I livelli sono strumenti a cannocchiale orizzontale, con i quali si realizza una linea di mira orizzontale. Vengono utilizzati per misurare dislivelli con la tecnica di livellazione geometrica

Dettagli

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA Prerequisiti - Impiego di Multipli e Sottomultipli nelle equazioni - Equazioni lineari di primo grado e capacità di ricavare le formule inverse - nozioni base di fisica

Dettagli

2.1 DATI NAZIONALI E TERRITORIALI (AREE E Regioni)

2.1 DATI NAZIONALI E TERRITORIALI (AREE E Regioni) ANALISI TERRITORIALE DEL VALORE DEL PATRIMONIO ABITATIVO Gli immobili in Italia - 2015 ANALISI TERRITORIALE DEL VALORE DEL PATRIMONIO ABITATIVO Nel presente capitolo è analizzata la distribuzione territoriale

Dettagli

1. Diodi. figura 1. figura 2

1. Diodi. figura 1. figura 2 1. Diodi 1.1. Funzionamento 1.1.1. Drogaggio 1.1.2. Campo elettrico di buil-in 1.1.3. Larghezza della zona di svuotamento 1.1.4. Curve caratteristiche Polarizzazione Polarizzazione diretta Polarizzazione

Dettagli

4 CAPITOLO 4. STRUTTURA ESISTENTE A TELAIO IN CA

4 CAPITOLO 4. STRUTTURA ESISTENTE A TELAIO IN CA 123 4 CAPITOLO 4. STRUTTURA ESISTENTE A TELAIO IN CA Il presente esempio è finalizzato a guidare il progettista alla compilazione del SI-ERC per un edificio con struttura a telaio in CA per il quale è

Dettagli

Calcolo delle linee elettriche a corrente continua

Calcolo delle linee elettriche a corrente continua Calcolo delle linee elettriche a corrente continua Il calcolo elettrico delle linee a corrente continua ha come scopo quello di determinare la sezione di rame della linea stessa e la distanza tra le sottostazioni,

Dettagli

ALLEGATO A ALLE NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI: PERICOLOSITÀ SISMICA

ALLEGATO A ALLE NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI: PERICOLOSITÀ SISMICA ALLEGATO A ALLE NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI: PERICOLOSITÀ SISMICA Le Norme Tecniche per le Costruzioni (NTC) adottano un approccio prestazionale alla progettazione delle strutture nuove e alla verifica

Dettagli