Area del segmento parabolico Archimede. 3 A.C.

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Beata Landi
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1 rea del segmento parabolico rchimede. 3.C. Mauro Saita Versione provvisoria Indice Segmento parabolico. Cenni sulla dimostrazione di rchimede Qualche dettaglio sulla dimostrazione utilizzando il metodo delle coordinate 5 Segmento parabolico Definizione. (Segmento parabolico). Sia r una retta che interseca la parabola in due punti e. Si chiama segmento parabolico di base la regione di piano delimitata dalla retta r e dall arco di parabola. Il vertice del segmento parabolico è il punto della parabola più distante dalla base. Figura : Segmento parabolico di base QQ e vertice. Il vertice del segmento parabolico, da non confondere con il vertice della parabola, è il punto di tangenza tra la retta parallela alla corda QQ e la parabola.. Cenni sulla dimostrazione di rchimede Innanzi tutto occorre ricordare che ai tempi di rchimede erano noti i seguenti fatti. Il punto di contatto tra la tangente alla parabola parallela alla base e la parabola stessa è il vertice del segmento parabolico.. La retta per parallela all asse di simmetria della parabola interseca la base nel punto medio M. 3. Il segmento M divide a metà ogni corda della parabola, parallela alla base. 0 Nome file: segmento parabolico archimede 08.tex

2 V Q Q M Figura :. La tangente t è parallela a.. M = M. 3. M biseca la corda QQ Teorema. (rchimede. Quadratura della parabola. 3.C). L area del segmento parabolico di base è 4 dell area del triangolo, dove è il vertice del segmento parabolico. 3 In altre parole, indicata con T l area del triangolo rea del segmento parabolico = 4 3 T (.) er avere un idea della dimostrazione di rchimede si consideri seguente figura M N O Q R Figura 3 ssegnato il segmento parabolico di base, sia M il suo punto medio. La parallela all asse della parabola per M interseca la parabola nel vertice del segmento parabolico. Si tracci il

3 triangolo di vertici,, (in figura di colore grigio) e si indichi con N e O i punti medi dei lati e ; le parallele all asse della parabola passanti per N e O; intersecano la parabola nei punti Q e R. Si tracci, infine, il triangolo di vertici,, R e quello di vertici,, Q (in figura, entrambi di colore rosso). rchimede dimostra che e rea( R) = rea( ) (.) 8 rea( Q) = rea( ) (.3) 8 Quindi approssima l area del segmento parabolico di base nel seguente modo:. inizia con l area del triangolo ;. aggiunge le aree dei triangoli R e Q che assieme hanno area pari a 4 di. di quella 3. ripete lo stesso procedimento aggiungendo le aree di quattro triangoli ottenuti dai punti medi dei segmenti R, R, Q, Q; ognuna di queste aree vale 8 dell area di ciascun triangolo dello step precedente; 4. eccetera. In altri termini, rchimede aggiunge all area T del triangolo, l area dei due triangoli R e Q, ossia 8 T + 8 T = 4T ; poi prosegue aggiungendo le aree di quattro triangoli ognuno dei quali ha area 8 dell area dei due triangoli equivalenti dello step precedente, cioè 4 ( ) 8 8 T = T e così via. In questo modo l area del segmento parabolico è la somma 4 della serie rea segmento parabolico = T + 4 T + 4 T T +... (.4) questo punto trova la somma servendosi di una figura simile alla seguente 3

4 Figura 4 Il quadrato più grande ha lato (e area) uguale a ; esso viene diviso in quattro quadrati di lato e area 4 ; il quadrato in alto a sinistra viene a sua volta diviso in quattro quadrati di lato 4 e area ; e così via. La somma dei quadrati di colore nero è (.5) È immediato osservare che si ottiene la stessa serie sommando i quadrati di colore arancione oppure quelli di colore verde. Segue che le tre serie (uguali) di quadrati approssimano l area del quadrato di area. Quindi = 3 Egli congettura che l area del segmento parabolico è pari a T + T (.6) ( ) = T + 3 T = 4 3 T (.7) Infine dimostra il risultato riportato sopra servendosi del metodo di esaustione. 4

5 . Qualche dettaglio sulla dimostrazione utilizzando il metodo delle coordinate La dimostrazione di rchimede si basa sul seguente risultato Lemma.. Sia una parabola, una sua corda e t la retta tangente nel vertice della parabola. Si traccino le parallele all asse di simmetria della parabola passanti per e per ; esse intersecano t nei punti e. Si indichi con M il punto medio di e con l intersezione della parabola con la parallela al suo asse di simmetria. L area del triangolo è proporzionale al cubo del segmento. iù precisamente rea di = dove V e F sono, nell ordine, vertice e fuoco della parabola. 3 V F 3 (.8) M N R O Q Q R Figura 5 Se si assume per asse delle ascisse la tangente t e per asse delle ordinate la retta perpendicolare a t passante per il vertice della parabola, l equazione della parabola assume la nota forma dove f è l ordinata del fuoco della parabola. y = 4f x (.9) 5

6 L area del triangolo è uguale all area del trapezio CD meno la somma delle aree dei trapezi CMN e NMD: Triangolo(CND) = Trapezio( ) ( Trapezio( ) + Trapezio( ) ) = osto = (a, 0) e = (b, 0) il punto medio del segmento è M = ( a + b, 0). Inoltre = b a, = a + b a, = b a + b Infine, ricordando che i punti della parabola sono tutti e soli i punti del piano che soddisfano l equazione y = 4f x, si ricava = a 4f, = Facendo un po di conti (facili ma noiosi) si trova: ( a+b ), = b 4f 4f Triangolo( ) = 3 f (b a)3 = 3 f 3 roposizione.3. Con riferimento alla figura 5 rea di Q = rea di R = rea di (.0) 8 Dimostrazione. Il punto O è punto medio del segmento e Q è il punto corrispondente sulla parabola. er il lemma appena dimostrato, l area del triangolo Q è ossia rea di Q = 3 V F 3 (.) rea di Q = ( a+b 3 f a ) 3 = 56 f (b a)3 = 8 3 f (b a)3 (.) = 8 rea di In modo analogo si dimostra che rea di R = 8rea di. 6

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