Tra le rette perpendicolari ad r individua la retta s che passa per il punto A e la retta t che passa C (3;0)

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Baldassare Pandolfi
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1 Macerata 6 dicembre 04 classe 3M COMPITO DI MATEMATICA SOLUZIONE QUESITO Scrivi l equazione della retta r che passa per i punti A(-3:3) e B(;) x + y 3 = 0 y ya x xa L equazione della retta per due punti è data da =, sostituendo le coordinate di A e yb ya xb xa y 3 x + 3 di B si ottiene: = da cui segue: x + y 3 = Tra le rette perpendicolari ad r individua la retta s che passa per il punto A e la retta t che passa C (3;0) s) x y + 9 = 0 t) x y 6 = 0 Le rette perpendicolari ad r hanno coefficiente angolare m' = e poiché m =, m' =. m L equazione di tali rette è : y = x + q ovvero [] x y + q = 0. La retta s che passa per A si ottiene ponendo nell equazione [] le coordinate di A. Si ha q = 0 da cui segue q = 9 e quindi la retta s ha equazione x y + 9 = 0. ( ) ( ) La retta t che passa per C si ottiene ponendo nell equazione [] le coordinate di C. Si ha q = 0 da cui segue q = 6 e quindi la retta t ha equazione x y 6 = 0. ( ) ( )

2 Scrivi l equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta r. y = x + q, o anche x + y q = 0 L equazione del fascio, improprio, di rette parallele a r è y = x + q, o anche x + y q = 0 Determina le rette del fascio che con le rette r, s, t, individuano un quadrato di lato AC. x + y + = 0 x + y 8 = 0 Bisogna individuare i punti sulla retta s o t, che hanno distanza dalla retta r uguale alla distanza tra i punti A e C. [] AC = ( xa xc ) + ( ya yc ) = ( 3 3) + ( 3 0) = 4 = 3 Sia D un punto generico sulla retta s, le sue coordinate saranno D= ( x;x + 9) e la sua distanza dalla retta r, ovvero da A, è: [3] d ( D,r) ax + by + c D D = = a + b ( x ) x Eguagliando la [] alla [3] si ha: x + = 3. Risolvendo: x + = da cui segue x + = ± e quindi le soluzioni x = 6 e x = 0. Ci sono quindi due punti che soddisfano le condizioni poste D = ( 6; 3) e ( ) In alternativa si può porre AC = AD, ne segue che ( x x ) + ( y y ) = ( x x ) + ( y y ) A C A C A D A D D = 0;9.

3 da cui, elevando al quadrato: ( 3 3) + ( 3) = ( 3 x) + 3 ( x + 9) 4 = 9 + 6x + x + 36 da cui, risolvendo l equazione, x = 6 e x = x + 4x Le rette del fascio che passano per essi si trovano ponendo le coordinate di D e D nell equazione del fascio. Si ottiene: per D, 3 = ( 6) + q da cui q = 6 e la retta di equazione y = x 6 y = x + 9 ovvero x + y 8 = 0. Oppure la distanza di A dalla generica retta v del fascio improprio del essere uguale ad AC. Da cui 3+ 6 q 3+ q segue: d ( A,v) = = = 3, e quindi 3 + q = 3 + q = ± + 6 q =. Le rette del fascio sono quindi x + y = 0 e x + y + 8 = 0. 9 ovvero x + y + = 0. Per D, 9 = q e la retta di equazione Scrivi le coordinate dei punti A', B', C' simmetrici di A, B, C, rispetto all origine e trova il baricentro G del triangolo AB'C A' ( 3; 3) B' ( ; ) C' ( 3;0) G ; 3 3 Ricordiamo che il simmetrico rispetto all origine P ; P' x; y. di un punto ( x y ) è il punto ( ) Pertanto: A' ( 3; 3) ; B' ( ; ) e C' ( 3;0). Le coordinate del baricentro del triangolo AB'C sono date da: xa + xb' + x 3+ C ( ) + 3 xg = = = e ya + yb' + y 3+ C ( ) + 0 yg = = = Trova la distanza di G dalla retta r utilizzando l espressione per la distanza di un punto da una retta. d ( G,r ) = La distanza di G da r si determina con l espressione + 3 axg + byg + c 3 3 d ( G,r) = = = = a + b 3

4 SOLUZIONE QUESITO Nel fascio di rette di equazione ( ) ( ) k + x k y + k + 3 = 0 individua il centro C del fascio e le rette generatrici, indicando con r quella a cui non corrispondono valori di k e con s quella che corrisponde a k = 0. r) x y + = 0 s) x + y + 3 = 0 C( ; ) Sviluppiamo l equazione del fascio: kx x ky y k = x y k ( x y ) = 0 Si ha r) x y + = 0 e s) x + y + 3 = 0 x y + = 0 Il centro del fascio si ottiene risolvendo il sistema. Sommando membro a membro si + y + 3 = 0 ha: 4x + 4 = 0 da cui x =. Sottraendo membro a membro la prima dalla seconda si ha: y = 0, da cui y =. Determina le equazioni delle rette a e b parallele all asse delle ordinate che passano rispettivamente per i punti A e B dell asse x, con xa < xb, le cui ascisse sono soluzioni dell equazione x + x = 0. a) x + = 0 b) x = 0 Risolvendo l equazione x + x = 0 si ottengono le ascisse dei punti A e B. Si ha: ± + 8 xa = xa,b = =. xb = Le rette cercate sono quindi: a) x + = 0 e b) x = 0. Disegna su un piano cartesiano le rette trovate e indica con L, M, N, Q rispettivamente i punti di intersezione tra le rette r e a, s e b, r e b, s e a. Vedi figura pagina. Dimostra che l area del triangolo MCN è 4 volte quella del triangolo LCQ. Troviamo le coordinate dei punti L, M, N, Q. L) y = x + y = ( ) + = = M) y = x 3 y = ( ) 3 = = N) y = x + y ( ) = = + = Q) y = x 3 y = ( ) 3 = = L( ; 3) M( ; ) N ( ;3 ) Q( ;) 4

5 Per il triangolo LCQ possiamo considerare la base blcq = LQ = yl yq = 3 = 4 e l altezza ad essa relativa LCQ h che è la distanza di C dalla retta a: h x x ( ) LCQ = C A = =. ALCQ = hlcq blcq = 4 =. Per il triangolo MCN possiamo considerare la base bmcn = MN = ym yn = 3 = 8 e l altezza ad essa relativa MCN h che è la distanza di C dalla retta b: h x x ( ) AMCN = hmcn bmcn = 8 = 8 Si ha quindi: AMCN = 4ALCQ. MCN = C B = =. In modo alternativo. Si ha che QLC = MNC perché alterni interni tra le rette a e b tagliate da r, LQC = NMC perché alterni interni tra le stesse rette a e b tagliate da s, e infine LCQ = MCN perché opposti al vertice.

6 I triangoli LCQ e MCN sono pertanto simili. Le loro aree stanno quindi tra loro come il quadrato delle rispettive altezze A : A = h : h ; da ciò segue LCQ MCN LCQ MCN h MCN MCN = LCQ = LCQ = 4 LCQ h LCQ A A A A. Scrivi le equazioni delle bisettrici t e t degli angoli formati dalle rette r e s e dimostra che sono le rette del fascio parallele agli assi. A quali valori di k corrispondono? Le rette hanno equazione x + = 0 e y + = 0. I valori di k corrispondenti sono k = e k =. Le rette del fascio parallele agli assi sono: x + = 0 e y + = 0. Per determinare il valore di k cui corrisponde x + = 0 basta porre il coefficiente della y nell equazione del fascio uguale a zero, k = 0 da cui si ricava k =. Per determinare il valore di k cui corrisponde y + = 0 ossia: ( ) basta porre il coefficiente della x nell equazione del fascio uguale a zero, ossia: ( k + ) = 0 da cui si ricava k =. Troviamo ora le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette r e s. Dalla definizione x; y deve essere equidistante delle rette r e s. segue che un punto P di coordinate generiche ( ) Si ha: axp + byp + c x y + a' xp + b' yp + c' x + y + 3 d ( P,r) = = e d ( P,s) = = a + b a' + b' Uguagliando: x y + x + y + 3 = da cui x y + = x + y + 3, quindi x y + = ± ( x + y + 3) si hanno quindi le due equazioni: x y + = x + y + 3 y = 0 y + = 0 ( ) x y + = x + y + 3 4x + 4 = 0 x + = 0 Calcola per quali valori del parametro k le rette del fascio intersecano il segmento di estremi G 4; F( ; 0 ) e ( ) 9 k 3 Troviamo le rette che passano per F e per G sostituendo le coordinate di tali punti nell equazione del fascio. La retta per F: ( k + ) ( k ) 0 + k + 3 = 0 da cui 3k + = 0 ossia k =. Sostituendo 3 nell equazione del fascio si ha: + x y + 3 = 0 dai cui x y = La retta per G: 9 ( k + ) 4 ( k ) ( ) + k + 3 = 0 da cui k + 9 = 0 ossia k =. Sostituendo nell equazione del fascio si ha: + x y + 3 = 0 da cui x + y + 6 = 0. 6

7 Tenendo presenti le rette trovate precedentemente e i corrispondenti valori di k, è facile vedere che per valori di k crescenti il fascio ruota in senso orario e quindi le rette intersecheranno il segmento 9 FG per k. 3 Basterebbe anche osservare che la retta del fascio parallela all asse delle ascisse corrisponde a 9 k = e interseca il segmento FG, inoltre risulta < <. Intersecheranno il segmento 3 9 quindi, tutte le rette del fascio per le quali k 3 7

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