Per il seminario di cultura formale - Dottorato GIA

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1 Per l semnaro d cultura formale - Dottorato GIA Luca Mar, dcembre 003 Lezone 1: la matematca come strumento per pensare Cnque ncontr, da 1 ora e mezza cascuno. Con questo tempo complessvo a dsposzone, è charo che non s possono ntrodurre contenut tecnc specfc (e qual potrebbero essere? d matematca generale, d anals?, d statstca?...). Puttosto, gl obettv potrebbero essere d tpo metodologco, complessvamente orentat a mostrare che la matematca nsegna a pensare. «I problem d routne possono essere necessar nell nsegnamento della matematca, ma proporre agl alunn esclusvamente esercz d questo tpo è un errore mperdonable. Insegnare l esecuzone meccanca delle operazon matematche d routne e nente pù equvale a unformars a un lvello molto nferore persno a quello d un manuale d rcette d arte culnara; nfatt quest ultmo lasca sempre qualcosa all nventva e all arbtro d un cuoco, mentre le rcette d matematca non consentono ma alcun atto d lbertà alla fantasa e all ntellgenza». «Un dea genale rsolve spesso un grande problema, ma nella rsoluzone d tutt problem ntervene un pzzco d genaltà. Può trattars d un problema modesto; tuttava, se esso stuzzca la nostra curostà ed eccta le nostre facoltà mental e, soprattutto, se s resce a rsolverlo da sol, s scoprrà l ansa della rcerca e la goa della scoperta. Sml esperenze, fatte a tempo opportuno, possono rappresentare un vero e propro eserczo dello sprto e lascare un mpronta nell anmo e nel carattere per tutta la vta. Qund un nsegnante d matematca ha una grande possbltà. Ovvamente, se egl mpegherà le sue ore d lezone a far esegure de calcol a suo student, fnrà per soffocare l loro nteresse, arrestare l loro svluppo mentale e scupare l opportuntà che gl s presenta. Invece, se rsveglerà la curostà degl alunn proponendo problem d dffcoltà proporzonate alle conoscenze della scolaresca e l auterà a rsolvere le queston proposte con domande opportune, egl saprà sprare n loro l gusto d un ragonamento orgnale». (G.Polya, How to solve t, Prnceton Unversty Press, 1945; trad.t. Come rsolvere problem d matematca Logca ed eurstca nel metodo matematco, Feltrnell, 1967; pag. 17; pag. 7) A cosa serve la matematca? la rsposta tradzonale è: per fare cont, coè per effettuare elaborazon n modo precso e rpetble; possamo dare una rsposta pù generale: la matematca è uno (lo?) strumento d formalzzazone, coè d espressone (tentatvamente) completa e non ambgua d contenut; contenut formalzzat possono essere non solo elaborat n modo precso e rpetble, ma anche comuncat n modo completo e non ambguo. La matematca: tra formalzzazone e rduzonsmo (s può usare la matematca nelle scenze socal senza mmare la fsca? E quale matematca?). perché esstono matematche dverse (come tradzonalmente s sa, a partre dalla dstnzone tra artmetca e geometra ), per esempo modulabl ntorno a 5 opposzon: quanttà-qualtà contnuo-dscreto lneare-non lneare smbolco-numerco determnstco-stocastco perché quanttatvo non è snonmo d formale, e perché la matematca s nteressa d strutture prma che d numer L esempo dell somorfsmo tra numer con dvsor (30) e nsem con nclusone ({a,b,c}): la stessa struttura formale ( astratta ):

2 β ε α γ ζ δ η può essere usata per nterpretare enttà dverse, sa quanttatve sa qualtatve. Per esempo: R( x, y) R( y, z) R( x, z) (transtvtà) x y, R( x, y) R( y, x) (antsmmetra) Lezone : un esplorazone ntorno al concetto (pre-quanttatvo) d funzone Una funzone è una regola f : A B che a ogn elemento a A assoca uno e un solo elemento b B; è dunque una partcolare relazone su A B, caratterzzata dalle due condzon: ogn elemento del domno deve avere un f -valore; per ogn elemento del domno, l f -valore è unco. ( a A,! b B : f ( a) = b, dove le due condzon sono dunque formalzzate n termn d esstenza e unctà del valore) (adottamo un esempo: A = persone; B = ruol azendal) Ogn funzone (dunque per solo l fatto d soddsfare le due condzon ndcate) è rappresentable come l rsultato della composzone d due attvtà (n effett a loro volta funzon) elementar e paradgmatche: l dentfcazone d una partzone sul domno, coè d una collezone d sottonsem esaustv ( A = A) e mutuamente esclusv ( A A = ), basata sulla relazone d equvalenza tale che a 1 a sse f ( a ) = f ( a ) (da notare che esaustvtà e mutua esclusvtà hanno 1 un corrspondente logco rspettvamente ne prncp del terzo escluso ( v( x x) = V ) e d non contraddzone v( x x) = F )); l assegnazone d un nome a ogn classe d equvalenza della partzone. Questa composzone è vsualzzable come un trangolo commutatvo, f = g h, con g : A A/ dove A / è l cosddetto nseme quozente d A per : f A B g h A/ S stablsce coè una corrspondenza tra funzon d domno A e partzon sullo stesso domno. Un lmte (l lmte prncpale forse) d questa formalzzazone n quanto strumento d modellstca: non è frequente che le nostre categorzzazon operno effettvamente come relazon d equvalenza; crtche non sono la rflessvtà ( a a) né la smmetra ( a b b a), ma la transtvtà ( a b b c a c); molto spesso l punto d vsta è completamente dverso da quello adottato fnora, ed è basato su concett d compatbltà / dfferenza percepble, che sono non transtv (pù n generale, nostr concett spesso non sono transtv, e pù che per equvalenze pensamo per smlartà: l caso tpco del paradosso del sorte). Il domno A può essere organzzato n sottonsem d compatbltà, tpcamente con la regola che ogn elemento del domno appartene ad almeno un (ma non necessaramente a un solo) sottonseme, dunque mantenendo l esaustvtà / l terzo escluso ma non mponendo pù la mutua esclusvtà / la non contraddzone (che dunque perdono la loro caratterstca d dualtà). Un modo per formalzzare per stuazone mette n evdenza una tpca tecnca matematca: la generalzzazone. Se rdefnamo l codomno d f, da B a P( B ), l nseme de sottonsem d B, tutto torna come prma. La cosa ha un nterpretazone espressva nel caso n cu B sa un nseme θ j

3 numerco e valor f ( a ) sano ntervall: allora la compatbltà può essere espressa come ntersezone tra ntervall. Lezone 3: funzon e strutture Alcune (ulteror) caratterstche delle funzon, nel contesto d questa rappresentazone: surettvtà ( b B, a : b = f ( a) ), una propretà comunque convenzonale (se cert valor non s usano, è suffcente rdefnre la funzone sulla sua mmagne f ( A ); n questo modo la funzone d assegnazone d un nome h rsulta sempre bunvoca); nettvtà ( a 1 a f ( a 1 ) f ( a )), coè cardnaltà delle class d equvalenza = 1, coè funzone nvertble, coè funzone a massmo potere rsolutvo. Data la corrspondenza tra funzon d domno A e partzon sullo stesso domno, s stablsce parallelamente un ordne parzale d potere rsolutvo tra funzon / partzon: la partzone pù grezza è quella che contene una sola classe (corrspondente alle funzon costant, un unca funzone, a meno del cambo d nome); la partzone pù fne è quella n cu ogn classe ha cardnaltà 1 (corrspondente alle funzon nettve). Nel solto dagramma d retcolo: {a,b,c} {a,b} {a} {a,c} {b} {b,c} {c} un ncremento del potere rsolutvo, coè un raffnamento della partzone, corrsponde a una dscesa progressva attraverso l grafo. Una nota: abbamo notato come funzon e relazon d equvalenza sano modellstcamente sosttubl le une alle altre. Questa relazone è ulterormente estendble: poché ogn classe d equvalenza della partzone è coestensva con una propretà attraverso la medazone della funzone caratterstca / d appartenenza (da cu la naturale generalzzazone fuzzy), possamo equparare a funzon e relazon d equvalenza anche nsem (esaustv e mutuamente esclusv ) d propretà. Dunque: funzon partzon relazon d equvalenza nsem d propretà S tratta dunque d mod dvers per pensare e rappresentare (e vsualzzare) uno stesso concetto. Un altro esempo: consderamo le due propretà essere un numero dspar e essere un numero prmo, confrontabl perché defnte sullo stesso domno (dcamo numer natural). Ovvamente vale che ogn numero prmo è anche dspar. Possamo scrvere questa nformazone n mod dvers: dat sottonsem D e P, P D condzone necessara perché x sa P è che x sa D date le propretà D( x ) ( x è dspar) e P( x ) ( x è prmo), x, P( x) D( x) Un occhata alla tavola della vertà dell mplcazone:

4 mostra le corrspondenze con l equvalente dagramma d Venn: P D 0 1 Un estensone al dscorso fatto fnora: spesso le funzon sono defnte su domn che sono nsemcon-struttura, coè nsem su cu sono defnte operazon o relazon, e s rchede che le funzon mantengano ( conservno ) tale struttura nel codomno. L esempo pù semplce: f : A, B, <, tale dunque che se a a allora f dovrebbe essere 1 tale che f ( a ) < f ( a ). 1 Una funzone che n questo senso conserva la struttura s chama (omo)morfsmo. Renterpretando l trangolo commutatvo n termn d morfsm, s rbadsce ancora pù charamente quanto gà notato: ogn morfsmo corrsponde alla rduzone del domno a un nseme quozente, tra cu element (le class d equvalenza) è ancora applcata la struttura d partenza. Un morfsmo nettvo (a meno d non surettvtà, cosa che s rsolve con una restrzone del codomno) è un somorfsmo: a meno d un cambamento d nom, due strutture somorfe sono la stessa. Un secondo esempo, che consente qualche ulterore consderazone: la struttura potrebbe essere basata non su generche relazon ma su operazon (s chama algebra una coppa <nseme, operazon>): f : A, B, +, da cu l dagramma commutatvo: f a 1 f(a 1 ) a f(a ) + a 1 a f f(a 1 a )= f(a 1 )+f(a ) Un altro esempo, classco, d somorfsmo, f : +,, + : log a 1 log(a 1 ) a log(a ) + a 1 a log(a 1 a )=log(a 1 )+log(a ) log -1 (per esempo: 8 56 log (8 56)=log (8)+log (56)=3+8=11 11 =048). Attraverso l somorfsmo log s mettono n corrspondenza successon geometrche con successon artmetche; per esempo, a base 10: Per va dell somorfsmo, non s perde nformazone se una successone vene rappresentata n scala non lneare ma logartmca (è quello che s fa quando s valuta n db). Lezone 4: la formalzzazone della non-esattezza nel contesto delle algebre booleane L algebra booleana de sottonsem d un nseme X (nel caso # X = 3 è rappresentable medante l retcolo:

5 {a,b} {a} {a,b,c} {a,c} {b} {b,c} {c} gà ncontrato), P( X ) = X, è l domno per la formalzzazone d dat relatv a X e d cu s vogla modellzzare la non-esattezza, una caratterstca che s declna nel trade-off tra due component: (non) specfctà (o precsone) e (n)certezza. Sulla specfctà: è pù specfco questo lbro ha 10 pagne d questo lbro ha pù d 100 pagne. Formalzzando tal propretà / proposzon medante sottonsem d un opportuno nseme X, l grado d specfctà corrsponde al lvello d profondtà de sottonsem nel retcolo: dal massmamente generco (l elemento massmo del retcolo, corrspondente all unverso X : semantcamente corrsponde alla sola conferma del modello), fno al massmamente specfco (un sngoletto, sottonseme costtuto da un solo elemento d X ). Problema: come s potrebbe formalzzare n questo contesto questo lbro ha crca 100 pagne? ( l estensone possble de sottonsem fuzzy ) Sulla certezza: mentre la specfctà è una caratterstca ntrnseca (sceglendo un elemento d P( X ) se ne fssa l grado d specfctà), la certezza è una caratterstca agguntva, che s stablsce assegnando una msura d (n)certezza M a ogn elemento d P( X ). Convenzonalmente sceglamo M : P( X) [0,1], con le ovve condzon agl estrem: M ( ) = 0 e M( X ) = 1. E po ragonevole porre la condzone d monotonctà: A B M( A) M( B), che nuovamente evdenza una relazone tra la struttura d retcolo d P( X ) e una msura d non-esattezza. Questa volta, però, la drezone è nversa rspetto alla specfctà: aumenta la certezza mano a mano che s sale verso l massmo del retcolo. Ne concludamo la relazone generale: a partà d nformazone emprca da formalzzare, all aumentare della specfctà s rduce la certezza, e vceversa (da notare che questa è una versone generalzzata, e qund debole, della nota relazone probablstca tra ntervall d confdenza e lvell d confdenza). La msura d (n)certezza M non è defnta unvocamente dalle relazon precedent, ed è dunque opportuno ntrodurre un ulterore condzone, che ne specfch maggormente le caratterstche. La msura d probabltà è una partcolare msura d (n)certezza, defnta da: M ( A B) = M( A) + M( B) M( A B), condzone d addtvtà che sostanzalmente resprme l prncpo logco del terzo escluso, e dunque un comportamento d tpo parttvo. Il rfermento all assegnazone a element d una partzone è ancor pù evdente nella usuale modaltà alternatva d defnre la msura d probabltà, medante una funzone d denstà d probabltà m : X [0,1] defnta sugl element d X, dunque n pratca sulla partzone d X massmamente specfca: m( x ) = 1, da cu M ( A) = m( x ). x X La msura d probabltà è ben nota ed è stata studata e applcata orma da pù d tre secol. Non s capsce, però, la fondatezza dell usuale affermazone secondo cu essa sarebbe non una, ma la msura d (n)certezza. Non s capsce, coè, perché le valutazon d (n)certezza debbano necessaramente essere addtve. Il problema n cu questa non necesstà emerge forse pù charamente rguarda l comportamento modellstco n assenza d nformazone specfca. In cas d questo genere, l prncpo cosddetto d mnma nformazone (o, per ragon che qu non approfondamo, d massma entropa ) x A

6 raccomanda d assegnare una msura d probabltà basata su una denstà unforme, dunque m 1 ( x ) = n a ognuno degl n element x del domno. S tratta dunque d un assegnazone che attrbusce una certezza non nulla a element massmamente specfc, n completa contraddzone con l assunzone d non dsporre affatto d nformazon specfche! Il fatto è che la condzone d addtvtà mpone d trattare nello stesso modo (e qund modellstcamente non consente d dstnguere tra) l assenza d nformazone specfca ( non so ) e la presenza d nformazone unforme ( so che non, oppure anche so che le ncertezze sono equvalent ). Un esempo: n scav archeologc è stato trovato un vaso, e le prme anals ndcano tre possbltà: a : è un vaso del prmo perodo Mng; b : è un vaso del secondo perodo Mng; c : è un falso. Il domno n cu formalzzare l nformazone d cu s dspone è nuovamente l retcolo d un nseme d tre element (n cu, per esempo, assegnare una msura d (n)certezza non nulla all elemento { ab, } corrsponde ad attrbure certezza al fatto che l vaso sa Mng, del prmo o del secondo perodo). Supponamo che l ndagne sa stata assegnata sa a un esperto sa, maldestramente, a una persona ncompetente. Il prmo, dopo un accurata ndagne, potrebbe arrvare a concludere d dsporre d element a supporto dell evdenza sa d a, sa d b, sa d c, e qund potrebbe 1 assegnare ma ( ) = mb ( ) = mc ( ) = ; l secondo, rcorrendo onestamente al prncpo d mnma 3 nformazone, gungerebbe alla stessa conclusone ma con motvazon del tutto dverse e, soprattutto, con l ntenzone d formalzzare uno stato d conoscenza completamente dverso da quello dell esperto. Pù consstente sarebbe l opzone d attrbure l ntera certezza all nformazone pù generca, m({ a, b, c }) = 1, cosa che però evdentemente l approcco probablstco veta. E questa la base per una categora d msure d (n)certezza non probablstche, pù o meno charamente raccolte ntorno alla denotazone d teore dell evdenza. Lezone 5: dal fnto-dscreto al contnuo Due argoment d base: nsem a cardnaltà non fnta e operator (funzon d funzon) Quando s passa a consderare nsem a cardnaltà non fnta succedono cose strane Per esempo: 1 x stablsce una relazone bunvoca (= una funzone nvertble) tra [0,1] e + : c sono tant element nel prmo nseme quant nel secondo, benché l prmo sa un sottonseme propro del secondo (questa è la caratterstca che forse ha consentto d defnre per la prma volta un concetto d nfnto n modo non-negatvo) Operator: consderamo una generca funzone f : X Y e d questa consderamo per esempo l valore f ( x ) x1 x x Ovvamente la sommatora assume un valore defnto solo dopo che sono stat specfcat gl estrem x 1 e x e la funzone f. In termn general, dunque, possamo nterpretare l espressone d sommatora a sua volta come una funzone, cu argoment sono due element d X e la funzone f : I ( x, x, f ); trattando due element d X come parametr (coè scrvendo I x x 1, 1 0 y ( f )), s charsce la natura d I d funzone d funzon, coè d operatore, l cu domno è +

7 un nseme d funzon F { f, f: X Y} = : I : F Y. S tratta, n pratca, d una nuova generalzzazone: da valor a funzon a operator. Un successvo lvello d astrazone s ottene quando s enfatzza la natura funzonale degl operator, prescndendo da valor de parametr e focalzzandos sulla trasformazone funzonale che l operatore Iˆ : F F opera su una certa f a cu s applca. Per esempo, data la funzone f () = su natural, possamo nvestgare sull operatore x1+ x ( f ) ( f ) f ( x ) x1, x = I ( f ) = 1+ x x x 1 x1 x x x1 x 1, x S tratta evdentemente d una forma generale, applcable n partcolare a ogn coppa d parametr I = I =, per scoprre che ( ) x e 1 x per ottenere uno specfco valore. Mettendo nseme quest due argoment d base (mancherebbe un ulterore elemento: l contnuo ). Dervate e ntegral sono due operator, corrspondent rspettvamente a un comportamento d tasso d dfferenza e sommatora nel contnuo Per ess vale la dstnzone tra operator I e operator Î, per esempo n termn d ntegral defnt e ntegral ndefnt. La dstnzone tra operator I e operator Î è fondamentale: trovare una soluzone per Î è un problema d tpo smbolco / analtco ( non c sono cont da fare ); trovare una soluzone per I è un problema d tpo numerco. Naturalmente la determnazone d Î è un problema pù generale della determnazone d I : se s è n grado d trovare una soluzone per Î, allora è generalmente banale trovare una soluzone per I. D altra parte è possble trovare soluzon approssmate ( numerche ) per I anche quando non s è n grado d trovare soluzon analtche per Î. smb non necessaramente esste una soluzone esste sempre una soluzone, almeno n forma approssmata num Specfcamente rspetto a dervate e ntegral: «Confrontando la dervazone e l ntegrazone c s trova d fronte a stuazon ben dverse. La dervabltà è decsamente una condzone restrttva per le funzon contnue, ma l effettvo procedmento d dervazone, coè l algortmo del calcolo dfferenzale, è n pratca un procedmento dretto, basato su alcune semplc regole. D altra parte, ogn funzone contnua, senza alcuna eccezone, ammette un ntegrale compreso tra due estrem assegnat; ma l calcolo esplcto d tale ntegrale è n generale molto dffcle anche per funzon del tutto semplc» [R.Courant, Che cos è la matematca? p.677]. dervazone smb esste sempre una soluzone, ma n condzon restrttve raramente s conosce la soluzone che però esste sempre ntegrazone esste sempre una soluzone, almeno n forma approssmata num

8 Ancora sulla semantca d quest due operator, nel caso partcolare n cu le funzon hanno l tempo come varable ndpendente. df () t = g () t rappresenta la varazone della funzone f, e qund dt df () t dt t= t 0 = g ( t ) rappresenta la varazone della funzone f all stante t 0, dunque formalzza (la prevsone su) l evoluzone locale d f : l evoluzone locale d una funzone, se è defnta, è sempre determnable; la corrsponde equazone ntegrale, t1 f ( t ) = f ( t ) + g ( τ ) dτ 1 0 rappresenta l evoluzone globale d f : l evoluzone globale d una funzone è sempre defnta, ma non sempre è determnable Interessante è l fatto che l evoluzone globale d f è ottenble anche dallo svluppo n sere d d f () t Taylor: f ( t + t) 0 dt t= t0 La conclusone: nfrangete la struttura che connette gl element d cò che s apprende e dstruggerete necessaramente ogn qualtà (G.Bateson, Mente e natura, 1979, Adelph, 1984, p.1) t0 0

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