Aurelio Uncini ELABORAZIONE ADATTATIVA DEI SEGNALI

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1 Aurelio Uncini ELABORAZIONE ADATTATIVA DEI SEGNALI

2 Copyright MMX ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133/A B Roma (06) ISBN xxx x I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: marzo 2010

3 Indice Prefazione xxi 1 Richiami di segnali e circuiti a tempo-discreto Introduzione Sequenze deterministiche di base Impulso unitario Gradino unitario Sequenza esponenziale reale e complessa Circuiti a tempo discreto Proprietà generali dei circuiti a tempo discreto Proprietà dei circuiti TD LTI Definizione dei componenti circuitali a tempo-discreto Rappresentazione di circuiti TD nel dominio della frequenza Rappresentazione di segnali e circuiti TD in domini trasformati La trasformata-z Trasformata di Fourier per segnali discreti (DTFT) La trasformata di Fourier discreta (DFT) Funzione di trasferimento Filtri ideali Equazioni alle differenze finite Diagramma poli-zeri e criterio di stabilità Circuiti con risposta impulsiva di durata finita e infinita Esempi di filtri FIR Esempi di filtri IIR Circuiti inversi Introduzione ai processi stocastici nel tempo-discreto Variabili aleatorie Distribuzioni e funzioni densità 44

4 vi Indice Medie statistiche Grandezze statistiche associate ai momenti di ordine m Distribuzioni di probabilità congiunte Distribuzioni tipiche di VA Teorema centrale del limite Vettori di variabili aleatorie Aspettazione di vettori random Matrici di covarianza e di correlazione Processi stocastici Funzioni statistiche dei PS Medie d insieme, proprietà e grandezze caratteristiche dei PS Momenti di ordine superiore Proprietà e caratteristiche dei processi stocastici Processi stocastici stazionari Processi ergodici Medie statistiche di processi ergodici Matrice di correlazione di sequenze random Autovalori e autovettori di R Sequenze random stazionarie e sistemi TD LTI Sequenza di crosscorrelazione ingresso-uscita Sequenza d autocorrelazione d uscita Pdf d uscita Rappresentazione spettrale di sequenze random stazionarie Densità spettrale di potenza e funzioni di coerenza Rappresentazione spettrale di sequenze random stazionarie e sistemi TD LTI Esempi di processi stocastici Sequenza rumore uniforme Sequenza rumore bianco e rumore bianco Gaussiano Richiami di Teoria della Stima Definizioni preliminari e notazione Distribuzione campionaria Aspettazione, polarizzazione o deviazione dello stimatore Varianza dello stimatore Errore ai minimi quadrati dello stimatore Esempio: stima del guadagno in corrente continua di una sequenza bianca Gaussiana Stimatore non polarizzato a minima varianza (MVU) Stimatore consistente Intervallo di confidenza Stima classica e Bayesiana Stima Maximum A Posteriori (MAP) Stima a massima verosimiglianza Esempio: misura rumorosa di un parametro con una osservazione Esempio: misura rumorosa di un parametro con N osservazioni Esempio: misura rumorosa di L parametri con N osservazioni Limite inferiore di varianza: Cramér Rao lower bound (CRLB) 91

5 Indice vii Stimatore a minimo MSE (MMSE) Stimatore MMSE lineare Esempio: stima di segnali Modelli Stocastici Teorema di Wold Modello autoregressivo Modello media mobile Stima spettrale con modello autoregressivo e media mobile (ARMA) 100 Bibliografia Introduzione alla elaborazione adattativa dei segnali Introduzione Il filtraggio adattativo: generalità e definizioni Classificazione dei filtri adattativi Classificazione in base alla caratteristica ingresso-uscita Classificazione in base all algoritmo di apprendimento Classificazione in base alla funzione costo da ottimizzare Principali applicazioni del filtraggio adattativo Processo d identificazione di un sistema fisico dinamico Scelta del modello Insieme di misure Predizione Stima adattativa del modello inverso Equalizzazione Predistorsione e controllo Cancellazione adattativa di interferenza Cancellazione adattativa di rumore Cancellazione d eco Cancellazione o controllo attivo del rumore Schiere di sensori (array processing) Cancellazione del rumore multicanale e stima della direzione di arrivo di un onda Beamforming Controllo attivo dell acustica ambientale Reti neurali Il neurone formale La topologia Paradigmi e algoritmi di apprendimento Elaborazione alla cieca dei segnali e separazione di sorgenti Separazione di sorgenti indipendenti Deconvoluzione di sorgenti 138 Bibliografia 139

6 viii Indice 3 Filtraggio lineare ottimo Introduzione Generalità e notazione Il filtro trasversale a singolo ingresso-uscita Notazione multi ingresso-uscita Filtro MIMO in notazione composita Filtro MIMO in notazione composita Sistema MIMO (P,Q) come parallelo di Q banchi filtri a P canali Filtro MIMO in notazione snap-shot o composita Scelta della funzione costo Ottimizzazione stocastica e stocastica approssimata Adattamento con ottimizzazione stocastica Equazioni normali in notazione stocastica di Wiener Sulla stima della matrice di correlazione e sulla soluzione delle equazioni normali Stime della acf e ccf Interpretazione nel domino della frequenza e funzione coerenza Misura delle prestazioni del filtro adattativo Superficie di errore (performace surface) Energia minima di errore Forma canonica della superficie di errore Eccesso di errore Interpretazione geometrica e principio di ortogonalità Analisi delle componenti principali del filtro ottimo Numero di condizionamento della matrice di correlazione Estensione nel dominio complesso del filtro di Wiener Equazioni normali di Wiener multicanale Esempi applicativi Modellazione di un sistema dinamico Determinazione della performance surface e minima energia d errore Modellazione di un sistema dinamico Time delay estimation Determinazione della performance surface e minima energia d errore Equalizzazione di un canale di comunicazione Cancellatore adattativo di rumore Effetto della componente del segnale all ingresso di riferimento secondario Prestazione del cancellatore di rumore Cancellatore adattativo di rumore: prospezione acustica sottomarina Cancellatore adattativo di rumore in assenza di segnale di riferimento secondario Caso 1 - segnale utile a banda larga e rumore a banda stretta Caso 2 - segnale utile a banda stretta e rumore a banda larga: Adaptive Line Enhancement (ALE) 190

7 Indice ix Bibliografia Metodo dei minimi quadrati Introduzione Introduzione al Least Squares: ottimizzazione stocastica approssimata Generalità sulla metodologia Least Squares Formulazione del filtraggio adattativo con metodo LS Definizioni e notazione Equazioni normali nella formulazione di Yule-Walker Energia minima di errore Note implementative e indici temporali Matrice dei dati X da singolo sensore Matrice dei dati X da schiera di sensori Interpretazione geometrica e principio di ortogonalità Principio di ortogonalità Operatore proiezione e spazio colonna di X Proprietà della soluzione LS Varianti metodo LS LS pesato: Weighted Least-Squares (WLS) LS regolarizzato Regolarizzazione e mal-condizionamento della matrice RXX LS pesato e regolarizzato Sulla soluzione di sistemi lineari con metodo LS Generalità sui sistemi di equazioni lineari sovra e sotto dimensionati Sistema consistente con matrice quadrata Sistema sovradimensionato Sistema sottodimensionato Algoritmo δ - solution (variante di Levenberg-Marquardt) Soluzione iterativa del sistema LS con attrattore di Lyapunov LS iterativo LS iterativo-pesato Metodi LS con fattorizzazione matriciale Soluzione LS con decomposizione di Cholesky Soluzione LS con metodi di ortogonalizzazione Soluzione LS con fattorizzazione QR della matrice X Soluzione LS con metodo di decomposizione in valori singolari Teorema di scomposizione in valori singolari SVD e LS Algoritmo SVD-LS SVD e regolarizzazione di Tikhonov Total Least Squares Soluzione TLS TLS Generalizzato 234

8 x Indice 4.6 Sistemi lineari sottodimensionati a soluzione sparsa e algoritmi matching pursuit Formulazione del problema della selezione della base Soluzione LS iterativa approssimata a norma Lp minima Soluzione sparsa a minima norma quadratica Unicità della soluzione Soluzione sparsa a minima norma quadratica pesata Algoritmo FOCal Underdetermined System Solver (FOCUSS) Algoritmo FOCUSS generale Riformulazione algoritmo FOCUSS con Affine Scaling Transformation (AST) 245 Bibliografia Algoritmi adattativi del primo ordine Introduzione Sulla formulazione ricorsiva degli algoritmi di adattamento Algoritmi SDA e SGA del primo ordine Errore a priori ed errore a posteriori Algoritmi SDA e SGA del secondo ordine Varianti dei metodi del secondo ordine Sommario dei metodi del secondo ordine SGA e SDA Prestazioni degli algoritmi adattativi Algoritmo di adattamento come sistema dinamico non lineare Analisi di stabilità: convergenza media e quadratica-media Vettore errore dei pesi e deviazione quadratica media Prestazioni a regime: eccesso di errore Velocità di convergenza e curva di apprendimento Proprietà di inseguimento Proprietà generali e degli algoritmi di adattamento Analisi SGA mediante equazione alle differenze stocastica Proprietà di minima perturbazione Approccio energetico allo studio: principio di conservazione dell energia Principio di conservazione dell energia Teorema di conservazione dell energia Metodo di discesa lungo il gradiente: Steepest-Descent Algorithm (SDA) Estensione multicanale dell SDA Dimostrazione di convergenza e stabilità dell SDA Condizione di stabilità dell SDA Velocità di convergenza: disparità degli autovalori e convergenza non uniforme Disparità degli autovalori e spettro Costante di tempo di convergenza e curva di apprendimento 277

9 Indice xi 5.3 Algoritmo del gradiente stocastico del primo ordine: Least Mean Squares (LMS) Formulazione dell algoritmo LMS LMS: formulazione con approssimazione istantanea Sommario algoritmo LMS Confronto LMS e SDA Costo computazionale algoritmo LMS Proprietà di minima perturbazione e derivazione alternativa dell algoritmo LMS Estensione LMS nel dominio complesso Costo computazionale LMS con vincolo lineare Determinazione della soluzione LS Soluzione ricorsiva Sommario algoritmo LMS vincolato Algoritmi LMS multicanale Adattamento globale Adattamento a banchi Adattamento dei singoli filtri LMS MIMO come approssimazione SDA MIMO Analisi statistica e prestazionale dell algoritmo LMS Modello di analisi prestazionale Energia minima di errore nel modello di analisi prestazionale Caratterizzazione e convergenza LMS con equazione alle differenze stocastica Studio della convergenza debole Convergenza quadratica media: studio della deviazione quadratica media del vettore errore Eccesso di errore e curva di apprendimento Eccesso di errore a regime Curva di apprendimento Velocità di convergenza: disparità degli autovalori e convergenza non uniforme Analisi dell errore a regime via FdT per ingresso deterministico Varianti algoritmo LMS Algoritmo Normalized LMS (NLMS) Costo computazionale algoritmo NLMS Proprietà di minima perturbazione dell algoritmo NLMS Algoritmi NLMS proporzionali Altre varianti dell algoritmo LMS Algoritmo Sign-Error LMS Algoritmo Signed-Regressor LMS Algoritmo Sign-Sign LMS Algoritmo Least Mean Fourth (LMF) Algoritmo Least Mean Mixed Norm (LMMN) LMS con filtro di stima del gradiente 314

10 xii Indice Momentum LMS Algoritmi LMS con apprendimento ritardato Operatore di filtraggio nel dominio del tempo discreto Algoritmo LMS ritardato (delayed LMS) Filtered-X LMS LMS con rete aggiunta FX-LMS multicanale AD-LMS multicanale 326 Bibliografia Algoritmi a regressione sequenziale Introduzione Metodo di Newton e algoritmi a regressione sequenziale Algoritmo di Newton Studio della convergenza La classe di algoritmi a regressione sequenziale Definizioni e notazione Derivazione algoritmi ESR Studio della convergenza media Algoritmo LMS/Newton Stima ricorsiva dell autocorrelazione time-average Lemma di inversione matriciale Stima ricorsiva di R xx, n con LIM Algoritmo a regressione sequenziale con LIM Algoritmo della proiezione affine Derivazione APA con proprietà di minima perturbazione Derivazione APA come metodo di Newton approssimato Complessità algoritmi APA La classe di algoritmi APA Algoritmo della proiezione affine veloce Algoritmo a regressione sequenziale con fattore di oblio: Recursive Least Squares (RLS) Derivazione metodo RLS Calcolo ricorsivo della matrice di correlazione con fattore di oblio e guadagno di Kalman RLS: aggiornamento con errore a priori e a posteriori Algoritmo LS ricorsivo convenzionale (CRLS) Complessità computazionale RLS Analisi prestazionale e convergenza dell RLS Studio delle convergenza media Studio delle convergenza quadratica-media Robustezza CRLS 354

11 Indice xiii RLS in ambiente non stazionario Filtro di Kalman Formulazione del filtro di Kalman a tempo discreto Algoritmo del FdK Filtraggio di Kalman come estensione del criterio RLS Robustezza del FdK Algoritmo del FdK in presenza di segnale esterno Prestazioni di inseguimento degli algoritmi adattativi Modello di analisi Generazione del processo non stazionario con modello passeggiata aleatoria Energia minima di errore Grandezze di analisi e relazioni fondamentali Prestazioni inseguimento algoritmo LMS Convergenza quadratica media LMS nel caso non stazionario: studio della MSD Prestazioni inseguimento algoritmo RLS Convergenza quadratica media RLS nel caso non stazionario: studio della MSD Algoritmi a regressione sequenziale di errore MIMO RLS multicanale Filtraggio adattativo MIMO con ingressi a bassa diversità RLS fattorizzato multicanale LMS multicanale con dipendenza tra i canali APA multicanale Legge generale di adattamento Forma adattativa regolarizzata con vincolo di sparsità Adattamento lineare: classe APA e RLS Adattamento non lineare con discesa lungo il gradiente naturale: classe PNLMS e IPNLMS Exponentiated Gradient Algorithms Algoritmo EG per pesi positivi Algoritmo EG per pesi positivi e negativi Algoritmo Exponentiated RLS 388 Bibliografia Algoritmi a blocchi e in dominio trasformato Introduzione Classificazione degli algoritmi on-line e a blocchi in dominio trasformato Filtraggio adattativo a blocchi Algoritmo LMS a blocchi Sommario algoritmo BLMS 398

12 xiv Indice Proprietà di convergenza del BLMS Filtraggio adattativo a blocchi nel dominio della frequenza Convoluzione e filtraggio nel dominio della frequenza DFT e IDFT in notazione vettoriale Convoluzione lineare nel dominio della frequenza con metodo overlap-save Generalità sugli algoritmi FDAF La classe degli algoritmi FDAF Normalizzazione del passo di adattamento: step size normalization Algoritmo overlap-save FDAF Aggiornamento dei pesi e vincolo di gradiente Sommario algoritmo OS-FDAF Algoritmo overlap-save FDAF non vincolato Algoritmo overlap-add FDAF Algoritmo overlap-save FDAF con errore in frequenza FDAF non vincolato con N = M: metodo a convoluzione circolare Matrice Toeplitz circolante FDAF a convoluzione circolare Analisi prestazionale degli algoritmi FDAF Analisi computazionale Analisi della convergenza UFDAF Matrice di correlazione normalizzata Algoritmi FDAF in frequenza con risposta impulsiva partizionata Algoritmo PBFDAF Sviluppo algoritmo PBFDAF Sommario algoritmo PFDAF Costo computazionale PBFDAF Prestazioni Algoritmo PFDAF Prestazioni PFDAF per L = M Prestazioni PFDAF per L < M Filtri adattativi nel dominio trasformato Algoritmi TDFA DTAF: trasformazioni ottime e sub-ottime LMS nel dominio trasformato Sommario algoritmo LMS con sliding transformation LMS a finestra scorrevole: interpretazione campionamento in frequenza con banco filtri passa-banda Note implementative Prestazioni TDFA Metodi multirate e banchi filtri Decimazione, interpolazione e rappresentazioni multirate Decimazione Interpolazione Rappresentazione polifase e a componenti modulate DFT e banco filtri di analisi e di sintesi 456

13 Indice xv Forme duali del banco filtri di analisi Forme duali del banco filtri di sintesi Progetto dei banchi filtri Banco filtri a due canali QMF Rappresentazione del banco QMF nel dominio delle componenti modulate Progetto del banco QMF a ricostruzione perfetta Sintesi in frequenza: fattorizzazione spettrale Progetto del prototipo passa-basso con il metodo di Johnston Sintesi nel dominio del tempo Banchi filtri FIR a coseno modulato: banchi pseudo-qmf Compensazione dell aliasing Banchi filtri a spaziatura non uniforme Filtraggio adattativo a sottobande SAF a ciclo-aperto e ciclo-chiuso Condizione di esistenza della soluzione ottima Strutture SAF Struttura SAF tridiagonale di Gilloire-Vetterli Adattamento LMS Struttura SAF polifase di Pradhan-Reddy Caratteristiche dei banchi di analisi-sintesi nelle struttura SAF 488 Bibliografia Predizione lineare e algoritmi a ordine ricorsivo Introduzione Stima lineare, predizione in avanti e all indietro Stima lineare, predizione in avanti e predizione all indietro: approccio ottimo Equazioni normali aumentate nella forma di Wiener Stimatore lineare simmetrico Forward linear prediction Backward linear prediction Relazione tra i coefficienti di predizione nel caso di processi stazionari Predizione lineare in avanti e all indietro combinata: forward-backward linear prediction Stima lineare, predizione in avanti e predizione all indietro: approccio LS Predizione LS forward e backward combinata Equazioni normali aumentate nella forma di Yule-Walker Stima spettrale di una sequenza aleatoria lineare Codifica a predizione lineare (LPC) del segnale vocale Algoritmi a ordine ricorsivo Lemma di inversione di matrici partizionate 514

14 xvi Indice Filtri a ordine ricorsivo Algoritmo di Levinson-Durbin Determinazione dei coefficienti di riflessione Inizializzazione parametri k e β Sommario algoritmo Levinson-Durbin Filtro a predizione di errore in forma diretta II Filtri di predizione a traliccio Algoritmo di Schür Proprietà della struttura a traliccio Filtro a traliccio inverso a soli poli Algoritmi RLS a ordine ricorsivo Formulazione Fast Fixed-Order RLS in notazione ordine ricorsivo Filtro trasversale RLS Filtro predittore forward RLS Filtro predittore backward Algoritmi FKA, FAEST e FTF Algoritmo veloce di Kalman (Fast Kalman Algorithm) Algoritmo sequenziale veloce con errore a posteriori Fast a posteriori error sequential technique (FAEST) Algoritmo sequenziale veloce con errore priori Fast Transversal Filter (FTF) RLS su reti a scala-traliccio RLS scala-traliccio con errore a posteriori RLS scala-traliccio con errore a priori RLS scala-traliccio con aggiornamento errore a retroazione 545 Bibliografia Filtraggio spazio-temporale discreto Introduzione Applicazioni dell array processing Tipologie di sensore Distribuzione spaziale dei sensori Algoritmi AP Array processing: modello e notazione Modello di propagazione Vettore di direzione Funzione di direttività del sensore Modello del segnale Modello di propagazione anecoico Modello di propagazione in ambiente confinato Vettori di direzione per geometrie di array tipiche Array lineare a distribuzione uniforme (ULA) Array circolare a distribuzione uniforme (UCA) 563

15 Indice xvii Array lineare a distribuzione armonica Modello circuitale per array processing e campionamento spazio temporale Modello multi ingresso-uscita composito per array processing Apertura spazio temporale dell array: campionamento spazio-temporale Vettore direzione per filter & sum beamformer Caratteristiche del campo di rumore e indici di qualità Matrice di covarianza spaziale e operatori di proiezione Rumore spazialmente bianco Fattorizzazione spettrale della matrice di covarianza spaziale Operatori di proiezione Rumore isotropico a simmetria sferica e cilindrica Caratteristiche del campo di rumore Campo coerente Campo incoerente Campo diffuso Campo di rumore combinato Parametri di qualità e sensibilità dell array Rapporto segnale rumore ingresso e in uscita del BF Funzioni di radiazione Guadagno dell array Sensibilità Beamforming convenzionale Beamforming convenzionale: DSBF-ULA Diagramma di radiazione Guadagni del DSBF Orientazione del diagramma di radiazione: steering delay Microfoni differenziali Beamformer a banda larga con decomposizione spettrale Sintesi diretta delle risposta spaziale con metodi approssimati Metodo della finestratura Sintesi della risposta spaziale con campionamento delle risposta in frequenza e angolare Beamforming statici statisticamente ottimi: data dependent beamforming Beamformer a massimo SNR e superdirettivi Beamformer standard di Capon Soluzioni generali regolarizzate di Cox con vincoli di robustezza Beamformer superdirettivo: line-array Post-filtering beamformer Beamformer a larga banda a minima varianza: algoritmo di Frost Formulazione LS vincolata linearmente Determinazione della matrice di vincolo LS vincolato: soluzione con metodo dei moltiplicatori di Lagrange Soluzione ricorsiva LMS: gradiente stocastico vincolato Sommario algoritmo ricorsivo di Frost Interpretazione geometrica 614

16 xviii Indice Soluzione ricorsiva: gradient projection algorithm Determinazione dei vincoli dell LCMV Beamforming adattativo Introduzione al beamforming adattativo: il cancellatore adattativo di rumore multiplo Beamformer di Widrow Cancellatore di interferenze multiple: Generalized Sidelobe Canceller (GSC) Determinazione della matrice di blocco Adattamento del GSC GSC notazione composita con J vincoli GSC nel dominio della frequenza Beamforming GSC robusti Beamforming in ambiente riverberante Beamformer linearmente vincolato con vincolo adattativo Relative transfer function GSC Stima della direzione di arrivo e del tempo di ritardo DOA a banda stretta DOA con beamformer convenzionale: metodo Steered Response Power (SPR) DOA con beamformer di Capon DOA con analisi di sottospazio DOA con metodi parametrici Metodi DOA a banda larga Metodi di stima del tempo di ritardo Metodo della cross-correlazione Metodo della cross-correlazione generalizzata di Knapp-Carter Metodo SRP-PHAT 656 Bibliografia 658 A Appendice A Fondamenti di Algebra Lineare 661 A.1 Matrici e vettori 661 A.2 Notazione, definizioni preliminari 661 A.2.1 Matrice trasposta ed Hermitiana 662 A.2.2 Vettori riga e colonna di una matrice 662 A.2.3 Matrice partizionata 663 A.2.4 Matrice diagonale e matrice simmetrica 664 A.2.5 Proprietà fondamentali 664 A.3 Matrice inversa, pseudo inversa e determinante 664 A.3.1 Matrice inversa 664 A.3.2 Matrice pseudo inversa 664 A.3.3 Determinante 665 A.4 Prodotto interno ed esterno di vettori 666

17 Indice xix A.5 Vettori linearmente indipendenti 667 A.6 Rango e sottospazi associati a una matrice 667 A.6.1 Spazio colonna di una matrice 667 A.6.2 Spazio nullo o nucleo di una matrice 668 A.6.3 Teorema dl rango 668 A.6.4 I quattro sottospazi fondamentali 669 A.7 Ortogonalità e matrici unitarie 669 A.8 Autovalori e autovettori 670 A.9 Traccia di una matrice 671 A.10 Diagonalizzazione di una matrice 671 A.11 Diagonalizzazione di una matrice normale 671 A.12 Norme di vettori e matrici 672 A.12.1 Norme di vettori 672 A.12.2 Norma di matrici 674 A.13 Lemma d inversione matriciale 675 A.14 Teorema di decomposizione in valori singolari (SVD) 675 A.14.1 SVD e sottospazi della matrice X 677 A.14.2 SVD e matrice pseudoinversa 678 A.15 Numero di condizionamento 679 A.16 Prodotto di Kroneker 679 Bibliografia 680 B Appendice B Fondamenti di programmazione non lineare 681 B.1 La programmazione non lineare 681 B.2 Metodi di ottimizzazione non vincolata 681 B.2.1 Esistenza e caratterizzazione del minimo 682 B.3 Algoritmi di ottimizzazione non vincolata 683 B.3.1 Principi di base 683 B.3.2 Algoritmi del primo e del secondo ordine 684 B.3.3 La tecnica line search e la condizione di Wolfe 685 B.3.4 Il metodo di Newton standard 687 B.3.5 La variante di Levenberg-Marquardt 689 B.3.6 Metodo a metrica variabile o quasi-newton 689 B.3.7 Metodi del gradiente coniugato 691 B.4 Ottimizzazione vincolata 693 B.4.1 Problemi con un solo vincolo di uguaglianza: esistenza e caratterizzazione del minimo 693

18 xx Indice B.4.2 Ottimizzazione vincolata: il metodo dei moltiplicatori di Lagrange 694 B.4.3 Funzione Lagrangiana per singolo vincolo 694 B.4.4 Ottimizzazione vincolata con vincoli di diseguaglianza multipli: condizioni di Kuhn-Tucker 695 B.4.5 Moltiplicatori di Lagrange con vincoli multipli misti: condizioni di Karus-Kuhn-Tucker 697 B.4.6 Formulazione del problema duale 699 Bibliografia 701

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