Esercizi 9 Rango di una matrice, sistemi lineari

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1 Esercizi 9 Rango di una matrice, sistemi lineari Quesiti a risposta multipla 0 3 ) Sia A a. Il rango di A è uguale a se e solo se 0 3 a a b a 0 c a k 0 0 ) Sia A, con k numero reale. Allora il rango della matrice A è k k k a ra ( ) b ra ( ) 3 k 3 k k, c ra ( ) d nessuna delle precedenti 3 k, 3) Sia L un sottospazio di dimensione di L è: a R. Se i vettori 3 0,, b 3 c 0 0 sono un sistema di generatori di L, la d nessuna delle precedenti x 6 ) Il sistema lineare 8 y c non ha soluzioni b ha una sola soluzione d nessuna delle precedenti x 3 3 5) Il sistema lineare x 5 0 x3 0 3 x c non ha soluzioni b ha una sola soluzione d nessuna delle precedenti

2 x y3z 6) Il sistema lineare 3x yz y z c non ha soluzioni b ha una sola soluzione d nessuna delle precedenti x yz a 7) Il sistema lineare 3x yz a a ha sempre una sola soluzione, indipendentemente da a b non ha mai soluzioni, indipendentemente da a c ha sempre infinite soluzioni, indipendentemente da a d nessuna delle precedenti 5 8) Sia A 0 a ha infinite soluzioni, b c ha una sola soluzione, b. Il sistema lineare A x b b è impossibile, b d nessuna delle precedenti 9) Sia x* una soluzione del sistema lineare Ax 0. Allora: 3 a x* è l unica soluzione del sistema lineare, oltre alla soluzione banale 0 b il sistema lineare ha infinite soluzioni, che costituiscono uno spazio vettoriale c il sistema lineare ha infinite soluzioni, che non costituiscono uno spazio vettoriale d nessuna delle precedenti 0) Siano x, x 0 due soluzioni di un sistema lineare Ax b, con b 0. Allora: 3 0 x, x potrebbero essere le uniche soluzioni del sistema lineare a b il sistema lineare ha infinite soluzioni, che costituiscono uno spazio vettoriale c il sistema lineare ha infinite soluzioni, che non costituiscono uno spazio vettoriale d nessuna delle precedenti

3 ) Sia A a è un sottospazio di R c è formato dal solo vettore nullo. L insieme delle soluzioni del sistema lineare A x 0 b è un sottospazio di 3 R ) Sia A , b a 7 3. Il sistema lineare Ax bammette l unica soluzione: 5 5 x b x c x 3 x yz 3) Il sistema lineare x yz 3x yz a ha una sola soluzione, il vettore (3,5,0) c non ha soluzioni b ha una sola soluzione, il vettore (3,0,5) d nessuna delle precedenti ) Sia f : R R lineare, con a b 0 f 0 e 0 3 f. La controimmagine di 3 è: c d nessuna delle precedenti Quesiti a risposta aperta ) Sia A a 3 a 6. Per quali valori del parametro a il rango di A è uguale a? a 3 ) Sono date due matrici quadrate A, B di ordine. Il rango di A è 3. Che cosa possiamo dire sul determinante della matrice AB? [il determinante di AB vale 0] 3) Sia A 0, fx= ( ) Ax. Qual è la dimensione di Imf? Qual è la dimensione di Kerf? 0 [ e 0 rispettivamente]

4 ) Sia A uguale a? 8, fx ( ) Ax, con. Per quale valore di la dimensione del nucleo Kerf è 5) Quante soluzioni ha il sistema lineare 0 9 x 0 6 y? [una sola soluzione] 8 0 z ax y 6) Discutere il numero di soluzioni del sistema lineare x y a, al variare del parametro a. x y 3 [per a, a il sistema ha una sola soluzione, altrimenti è impossibile] x yaz a 7) Discutere il numero di soluzioni del sistema lineare x y z 0, al variare del parametro a. 3xz 0 [per a 0 ha infinite soluzioni, altrimenti ha una sola soluzione] 8) Si determini per quali valori di k R il sistema lineare Ax b, con b, ha una e una sola soluzione. k 3 k A e 9) La matrice completa di un sistema lineare con 3 equazioni e incognite ha rango 3. Che cosa possiamo dedurre sulle soluzioni del sistema? [il sistema non ha soluzioni] 0) Un sistema lineare di 3 equazioni in incognite è omogeneo. Che cosa possiamo dedurre sulle soluzioni del sistema? [il sistema ha infinite soluzioni] ) Sia dato un sistema lineare Ax b, in cui A è una matrice quadrata di ordine 7 e b R 7. Se det A 0, che cosa possiamo dedurre sulle soluzioni del sistema? [il sistema non ha soluzioni, oppure ne ha infinite]

5 ) Un sistema lineare ha equazioni e una sola soluzione. Che cosa possiamo dedurre sul numero di incognite del sistema? [il sistema ha n incognite] 3) Un sistema lineare ha 3 incognite e infinite soluzioni. Che cosa possiamo dedurre sul numero di equazioni del sistema? [nulla]

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