Serie di Fourier. Hynek Kovarik. Analisi Matematica 2. Università di Brescia

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1 Serie di Fourier Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 1 / 37

2 Polinomi trigonometrici Definizione Si dice polinomio trigonometrico di ordine n la funzione n S n (x) = α k cos(kx) + β k sin(kx), k=0 con opportuni coefficienti α k, β k R Notiamo che S n è una funzione 2π periodica, cioè si ha S n (x + 2π) = S n (x) x R. Passando formalmente al limite n si ottiene una serie trigonometrica α k cos(kx) + β k sin(kx) k=0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 2 / 37

3 Domanda: data una funzione f : R R, 2π periodica, è possibile svilupparla un una serie trigonometrica convergente? In altri termini, ci chiediamo se esistono i coefficienti {α k } k N e {β k } k N tali che f α k cos(kx) + β k sin(kx) k=0 dove il significato del simbolo è da precisare. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 3 / 37

4 Coefficienti di Fourier Definizione Data una funzione f : R R, 2π periodica e integrabile su [0, 2π], chiamiamo a k = 1 π 2π 0 f (x) cos(kx) dx, k 0, k N; b k = 1 π 2π 0 i coefficienti di Fourier di f. f (x) sin(kx) dx, k 1, k N Notiamo che a 0 = 1 π 2π 0 f (x) dx Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 4 / 37

5 Polinomio trigonometrico di Fourier Definizione Data una funzione f : R R, 2π periodica e integrabile su [0, 2π] e dati i coefficienti di Fourier di f ; a k e b k, chiamiamo P n (x) = a n a k cos(kx) + b k sin(kx), n N, il polinomio trigonometrico di Fourier di f. Il polinomio trigonometrico di Fourier P n fornisce la migliore approssimazione della funzione f in media quadratica : Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 5 / 37

6 Teorema Sia f : R R, 2π periodica e integrabile su [0, 2π]. Sia S n un polinomio trigonometrico di ordine n; Allora 2π 0 S n (x) = n α k cos(kx) + β k sin(kx). k=0 f (x) P n (x) 2 dx 2π dove P n (x) è Il polinomio trigonometrico di Fourier di f. 0 f (x) S n (x) 2 dx, (1) Inoltre vale 2π lim f (x) P n (x) 2 dx = 0. n + 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 6 / 37

7 Chiamiamo a 0 la serie di Fourier di f. 2 + a k cos(kx) + b k sin(kx) Diciamo che ogni funzione f : R R, 2π periodica e integrabile su [0, 2π] è sviluppabile in serie di Fourier e scriviamo f a a k cos(kx) + b k sin(kx) (2) Attenzione: in generale l equazione (2) non è un uguaglianza puntuale! Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 7 / 37

8 Esempi - Onda quadra: f data da 1 π x < 0, f (x) = 1 0 x < π per x [ π, π[ e prolungata per periodicità a tutto R. - Onda a dente di sega: f (x) = x per x [ π, π[, prolungata per periodicità a tutto R. - Onda triangolare: f (x) = x con x [ π, π[, prolungata per periodicità a tutto R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 8 / 37

9 Applicazioni 1. Compressione di segnali acustici: segnale acustico originale a a k cos(kx) + b k sin(kx) tronco la serie di Fourier ad esempio a partire da k = a a k cos(kx) + b k sin(kx) segnale acustico compresso -formato MP3, etc. 2. Compressione dell immagine: JPEG. 3. Riduzione del rumore Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 9 / 37

10 Teorema (Uguaglianza di Parseval) Sia f : R R periodica di periodo 2π, integrabile su [0, 2π]. Allora 1 2π f (x) 2 dx = a2 + 0 π ( ) ak 2 + b2 k. L uguaglianza di Parseval ci permette di calcolare le somme di alcune serie numeriche. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 10 / 37

11 Esempio Sia f (x) = x con x [ π, π[, prolungata per periodicità a tutto R Calcoliamo i coefficienti di Fourier di f : a k = 1 π π π π b k = 1 x sin(kx) dx = 2 π π π = 2 ( π x cos(kx) ) x=π k + 2 x=0 kπ = 2 kπ π( 1)k + 2 kπ x cos(kx) dx = 0; sin(kx) k π 0 π 0 x=π x sin(kx) dx = cos(kx) dx = x=0 = 2 k ( 1)k. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 11 / 37

12 Quindi la serie di Fourier di f è + 2 ( 1) k k sin(kx). Dall uguaglianza di Parseval si ottiene 1 2π f (x) 2 dx = 1 π π 0 π π = 2 π = π 0 + f (x) 2 dx = 1 π x 2 dx = 2 3 π2 π π ( 2 ( 1)k ) 2= + 4 k x 2 dx 1 k 2. Ne segue che + 1 k 2 = π2 6. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 12 / 37

13 nel calcolo precedente abbiamo usato il seguente risultato: Lemma Sia f : R R periodica con periodo T e integrabile su [0, T ]. Allora T 0 f (x) dx = a+t a f (x) dx, a R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 13 / 37

14 Lemma (Riemann-Lebesgue) Sia f : R R periodica di periodo 2π, integrabile su [0, 2π]. Allora lim 2π k + 0 2π lim k + 0 f (x) cos(kx) dx = 0 f (x) sin(kx) dx = 0. Dimostrazione: Dall uguaglianza di Parseval si ha che da cui segue che + ( a 2 k + bk 2 ) < +, lim a k = 0 e lim b k = 0. k + k + Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 14 / 37

15 Si ha Infatti, Quindi k=0 k=0 k=0 1 (2k + 1) (2k + 1) 2 = π2 8 1 (2k) 2 = 1 k 2 = π (2k + 1) π = π2 6 1 (2k + 1) 2 = π2 8 k=0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 15 / 37

16 Esempio Sia f (x) = x con x [ π, π[, prolungata per periodicità a tutto R. Calcoliamo i coefficienti di Fourier di f : b k = 1 π π π x sin(kx) dx = 0, k 1 a 0 = π a k = 2 π π 0 x cos(kx) dx = 2 ( ) π k 2 ( 1) k 1 k 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 16 / 37

17 Dall uguaglianza di Parseval si ottiene 1 2π f (x) 2 dx = 2π2 π 0 3 = π π 2 (2k + 1) 4 e quindi Ne segue che + 16 π 2 (2k + 1) 4 = π k 4 = π4 90. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 17 / 37

18 Funzioni pari e dispari 1 Se f : R R è periodica di periodo 2π e pari, allora I coefficienti di Fourier valgono a k = 2 π b k = 1 π π 0 π π f (x) cos(kx)dx, k = 0, 1,... ; f (x) sin(kx) dx = 0 k = 1, 2,... 2 Se f : R R è periodica di periodo 2π e dispari, allora a k = 1 π π b k = 2 π π π f (x) cos(kx) dx = 0 k = 0, 1,... ; 0 f (x) sin(kx) dx k = 1, 2... Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 18 / 37

19 Convergenza puntuale della serie di Fourier Cerchiamo le condizioni sulla funzione f sotto le quali 1 La serie di Fourier di f converge puntualmente, cioè esiste il limite S(x) := lim P n (x) = a 0 n 2 + a k cos(kx) + b k sin(kx) 2 S(x) = f (x) per ogni x R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 19 / 37

20 Definizione Siano a, b R con a < b. La funzione f : [a, b] R si dice continua a tratti in [a, b] se è continua eccetto al più un numero finito di punti x i di discontinuità di tipo salto, cioè punti dove esistono finiti (e diversi tra loro) lim x x + i f (x) = f (x + i ), lim x x i f (x) = f (x i ). Continuità a tratti in [a, b] implica l integrabilità in [a, b]. L onda quadra e l onda a dente di sega sono continue a tratti. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 20 / 37

21 Teorema (Convergenza puntuale della serie di Fourier) Sia f : R R 2π-periodica e continua a tratti in [0, 2π]. Sia x 0 R tale che i) f è derivabile in x 0 oppure ii) f è continua in x 0 ed esistono (finite) le derivate destra e sinistra f +(x 0 ) e f (x 0 ) oppure iii) f ha una discontinuità di tipo salto in x 0 ed esistono finiti lim x x + 0 f (x) f (x + 0 ) x x 0 e lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 (detti pseudo-derivata destra e sinistra, rispettivamente) Allora la serie di Fourier di f (x) converge in x 0 con somma S(x 0 ) = f (x + 0 ) + f (x 0 ). 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 21 / 37

22 Osservazioni 1 Notiamo che la continuità di f in x 0 non è sufficiente ne necessaria per la convergenza della serie di Fourier per x = x 0. Infatti, la condizione iii) non richiede che f sia continua in x 0. 2 Se f soddisfa la condizione i) oppure ii), allora S(x 0 ) = f (x 0 ). 3 i) implica ii) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 22 / 37

23 Esempio Consideriamo f (x) = x π per x [0, 2π[, prolungata per periodicità a tutto R. Allora, la serie di Fourier di f (x) è + S(x) = 2 sin(kx). k La serie converge a f (x) = x π per ogni x ]0, 2π[, dove f è derivabile. Ad esempio in x = π si ha 2 ( π ) + S = 2 2 = 2 ( sin k π ) 2 k + n=0 + = 2 n=0 ( 1) n 2n + 1 = π 2 π = π 2. ( sin (2n + 1) π ) 2 = 2n + 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 23 / 37

24 Dunque + n=0 ( 1) n 2n + 1 = π 4. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 24 / 37

25 Teorema (di Dirichlet) Sia f : R R limitata, 2π-periodica. Supponiamo che [0, 2π] sia scomponibile in un numero finito di sottointervalli su ognuno dei quali f è monotona (cioè f è monotona a tratti). Allora la serie di Fourier converge in ogni punto x a f (x + ) + f (x ). 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 25 / 37

26 Funzioni discontinue: il fenomeno di Gibbs Il polinomio di Fourier mostra le sovraelongazioni del valore della funzione ricostruita nell intorno del punto di discontinuità : all aumentare del numero delle componenti della serie il valore di picco di detta sovraelongazione rimane costante, mentre le oscillazioni alle quali tali sovraelongazioni si riferiscono si avvicinano al punto di discontinuità. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 26 / 37

27 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 27 / 37

28 Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Rischiò di essere ghigliottinato durante la rivoluzione francese Introdusse le serie trigonometriche in Teoria analitica del calore (1822). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 28 / 37

29 Convergenza uniforme della serie di Fourier Lemma Sia f : R R periodica di periodo 2π, integrabile su [0, 2π] e siano a k e b k i coefficienti di Fourier di f. Supponiamo che ( a k + b k ) < +. Allora la serie di Fourier di f converge uniformemente in R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 29 / 37

30 Dimostrazione: siccome cos(kx) 1 e sin(kx) 1 per ogni x R e ogni k N, si ha a k cos(kx) + b k sin(kx) a k + b k x R, k N. Dunque la serie a k cos(kx) + b k sin(kx) converge totalmente e quindi anche uniformemente in R Notiamo che ( a k + b k ) < + (ak 2 + b2 k ) < +. ma non vale il viceversa. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 30 / 37

31 Decadimento di coefficienti di Fourier Teorema Sia f : R R periodica di periodo 2π e di classe C 2 (R). Allora a k M k 2, b k M k 2, dove M = 2 sup f (x) π x π Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 31 / 37

32 Dimostrazione: integrando per parti si ottiene a k = 1 π π = 1 kπ π π f (x) cos(kx) dx = π f (x) sin(kx) dx [ f (x) sin(kx) ] π 1 π f (x) sin(kx) dx kπ π kπ π Siccome f è 2π periodica e di classe C 2 (R), ne segue che anche f è 2π periodica. Quindi possiamo integrare un altra volta per parti: [ a k = f (x) cos(kx) ] π k 2 1 π π k 2 f (x) cos(kx) dx π π π = 1 π k 2 f (x) cos(kx) dx π π Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 32 / 37

33 Quindi a k 2 sup f (x) 1 π x π k 2 e analogamente per b k Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 33 / 37

34 Corollario Sia f : R R periodica di periodo 2π e di classe C 2 (R). Allora la serie di Fourier di f converge a f uniformemente in R. Dimostrazione: siano a k, b k i coefficienti di Fourier di f. Siccome f C 2 (R), si ha Quindi a k M k 2, b k M k 2 ( a k + b k ) < + e la tesi segue dal Lemma precedente Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 34 / 37

35 Teorema Sia f : [0, 2π] R di classe C 1 a tratti, ossia f è continua su tutto [0, 2π] ed è derivabile con la derivata continua, tranne al più un numero finito di punti x i in [0, 2π] in cui esistono f +(x i ) e f (x i ). Allora la serie di Fourier converge uniformemente a f in ogni intervallo [a, b] ]0, 2π[. Se f (0) = f (2π), la serie converge uniformemente a f in [0, 2π]. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 35 / 37

36 Funzioni periodiche con periodi diversi da 2π Se per la funzione f : R R il periodo è T, le funzioni trigonometriche da considerare sono: 1, cos 2π T x, 2π sin T x,... Si ripete il procedimento (polinomi trigonometrici, approssimazione in media quadratica,...). La serie di Fourier associata ad f è { ( ) a 2πk 0 + a k cos T x +b k sin con a k = 2 T b k = 2 T T 0 T 0 ( )} 2πk T x, ( 2πk ) f (x) cos T x dx, k = 0, 1, 2,... ; ( 2πk ) f (x) sin T x dx, k = 1, 2,.... Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 36 / 37

37 L uguaglianza di Parseval ha la forma 2 T T 0 f (x) 2 dx = a ( n=1 a 2 n + b 2 n ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 37 / 37