Ingegneria Edile - Corso di geometria - anno accademico 2009/2010

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1 prova scritta del 7// TEMPO A DISPOSIZIONE: 9 minuti Esercizio. In R si considerino i punti A =, B = e la retta r passante per A e B. (i)il punto C = r? vero falso (ii) Determinare l equazione di un piano perpendicolare alla retta r e passante per A. x y +z = (iii) Data la retta s di equazioni +y z = Determinare la posizione reciproca (coincidenti, parallele non coincidenti, incidenti, sghembe) della coppia di rette r e s. (iv) Determinare l equazione parametrica di una retta passante per A e per l origine. Esercizio. In R sia Π il piano passante per i punti A, B e C seguenti: A = B =, C = (i) il punto D = Π? vero falso (ii) Determinare un vettore perpendicolare a Π : (iii) Determinare l equazione di un piano Π parallelo a Π tale che la distanza tra i due piani =d(π, Π ) =. Esercizio. {y = } In R sia Q la quadrica di equazione {x + y yz + z + y = } e sia Π il piano di equazione (i) Classificare la quadrica Q: (ii) Classificare la conica Q Π:

2 Esercizio. In R sia A = alla sfera nel punto B = :, e S la sfera di centro A e raggio. Determinare l equazione del piano tangente Esercizio 5. In R sia F il fascio di coniche passanti per A = (, ) B = (, ), C = (, ), D = (, ) (i) Esiste una parabola P F? vero falso (ii) Esiste una circonferenza C F? vero falso (iii) Esiste una conica degenere Γ F? vero falso (iv) Determinare l equazione di una conica del fascio F passante per il punto (, ) Esercizio 6. Al variare del parametro reale t si consideri il sistema lineare x +x = tx +x x = x tx +x = (i) Il sistema ammette un unica soluzione se e solo se : (ii) Il sistema ammette infinite soluzione se e solo se : (iii) Il sistema non ammette alcuna soluzione se e solo se : Esercizio 7. I seguenti vettori di R, sono linearmente INDIPENDENTI vero falso Esercizio 8. In P sia C la conica di equazione {x + 6xy + y z = }, sia r la retta di equazione {x + y z = } e sia Q il punto di coordinate omogenee Q = (,, ) (i) Determinare l equazione della retta polare di Q rispetto a C : (i) Determinare le coordinate del polo di r rispetto a C :

3 prova scritta del 7// TEMPO A DISPOSIZIONE: 9 minuti Esercizio. In R si considerino i punti A =, B = e la retta r passante per A e B. (i)il punto C = r? vero falso (ii) Determinare l equazione di un piano perpendicolare alla retta r e passante per A. x y +z = (iii) Data la retta s di equazioni +y z = Determinare la posizione reciproca (coincidenti, parallele non coincidenti, incidenti, sghembe) della coppia di rette r e s. (iv) Determinare l equazione parametrica di una retta passante per A e per l origine. Esercizio. In R sia Π il piano passante per i punti A, B e C seguenti: A = B =, C = (i) il punto D = Π? vero falso (ii) Determinare un vettore perpendicolare a Π : (iii) Determinare l equazione di un piano Π parallelo a Π tale che la distanza tra i due piani =d(π, Π ) = 6. Esercizio. {x = } In R sia Q la quadrica di equazione {x + y yz + z + y = } e sia Π il piano di equazione (i) Classificare la quadrica Q: (ii) Classificare la conica Q Π:

4 Esercizio. In R sia A = alla sfera nel punto B = :, e S la sfera di centro A e raggio. Determinare l equazione del piano tangente Esercizio 5. In R sia F il fascio di coniche passanti per A = (, ) B = (, ), C = (, ), D = (, ) (i) Esiste una parabola P F? vero falso (ii) Esiste una circonferenza C F? vero falso (iii) Esiste una conica degenere Γ F? vero falso (iv) Determinare l equazione di una conica del fascio F passante per il punto (, ) Esercizio 6. Al variare del parametro reale t si consideri il sistema lineare +tx +x = tx +x tx = x +tx +x = (i) Il sistema ammette un unica soluzione se e solo se : (ii) Il sistema ammette infinite soluzione se e solo se : (iii) Il sistema non ammette alcuna soluzione se e solo se : Esercizio 7. I seguenti vettori di R,, sono linearmente INDIPENDENTI vero falso Esercizio 8. In P sia C la conica di equazione {x +xy +y z = }, sia r la retta di equazione {x+y 5z = } e sia Q il punto di coordinate omogenee Q = (,, ) (i) Determinare l equazione della retta polare di Q rispetto a C : (i) Determinare le coordinate del polo di r rispetto a C :

5 prova scritta del 7// - SECONDA PARTE TEMPO A DISPOSIZIONE: minuti Esercizio. Data A la matrice (i) Si determinino gli autovalori di f (ii) Si determini la molteplicità algebrica e geometrica di ciascun autovalore Esercizio. det = 5 5 Esercizio. A =, B = A B = Esercizio. Sia f : R 6 R l applicazione lineare espressa (rispetto alle basi canoniche) dalla seguente matrice A = La dimensione del nucleo di f è = La dimensione dell immagine di f è =

6 prova scritta del 7// - SECONDA PARTE TEMPO A DISPOSIZIONE: minuti Esercizio. Data A la matrice (i) Si determinino gli autovalori di f (ii) Si determini la molteplicità algebrica e geometrica di ciascun autovalore Esercizio. det = 5 5 Esercizio. A =, B = A B = Esercizio. Sia f : R 6 R l applicazione lineare espressa (rispetto alle basi canoniche) dalla seguente matrice A = La dimensione del nucleo di f è = La dimensione dell immagine di f è =