4 Funzioni continue. Geometria I 27. Cfr: Sernesi vol II, cap I, 4 [1].

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1 Geometria I 27 4 Funzioni continue Cfr: Sernesi vol II, cap I, 4 [1]. Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può dimostrare, esattamente come in (2.10) e in (1.10), che vale la seguente proposizione. (4.1) Sia f una funzione f : X Y tra spazi topologici. Le quattro proposizioni seguenti sono equivalenti: (i) f è continua (ii) A X, f(a) f(a). (iii) per ogni C Y chiuso, la sua controimmagine f 1 (C) X è chiuso in X. (iv) Se B è una base per Y, allora per ogni elemento della base B B la controimmagine f 1 B è aperto in X. (4.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua. Dimostrazione. Sia f : X Y una funzione continua e g : Y Z una funzione continua. La composizione gf : X Z è continua se e solo se (gf) 1 (A) è aperto in X ogni volta che A è aperto in Z. Ora, (gf) 1 (A) ={x X : g(f(x)) A} = {x X : f(x) g 1 (A)} = f 1 (g 1 (A)) e dunque se A è aperto anche g 1 (A) è aperto in Y (dato che g è continua), e poiché f è continua f 1 (g 1 (A)) è aperto in X. qed (4.3) Teorema. Sia f : X Y una funzione continua. Se A X ha la topologia indotta, allora la restrizione f A è continua. Dimostrazione. Sia B Y un aperto. La controimmagine f 1 (B) è aperta in X, dato che f è continua. La controimmagine di B mediante la funzione ristretta f A è data dall insieme {x A : f(x) B}, e quindi da A f 1 (B). Per definizione di topologia indotta, questo è un aperto di A. qed (4.4) Definizione. Una funzione f : X Y tra spazi topologici è un omeomorfismo se è biunivoca e sia f che la funzione inversa f 1 sono continue. Si dice allora che X e Y sono omeomorfi (e si indica con X Y ). (4.5) Definizione. Una funzione f : X Y è

2 Geometria I 28 (i) aperta se l immagine f(a) di ogni aperto A di X è aperta in Y. (ii) chiusa se l immagine f(c) di ogni chiuso C di X è chiusa in Y. (4.6) Una funzione f : X Y è un omeomorfismo se e solo se almeno una delle due proprietà è vera: (i) f è biunivoca, continua e aperta. (ii) f è biunivoca, continua e chiusa. La topologia studia gli spazi a meno di omomorfismo. Infatti, una biiezione non è altro che un cambiamento di coordinate in uno spazio, e l essere omeomorfismo significa che la famiglia degli aperti viene conservata. (4.7) Esempio. Sia X l insieme delle matrici 2 2 a coefficienti reali. Sia d la metrica munito della metrica d((a i,j ), (b i,j )) = max ( a i,j b i,j ). X è omeomorfo a R 4 con la metrica euclidea i,j d((x i ), (y i )) = 4 (x i y i ) 2 i=1 tramite l omeomorfismo Dimostrazione: esercizio. ( a1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ) a 1,1 a 2,1 a 1,2 a 2,2

3 Geometria I 29 (4.8) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale (proiezione stereografica). La sfera meno un punto è omeomorfa al piano, analogamente. Esercizio: in coordinate. z,ζ N a φ β P S y, η x, ξ ˆP (4.9) Esempio. La retta reale è omeomorfa ad un segmento aperto: R (a, b) per ogni a < b. x Definiamo f :( 1, 1) R f(x) =. La funzione è continua perché composizione di 1 x2 funzioni continue. Osserviamo poi che f(x) =f(y) se e soltanto se x(1 y 2 )=y(1 x 2 ) xy 2 x 2 y + y x =0 xy(y x)+(y x) = 0 (xy + 1)(y x) =0, e quindi se x, y ( 1, 1) e f(x) =f(y), allora x = y, dato che certamente xy +1 0 (perché?). Quindi f è iniettiva 7. Mostrare che è suriettiva equivale a mostrare che per ogni y R esiste un x ( 1, 1) tale che f(x) =y, cioè che l equazione yx 2 + x y =0 ha una soluzione in x compresa tra 1 e 1. Se y =0, allora è vero. Se y 0, dato che = 1 + 4y 2, delle due soluzioni dell equazione almeno una deve avere norma minore di 1, visto che il loro prodotto è uguale a 1, (x x 1 )(x x 2 )=x 2 + x y 1. 7 La funzione è iniettiva, anche perché è differenziabile e monotona crescente f (x) = x2 +1 (1 x 2 ) 2.

4 Geometria I 30 Quindi f è suriettiva. Le due soluzioni sono x 1 = y 2 2y, x 2 = 1 1+4y 2. 2y Per ogni y > 0 si ha x 2 > 1+2y > 1, e di conseguenza per ogni y < 0 x 2y 2 > 1: quindi necessariamente x 1 ( 1, 1). In altre parole, la funzione inversa di f è 1+4y2 1 g(y) = 2y = (1 + 4y2 ) 1 2y( 1+4y 2 + 1) 2y = 1+4y2 +1, e anch essa è continua, dato che è composizione di funzioni continue. Per finire: omeomorfismo lineare (a, b) ( 1, 1) R. (4.10) Esempio. La funzione f : [0, 2π) R S 1 C definita ponendo f(t) =e it S 1 per ogni t è continua e biunivoca. Ma non è aperta: f([0, 1)) non è aperto in S 1, ma [0, 1) [0, 2π) è aperto in [0, 2π). Quindi non è un omeomorfismo. Vedremo in seguito che non possono esistere omeomorfismi tra [0, 2π) e S 1 (cioè i due spazi non sono omeomorfi). (4.11) Esempio. Quali tra i seguenti spazi sono omeomorfi tra di loro? A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z (4.12) Esempio (Curva di Peano). Curva continua e suriettiva f : I = [0, 1] I 2 R 2.

5 Geometria I 31 5 Topologia prodotto Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II, 6 [1]. (5.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesiano X Y ammette una topologia, chiamata topologia prodotto definita a partire dalla base base = {U V X Y : U è aperto in X e V è aperto in Y }. Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l insieme di aperti sopra descritto costituisca una base per X Y : esercizio (2.1). Le funzione p 1 : X Y X e p 2 : X Y Y definite da p 1 (x, y) =x e p 2 (x, y) =y si dicono le proiezioni. (5.2) Se X Y ha la topologia prodotto, allora X Y Y X (sono omeomorfi), e le proiezioni p 1 : X Y X, p 2 : X Y Y sono continue e aperte. Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di un insieme finito di spazi topologici X 1,X 2,..., X n, che ha come base la famiglia di sottoinsiemi del tipo U 1 U 2 U n X 1 X 2 X n. (5.3) Proposizione. Una funzione f : X Y 1 Y 2 (che si può scrivere quindi come f(x) = (f 1 (x),f 2 (x))) è continua se e solo se le sue due componenti (f 1 = p 1 f e f 2 = p 2 f) sono continue. Dimostrazione. Se f è continua, allora f 1 e f 2 sono continue perché composizioni di f con le funzioni continue p 1 e p 2. Viceversa, se f 1 e f 2 sono continue, allora se V 1 V 2 Y 1 Y 2 è un

6 Geometria I 32 aperto della base per la topologia (prodotto) di Y 1 Y 2, si ha f 1 (V 1 V 2 )={x X :(f 1 (x),f 2 (x)) V 1 V 2 } = {x X : f 1 (x) V 1 e f 2 (x) V 2 } = f 1 1 (V 1 ) f 1 2 (V 2 ), che è aperto perché intersezione di due aperti. qed (5.4) Esempio. La topologia di R n indotta dalla metrica euclidea (topologia metrica) è uguale alla topologia prodotto. (5.5) Esempio. I I è il quadrato (pieno) di R 2. Analogamente, I n è il cubo di dimensione n. (5.6) Esempio. Le proiezioni p 1 : X Y X e p 2 : X Y Y sono aperte ma possono non essere chiuse. Per esempio, se X = Y = R, C = {(x, y) R 2 : xy =1} è chiuso, ma p 1 (C) ={x R : x 0} = R {0} non è chiuso. (5.7) Nota. Nell esercizio precedente C è chiuso perché, se si pone f : R 2 R definita da f(x, y) =xy, si ha che f è continua e C = f 1 ({1}), che è chiuso in R 2, dato che {1} è chiuso in R (con la topologia metrica). (5.8) Nota. In generale non è detto che f : X Y continua e biunivoca sia un omeomorfismo (potrebbe non essere una mappa aperta e/o chiusa, cioè l inversa di f potrebbe non essere continua). Per gli spazi euclidei però vale il seguente importante teorema (di cui non possiamo dare la dimostrazione). (5.9) Teorema (Invarianza del dominio). Se X R n è un aperto e f : X R n (lo spazio R n è inteso con la topologia metrica) è una funzione continua e iniettiva, allora f è anche una mappa aperta. (5.10) Corollario. Se f : R n R n è continua e biunivoca, allora è un omeomorfismo.

7 Geometria I 33 6 Spazi di identificazione e topologie quoziente Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II, 7 [1]. Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composizione e restrizione di funzioni continue. Vediamo ora come costruire spazi topologici a partire da spazi dati. Problema: sia una relazione di equivalenza su uno spazio topologico, e f : X X/ la proiezione sullo spazio quoziente (lo spazio delle classi di equivalenza). (6.1) Esempio. (i) I 0 1. (ii) R con x y x y Z. (iii) R 2 con x =(x 1,x 2 ) y =(y 1,y 2 ) x y Z 2. (iv) Striscia di Möbius. In modo equivalente, data una funzione suriettiva f : X Y, Y si può vedere come insieme delle classi di equivalenza date dalla relazione x, y X, x y f(x) =f(y). (6.2) Definizione. Se X è uno spazio topologico e f : X Y una funzione suriettiva, allora si definisce la topologia quoziente su Y come la topologia i cui aperti sono tutti e soli i sottoinsiemi A Y per cui la controimmagine f 1 (A) X è aperto. Lo spazio Y si dice spazio quoziente di X rispetto alla proiezione f. (6.3) Se f : X Y è continua e suriettiva, allora la topologia di Y è contenuta nella topologia quoziente (cioè ogni aperto di Y è aperto nella topologia quoziente di X). Dimostrazione. Per definizione di continuità, se f : X Y è continua e A Y è aperto nella topologia di Y, allora f 1 (A) è aperto in X, e quindi per definizione di topologia quoziente è aperto nella topologia quoziente. qed (6.4) Definizione. Se X è uno spazio topologico e A X un sottospazio, si scrive X/A (quoziente di X su A) per indicare lo spazio ottenuto identificando A ad un punto, che è lo spazio ottenuto dalla relazione di equivalenza in cui le classi di equivalenza sono tutti i singoli punti di X A e A. (6.5) Esempio. Il toro: [0, 1] [0, 1] con le identificazioni (i.e. relazione di equivalenza... ) (i) (0, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 1). (ii) (x, 0) (x, 1) per 0 <x<1. (iii) (0,y) (1,y) per 0 < y < 1.

8 Geometria I 34 È omeomorfo a S 1 S 1? (6.6) Esempio. Il disco: D 1 (0, R 2 )=D 2 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, quozientato rispetto alla relazione di equivalenza: { x D 2 y D 2 (x e y stanno sul bordo) x y x = y altrimenti (6.7) Esempio. Il piano proiettivo: D 2 quozientato rispetto alla relazione: { x = y se x D 2 y D 2 x y x = y altrimenti Analogo: S 2 / dove x y x = ±y (antipodale). x (6.8) Esempio. Nastro di Möbius: x

9 Geometria I 35 (6.9) Esempio. Bottiglia di Klein: somma di due nastri di Möbius, incollati lungo i bordi.

10 Geometria I 36 Esercizi: foglio 2 (2.1) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi U V, con U aperto in X e V aperto in Y è una base di intorni nello spazio prodotto (cartesiano) X Y. (2.2) Dimostrare che se X Y ha la topologia prodotto e A X, B Y sono sottospazi, allora A B = A B, e che A B è aperto in X Y se e solo se A è aperto in X e B è aperto in Y. *(2.3) Dimostrare che [0, 1) [0, 1) è omeomorfo a [0, 1] [0, 1). (2.4) Dimostrare che se f : X Y è una funzione, A è un sottospazio di Y con la topologia indotta tale che fx A Y, allora la funzione f : X Y è continua se e solo se lo è la funzione f A : X A, dove f A indica la funzione definita da f A (x) =f(x) A X per ogni x X. (2.5) Dimostrare che Q = R (dove Q denota il campo dei razionali) ma che Q non ha punti interni in R. (2.6) Dimostrare che il quadrato {(x, y) R 2 : max( x, y ) =1} è omeomorfo alla circonferenza {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 =1}. (2.7) Dimostrare che la mappa diagonale : X X X definita da x (x, x) è continua. *(2.8) Dimostrare che una mappa suriettiva, continua e chiusa è una mappa quoziente. *(2.9) È vero che la mappe di proiezione p 1 : X Y X è sempre una mappa chiusa? (2.10) Sia p 1 : R 2 = R R R la proiezione sulla prima coordinata. Sia A = {(x, y) R 2 : x 0 y =0}, e f : A R la restrizione di p 1 a A. La mappa f è aperta/chiusa? (2.11) Dimostrare che se f : X Y è una funzione tra insiemi allora la relazione x y f(x) =f(y) è una relazione di equivalenza, e la funzione f induce una funzione biunivoca tra l insieme delle classi di equivalenza e f(x) Y. *(2.12) Che spazio si ottiene identificando ad un punto il bordo di un nastro di Möbius? (2.13) Classificare in modo intuitivo (a meno di omeomorfismo) i seguenti spazi: (i) Cilindro = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 =1 z 2 1}. (ii) Cono = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2 0 z 1}. (iii) Toro ( S 1 S 1... ).

11 Geometria I 37 (iv) Cilindro (vedi sopra) con ognuna delle due circonferenze (date da z =1e z = 1) di bordo identificate ad un punto. (v) La sfera {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =1}. (vi) La sfera (vedi sopra) meno un punto. (vii) Il piano R 2. *(2.14) Dimostrare che la somma, il prodotto e la sottrazione sono operazioni continue su R. (2.15) Dimostrare che i seguenti insiemi sono insiemi chiusi di R 2 : (i) {(x, y) :xy =1}. (ii) (x, y) :x 2 + y 2 =1}. (iii) {(x, y) :x 2 + y 2 1}. (iv) {(x, y) :x 3 + y 3 =1} (e in generale, {(x, y) :x n + y n =1}). *(2.16) Sia f : X Y una funzione continua (mappa). Dimostrare che se esiste una funzione continua g : Y X (inversa destra) tale che f g è l identità di Y, allora f è una mappa quoziente. Se g = i è l inclusione di un sottospazio i: Y = A X (dove A ha la topologia indotta da X), allora il fatto che i sia inversa destra di f si legge f i =1 Y, e cioè x A, f(x) =x, cioè la restrizione f A è uguale all identità 1 A. In questo caso la mappa f si dice retrazione. *(2.17) Consideriamo in R la relazione di equivalenza x y x y Q (se la differenza è razionale); Qual è la topologia dello spazio quoziente R/? (Dimostrare che è la topologia banale.) (2.18) Dimostrare che la composizione di mappe quoziente è una mappa quoziente. (2.19) Dimostrare che una funzione quoziente è iniettiva se e solo se è un omeomorfismo. *(2.20) Siano X e Y due spazi metrici con metriche d X e d Y. Dimostrare che la funzione d: X Y R definita da d ((x 1,y 1 ), (x 2,y 2 )) = d X (x 1,x 2 ) 2 + d Y (y 1,y 2 ) 2 è una metrica sul prodotto X Y. Dimostrare anche che la topologia indotta da d coincide con la topologia prodotto. *(2.21) (Orecchini delle Hawaii) Sia X l unione delle circonferenze {(x, y) R 2 :(x 1 n )2 +y 2 = ( 1 n )2 }, per n =1, 2, 3... con la topologia indotta da R 2, e sia Y lo spazio ottenuto identificando tutti gli interi Z R ad un punto. Dimostrare che X e Y non sono omeomorfi. (2.22) Dimostrare che le due funzioni s: R 2 R e p: R 2 R definite da sono continue. s(x, y) =x + y, p(x, y) =xy