Calibrazione di tranche CDO con il modello dinamico GPL

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1 Calibrazioe di rache CDO co il modello diamico GPL La calibrazioe di u idice di credio e delle sue rache cosiseemee sulle varie scadeze co u sigolo modello i asseza di opporuià di arbiraggio è u problema difficile. I queso aricolo, Damiao Brigo, Adrea Pallavicii e Robero orresei dimosrao che si oegoo buoi risulai co ua semplice diamica della perdia fodaa sul processo di Poisso geeralizzao. È possibile geeralizzare queso modello, oeedo ua diamica socasica del premio di proezioe coeree co i sigoli omi Prediamo i cosiderazioe u modello diamico per la disribuzioe della perdia di u pool di omi. Il osro modello è icerao su re pui: raabilià la disribuzioe della perdia deve essere coosciua aaliicamee; la calibrazioe dei dai di mercao, ovvero dell idice e delle rache e rachele dei ioli di debio collaeralizzai (CDO) su diverse scadeze, deve essere possibile ed è ecessario disporre di esempi umerici realisici; l aribuzioe del prezzo dei prodoi di correlazioe che dipede dalla diamica della disribuzioe della perdia deve essere faibile i u periodo di empo ragioevole, possibilmee ramie simulazioe. L idea alla base del osro approccio cosise ella modellizzazioe del processo della perdia del pool come ua combiazioe lieare di processi di Poisso idipedei co iesià differei ovvero, i alri ermii, come u processo di Poisso geeralizzao. I sali dei diversi processi soo moliplicai per differei ampiezze posiive che rappreseao perdie di differei dimesioi. La dimesioe di ciascua perdia è idealmee associaa al defaul isaaeo di uo specifico umero di omi del pool. Le caraerisiche di feedback dei defaul del modello soo implicie ell ammissibilià di più di u defaul i brevi iervalli di empo. È possibile calibrare ai dai di mercao sia le dimesioi dei sali della perdia che le iesià dei sigoli processi di Poisso che guidao ciascuo dei possibili sali della perdia. Il modello che e risula è deo modello geeralizzao di Poisso per la diamica della perdia (GPL). Di recee soo sai proposi vari schemi per modellare la diamica della perdia di cui foriamo riferimei e commei sui collegamei co il osro approccio i Brigo, Pallavicii & orresei (26). I queso aricolo vogliamo preseare u modello oalmee defiio e uilizzabile, piuoso che irodurre uo schema asrao, e foriamo dai di calibrazioe deagliai co risulai umerici per il pool di idici DJ iraxx. I risulai mosrao che la calibrazioe è buoa e che i parameri del modello soo relaivamee sabili el empo. La modellizzazioe direa della perdia complessiva di u pool di omi aziché ramie aggregazioe dei defaul dei sigoli omi co ua sruura di dipedeza cosiuisce l approccio di ipo op-dow. Spesso, co ale approccio, si icorao difficolà per oeere la oale coereza co i sigoli omi. Al corario, il osro approccio può essere geeralizzao i u modello del defaul basao su cluser, deo modello di Poisso geeralizzao di perdia per cluser (GPCL). I al modo vegoo geeralizzai i precedei risulai di Lidskog & McNeil (23) e di Elouerkhaoui (26) sui modelli di Poisso a sali comui. Ciò pora a ua coereza chiara e rigorosa co i sigoli omi, come evideziao i Brigo, Pallavicii & orresei (27), dove soo mosrai ache i risulai di calibrazioe per il pool di idici CDX. Ifie, è possibile rovare i Brigo, Pallavicii & orresei (26) u ampia discussioe del modello qui preseao, co uleriori esempi di calibrazioe riguardai rachele, co premio socasico raabile e diamica del asso di recupero. Ivi si dimosra che è possibile uilizzare ali ampliamei e sooporli a es quado sarao dispoibili quoazioi liquide per opzioi di rache e rache di ipo forward-sarig. Quoazioi di mercao Gli srumei di credio muli-ome più liquidi dispoibili sul mercao soo gli idici di credio e le rache CDO (ad esempio, DJ iraxx e CDX). Sarao raai elle sezioi seguei. Idici di credio. L idice è dao da u pool di omi 1, 2,..., M, dove i geere M = 125, ciascuo co valore ozioale 1/M cosicché il pool complessivo ha valore ozioale uiario. La compoee di defaul (defaul leg) degli idici è cosiuia dai pagamei di proezioe i corrispodeza di ciascu defaul dei omi del pool. Ogi vola che uo o più omi vao i defaul, il corrispodee icremeo della perdia è pagao al compraore di proezioe, sio alla scadeza fiale = b o sio a che ui i omi del pool soo adai i defaul. I cambio dei pagamei per l icremeo della perdia, viee pagao dal compraore di proezioe al vediore di proezioe u premio periodico co asso S, sio alla scadeza fiale b. ale premio è calcolao su u valore ozioale che decresce ogi vola che u ome del pool va i defaul di u valore corrispodee al valore ozioale di quel ome (seza ogliere il asso di recupero). Idichiamo co L _ la perdia cumulaiva del pool di omi e co C _ il umero di omi i defaul al empo diviso per M. Dal momeo che i corrispodeza di ogi defaul ua pare del ozioale viee recuperaa, abbiamo L _ C_ 1. Il payou 38 Risk Ialia Auuo 27

2 scoao delle due compoei dell idice è dao dalle seguei equazioi: compoee di defaul compoee di premio := D, b dl = S δ i D (, i ) 1 C i dove D(s, ) è il faore di scoo (di solio lo si suppoe deermiisico) ra i empi s e, e d i = i i 1 è la frazioe di ao. Nella secoda equazioe, l effeivo valore ozioale i essere i ciascu periodo sarebbe ua media su [ i 1, i ], ma per semplicià lo abbiamo sosiuio co il valore ozioale i essere i i come si fa di solio. Si oi che, corariamee a quao avviee co le rache (vedere la sezioe seguee), qui il asso di recupero o è cosiderao el calcolo del valore ozioale i essere, i quao coa solo il umero dei defaul. Il mercao dà ua quoazioe dei valori di S che, per differei scadeze, bilaciao le due compoei. Se si ha u modello per la perdia e per il umero dei defaul, è possibile fare i modo che la perdia e il umero dei defaul el modello uilizzai per la valorizzazioe delle due compoei coduca allo sesso valore aeso eurale al rischio (e quidi prezzo) quado il premio periodico quoao S è iserio ella compoee del premio di proezioe ( premium leg ), co il seguee risulao: S = E E D (, )dl b δ i D, i 1 C i rache CDO. I CDO sieici co scadeza soo corai che comporao u compraore di proezioe, u vediore di proezioe e u pool di omi soosae. Si oegoo meedo assieme ua collezioe di credi defaul swap (CDS) co la sessa scadeza su omi differei, 1, 2,..., M, dove i geere M = 125, ciascuo di essi co valore ozioale 1/M, e quidi suddividedo i rache la perdia del pool che e risula ra i pui A e B, co A < B 1: L 1 := ( B A L A)1 { A< L B} + ( B A)1 { L > B} Dopo che u umero sufficiee di omi è adao i defaul e la perdia ha raggiuo il puo A, iizia il coeggio. Ogi vola che la perdia aumea, al compraore di proezioe viee pagaa la corrispodee variazioe della perdia bilaciaa dallo spessore della rache B A sio a quado giuge a scadeza o sio a quado la perdia oale del pool supera B, i al caso i pagamei cessao. Il payou scoao della compoee di defaul può essere scrio el seguee modo: compoee di defaul ; A, B := D, dl L uso dell iegrale o dovrebbe lasciare perplessi, dao che la perdia L _ varia co sali discrei. Aalogamee, la perdia oale L _ e il valore ozioale delle rache i essere variao co sali discrei. Come di cosueo, i cambio dei pagamei di proezioe viee pagao u asso di premio S, fissao al empo =, co cadeza periodica, diciamo ai empi 1, 2,..., b =. Pare del premio può essere pagaa al empo = come aicipo di U (1) (upfro). Il asso è pagao sul valore ozioale medio sopravissuo della rache. Se iolre facciamo l ipoesi che i pagamei siao corrisposi sul valore ozioale rimaee a ciascua daa di pagameo i, aziché sulla media i [ i 1, i ], il payou della compoee del premio può essere scrio come: ( ; A, B) := U compoee di premio + S b 1 L i δ i D, i Quado si aribuisce u prezzo alle rache di CDO, si è ieressai al asso di premio S che rede uguale a zero il prezzo eurale al rischio della rache. Il valore della rache è calcolao prededo il valore aeso (eurale al rischio) (i = ) del payou scoao cosiuio dalla differeza ra le compoei di premio e defaul illusrae sopra. Si oiee: S = E D (, )dl U b δ i D (, i ) 1 L i E L espressioe precedee può essere facilmee riformulaa i ermii di premio upfro U per rache quoae i ermii di compeeze upfro. Le rache che soo quoae sul mercao fao riferimeo a pool sadardizzai, pui di aacco/disacco sadardizzai A/B e scadeze sadardizzae. Di fao, per i pool di idici DJ iraxx e CDX, la rache azioaria (A =, B = 3%) è quoaa ramie il correo U, e allo sesso empo si assume S = 5 pui base. ue le alre rache soo quoae per mezzo del correo S, facedo l ipoesi che o ci siao premi upfro (U = ). Defiizioe del modello Le espressioi i asseza di opporuià di arbiraggio per lo spread quoao degli idici di credio, dai dall equazioe (1) e delle rache di CDO, dai dall equazioe (2), mosrao che l uica iformazioe che possiamo dedurre dalle quoe del mercao soo le quaià aese, mere macao iformazioi diree sulla dipedeza ra sigoli omi. I paricolare, gli idici di credio dipedoo sia dalla perdia cumulaiva aesa del pool di omi che dal umero aeso di defaul, mere le rache di CDO dipedoo solo dalla perdia cumulaiva aesa del pool di omi diviso i rache. Quesi dai del mercao suggeriscoo di cosruire u modello delle gradezze relaive alla perdia, cioè perdia cumulaiva del pool di omi e umero di defaul, direamee come oggei fodameali, ivece di riuire assieme i sigoli modelli di defaul ramie ua fuzioe copula (saica). La diamica GPL soosae. Il modello GPL può essere formulao come segue. Cosideriamo uo spazio di probabilià che suppora u umero di processi di Poisso idipedei N 1,..., N co iesià variabili co il empo, possibilimee socasiche l 1,..., l ella misura di probabilià eurale al rischio Q. Il valore aeso eurale al rischio dipedee dai dai di mercao sio al empo, compresa l evoluzioe della perdia del pool sio al empo, è idicao co E. Si suppoe che le iesià, se socasiche, siao adaae a ali dai. Defiiamo il processo socasico: (2) Z := α j N j (3) riskialia.com 39

3 per ieri posiivi a 1,..., a. I seguio, faremo riferimeo al processo Z semplicemee come processo GPL. Uilizzeremo queso processo come processo guida per la perdia cumulaiva del pool di omi (L _ ), la quaià rilevae per i osri payou. I Brigo, Pallavicii & orresei (26) è ivece illusrao il possibile uilizzo del processo GPL quale srumeo guida per il processo di coeggio dei defaul C _. La fuzioe caraerisica del processo Z è: ϕ Z ( u) = E e iuz = E E e iuz Λ 1 ( )...Λ ( ) dove Λ j () := λ (s)ds, co i = 1..., soo le iesià cumulaive j di ciascu processo di Poisso. Ora, sosiuiamo Z oeedo: ϕ Z ( u) = E E e iuα j N j ( ) Λ1 ( )...Λ ( ) = E ϕ N uα j ( ) Λ j ( ) ( j ) che può essere calcolaa direamee poiché la fuzioe caraerisica ϕ Nj() Λj() di ciascu processo di Poisso, daa la sua iesià, è oa i forma chiusa, oeedo: ϕ Z ( u) = E exp Λ j 1 e iuα j La disribuzioe margiale p Z del processo Z può essere calcolaa direamee i qualsiasi empo ramie ua rasformazioe di Fourier iversa della fuzioe caraerisica del processo. La fuzioe caraerisica ϕ Z (u) può essere calcolaa i modo esplicio per alcue opporue scele delle disribuzioi delle iesià cumulae dei processi di Poisso (cosulare, ad esempio, Brigo, Pallavicii & orresei (26)). Formulazioe equivalee quale processo di Poisso composo. U alro modo di cosiderare il osro processo è vederlo come processo di Poisso composo. I effei, i qualsiasi empo il osro processo Z ha la sessa fuzioe caraerisica di u paricolare processo di Poisso composo. Cosideriamo il seguee processo di Poisso composo: X = N Y j dove N è u processo di Poisso sadard co iesià l e le Y j soo variabili casuali idipedei e co disribuzioe ideica, idipedei da N, co disribuzioe daa da: α 1 λ 1 / λ k=1 k α 2 λ 2 / λ k=1 k Y j ~ α λ / λ k=1 k Se defiiamo l := S M l j, allora il processo di Poisso composo X ha la sessa fuzioe caraerisica, i ui i empi, del osro processo Z per la fuzioe di coeggio dei defaul. Ache le disribuzioi dimesioali fiie dei due processi coicidoo, quidi Z e X soo sosazialmee lo sesso processo. Ciò è facilmee verificabile formulado le disribuzioi dimesioali (4) fiie i ermii di icremei idipedei, ricordado che Z e X hao icremei idipedei sazioari. Diamica della perdia. Il processo GPL soosae Z è o decrescee e assume, co empi sufficieemee lughi, valori arbirariamee gradi. La perdia cumulaiva del pool di omi e il umero riscalao dei processi di defaul soo o decrescei, ma limiai all iervallo [, 1]. Quidi, cosideriamo la fuzioe deermiisica o decrescee Ψ : N {} [,1] e defiiamo il processo di perdia cumulaiva del pool di omi L _ come: L L : = ΨL ( Z ) : = mi ( Z, M ) e L : = (5) M dove 1/M, co M M >, è il salo miimo per il processo di perdia. Osservazioe 1. Si oi che la perdia è delimiaa all iero dell iervallo [, 1] per come è saa formulaa, ma c è acora la possibilià che la perdia effeui più di M sali, dove M è il umero di omi del pool. Se queso è il caso, è possibile corollare i seguio se la probabilià di ali evei è rascurabile. Queso è ciò che si verifica i ui i osri esempi. La disribuzioe margiale del processo di perdia cumulaiva del pool di omi L può essere calcolaa facilmee. Oeiamo: L = mi Z, M = Z 1 Z < M { } + M 1 { Z M } Poiché Z ha disribuzioe oa, si può ricavare facilmee la disribuzioe di L come risulao secodario. La desià collegaa (defiia su valori ieri poiché la legge è di ipo discreo) è: p L ( x) = p Z ( x)1 { x< M } + Q{ Z M }1 { x= M } Ne cosegue direamee la desià di L _. Ache l iesià di L, ovvero, la desià del compesaore assoluamee coiuo di L (cosulare, ad esempio, Giesecke & Goldberg (25)), può essere calcolaa direamee ed è daa da: h L ( ) + λ j ( ) = mi α j, M Z (6) (per i deagli cosulare Brigo, Pallavicii & orresei (26)). L iesià h va a zero quado Z supera M, il che corrispode alla perdia oale, come previso. Iolre, se soo ammessi ui i valori ieri possibili ra uo e M per le dimesioi dei sali, ovvero, se a j = j e = M, l iesià h L ha u salo ogi vola che c è u salo el processo L della perdia cumulaiva del pool di omi. L iesià ha u salo verso il basso, e ciò sembrerebbe adare i direzioe opposa rispeo alla caraerisica di feedback, cosideraa i geere auspicabile ei modelli di perdia. uavia, le caraerisiche di feedback soo icorporae el osro modello e soo comprese ella possibilià di avere più defaul i piccoli iervalli, diversamee dalla maggior pare degli approcci alla modellizzazioe della perdia. Cosideriamo, ad esempio, solo due omi: ivece di avere u ome la cui perdia aumea la probabilià di defaul (iesià) del secodo ome, abbiamo due omi che vao immediaamee i defaul isieme. Ciò icorpora la caraerisica di feedback, ache se i modo esremo. Ifie, per vedere l effeo reciproco dei sigoli omi, è ecessaria ua formulazioe più sofisicaa, sulla base del modello di Poisso a sali comui, che pora al modello GPCL, aalizzao i Brigo, Pallavicii & orresei (27). Limii del modello. Il modello GPL da oi preseao può essere viso come ua paramerizzazioe paricolarmee semplice della 4 Risk Ialia Auuo 27

4 A. Idice DJ i-raxx e quoazioi di rache i pui base al 13 maggio 25, isieme agli spread domada/ offera Aacco/ disacco Scadeze Idice 38(4) 54(1) 65(3) 77(2) rache (1) (118) (384) (124) (1) 173 (68) 398 (4) 59 (2) (6) 57 (6) 141 (17) 188 (15) (2) 31 (5) 72 (2) 87 (15) (1) 21 (3) 42 (13) 6 (1) C. Errore di calibrazioe e i ell equazioe (8), calcolao i relazioe allo spread domada/offera, per rache quoae il 13 maggio 25 Aacco/ disacco Scadeze Idice,,1,3, rache 3,,1,2,2 3 6,,,2, 6 9,,,3,1 9 12,1,1,1, ,,,2,3 Noa: idice e rache soo quoai ramie il premio periodico, ecceo la rache equiy (-3) che è quoaa come premio upfro B. Idice DJ i-raxx e quoazioi di rache i pui base all 11 oobre 25, isieme agli spread domada/ offera Aacco/ disacco Scadeze Idice 23 (2) 38 (1) 47 (1) 58 (1) rache (26) 137 (26) (76) (74) (1) 95 (1) 2 (3) 515 (1) (6) 28 (1) 43 (2) 1 (4) (2) 27 (4) 54 (5) (1) 13 (2) 23 (3) Noa: idice e rache soo quoai ramie il premio periodico, ecceo la rache equiy (-3) che è quoaa come premio upfro diamica di disribuzioe della perdia implicia el mercao. Ua caraerisica posiiva è che la perdia varia solo co sali posiivi, come dovrebbe accadere i qualsiasi modello di perdia che abbia seso. Iolre, quesa scela ci cosee di oeere ua buoa calibrazioe ai dai di mercao, come si vede ella sezioe seguee. uavia, o siamo formulado ipoesi esplicie i merio a due imporai aspei. Primo, o abbiamo parlao di come fare i modo che il osro modello sia coeree co la diamica del sigolo ome. Secodo, o abbiamo spiegao come scegliere uo spread compleo per il pool e la diamica del asso di recupero. Ua possibilià può essere quella di far sì che le iesià ei processi di Poisso deermiio la variabile socasica Z e cosiderare rasformazioi di Z più geerali per ricavare il processo di perdia. Poiché i queso aricolo poiamo paricolare aezioe alla calibrazioe delle rache di CDO, che dipedoo solo dalla disribuzioe margiale della perdia, ralasciamo la discussioe di ali problemi i quesa sede e riviamo i leori a Brigo, Pallavicii & orresei (26) dove roverao u ampia aalisi del premio di proezioe da scegliere e della diamica del asso di recupero e a Brigo, Pallavicii & orresei (27) per u uleriore discussioe compredee la coereza co dai a sigolo ome. Sarao possibili progressi sigificaivi e es sulla modellizzazioe della perdia solo quado sarà dispoibile u maggior umero di quoazioi di mercao liquide per opzioi di rache e rache di ipo forward sarig. Calibrazioe del modello Lavoriamo co le specifiche del modello GPL di base dae dal processo GPL di guida Z ell equazioe (3), che uilizziamo per D. Iesià cumulaive, iegrae sio alla scadeza della rache, del modello GPL co M = 2 a oeere u modello della perdia del pool ramie la (5). I quesa formulazioe di base, ciascu processo di Poisso N j ha u iesià deermiisica cosae a rai l j (). Cosiderao che abbiamo oeuo direamee u modello della perdia del pool L _ o caraerizziamo del uo il processo bilaciao di coeggio dei defaul C _ ma foriamo solo i suoi valori aesi, dao che quesi soo i soli dai sul coeggio dei defaul coeui elle quoazioi di mercao (1) uilizzae per la calibrazioe (le quoazioi (2) dipedoo solo dalla perdia e o espliciamee dal coeggio dei defaul). I al modo suppoiamo che: 1 E C := 1 R E L co R < 1 E L b (7) dove l iervallo di defiizioe della cosae R è scelo i modo da garaire che, per ciascu empo il valore aeso del umero bilaciao di defaul sia maggiore o uguale alla perdia cumulaiva del pool di omi e che erambi siao miori o uguali a uo. Noare che si evia di irodurre ua diamica esplicia del asso di recupero (cosulare Brigo, Pallavicii & orresei (26 e 27), per u esposizioe iroduiva sulla diamica del asso di recupero). R può essere qui ierpreaa come ua specie di media dei assi di recupero. Procedura deagliaa di calibrazioe. I parameri del modello rovai co la procedura di calibrazioe soo le ampiezze a j {m N : m M } co j = 1..., e le iesià cumulaive Λ j (), che soo fuzioi reali o decrescei, lieari a rai, della scadeza delle rache. Λ() 1 1,955 3,726 4,464 7,694 3,,62,35,35 8,16,33,11,11 12,4,13,26,26 19,6,6,17,17 72,,9,26,49 185,,2,2,8 Noa: ciascua riga corrispode a compoei di Poisso differei co ampiezza del salo a. asso di recupero = 3% riskialia.com 41

5 E. Errore di calibrazioe e i ell equazioe (8), calcolao i relazioe allo spread domada/offera, per rache quoae l 11 oobre 25 Aacco/ disacco G. Errore di calibrazioe GPL per differei dimesioi miime della perdia 1/M i relazioe allo spread domada/offera per rache a 1 ai all 11 oobre 25 (asso di recupero = 3%) Aacco/ disacco Scadeze Idice,,,1,1 rache 3,1,1 1,2 2,1 3 6,1,1,3 1, 6 9,,1,3,9 9 12,4,8, ,,, Noa: le quoazioi co scadeza a re ai macao di due rache F. Iesià cumulaive, iegrae sio alle scadeze delle rache, del modello GPL co M = 2 a 5pb 1pb 2pb rache 3 2,1 1,8 1, , 1, 1, 1 ai 6 9,9,9,9 scadeze 9 12,8,9, ,,2, I valori oimali per le ampiezze a soo selezioai el modo seguee: Si fissao le dimesioi miime di salo i 1/M scegliedo l iero M M >. Si rova il miglior valore iero per a 1 calibrado l iesià cumulaiva Λ 1 per ciascu valore di a 1 ell iervallo [1, M ], poedo a zero ue le alre ampiezze. Si aggiuge l ampiezza a 2 e si rova il suo miglior valore iero calibrado le iesià cumulaive Λ 1 e Λ 2, paredo dal valore precedee Λ 1 come ipoesi, per ciascu valore di a 2 ell iervallo [1, M ]. Si ripee il passaggio precedee per a 1 co i = 3 e così via, calibrado le iesià cumulaive Λ 1,..., Λ i, paredo dal valore rovao precedeemee di Λ 1,..., Λ i 1 come ipoesi iiziale, sio a quado l errore di calibrazioe è al di soo di ua daa soglia o l iesià Λ i si può cosiderare rascurabile. Λ() 1,441 2,498 4,466 7,555 2,435,435,435,671 11,4,23,23,23 22,4,1,6,3 29,,,1,1 32,,4,4,4 192,,1,5,11 Noa: ciascua riga corrispode a compoei di Poisso differei co ampiezza del salo a. asso di recupero = 3% H. Valori delle ampiezze di Poisso a/m per diversi valori del salo miimo della perdia 1/M (%) 5pb Si corolla successivamee che la probabilià di avere più di M sali sia rascurabile e che il valore di R sia ell iervallo dao dall equazioe (7) per assicurare l asseza di oppopruià di arbiraggio. Per recuperare le quoazioi di mercao delle rache e degli idici poderae i base agli spread domada/offera del mercao, la fuzioe obieivo f da redere miima ella calibrazioe è la somma quadraica degli errori idicai dal modello: = ε i 2 f α, Λ, ε i = x i α, Λ (8) x Bid Ask i x i i Ampiezze di Poisso Daa mag. 6, 25,5 1,5 4, 6, 9,5 39,5 92,5 se. 2, 25,5 1, 4, 5,5 12,5 39, 1, o. 11, 25,5 1, 5,5 11, 14,5 16, 96, 1pb Ampiezze di Poisso Daa mag. 6, 25,1 1,5 4,6 5,9 9,6 39,6 53, ago. 5, 25,2 1,1 1,4 8,1 11,3 49, 62,4 o, 11, 25,1,7 1, 6,3 11,5 14,5 93,7 2pb Ampiezze di Poisso Daa mag. 6, 25,2 1,5 5,26 9,64 17,58 39,64 99,78 ago. 12, 25,38 1,6 1,14 7,38 12,24 41,34 99,8 o. 3, 25,2,98 1,16 7,52 9,74 43,34 65,16 o. 11, 25,16,68 1, 6,3 1,98 14,46 94,9 Noa: soo elecae solao le dae di calibrazioe ra il 6 maggio 25 e il 18 oobre 25 i cui cambiao i valori a/m. x i Mid dove x i, co i che spazia ell isieme delle quoazioi di mercao, soo i valori dell idice S per le quoazioi degli idici DJ iraxx e, per le quoazioi delle rache DJ iraxx, aleraivamee i assi dell idice del premio periodico S ovvero quelli del premio upfro U. Risulai della calibrazioe. Il modello GPL è calibrao alle quoazioi di mercao osservae seimaalmee dal 6 maggio 25 al 18 oobre 25. Prediamo R = 3%, secodo Albaese, Che & Dalessadro (23), come valore di riferimeo per il asso di recupero el mercao DJ iraxx Europe per i corai spo e forward. La qualià della calibrazioe seguee o viee compromessa se scegliamo u valore R = 4%, paragoabile al asso di recupero uilizzao di solio ei meccaismi di quoazioe semplificai sul mercao (cosulare Brigo, Pallavicii & orresei (26 e 27) per alcui esempi). Iiziamo co M = 2, corrispodee a ua dimesioe miima del salo della perdia di 5pb. Cosideriamo, come primo esempio, la daa di calibrazioe 13 maggio 25, i cui valori i igresso soo dai ella abella A. Nelle abelle C e D soo elecai i risulai della calibrazioe e i valori dei parameri calibrai. Gli errori di calibrazioe soo molo bassi per ue le scadeze. Si oi che u errore di calibrazioe miore di uo sigifica che la differeza ra la quoazioe di mercao e il prezzo del modello è miore dello spread domada/offera. Cosideriamo, come secodo esempio, 42 Risk Ialia Auuo 27

6 1 Modello di disribuzioe della perdia del modello GPL Desià,4,35,3,25,2,15,1,5 3 ai 5 ai 7 ai 1 ai,2,4,6,8,1 Perdia 5, 3 ai 4,5 5 ai 4, 7 ai 3,5 1 ai 3, 2,5 2, 1,5 1,,5,1,15,2,25,3 Perdia Noa: dimesioe miima di salo di 5pb a ue le scadeze quoae fio a 1 ai, rappreseaa co ua liea coiua Desià ( 1 3 ) la daa di calibrazioe 11 oobre 25, i cui valori i igresso soo dai ella abella B. Nelle abelle E ed F soo elecai i risulai della calibrazioe e i valori dei parameri calibrai. Gli errori di calibrazioe mosrao che la rache azioaria a 1 ai o ha u prezzo correo. Si rovao ali errori di prezzo i moli esempi di calibrazioe, i paricolare a parire da oobre 25. Quidi proviamo a cosiderare la dimesioe miima di salo della perdia 1/M, olre 5pb, co i valori 2pb e 1pb, che corrispodoo, rispeivamee, a M uguale a 5. e a 1.. La abella G mosra che le rache a scadeza deceale (le più difficili da calibrare secodo la osra esperieza) soo sabili elle re differei dimesioi della perdia. ale risulao suggerisce che adado a valori iferiori a 5pb o si aggiuge mola flessibilià al modello. Quesa osservazioe è cofermaa da uleriori es e i paricolare la differeza ra la calibrazioe co M = 1. e co M = 5. è sempre piccola. Iolre, il comporameo dell errore 2 Desià di probabilià del processo di perdia cumulaivo del pool di omi,5,1 Perdia dell ao 4,5,1 Perdia dell ao 8,5,1 Perdia dell ao 6,5,1 Perdia dell ao 1 Noa: dimesioe miima del salo della perdia di 1pb per scadeze a quaro, sei, oo e dieci ai rappreseaa co ua liea coiua alla daa di calibrazioe 11 oobre 25 medio di calibrazioe, ovvero, della media dei valori assolui degli e i araverso empi e quoazioi, è abbasaza simile per le re differei scele di M e ha valore o superiore a uo. Osserviamo ache che, al dimiuire della dimesioe miima di salo (al crescere della graularià ), aumea il rumore ella disribuzioe della perdia, a causa della preseza di piccole ampiezze. Iolre, ampiezze molo piccole, che appaioo quado la dimesioe miima di salo è equivalee a pochi pui base, possoo o soddisfare il requisio che il processo della perdia sali meo di M vole (vedere Osservazioe 1). Abbiamo ache provao a eseguire calibrazioi co M iferiore a 2, ovvero, co u salo della perdia miimo maggiore di 5pb. I queso caso, l errore di calibrazioe cresce velocemee. I effei, i ale caso la dimesioe miima di salo divea maggiore della ipica perdia del pool di omi che si ha quado uo dei omi va i defaul. Ciquaa pui base sembrao quidi essere u valore di riferimeo ragioevole. I valori delle ampiezze di Poisso soo abbasaza sabili ra le dae di calibrazioe. Di fao, i sei mesi osserviamo al massimo quaro variazioi dei loro valori, come mosrao ella abella H. La disribuzioe della perdia implicia el modello GPL è mulimodale e la fuzioe massa di probabilià ede ad avere valori della perdia maggiori al crescere della scadeza. Quese caraerisiche soo comui a differei approcci. Ad esempio, modelli saici, quali la disribuzioe implicia del asso di defaul i orresei, Brigo & Pallavicii (26a) o la superficie implicia del valore aeso della perdia delle rache di Walker (26) o i orresei, Brigo & Pallavicii (26b), prevedoo disribuzioi mulimodali della perdia. L evoluzioe della disribuzioe della perdia implicia è mosraa ella figura 1. Il modello diamico di correlazioe del credio di Albaese, Che & Dalessadro (25) mosra disribuzioi delle perdie implicie le cui ampiezze edoo a raggrupparsi al crescere della scadeza, porado a ua disribuzioe che ede alla ormale. Il modello GPL riproduce queso comporameo, come mosrao ella figura 2. Coclusioe e ricerca successiva Abbiamo irodoo u modello diamico GPL raabile e iuiivo per la disribuzioe della perdia di u pool. Abbiamo preseao risulai deagliai di calibrazioe per gli idici DJ iraxx, che mosrao che i valori oeui dalla calibrazioe soo buoi e che i parameri calibrai soo relaivamee sabili el riskialia.com 43

7 empo. È icorporaa la caraerisica di feedback dei defaul del modello, ammeedo la preseza di più di u defaul i piccoli iervalli di empo. Ua uleriore aivià di ricerca è ecessaria per la geeralizzazioe del modello GPCL, per oeere coereza co omi sigoli, come abbiamo iiziao a fare i Brigo, Pallavicii & orresei (27). Iolre, quado sarao dispoibili opzioi liquide di rache e quoazioi di rache di ipo forward-sarig, sarà opporuo predere i cosiderazioe u premio co ua diamica socasica raabile e le esesioi della diamica del asso di recupero suggerii i Brigo, Pallavicii & orresei (26, 27). raduzioe: Ligo 24, co la cosuleza di Robero orresei Damiao Brigo è Maagig Direcor e Global Head del eam Q-SCI presso DerivaiveFich a Lodra. Adrea Pallavicii e Robero orresei soo aalisi quaiaivi seior presso Baca IMI a Milao. Soo grai ai due referee aoimi per i loro preziosi commei e suggerimei. U rigraziameo paricolare va a Norddie Beai per aver messo a fuoco u problema paricolarmee delicao i ua versioe iiziale dell aricolo. Riferimei bibliografici Albaese C, O Che e A Dalessadro, 25 Dyamic credi correlaio modelig Documeo di lavoro, dispoibile presso hp://defaulrisk.com/pp corr 8.hm Brigo D, A Pallavicii e R orresei, 26 Calibraio of CDO raches wih he dyamical geeralised-poisso loss model Documeo di lavoro, dispoibile presso hp://ssr.com/absrac=9549 Brigo D, A Pallavicii e R orresei, 27 Cluser-based exesio of he geeralised Poisso loss dyamics ad cosisecy wih sigle ames Preseao per la pubblicazioe ell Ieraioal Joural of heoreical ad Applied Fiace. Versioe ampliaa dispoibile presso hp://ssr.com/absrac= Elouerkhaoui Y, 26 Pricig ad hedgig i a dyamic credi model Documeo di lavoro Ciigroup, preseao alla cofereza Credi Correlaio: Life Afer Copulas, Lodra, 29 seembre 26 Giesecke K e L Goldberg, 25 A op dow approach o muli-ame credi Available a hp://www.saford.edu/dep/msade/ people/faculy/giesecke/opdow.pdf Lidskog F e A McNeil, 23 Commo Poisso shock models: applicaios o isurace ad credi risk modelig Asi Bullei 33, pp orresei R, D Brigo e A Pallavicii, 26a Risk eural versus objecive loss disribuio ad CDO raches valuaio Dispoibile presso hp://ssr.com/absrac=9784 orresei R, D Brigo e A Pallavicii, 26b Implied expeced rached loss surface from CDO daa Documeo di lavoro, dispoibile presso hp://ssr.com/absrac= Walker M, 26 CDO models. owards he ex geeraio: icomplee markes ad erm srucure Documeo di lavoro, dispoibile presso hp://defaulrisk.com/pp crdrv19.hm 44 Risk Ialia Auuo 27

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