Il valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, Settembre 2005 p.

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1 Il valore assoluto F Battelli Università Politecnica delle Marche Ancona Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p1/23

2 Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l espressione seguente: e si indica con se se Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p2/23

3 Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l espressione seguente: e si indica con se se Ovviamente se si ha in ogni caso Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p2/23

4 e ricordando che se Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l espressione seguente: e si indica con se se Ovviamente se si ha in ogni caso L equivalenza fra le definizioni si verifica facilmente distinguendo i casi e ) con un numero reale non negativo ( è si intende la radice quadrata aritmetica ossia per definizione il più grande fra i numeri reali il cui quadrato è uguale ad Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p2/23

5 Proprietà del valore assoluto La funzione ha le seguenti importanti proprietà: e Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

6 Proprietà del valore assoluto La funzione ha le seguenti importanti proprietà: e Infatti Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

7 Proprietà del valore assoluto La funzione ha le seguenti importanti proprietà: e per ogni e se e solo se Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

8 Proprietà del valore assoluto La funzione ha le seguenti importanti proprietà: e segue per ogni e quindi e se e solo se allora allora e quindi Se invece Infine se Infatti se Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

9 Proprietà del valore assoluto La funzione ha le seguenti importanti proprietà: e per ogni e se e solo se Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

10 Proprietà del valore assoluto ha le seguenti importanti proprietà: La funzione e se e solo se e per ogni Infatti Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

11 Proprietà del valore assoluto La funzione ha le seguenti importanti proprietà: e per ogni e se e solo se Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

12 Proprietà del valore assoluto ha le seguenti importanti proprietà: La funzione e se e solo se e per ogni Infatti Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

13 Proprietà del valore assoluto ha le seguenti importanti proprietà: La funzione e se e solo se e per ogni Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

14 Proprietà del valore assoluto ha le seguenti importanti proprietà: La funzione e se e solo se e per ogni Infatti Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

15 Proprietà del valore assoluto ha le seguenti importanti proprietà: La funzione e se e solo se e per ogni Infatti Si noti e ) si ottiene ) e che da Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

16 Proprietà del valore assoluto La funzione ha le seguenti importanti proprietà: e per ogni e se e solo se Si osservi anche che la disequazione equivale a Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p3/23

17 Diseguaglianze col valore assoluto Cominciamo col disegnare il grafico di Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p4/23

18 Diseguaglianze col valore assoluto Cominciamo col disegnare il grafico di grafico con quello di e confrontiamone il Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p4/23

19 Diseguaglianze col valore assoluto Cominciamo col disegnare il grafico di disequazione grafico con quello di equivale a e confrontiamone il È semplice convincersi che la Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p4/23

20 Diseguaglianze col valore assoluto Cominciamo col disegnare il grafico di disequazione equivale a grafico con quello di equivale a oppure e confrontiamone il È semplice convincersi che la mentre Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p4/23

21 Diseguaglianze col valore assoluto Ossia in notazione insiemistica per ogni Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p5/23

22 Diseguaglianze col valore assoluto Ossia in notazione insiemistica ogni per Dalla prima uguaglianza si ricava un altra proprietà del valore assoluto Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p5/23

23 Diseguaglianze col valore assoluto Ossia in notazione insiemistica ogni per valore assoluto Dalla prima uguaglianza si ricava un altra proprietà del Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p5/23

24 Diseguaglianze col valore assoluto Ossia in notazione insiemistica Dalla prima uguaglianza si ricava un altra proprietà del per ogni valore assoluto con e scambiando Infatti si ha : Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p5/23

25 Diseguaglianze col valore assoluto Ossia in notazione insiemistica Dalla prima uguaglianza si ricava un altra proprietà del per ogni valore assoluto e scambiando Infatti si ha Quindi : con Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p5/23

26 Comporre funzioni col valore assoluto Se è una funzione definita in un insieme si ha:! se se Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p6/23

27 Comporre funzioni col valore assoluto si ha:! è una funzione definita in un insieme Se se se mentre se se Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p6/23

28 Comporre funzioni col valore assoluto si ha:! è una funzione definita in un insieme Se se se mentre se se! sia uguale a Non c è quindi alcun motivo per ritenere che Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p6/23

29 In particolare mentre la funzione ha per dominio è definita nello stesso insieme " di Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p7/23

30 In particolare mentre la funzione ha per dominio è definita nello stesso insieme " Si osservi anche che di # per calcolare occorre stabilire se In altre parole bisogna risolvere in la disequazione o se #per calcolare occorre stabilire se bisogna risolvere i due sistemi di disequazioni In altre parole e e prendere l unione delle soluzioni Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p7/23

31 Dal grafico di & $ % a quello di ' $ % &' che questo sia come in figura Supponiamo di saper disegnare il grafico della funzione e Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p8/23

32 Dal grafico di & $ % a quello di ' $ % &' che questo sia come in figura Come possiamo ottenere quello di? Supponiamo di saper disegnare il grafico della funzione e Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p8/23

33 Dal grafico di & $ % a quello di ' $ % &' che questo sia come in figura Come possiamo ottenere quello di delle Supponiamo di saper disegnare il grafico della funzione e? Molto semplicemente basta riflettere rispetto all asse la parte del grafico di che sta sotto l asse delle Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p8/23

34 Esempio: il grafico di )% ( ' % '* Partiamo dal grafico di + concavità rivolta verso l alto e vertice nel punto Questa è una parabola con Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p9/23

35 Esempio: il grafico di )% ( ' % '* Partiamo dal grafico di + concavità rivolta verso l alto e vertice nel punto grafico sotto l asse delle Questa è una parabola con è quella compresa fra i punti La parte di e Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p9/23

36 Esempio: il grafico di )% ( ' % '* Partiamo dal grafico di + concavità rivolta verso l alto e vertice nel punto grafico sotto l asse delle Questa è una parabola con è quella compresa fra i punti si ottiene il grafico di Ribaltandola : + La parte di e Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p9/23

37 Dal grafico di & $ % a quello di ' & $' % che questo sia come in figura Supponiamo di saper disegnare il grafico della funzione e Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p10/23

38 Dal grafico di & $ % a quello di ' & $' % che questo sia come in figura Come possiamo ottenere quello di? Supponiamo di saper disegnare il grafico della funzione e Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p10/23

39 Dal grafico di & $ % a quello di ' & $' % che questo sia come in figura Come possiamo ottenere quello di Supponiamo di saper disegnare il grafico della funzione e? Molto semplicemente basta riflettere rispetto all asse la parte del grafico di che sta a destra dell asse delle Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p10/23

40 Osservazioni importanti #Per tracciare il grafico di di con non conta la parte del grafico Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p11/23

41 Osservazioni importanti #Per tracciare il grafico di di con non conta la parte del grafico #Posto - che il dominio Di conseguenza - " di è " - è simmetrico (cioè " abbiamo già visto " / - ) " Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p11/23

42 Osservazioni importanti non conta la parte del grafico #Per tracciare il grafico di con di abbiamo già visto - #Posto - - " - " è di che il dominio " ) " / è simmetrico (cioè " Di conseguenza mentre " Infatti " Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p11/23

43 con Osservazioni importanti #Per tracciare il grafico di di con non conta la parte del grafico #Posto - che il dominio Di conseguenza - " di è " - è simmetrico (cioè " abbiamo già visto " / - ) " # non cambia è una funzione pari Ossia cambiando il risultato Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p11/23

44 Osservazioni importanti #Per tracciare il grafico di di con non conta la parte del grafico #Posto - che il dominio Di conseguenza - " di " è " - è simmetrico (cioè abbiamo già visto " / - ) " # non cambia è una funzione pari Ossia cambiando ) Infatti (si ricordi che con il risultato Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p11/23

45 Esempio: il grafico di % ' ')% ( * Osserviamo che + Abbiamo già visto che il grafico di dove è : + Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p12/23

46 Esempio: il grafico di % ' ')% ( * Osserviamo che + Abbiamo già visto che il grafico di dove + è quindi in base a quanto detto in precedenza il grafico di + è: Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p12/23

47 3Sempre più difficile: il grafico di ' $ ' % ' & ' Partendo dal grafico di Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p13/23

48 3Sempre più difficile: il grafico di ' $ ' % ' & ' si disegna quello di Partendo dal grafico di Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p13/23

49 3Sempre più difficile: il grafico di ' $ ' % ' & ' quindi quello di Partendo dal grafico di si disegna quello di e Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p13/23

50 oppure Alternativamente partendo dal grafico di Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p14/23

51 oppure Alternativamente partendo dal grafico di si disegna quello di Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p14/23

52 oppure stesso risultato di prima e poi quello di Alternativamente partendo dal grafico di si disegna quello di Ovviamente si ottiene lo Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p14/23

53 Osservazione importante È importante sottolineare l ordine delle operazioni da effettuare per calcolare Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p15/23

54 Osservazione importante È importante sottolineare l ordine delle operazioni da effettuare per calcolare prima calcolare Una volta che si conosca il valore di poi ed infine occorre Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p15/23

55 4 Osservazione importante È importante sottolineare l ordine delle operazioni da effettuare per calcolare prima calcolare Una volta che si conosca il valore di poi ed infine occorre 5 Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p15/23

56 4 Osservazione importante È importante sottolineare l ordine delle operazioni da effettuare per calcolare prima calcolare Una volta che si conosca il valore di poi ed infine occorre Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p15/23

57 5 4 4 Osservazione importante È importante sottolineare l ordine delle operazioni da effettuare per calcolare prima calcolare Una volta che si conosca il valore di poi ed infine occorre Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p15/23

58 5 4 4 Osservazione importante È importante sottolineare l ordine delle operazioni da effettuare per calcolare prima calcolare Una volta che si conosca il valore di poi ed infine occorre Per esempio per calcolare ( e ) occorre prima calcolare 9 poi e solo alla fine Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p15/23

59 Esempio Vogliamo tracciare il grafico di :: : : : : : : Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p16/23

60 Esempio Vogliamo tracciare il grafico di :: : : : : : : Scrivendo ; < ;- si ha Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p16/23

61 Scrivendo :: : : : : : : + Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p16/23 Esempio Vogliamo tracciare il grafico di si ha ; < ;-

62 Scrivendo :: : : : : : : + + Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p16/23 Esempio Vogliamo tracciare il grafico di si ha ; < ;- ossia

63 Esempio Vogliamo tracciare il grafico di :: : : : : : : Scrivendo ; < ;- si ha + ossia + La curva ; < ;- rappresenta quindi un iperbole equilatera avente asintoti le rette per e Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p16/23

64 Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p17/23

65 Perciò in base a quanto detto in precedenza il grafico di :è: : : = : ; < : = =- : ; Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p17/23

66 Disequazioni col valore assoluto Risolviamo la disequazione : : :; : Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p18/23

67 Disequazioni col valore assoluto Risolviamo la disequazione : : :; : Tracciamo contemporaneamente i grafici delle funzioni senza il valore assoluto Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p18/23

68 Disequazioni col valore assoluto Risolviamo la disequazione : : :; : Tracciamo contemporaneamente i grafici delle funzioni senza il valore assoluto quindi i grafici delle funzioni con il valore assoluto e Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p18/23

69 Quindi la disequazione : : :; : ha le soluzioni dell equazione ; mentre dove sono le soluzioni sono le soluzioni ; dell equazione Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p19/23

70 dove soluzioni le : ha : : : ; Quindi la disequazione sono le soluzioni sono le soluzioni mentre ; dell equazione a equivale equazione prima La ; dell equazione? /? > e ha le soluzioni B A >? > A Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p19/23

71 equivale a ; Invece l equazione C? /? + e ha le soluzioni > A Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p20/23

72 a equivale ; Invece l equazione C? /? + e ha le soluzioni > A per soddisfatta : : è ; : : Pertanto la disequazione > B? > +? oppure > +? B >? Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p20/23

73 Risolvere la disequazione ' % ( 'D ' *% 'D E Conviene avvalersi dello schema seguente Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p21/23

74 Risolvere la disequazione ' % ( 'D ' *% 'D E Conviene avvalersi dello schema seguente Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p21/23

75 E se 'D ' *% 'D ( ' % Risolvere la disequazione Conviene avvalersi dello schema seguente Pertanto se F G se GH Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p21/23

76 E 'D ' *% 'D ( + se F G GH ' % La disequazione se Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p22/23 + se Ossia

77 La disequazione ' % ( 'D ' *% 'D E Ossia F G GH + se + se se Risolviamo la disequazione graficamente Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p22/23

78 La disequazione ' % ( 'D ' *% 'D E Ossia F G GH + se + se se Risolviamo la disequazione graficamente Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p22/23

79 Concludendo: la disequazione è soddisfatta per Quindi la disequazione dove risolve il sistema > è soddisfatta per > + / + > e risolve il sistema > + / + > Pesaro Precorso di Analisi Settembre 2005 p23/23

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