UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BERGAMO Facoltà di Ingegneria

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BERGAMO Facoltà di Ingegneria Corso di Elettrotecnica A.A. 2001/2002 Prova scritta del 4 settembre 1999 Esercizio n 1 Data la rete in figura, determinare tutte le correnti (4 pti) e le tensioni (4 pti) incognite. Ω Un modo con cui si può svolgere l esercizio è tramite il metodo dell analisi agli anelli (o metodo delle correnti di maglia ); questo metodo fa uso delle correnti di anello (o maglia) come incognite principali. L uso delle correnti degli anelli, invece di quelle degli elementi, risulta conveniente perché riduce il numero di equazioni che devono essere risolte simultaneamente. Nell analisi agli anelli si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni, la quale afferma che la somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso (o maglia) è zero, e con questa si trovano le correnti incognite. Per cui per prima cosa si assegnano le correnti di anello (j 1, j 2., j n ) agli n anelli. 1

2 Si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni a ciascuno degli n anelli; per far ciò si farà anche uso della legge di Ohm per esprimere le tensioni in termini di correnti di anello. Per cui per il primo anello: E - V 1 + V 2 = 0 per il secondo anello: V 3 - V 2 - V 4 = 0 per il terzo anello: V 4 - V 5 + V 6 = 0 mentre per il quarto anello dato che il generatore di corrente fa parte di un solo anello, si pone: j 4 = - A Ora applicando la legge d Ohm alle equazioni appena scritte: E R 1 I 1 + R 2 I 2 = 0 R 3 I 3 R 2 I 2 R 4 I 4 = 0 R 4 I 4 R 5 I 5 + R 6 I 6 = 0 j 4 = -A Per cui ora siamo di fronte ad un semplice sistema di quattro equazioni che può essere risolto usando un qualunque metodo di risoluzione dei sistemi di equazioni, ad esempio il metodo di sostituzione, quello di eliminazione, la regola di Cramer o l inversione di matrici. Nel nostro caso utilizzeremo quello di sostituzione (chiaramente per la sostituzione si farà anche uso dei dati iniziali forniti dal problema); perciò guardando il circuito al posto delle correnti di lato posso sostituire le opportune correnti di maglia con i segni adeguati: E R 1 (j 1 ) + R 2 (j 2 j 1 ) = 0 R 3 (-j 2 ) R 2 (j 2 j 1 ) R 4 (j 2 j 3 ) = 0 R 4 (j 2 j 3 ) R 5 (j 3 ) + 10 = 0 j 4 = -A 2

3 E (j 2-10) = 0 2 (-j 2 ) 2 (j 2 10) 2 (j 2 j 3 ) = 0 2 (j 2 - j 3 ) - 2j = 0 j 4 = - A E j 2 = 0-2j j 2 + 2j 3-2j 2 = 0-2j 3 + 2j 2-2j = 0 j 4 = - A E j 2 = 0-6j 2 + 2j = 0-4j 3 + 2j = 0 j 4 = - A dalla seconda equazione ricavo j 2 e la sostituisco nella terza equazione: E - 40 = -2j 2 (2j ) /6 = j 2 2 [ (2j ) /6] 4j = 0 j 4 = - A E - 40 = -2j 2 (2j ) /6 = j 2 (2/3) j 3 + (20/3) 4j = 0 j 4 = - A per cui dalla terza equazione ricaviamo il valore di j 3 ossia 5A, sostituendo nella seconda equazione questo valore abbiamo che j 2 è pari a sua volta a 5A. Ora una volta noti i valori delle correnti di maglia posso ricavarmi le correnti che attraversano i singoli elementi; per cui: I e = 10 A I 1 = 10 A I 2 = j 2 j 1 = 5 10 = -5 A I 3 = - j 2 = -5 A I 4 = j 2 j 3 = 5 5 = 0 I 5 = j 3 = 5 A I 6 = j 4 j 3 = -A 5 I 7 = -j 4 = A 3

4 Adesso dato che: R 6 I 6 = 10 V e che: R 6 = 2 Ω I 6 = -A 5 Sostituendo trovo che: A = -10 Per cui avremo anche che: I 6 = - 5 A I 7 = - 10 A Ora calcoliamo le tensioni presenti su ogni singolo elemento tramite la legge di Ohm (V = RI): V 1 = R I 1 = 2 x 10 = 20 V V 2 = R I 2 = 2 x (-5) = -10 V V 3 = R I 3 = 2 x (-5) = -10 V V 4 = R I 4 = 2 x 0 = 0 V 5 = R I 5 = 2 x 5 = 10 V V 6 = R I 6 = 2 x (-5) = -10 V V 7 = R I 7 = 2 x (-10) = -20 V Nota bene: I segni meno davanti ad alcune correnti e tensioni significano che i versi inizialmente ipotizzati sono sbagliati bisogna perciò cambiarli di verso! 4

5 Esercizio n 2: Data la rete in figura, determinare le correnti che circolano nei tre rami del circuito (4 pti) e la potenza attiva e reattiva erogata dai generatori (4 pti). Ω Ω Anche questo esercizio può essere risolto mediante il metodo dell analisi agli anelli; quindi per prima cosa calcoliamoci le singole impedenze nel dominio della frequenza: ELEMENTO IMPEDENZA CALCOLO R Z = R Z R1 = Z R2 = 1Ω R Z = R Z R3 = 3 Ω L Z = j ω L Z = j1000 x (1x10-3 ) = j Ω C Z = 1 / (j ω C) Z = 1 / ( j1000 x ( 1x10-3 ) = -jω Successivamente si cerca di ridurre il circuito il più possibile, per cui in questo caso notiamo che l induttore è in serie con il resistore R 2 e il condensatore è anch esso in serie con il resistore R 3 ; quindi otteniamo: Z 1 = 0,5 Ω Z 2 = 0,5 + j Ω Z 3 = 1 j Ω 5

6 si trasformano anche i generatori dal dominio del tempo a quello dei fasori, per cui: e( t ) = 2 cos 1000t E = 2 / 2 a( t ) = 2 cos1000t a( t ) = 2 cos(1000t 90) A = (2 / 2) e j(-π / 2) = (2 / 2) -90 = j Quindi il circuito su cui ora dovremo operare sarà il seguente: A questo punto possiamo applicare il metodo dell analisi degli anelli, quindi una volta indicate le correnti fittizie (Y1, Y2) si può procedere all analisi del circuito; considerando la maglia uno: V 1 + V 2 E = 0 quindi sostituendo, tramite la legge d Ohm, ricaviamo: Z 1 (-Y 1 ) + Z 2 (Y 2 Y 1 ) E = 0 per la seconda maglia, notiamo che c è un generatore di corrente presente esclusivamente in quel anello, per cui avremo: Y 2 = - A 6

7 Quindi ora abbiamo due equazioni in un incognita semplicemente risolvibile tramite i soliti metodi, ed anche in questo caso faremo uso del metodo di sostituzione, perciò: - Z 1 Y 1 + Z 2 Y 2 Z 2 Y 1 E = 0 Y 2 = 1,41j Ora sostituendo gli opportuni valori precedentemente ricavati: -Y 1 (0,5+0,5 + j) +(0,5 + j) x (1,41j) E = 0 Y 2 = 1,41j semplificando: (1 + j)x(-y 1 )+ (0,705j 1,41) - 2 / 2 = 0 Y 2 = 1,41j per cui ora si può ricavare Y 1 : Y 1 = - 1,05 + 1,76j Ora guardando il circuito si può notare che : I 1 = - Y 1 1,05 1,76j 2,05-59 I 2 = Y 2 Y 1 = 1,41j (1,05 1,76j) - 1,05 + 3,17j 3, I 3 = -I 2-1,41j (2 / 2) -90 A questo punto si può calcolare la potenza attiva e reattiva erogata dai generatori, quindi: generatore di tensione S = E I 2 * = (2 / 2) x (1,05 3,17j) = 1,48 4,48j quindi in questo caso avremo che la potenza attiva sarà pari a 1,48 mentre la potenza reattiva a 4,48j. 7

8 generatore di corrente troveremo dapprima la tensione V 3, quindi: V 3 = Z 3 I 3 = (1 j) x (-1,41j) = -1,41 1,41j Bisogna ricordare che V 3 è la caduta di tensione sia del generatore di corrente sia dell impedenza; a noi interessa quella del generatore di corrente quindi prima di tutto troveremo V 1 : V 1 = Z 1 I 1 = 0,5 (1,05 1,76j) = 0,52 0,88j Ora applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia esterna trovo la caduta di tensione agente sul generatore di corrente: V 1 + V 3 V a(t) = 0 sostituendo i valori otteniamo: V a(t) = V 1 + V 3 = (0,52 0,88j) + (-1,41 1,41j) per cui : V a (t) = -0,89 2,29j successivamente ricaviamo la potenza: S = VI 3 * = (-0,89 2,29j) x (1,41j) = 3,22 1,25j ossia avremo una potenza attiva di 3,22 e una potenza reattiva di 1,25j. 8

9 Esercizio n 3: Determinare l espressione analitica della corrente che percorre l induttore in seguito all apertura dell interruttore (5 pti) e disegnarne l andamento prima e dopo l apertura dello stesso (3 pti). Ω Ω In quest esercizio siamo di fronte ad un transitorio del primo ordine perché vi è solo un bipolo indipendente in grado di immagazzinare energia, ossia l induttore. Studiare il transitorio vuol dire prendere un piano che ha come assi il tempo e la corrente e studiare il circuito tra l istante in cui il circuito si modifica e l istante in cui si raggiunge un nuovo equilibrio. Per cui la soluzione generale che dovremo trovare sarà: i L (t) = i Lo (t) + i Lp (t) La soluzione omogenea associata per un equazione differenziale del primo ordine è: i o (t) = A e -t/τ con τ = R eq C τ = L / R eq nel caso di condensatore + resistenze nel caso di induttore + resistenze 9

10 Quindi nel nostro caso avremo: i L (t) = A e -t/τ + i Lp (t) bisogna però calcolare, quindi dovremo trovare la resistenza equivalente vista ai morsetti dell induttore, per cui: τ = L / R eq = 8 / 4 = 2 Ora dovremo calcolare l integrale particolare, ossia il valore della corrente passante nell induttore a regime, nel nostro caso a regime stazionario, ossia: lim i L (t) = i Lp (t) t 10

11 bisogna però considerare che l induttore in regime stazionario si può sostituire con un cortocircuito, mentre un condensatore si può sostituire con un circuito aperto; per cui il circuito con cui opereremo ora sarà il seguente: per cui ora tramite la legge d Ohm ricavo i L (t): i L (t) = E / R = 40 / 4 = 10 A = i Lp (t) La soluzione generale del nostro esempio sarà : i L (t) = Ae -t/τ + 10 con τ = 2 Per determinare A devo imporre le condizioni iniziali; però bisogna ricordare che in un induttore la corrente non può variare istantaneamente, cioè: i L (0 - ) = K = i L (0 + ) mentre in un condensatore la tensione non può variare istantaneamente, cioè: V c (0 - ) = K = V c (0 + ) 11

12 Possiamo calcolare la corrente che attraversa l induttore un attimo prima che l interruttore si apra (t = 0 - ); troviamo la resistenza equivalente tra R 1 er 2 le quali sono in parallelo tra di loro: R eq = (R 1 xr 2 )/(R 1 +R 2 ) = (4x2)/(4+2) = 4/3 Ω perciò la corrente che percorre la resistenza equivalente varrà: I = E / R eq = 40 / (4/3) = 30 A Ora tramite il partitore di corrente trovo la corrente passante per il resistore da 4, ossia i L (t): i L (t) = I[R 1 / (R 1 +R 2 ) ] = 30 [ 2 / (2+4) ] = 10 A quindi per la legge prima esposta avremo: i L (0 - ) = 10 A = i L (0 + ) In un istante l induttore si comporta come un generatore ideale di corrente da 10 A. Ora si pone la nostra soluzione generale all istante t = 0 uguale a 10 e si calcola il valore di A, ossia: A e -0/τ + 10 = 10 A = 0 12

13 Quindi la soluzione finale dell esercizio è: i L (t) = 10 A L andamento della corrente passante per l induttore prima e dopo l apertura dell interruttore sarà lo stesso ossia avrà valore costante pari a 10 A : 13