Capitolo. Il comportamento dei sistemi in regime transitorio. 5.8 Esercizi - Risposta al gradino dei sistemi del 2 ordine reazionati e non reazionati

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1 Capitolo 5 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5.1 Geeralità ulla ripota dei itemi el domiio del tempo 5. Ripota al gradio di u itema del primo ordie. 5.3 Eercizi - Ripota al gradio dei itemi del 1 ordie reazioati e o reazioati 5.4 Geeralità ui itemi del ordie 5.5 Ripota al gradio di ampiezza e di u itema del ordie co ζ >1 (poli reali dititi e egativi) 5. Ripota al gradio di ampiezza e di u itema del ordie co ζ 1 (poli reali coicideti e egativi) 5.7 Ripota al gradio di ampiezza e di u itema del ordie co 1 ζ <1 (poli complei e coiugati co parte reale egativa ) 5.8 Eercizi - Ripota al gradio dei itemi del ordie reazioati e o reazioati 5.9 Elemeti caratteritici della ripota di u itema al gradio 5. Eercizi - Ripota al gradio e parametri caratteritici

2 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5.1 GENERALITÀ SULLA RISPOSTA DEI SISTEMI NEL DOMINIO DEL TEMPO Coideriamo u geerico itema Se il egale d igreo e(t) ubice bruche variazioi, il egale d ucita (ripota del itema) è cotituito dalla omma di ua ripota traitoria ed ua ripota permaete (o ripota a regime). Per determiare il egale d ucita u(t), i procede el eguete modo: 1. Si determia la G() G() U()/E(). Si determia la E(), facedo uo delle tabelle delle Td.L 3. Si calcola l ucita U() G()*E() 4. Si atitraforma la U() per rialire alla u(t) Calcolo del valore iiziale e del valore fiale della ripota a) Se è ota la u(t) u(0) lim u(t) ; u( ) lim u(t) t 0 t b) Se è ota la U() Teorema del valore iiziale U i u(0) lim U() Il teorema del valore iiziale ci forice la ripota di u itema all itate t0 Teorema del valore fiale U f u( ) lim U() Il teorema del valore fiale ci forice la ripota di u itema all itate t Nota: il teorema del valore fiale i può applicare olo e U() o ha poli el emipiao poitivo, icluo l ae immagiario ed ecluo l origie. Claificazioi dei itemi per ordie La claificazioe per ordie di u itemi viee fatto i relazioe al umero di poli della ua f.d.t. U itema quidi dicei di: - ordie zero quado la ua f.d.t. o preeta poli - ordie uo quado la ua f.d.t. preeta u polo (deomiatore della f.d.t. è u poliomio di primo grado) - ordie due quado la ua f.d.t. preeta poli (deomiatore della f.d.t. è u poliomio di ecodo grado) Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-

3 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5. RISPOSTA AL GRADINO DI UN SITEMA DEL 1 ORDINE Coideriamo u itema del 1 ordie co u polo reale egativo (a<0), eccitato da u gradio di ampiezza E Calcolo della U() U() E()*G() Eedo l igreo u gradio di ampiezza E E()E/, E K otituedo i ha : U() E()*G() + a La ripota u(t) ha u adameto epoeziale crecete. Calcolo del valore fiale u( ) E K U f u( ) lim U() lim + a Calcolo della ripota u(t) EK a E K U() E()*G() + a Atitraformado facedo uo della tabella delle T.d.L rigo 9, i ricava la u(t) u(t) EK -at ( 1-e ) a U i u(0) lim u(t) 0 ; Vfi u( ) lim u(t) t 0 t lim t EK -at EK (1-e ) a a Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-3

4 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5.3 ESERCIZI - RISPOSTA AL GRADINO DEI SISTEMI DEL 1 ORDINE REAZIONATI E NON REAZIONATI E.1. Determiare l ucita u(t) di u itema del primo ordie caratterizzato dalla eguete f.d.t 5 G() + quado all igreo è applicato u gradio di ampiezza Calcolo della u(t) L ucita vale: U() E()*G() Eedo i queto cao l igreo u gradio di ampiezza E()/, otituedo i ha : 5 U() + 5 Atitraformado la U() i ha: u(t) (1-e -t ) 5(1-e -t ) Calcolo della cotate di tempo τ, del valore iiziale e quello fiale τ 1/ ec -t U i u(0) lim u(t) lim 5(1-e ) 0 t 0 t 0 -t U f u( ) lim u(t) lim 5(1-e ) 5 t t Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-4

5 Il comportameto dei itemi i regime traitorio E. Determiare l ucita u(t) di u itema del primo ordie retroazioato, per emplicità a reazioe uitaria quado all igreo è applicato u gradio di ampiezza Calcolo della f.d.t. del itema retroazioato W() Il circuito retroazioato è equivalete al circuito i figura co H()1 5 W () Calcolo della u(t) U() E()*W() Eedo ache i queto eempio l igreo u gradio di ampiezza E()/, 5 otituedo i ha : U() Atitraformado la U() i ha: u(t) (1-e -7t 50-7t ) (1-e ) 7 7 Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-5

6 Il comportameto dei itemi i regime traitorio Calcolo della cotate di tempo τ, del valore iiziale e quello fiale τ 1/7 ec 50-7t U Ri u(0) lim u R (t) lim (1-e ) 0 t 0 t 0 7 U Rf u( ) lim u R (t) t 50-7t lim (1-e ) 5 7,14 t 7 NOTA Dal cofroto co l eercizio precedete i evice che il itema reazioato ripetto a quello o reazioato - i porta a regime i u itervallo di tempo miore - l ampiezza del egale d ucita è miore Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-

7 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5.4 GENERALITÀ SUI SISTEMI DEL ORDINE La f.d.t. di u geerico itema del ordie, critta i forma tadard e la eguete. G () k ω + ζω Parametri caratteritici: ζ è detto coefficiete di morzameto (determia il tipo di ripota) ω è chiamata pulazioe aturale k lim G() Poli della f.d.t. guadago tatico I poli della f.d.t. i ricavao aullado il deomiatore della G() p ζω ± ω ζ 1 ω ( ζ ± ζ 1) 1, riulta ioltre che p 1 p ω I poli oo per ζ >1, reali dititi egativi ζ 1, reali coicideti 0< ζ <1, complei coiugati p 1 p -ω (il prodotto delle radici è uguale al termie oto) Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-7

8 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5.5 RISPOSTA AL GRADINO DI AMPIEZZA E DI UN SISTEMA DEL ORDINE CON ζ >1, (POLI REALI DISTINTI E NEGATIVI) Coideriamo u itema del ecodo ordie co poli reali e dititi egativi (ζ >1) () ( )( p1 p ) G k ω + ζω La ripota al gradio è aperiodica k ω Dal grafico i rileva quado dimiuice il coefficiete di morzameto aumeta la velocità della ripota. Calcolo del valore fiale u( ) Sappiamo che l ucita el domiio compleo vale: U() E()*G() Avedo i igreo u gradio di ampiezza E E()E/, otituedo i ha : U() E - Il valore fiale U f u( ) lim U() Calcolo della ripota u(t) U() E k ω + ζω E k ω + ζω E k k ω ( p1)( p) Atitraformado la U(), facedo uo della tabella delle T.d.L. al rigo Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-8

9 Il comportameto dei itemi i regime traitorio u(t) u(t) u(t) E k ω E k ω E k L 1 1 ( p1)( p) 1 p 1 e p1 p p p1 p 1 e p p1 p1 + p p1 p1t p t e p1 + p p1 p1t p t e Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-9

10 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5. RISPOSTA AL GRADINO DI AMPIEZZA E DI UN SISTEMA DEL ORDINE CON ζ 1, (POLI REALI CCOINCIDENTI E NEGATIVI) Coideriamo u itema del ecodo ordie co poli reali e dititi egativi (ζ >1) () ( ) G k ω + ζω k ω ; p1 - ω La ripota al gradio è aperiodica Calcolo del valore fiale u( ) L ucita vale: U() E()*G() Avedo i igreo u gradio di ampiezza E E()E/, otituedo i ha : E k ω U() ( ) Teedo preete che la fuzioe o preeta poli poitivi, applicado il Teorema del valore fiale i ha : U f u( ) lim U() E k Calcolo della ripota u(t) U() E k ω + ζω E k ω ( ) Atitraformado la U(), facedo uo della tabella delle T.d.L. al rigo 18 Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-

11 Il comportameto dei itemi i regime traitorio u (t) E k ω L 1 u (t) E k ω ω 1 ( 1 ω t t ( 1 e ω t e ω ) ) ω t t E ( ω 1 e ω t e ) k Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-11

12 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5.7 RISPOSTA AL GRADINO DI AMPIEZZA E DI UN SISTEMA DEL ORDINE CON 0 ζ <1, (POLI COMPLESSI E CONIUGATI CON PARTE REALE NEGATIVA ) Coideriamo u itema del ecodo ordie co 0< ζ <1, (poli complei e coiugati co parte reale egativa ) k ω + ζω () G k ω ( p1)( p) dove p1 ω ( ζ + ζ 1) ; p ω ( ζ ζ 1) La ripota al gradio è ocillatoria morzata Dal grafico i rileva che quado dimiuice il valore del coefficiete di morzameto ζ aumeta l ampiezza delle ocillazioi la velocità della ripota 1 1 Per <ζ <1 l ocillazioe e be morzata. ( 0,707) Calcolo del valore fiale u( ) L ucita el domiio vale: U() E()*G() Avedo i igreo u gradio di ampiezza E E()E/, otituedo i ha : E k ω U() + ζω Teedo preete che la fuzioe U() o preeta poli a parte reale poitiva, applicado il Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-1

13 Il comportameto dei itemi i regime traitorio Teorema del valore fiale i ha : U f u( ) lim U() E k Calcolo della ripota u(t) U() E k ω + ζω Atitraformado la U(), facedo uo della tabella delle T.d.L. al rigo 34 1 u (t) E k ω L ( 1 + ζω + ω ) Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-13

14 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5.8 ESERCIZI - RISPOSTA AL GRADINO DEI SISTEMI DEL ORDINE REAZIONATI E NON REAZIONATI. E.1. Studiare la ripota dei itemi riportati i figura quado oo ollecitati da u egale a gradio di ampiezza E 4 Soluzioe a) Studio della ripota del itema o retroazioato Ricavo dei parametri caratteritici del itema - Dal cofrotado della a otra G() co quella tadard di u itema + + k ω del ordie G() i ha: + ζω ω ω 1,41 rad/ec (pulazioe aturale) 1 1 ζω ζ 0,707 (coefficiete di morzameto) ω k lim 5 (guadago tatico) + + Calcolo della U() G() + + ; U() E()*G() Avedo i igreo u gradio di ampiezza 4 E() 4/ otituedo i ha : 4 U() + + Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-14

15 Il comportameto dei itemi i regime traitorio Calcolo del valore fiale U f Calcolo dei poli j1; -1+j1 Teedo preete che la U() o preeta poli a parte reale poitiva applicado il teorema del valore fiale i ricava l ampiezza della ripota a regime. U f 4 u( ) lim U() 0 Grafico e ripota: Eedo ζ 0,707 la ripota al gradio è ocillatoria morzata La ripota i ricava atitraformado la U(), facedo uo delle tabelle delle T.d.L. 4 U() ζ 0,707 ; ω ; θ ar co 0,707 0, ω 1, u (t) 40 L + + u (t) 40 1 t 1 e 1 0,5 e( 1 0,5 t + 0,785) Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-15

16 Il comportameto dei itemi i regime traitorio u (t) e 0,5 t e( 0,5 t + 0,785) t 0 [ 1 e e(t + 0,785) ] b) Studio della ripota del itema retroazioato Calcolo della f.d.t. del itema retroazioato W() Il circuito retroazioato è equivalete al circuito i figura co H()1 W () Ricavo dei parametri caratteritici del itema - Dal cofrotado della a otra W() co quella tadard di u k ω itema del ordie G() i ha: + ζω R ω 1 ωr 1 3,44 rad/ec 1 1 ζ RωR ζ R 0,89 ω 1 k R lim R 5 Calcolo della U R () W() ; U R () E()*W() Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-1

17 Il comportameto dei itemi i regime traitorio Avedo i igreo u gradio di ampiezza 4 E() 4/ otituedo i ha : 4 U R () Calcolo del valore fiale U f Calcolo dei poli j; -1 + j Teedo preete che la U R () o preeta poli a parte reale poitiva applicado il teorema del valore fiale i ricava l ampiezza della ripota a regime. U Rf u( ) lim U() 4 1 Grafico e ripota: Eedo ζ R 0,9 la ripota al gradio è ocillatoria morzata 3 La ripota i ricava atitraformado la U(), facedo uo delle tabelle delle T.d.L. U() U() u(t) L ζ 1 1 0,89; 1 ζ 0,083; ω 1; 1 ω 1 3,44 rad/ec ω ω 1 ζ 3,44 1 0, 083 3,44 0,957 3,3 rad/ec θ ar co 0,9 1,78 Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-17

18 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 1 1 t u (t) 40 e e(3,3 t + 1,78) 1 1 0, t u (t) 1 1 e e(3,3 t + 1,78) 0,957 u (t) ,957 e t e(3,3 t + 1,78) Nota: Dall aalii dei parametri, i ota che l ampiezza della ripota a regime, il coefficiete di morzameto ζ e il guadago tatico del itema retroazioato oo miori di quelli del itema o reazioato Sitema o retroazioato ζ k U f 0, Sitema retroazioato ζ R k R U Rf U f /k+1 0,89 5/ 3 Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-18

19 Il comportameto dei itemi i regime traitorio E.. Studiare la ripota dei itemi riportati i figura quado oo ollecitati da u egale a gradio di ampiezza E 4 Soluzioe c) Studio della ripota del itema o retroazioato Ricavo dei parametri caratteritici del itema - Cofrotado la otra G()) co quella tadard di u itema del ordie k ω G() i ricavao i parametri caratteritici: + ζω ω ω rad/ec 5 5 ζω 5 ζ ω 1,0 30 k 5 Calcolo della U() 30 G() ; U() E()*G() Avedo i igreo u gradio di ampiezza 4 E() 4/ otituedo i ha : 4 30 U() Calcolo del valore fiale U f I poli oo reali dititi e egativi p1 -; p -3 Teedo preete che la U() o preeta poli a parte reale poitiva applicado il teorema del valore fiale i ricava l ampiezza della ripota a regime u( ) lim U() 0 Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-19

20 Il comportameto dei itemi i regime traitorio Grafico e ripota: Eedo ζ 1,0>1 la ripota al gradio è aperiodica La ripota i ricava atitraformado la U(), facedo uo delle tabelle delle T.d.L. U() U() ( + )( + 3) d) Studio della ripota del itema retroazioato Calcolo della f.d.t. del itema retroazioato W() Il circuito retroazioato è equivalete al circuito i figura co H()1 30 W () Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-0

21 Il comportameto dei itemi i regime traitorio Ricavo dei parametri caratteritici del itema 30 - Dal cofrotado della a otra W() co quella tadard di u k ω itema del ordie G() i ha: + ζω ω R ωr 3 rad/ec 1 ζ RωR ζ R 0,17 ωr k R lim 30 5/ 0, Calcolo della U R () 30 W() ; U R () E()*W() Avedo i igreo u gradio di ampiezza 4 E() 4/ otituedo i ha : 4 30 U R () Calcolo del valore fiale U Rf Calcolo dei poli j 35 ; 1+ j 35 Teedo preete che la U R () o preeta poli a parte reale poitiva applicado il teorema del valore fiale i ricava l ampiezza della ripota a regime ,33 3 U Rf u( ) lim U() Grafico e ripota: Eedo ζ R 0,17 la ripota al gradio è ocillatoria morzata La ripota i ricava atitraformado la U(), facedo uo delle tabelle delle T.d.L U R () Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-1

22 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5.9 ELEMENTI CARATTERISTICI DELLA RISPOSTA DI UN SISTEMA AL GRADINO Se applichiamo u egale a gradio all igreo di u itema tabile queto ripode co u egale che può avere l adameto di fig.1 o quello di fig. Fig.1 Ripota aperiodica o morzata Fig. Ripota ocillate morzata Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-

23 Il comportameto dei itemi i regime traitorio Parametri caratteritici che permettoo di valutare le pretazioi di u itema Tr tempo di alita (rie time) è defiito come il tempo eceario perché il valore della ripota aumeti dal % al 90% del valore fiale Td tempo di ritardo (delay time) è defiito come il tempo eceario perché il valore della ripota ia uguale al 50% del uo valore fiale T tempo di aetameto (ettig time) è defiito come il tempo eceario perché il valore della ripota ia compreo etro ua facia di valori pretabiliti che i dicotao dell 1% 5% dal valore fiale U f Per u itema del 1 ordie: k G() + a co a>0 τ p 1 a 1 (cotate di tempo) ; Tr,τ ; Td 0,7τ T al 1% 4,τ ; T al % 3,9τ ; T al 5% 3τ Per u itema del ecodo ordie co poli complei e coiugati per u igreo a gradio uitario. () G k ω co 0<ζ<1 + ζω 1+ 1,1 ζ + 1,4ζ 1+ 0,7 ζ Tr ; Td ω ω 4 3 T al % ; T al 5% ζω ζω π Tp tempo per raggiugere il max della ripota U M ω 1 ζ π ζ M U M U f 1 ζ U f e altezza del picco (overhoot) UM Uf + M valore maimo raggiuto dall ucita U U M% M f 0 Uf M% U M Uf + Uf 0 π ζ 1 ζ e 0 Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-3

24 Il comportameto dei itemi i regime traitorio 5. ESERCIZI - RISPOSTA AL GRADINO E PARAMETRI CARATTERISTICI E.1 U egale a gradio di ampiezza è applicato ad u itema del I ordie la cui fdt è la eguete G() Determiare: a) la ripota i fuzioe del tempo; b)il tempo di alita del egale d ucita; c)il tempo eceario per raggiugere il 99% del valore a regime; d)il valore a regime del egale d ucita. Soluzioe Calcolo della ripota i fuzioe del tempo L ucita vale: U() E()*G() Eedo i queto cao l igreo u gradio di ampiezza E()/, otituedo i ha : U() t -00t Atitraformado i ha: u(t) (1-e ) (1-e ) ( + 00) Calcolo del tempo di alita del egale d ucita Tr τ p 1 1/00 ec, Tr,τ 00 dove p -00 (polo) 3,7 mec Calcolo del tempo eceario per raggiugere il 99% del valore a regime 4, T al 1% 4,τ 00 7,7 mec Calcolo del valore a regime del egale d ucita. -00t U f u( ) lim u(t) lim (1-e ) t t oppure co il teorema del valore fiale 000 U f u( ) lim U() lim 0 ( + 00 ) Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-4

25 Il comportameto dei itemi i regime traitorio E. U egale a gradio di ampiezza è applicato ad u itema del II ordie la cui fdt è la 90 eguete: G ( ) Determiare: a) la ripota i fuzioe del tempo; b) il valore a regime; c)l itate e eite i cui avviee l overhoot del egale d ucita; d)il valore max del egale d ucita Soluzioe Calcolo della ripota i fuzioe del tempo Cofrotiamo la otra fdt co quella tadard 90 () k ω + ζω G ω 18 ω 18 rad/ec (pulazioe aturale) ζω ζ 0,707 (coefficiete di morzameto) ω 18 3 k lim G () 90 lim 90/18 (guadago tatico) I poli della f.d.t. oo complei e coiugati, la ripota e ocillatoria morzata e arà preete u overhoot. L ucita vale: U() E()*G() Eedo i queto cao l igreo u gradio di ampiezza E()/ otituedo i ha : 90 U() Atitraformado i ha: u(t) -14,14 e -3t e(3t +π/4) Calcolo del valore a regime del egale d ucita. U f u( ) lim u(t) lim -14,14 e t t -3t e(3t +π/4) oppure co il teorema del valore fiale i quato i poli della G() hao parte reale egativa. 90 U f u( ) lim U() lim Calcolo dell itate i cui avviee l overhoot del egale d ucita π π π 3,14 Tp 1, 047 ec ω 1 ζ ,5 18 0,5 3 Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-5

26 Il comportameto dei itemi i regime traitorio Metodo alterativo: Per trovare l itate i cui l ucita è maima calcoliamo e aulliamo la derivata prima D[u(t)] D[ -14,14 e - 3t e(3t+π/4)] -14,14 e -3t (-3) co(3t+π/4) (+3) D[u(t)] 9 14,14 e - 3t co(3t +π/4) 0 π 3 π 3t + π t t t 1,047 ec 4 3 Calcolo del maimo valore raggiuto del egale d ucita π ζ M U M U f 1 ζ U f e e UM Uf + M +0,43,43 π ζ 1 ζ 0,43 altezza del picco Metodo alterativo: Il valore max i ha per t1,047 pertato: U M u(t1,047) -14,14 e - 3t e(3t +π/4).43 Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-

27 Il comportameto dei itemi i regime traitorio E.3 Il itema decritto dallo chema a blocchi è ottopoto ad u gradio di ampiezza 5 Determiare: a) il valore a regime b) il tempo di alita c) il tempo a cui avviee l overhoot d) il valore dell overhoot e) il valore max del egale d ucita f) il tempo di aetameto al % Calcolo della ripota U() Soluzioe Il circuito retroazioato è equivalete al circuito i figura co H()1 ( + 400) W() ( + 400) + 1+ ( + 400) Cofrotiamo la otra fdt co quella tadard k ω W() ζω ω ω ζω rad/ec (pulazioe aturale) ζ 0, (coefficiete di morzameto) ω 00 k lim W () lim (guadago tatico) I poli della f.d.t. oo complei e coiugati, la ripota e ocillatoria morzata e arà preete u overhoot. Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-7

28 Il comportameto dei itemi i regime traitorio L ucita vale: U() E()*W() Eedo i queto cao l igreo u gradio di ampiezza 5 E()5/ otituedo i ha : 5 5 U() ( ) Calcolo del valore a regime del egale d ucita. 5 U f u( ) lim U() lim ( ) 5 Calcolo del tempo di alita 1+ 1,1 ζ + 1,4ζ 1+ 1,1 0, + 1,4 0, Tr ω 00 1,7 mec Calcolo del tempo a cui avviee l overhoot π 3,14 Tp 3,0 mec ω 1 ζ , Calcolo del maimo valore raggiuto del egale d ucita π ζ π 0, M U M U f 1 ζ 1 0, U f e 5 e,3 valore del picco (overhoot) UM Uf + M 5 +,3 7,3 valore maimo raggiuto dall ucita Calcolo del tempo di aetameto al % 4 T al % ζω 4 0 mec 0, 00 Prof. Fraceco Di Sabatio - Dipee di Sitemi Elettroici Automatici V-8

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