Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi. A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso?

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1 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 1 A: Vettori geometrici Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso? w v, v w, v w, v w, (u. v)w, u. v + w, (u. v) + (u. w). A. Sia v = 1. Esiste un vettore w di modulo tale che v. w = 5? Esiste w di modulo tale che v. w = 1. A3. Siano w 1, w 0 vettori e supponiamo u 0 formi angoli uguali con essi e che v 0 abbia la stessa proprietà. Dimostrare che se λu + µv è non nullo allora esso ha ancora la stessa proprietà. D ora in poi supponiamo che v 1, v, v 3 sia una base di R 3. Indicheremo i vettori con le loro coordinate rispetto a v 1, v, v 3. A4. Supponiamo che v i. se i j vj = se i = j. Calcolare (1, 0, 0). (0, 1, 0) e (1, 1, 0). (0, 1, ). Calcolare l angolo tra (1, 0, 0) e (0, 0, 1) e quello tra (1, 0, 0) e (0, 1, 1). D ora in poi supponiamo che la base v 1, v, v 3 sia ortonormale. A5. Provare che esistono due vettori di modulo 5 paralleli a (1,, 1). A6. Provare che esiste un vettore v parallelo a (1, 1, 1) tale che v v 1 abbia modulo 3. A7. Proiettare il vettore (1,, 1) sul vettore (0, 3, 1). Trovare un vettore linearmente dipendente con (1,, 1) la cui proiezione su (0, 3, 1) abbia modulo 1. Ne esiste uno solo? A8. Determinare un vettore v 0 tale che v v 1 sia ortogonale a (, 1, 1) e v sia ortogonale a v. A9. Determinare un vettore di modulo 1 ortogonale a (1,, 3) e a (1, 1, 1). A10. Siano u = (1,, 0) e v = (0, 1, 1). Determinare w tale che: - u, v, w siano linearmente indipendenti; - w sia ortogonale a v; - la proiezione di w su u abbia modulo 1. A11. Si determinino tutti i vettori di Lv 1, v } aventi un angolo di π 3 A1. Determinare un vettore formante un angolo di π 4 con (1, 1, 0) e di π col vettore ( 1, ). con (0, 1, 1). A13. Siano v = (1, 3) e w = (, 1) due vettori di Lv 1, v }. Trovare u 1 ortogonale a v tale che la proiezione di u 1 coincida con la proiezione di v su w. Determinare u di modulo 1 tale che la proiezione di u su w coincida con la proiezione di v su w. A14. Siano u, v due vettori non nulli. Determinare tutti i vettori linearmente dipendenti con u e v formanti con essi angoli uguali. A15. Dati i vettori u 1 = (1,, 0), u = (0, 1, 1), determinare la proiezione ortogonale del vettore (1, 0, 0) sul sottospazio Lu 1, u }. Calcolare l angolo θ tra il vettore (1, 0, 0) e Lu 1, u }. A16. Dati i vettori u, v, w, si dica quali di queste operazioni ha senso in Lv 1, v, v 3 }. (u+v). w (u. v). w u v w v (v w) (u v). w u v w (v w). (u v). A17. Dimostrare che se u, v, w Lv 1, v, v 3 } e a R, allora: (u + av) v = u v u v. w + (u + v). u w = 0. A18. Provare che se u. v = 0 e u = v =, allora (u v) v = 8 A19. Scrivere u (v w) come combinazione lineare di v e w.

2 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria D ora in poi supponiamo che la base v 1, v, v 3 sia anche destrorsa. A0. Calcolare ((1,, 0) (3,, 0)) (1, 1, 1) e (1,, 0) ((3,, 0) (1, 1, 1)). A1. Trovare tre vettori u, v, w tali che (u v) w = u (v w) 0. A. In quali casi ha soluzione l equazione v x = w? A3. Risolvere le equazioni: -( 3, 3, 5 3 ) x = (,, 0); - (1,, 0) x = (, 1, 1),, 0). A4. Siano dati u = (0, 1, 1), v = (, 1, 0) e w = (0,, 1). - Provare usando il prodotto misto che u, v, w è una base per L(v 1, v, v 3 ); - Trovare le coordinate di v 1, v, v 3 rispetto a questa base; - Trovare le coordinate di v 1 + v + v 3 rispetto a questa base. A5. Dire se sono destrorse o sinistrorse le seguenti basi: v 1, v 3, v v 1 + v, v, v 3 v + v 3, v 1 + v 3, v 1 + v. A6. Sia u, v, w una terna di vettori tale che u v. w > 0. Siano poi x k = ku + v, y k = kv + w, z k = v + kw. - Dire per quali k i vettori x k, y k, z k sono base di L(v 1, v, v 3 ); - Dire per quali k i vettori x k, y k, z k è destrorsa. B: Geometria lineare nel piano B1. Scrivere le equazioni parametriche per le seguenti rette: - La retta che congiunge A( 1, 3) con B(, 1) - La retta di equazione cartesiana x = - La retta di equazione cartesiana x 3y = 4. B. Sia r la retta di equazione parametrica x = t + 1 y = t. Scrivere un altra rappresentazione parametrica per r tale che il punto di r di ascissa 0 si ottenga per t = 0 e quello di ordinata 0 per t = 1. B3. Dire se le due rette a lato sono la stessa retta x = t x = t +. B4. Dire se le due rette a lato sono la stessa retta y = t + x = 3t + 1 y = t 1 y = t x = 3t + 4 y = t B5. Determinare, se possibile, il coefficiente angolare delle seguenti rette: x 10 = 0 ; y + 4 = 0 ; x y = 4 ; x 3 5 = y+7 1 ; x = 3y ;. x = 3t y = t 1 B6. Verificare che le tre rette x y + 3 = 0, 3x + y + = 0, x 6y + 7 = 0 appartengono ad un fascio e determinarne il centro. B7. Per quali a R le tre rette ax ay = 1, x = ay, ax + y = 1 appartengono ad un fascio? B8. Nel fascio di rette x + 3ky 5k + = 0 determinare (se esistono): - la retta il cui vettore direzionale si a(, 1), - la retta parallela all asse x e quella parallela all asse y, - il centro del fascio, - le rette s tali che il triangolo determinato da s e dai due assi coordinati abbia area 7. B9. Determinare il punto simmetrico di (1, 1) e la retta simmetrica di x+y = rispetto alla retta x y = 1. B10. Dividere il segmento di estremi (0, 1) e (5, 3) in due e in tre parti uguali. B11. Scrivere la retta r rispetto alla quale siano simmetrici A(0, 4) e B(1, ). B1. Determinare il baricentro del triangolo A(a 1, a ), B(b 1, b ), C(c 1, c )..

3 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 3 B13. Dati i tre punti A(0, 0), B(1, ), C(6, 0), determinare un quarto punto D in modo che i quattro punti formino un parallelogramma. In quanti modi è possibile? B14. Determinare le due bisettrici degli angoli formati dalle rette x y = 0 e x + y = 1. B15. Tra i punti P della retta r : 4x 3y + = 0 determinare quello il cui simmetrico rispetto alla retta s : x y = ha distanza minima da (0, 0). B16. Tra i punti della retta r : x + y = determinare quelli la cui proiezione ortogonale sulla retta s : x = t; y = 3 + t dista 5 da P = r s. B17. Scrivere le equazioni delle circonferenze di raggio 5, passanti per il punto (0, 0) e ivi tangenti alla retta x = 3y. B18. Scrivere l equazione di una circonferenza di raggio 1 avente il centro sull asse x e tangente alla retta y = x. B19. Scrivere le equazioni delle circonferenze passanti per i punti (, ) e (, 0) e tangenti alla retta x + y + = 0. B0. Scrivere le equazioni delle rette passanti per (1, ) e tangenti alla circonferenza di equazione x + y + x + 8y = 0. B1. Scrivere l equazione di una circonferenza di raggio 3 con centro sulla retta r : y = 3x + e che sia tagliata dalla retta s : x + y = in una corda di lunghezza. B. Tra le circonferenze tangenti alle rette parallele y = x + 1 e y = x + 3 determinare le due che sono tangenti anche alla retta s : 3x = y. B3. Scrivere le equazioni delle circonferenze con centro sull asse y e tangenti a x + y + 1 = 0 e a x y = 4. B4. Tra le rette del fascio di centro (4, 1) determinare quelle che tagliano la circonferenza x + y = 4x in una corda di lunghezza. B5. Che raggio deve avere una circonferenza di centro (3, 0) affinché una delle rette ad essa tangenti in una delle sue intersezioni con y = x intercetti l asse x nel punto ( 3, 0)? B6. Siano r : x = y; s : 3x + y = 0 due rette; determinare tra le due bisettrici degli angoli di r e s quella situata nell angolo minore. Determinare quindi le circonferenze di raggio situate negli angoli minori tra r e s e tangenti sia a r che a s. B7. Date le circonferenze (x 1) + (y + ) = 1 e (x 1) + (y ) =, determinare le equazioni delle quattro rette tangenti ad entrambe. B8. Scrivere un equazione che sia soddisfatta da tutti e soli i punti dell insieme costituito dall unione delle rette x = y; x = 3y; x = 1. B9. Scrivere l equazione cartesiana del luogo di punti P (x, y) tali che siano allineati: - il punto simmetrico di P rispetto all asse x, - il punto medio tra P e O(0, 0), - la proiezione ortogonale di P su x + y 1 = 0. B30. Scrivere l equazione cartesiana del luogo dei punti P (x, y) tali che il triangolo P P P abbia area 1, dove P è il simmetrico di P rispetto a x + y = 1 e P è la proiezione ortogonale di P sulla retta y =. C: Coniche: cambio di coordinate C1. Coniche da riconoscere: a) x + y = 1 b) y x = 3 c) y = 3x d) x = y e) x 3y = 0 f) y x = 0 g) 1 + x + y = 0 h) x + 3y = 0 i) xy = 0 j) x + 1 = 0 k) y = 9(x 1) l) 3x + y = 5 m) x + 3xy = 0 n) x 3x + = 0 o) x xy + y = 0 p) x + x + y + 1 = 0. C. Coniche da disegnare: a) x + y y = 0 b) 3x y y = 1 c) x y 4x + 4 = 0 d) y + y = x e) xy = 5 f) 3x + 4y x + 1 = 0 g) x 3y xy = 0 h) x + x + 1 = 0

4 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 4 C3. Determinare l equazione della parabola di fuoco F (1, 0) e direttrice x + y = 0. C4. Determinare l equazione dell ellisse di fuochi F 1 (0, 0), F (1, ) passante per il punto P (4, 3). C5. Determinare il luogo dei punti del piano P (x, y) le cui distanze rispettivamente dal punto P (1, 0) e dalla retta x = 0 stanno nel rapporto k (k 0). Discutere il luogo al variare di k R \ 0}. C6. Dire se esiste un sistema di coordinate per il quale l asse x sia la retta di equazione 11x + 1y 10 = 0 (rispetto al sistema Oxy) e l asse y sia la retta 1x 11y + 8 = 0. Nel caso in cui esiste, scrivere la trasformazione diretta e quella inversa. C7. Coniche da riconoscere: a) 4x + 4xy + y x = 0 b) x + 3xy = 1 c) x + xy 3y + x y = 0 d) x 6xy + 5y = 0 e) x + xy + y + y + 1 = 0 f) x + xy + y + x = 0 g) 3x + 3y x = 0 h) xy + x + y = 1 C8. Riconoscere le seguenti coniche al variare di λ R: a) (λ + 6)x + λxy + y + x 4y = 0 b) x + λxy + 3y + λx + 1 = 0 c) λx + λxy + y + x + y + 1 = 0 d) x + λxy + y + x + y = 0 e) λx + 4xy + (λ 3)y + (λ + 1)y = 0 f) 4λ x + (λ + )xy + y λ = 0. C9. Determinare gli asintoti delle seguenti iperboli: a) 3x + xy y = 1 b) xy y = c) x + 3xy + y + x y = 0. C10. Determinare la lunghezza dei semiassi delle seguenti ellissi: a) 3x + 4xy + 3y = 7 b) 3x + 4xy + 3y x 8y = 7. D: Geometria lineare nello spazio Si suppone fissato nello spazio un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche destrorso. D1. Determinare: - il piano passante per P (0, 1, ) e ortogonale alla retta r : x = y = z ; - UN piano passante per P (0, 1, ) e parallelo alla retta r : x = y = z ; - il piano passante per P (0, 1, ) e parallelo al piano α : x 3y + z = 0; - UN piano passante per P (0, 1, ) e ortogonale al piano α : x 3y + z = 0. x = 3t D. Data r : y = t. Determinare: z = 1 t - la retta passante per P (0, 1, ) e parallela a r; - una retta passante per P (0, 1, ) e ortogonale a r; - la retta passante per P (0, 1, ) e ortogonale ed incidente a r. D3. Per quali a R la retta x + y = x ay z = 0 giace sul piano x + 4y + z = 0? D4. Dati tre punti A(0, 1, 0), B(, 1, 1) e C(0, 1, ), dimostrare che non sono allineati e determinare il piano che li contiene. D5. Determinare il piano che contiene il punto (1, 0, 3) e la retta x = y = z. D6. Dire per quale a R sono incidenti le rette r : x+y 1 = x z = 0} e s : x+y a = x+z = 0} e per tale a determinare il piano che le contiene. D7. Determinare sul piano x y + z = 0 che contiene il punto P (1, 0, 1): - la retta passante per P e ortogonale all asse x; - la retta passante per P e parallela al piano 3x = z; - la retta passante per P e incidente la retta x 3y = z = 0. D8. Dati il punto P (1, 0, 1), la retta R : x y = z = 0 ed il piano α : x 3y = z, determinare la proiezione ortogonale di r su α e la proiezione ortogonale di P su r. D9. Sulla retta x = y = z 1 determinare il punto la cui proiezione ortogonale sulla retta x y = z +x = 0 sia l origine delle coordinate. D10. Determinare la retta del piano x + y + z = 1 perpendicolare e incidente r : x = y = z}.

5 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 5 D11. Data la retta r : x y = z 3y + 1 = 0}, determinare la distanza tra r e la retta passante per P (0, 1, 0) e parallela a r. Tra i piani per P paralleli a r determinare quello che ha distanza massima da r. D1. Tra le rette incidenti r : x = y ; z = } e s : x = 3y ; z + y = 0} determinare quella ortogonale ad entrambe e quella parallela alla retta x = y = z. D13. Tra le rette uscenti da P (1,, 1) e parallele al piano x + 3y z = 1, determinare quella incidente la retta r : x = 3y ; z = x + 1}. D14. Per ogni retta s giacente sul piano x + y = e incidente la retta r = x = y + ; z = x} sia α l angolo più piccolo che s forma con r. Determinare s in modo che: a) α sia massimo; b )α sia minimo; c) α = π 3. D15. Date le rette r : x z = 1 ; y = 1} e s : x y + 3 = 0 ; x z + 5 = 0}: - dimostrare che r e s sono sghembe; - determinare la loro distanza d; - determinare la perpendicolare comune e i punti P r, P s di minima distanza; - determinare il piano parallelo ad entrambe e da esse equidistante; - determinare i piani α contenenti r tali che la proiezione di P r su α abbia distanza 1 da P s ; - determinare i punti di r che distano d da s. D16. Tra le rette perpendicolari ed incidenti alla retta r : x y = 0 ; z = 3y + } nel suo punto (0, 0, ) determinare : - quella incidente la retta s : x = y = z}; - quella ortogonale a s; - quelle che hanno distanza 1 da s. D17. Siano P (1, 0, ) un punto, r : x = y = z + 1} una retta, α : 3x y + z = 0 un piano: - determinare il punto P simmetrico di P rispetto ad r, il punto P simmetrico di P rispetto ad α ed il punto O simmetrico di O rispetto a P ; - determinare la retta r simmetrica di r rispetto ad P, la retta r simmetrica di r rispetto ad α ed la retta x simmetrica dell asse x rispetto a r; - determinare il piano α simmetrico di α rispetto ad P, il punto α simmetrico di α rispetto a r e il piano β simmetrico di z = 0 rispetto a α. D18. Siano P (x 0, y 0, z 0 ) un punto, r : x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)} una retta e α : ax + by = cz = d un piano. Determinare i simmetrici di P, r, α rispetto al punto (0, 0, 0), alla retta x = y = 0 e al piano z = 0. D19. Determinare i piani passanti per il punto P (0,, 0), paralleli alla retta r : x y = z ; y = x} e aventi distanza 1 da r. D0. Dati i punti A(, 1, 0), B(1, 0, 3), C(0, 1, 1): - determinare l area del parallelogramma di lati AB e AC. - determinare i punti D dell asse x tali che il volume del parallelepipedo di lati AB, AC, AD sia 3. D1. Determinare l equazione del luogo dei punti medi del segmento P Q dove P varia sul piano x = y e Q = (1, 1, 0). D. Determinare il luogo dei punti medi tra i punti della retta r : x = y = z} e della retta s : x = y + 1 ; z = 1} aventi la stessa ascissa. D3. Determinare il luogo descritto dalle proiezioni ortogonali del punto P (1,, 3) sui piani del fascio che ha come asse la retta r : x = y ; z = 1}. D4. Determinare il luogo dei punti dello spazio equidistanti dal piano x = z 1 e dal punto P (1, 3, ). D5. Determinare il luogo dei punti del piano y = 3z equidistanti dal piano x = z 1 e dal punto P (1, 3, ). D6. Determinare il luogo dei punti dello spazio equidistanti dal piano x = z 1 e dalla retta x = y ; z = 0}. D7. Determinare il luogo dei punti dello spazio equidistanti dalla retta r : x = 1 ; y + z = 0} e dalla retta x = y ; z = 0}. D8. Determinare il luogo dei punti dello spazio le cui proiezioni ortogonali sul piano x y = 1 e sulla retta y = 0 ; z = 1} siano allineate con (0, 0, 0).

6 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 6 D9. Determinare il luogo dei punti dello spazio la cui proiezione sul piano x + y + z = 0 è equidistante dall origine e dalla retta x = 1 ; y = z}. D30. Determinare il luogo delle rette che sono incidenti le due rette r : x = y = z}, s : x = 3y ; z = 1} e parallele al piano x y + z = 0. D31. Determinare (se esiste) il luogo delle rette passante per P (1, 1, 1) e incidente le rette r : x = y 1 = z} e s : x = ; y = 3z}. Determinare (se esiste) la retta passante per P (1, 1, 1) e incidente le rette r : x = y 1 = z} e s : x = ; y = 3z}. D3. Determinare il luogo delle rette che sono incidenti le tre rette r : x = y 1 = z} e s : x = ; y = 3z} e t : x = y = z}. D33. Determinare il luogo costituito dalle rette che passano per (0, 0, 0) e formano un angolo di π 6 con la retta x = 0 ; y = z}. D34. Sia P (1, 1, 1). Dire qual è l equazione del luogo delle rette uscenti da P e perpendicolari e incidenti alle rette del fascio y mx = z = 0, m R. E: Sfere e circonferenze nello spazio E1. Scrivere l equazione di tutte le sfere tangenti in (1, 1, 0) al piano x = y. Determinare tra tali sfere quelle di raggio e poi quelle tangenti anche al piano x + z = 3. E. Scrivere i piani del fascio di asse x y = z = 0 tangenti alla sfera di equazione 4x +4y +4z 4x+8z+1 = 0 E3. Determinare sulla sfera di centro (1, 0, 0) e raggio le circonferenze di raggio 1 giacenti su piani paralleli al piano x = z. E4. Sia C la circonferenza di raggio 1, centro (1, 0, 0) e asse a : x = 1 + t ; y = t ; z = t}. Determinare le sfere di raggio contenenti C. E5. Sulla sfera di centro (, 0, 0) e raggio determinare due circonferenze di raggio 1 passanti per (0, 0, 0). E6. Determinare una sfera di raggio, tangente al piano x = 3y e con centro sulla retta x = y = z 1. E7. Determinare le sfere di raggio 1, con centro sul piano x = y z, tangenti ai piani x = 0 e y + z = 1. E8. Tra le rette passanti per (0, 0, 0) e parallele al piano x = z + 1, determinare quelle che staccano sulla sfera x + y + z z = 0 una corda di lunghezza 1. E9. Sulla sfera S dell esercizio precedente: - determinare il cerchio massimo passante per P (0, 0, 0) e Q( /, /, 1); - determinare le circonferenze di raggio 3/ passanti per P e Q; - verificato che la retta z = ; y = 3x} è tangente alla sfera, determinare su S le circonferenze di raggio 3/ tangenti a r. E10. Esprimere la circonferenza del piano x = 3y 1 con centro ( 1, 0, 0) e raggio 1 come intersezione di due sfere tangenti al piano x = 0. E11. Scrivere le rette tangenti alla circonferenza dell esercizio precedente nei suoi punti di ascissa 1 7. E1. Tra le sfere contenenti la circonferenza x + y + z = 1 ; z = 0} determinare quelle tangenti alla retta x + y = ; z = y}. E13. Determinare la sfera tangente alle rette r : x z = 1 ; y = 1} e s : x y + 3 = 0 ; x z + 5 = 0} nei loro punti P r e P s di minima distanza. E14. Determinare i punti P della retta r : x = t ; y = t + 1 ; z = 1 t} tali che la sfera di centro P e tangente al piano x + y = z = 0 abbia raggio 3. E15. Determinare la circonferenza di centro (1, 1, 0) e tangente alla retta di equazione x + y = y z = 0}. E16. Verificare che i punti A(1, 0, 0), B(0, 1, 1) e la retta r : x + z = 1 ; y = } sono complanari e determinare le circonferenze passanti per A e B e tangenti a r. E17. Data la circonferenza dell esercizio E10, condurre dal punto P (, 1, 1) (che giace sul piano x = 3y 1) le tangenti alla circonferenza.

7 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 7 E18. Tra le rette tangenti alla sfera di centro (1, 1, ) e raggio nel suo punto di minima distanza da (0, 0, 0) determinare quella ortogonale all asse x e quella incidente l asse y. E19. Siano r 1 e r le rette parallele a r : x = y ; z = y + 1} e passanti rispettivamente per i punti (0, 1, 0) e (1, 0, 0). Determinare la circonferenza incidente r, r 1 e r e giacente sul piano passante per (0, 0, 0) e ortogonale a r. E0. Data la sfera S : x + y + z = 1 e il punto P (1, 1, ), determinare la circonferenza di S luogo dei punti di tangenza delle tangenti condotte da P a S. F: Quadriche F1. Classificare le seguenti quadriche: a) x + y + 3xz y + 4x = 0 b) z = xy c) x 3y + z + 1 = 0 d) z = xy e) y = x xz f) (x 1) + (y ) = x + y 6z + 1 g) xy + yz + zx = 1 h) (x + y) = 4z i) xy + yz + zx = 0 l) (x + y 6z) = x m) xy + yz + zx = 1 n) y = z o) z x = 3 F. Classificare, al variare di λ R, le quadriche della famiglia x + y + λz λxy + (λ + 1)z + 1 = 0. F3. Studiare la quadrica x + 3y 5z 6z + 4y 5x + 8 = 0 e la proiezione ortogonale sul piano xy della conica ottenuta intersecando la quadrica col piano x + y z = 0. F4. Data la quadrica 7 4 x + 1 xy y + 1 xz 1 yz + 3 z = 0 determinare in R 3 una base F rispetto alla quale la quadrica si scrive in forma canonica. F5. Sia Q la quadrica x y z = 0. a) dire di quale quadrica si tratta b) determinare due rette distinte passanti per P (1, 1, 0) e giacenti su Q. c) determinare una conica non degenere giacente su Q. F6. Dato il piano π : 3x y + z = 0, determinare: a) una superficie S 1 tale che S 1 π sia una quadrica; b) una superficie S tale che S π sia una conica. F7. Riconoscere il tipo delle quadriche: a) x y z = 0 b) x + z + z = 0 c) xy = 1 d) y = xz + z e) xy = x + z f) x + x + z = 1. F8. Sia S la quadrica: x + y + z + xz + yz + z + = 0. - provare che S è non degenere e riconoscere il tipo di S - ridurre S alla forma canonica. F9. a) Riconoscere il tipo della quadrica Q: x y + z = 1; b) determinare l equazione di un iperbole contenuta in Q; c) determinare le due rette di Q passante per il punto P (,, 1); d) provare che Q è ottenuta ruotando la curva z y = 1 ; x = z} intorno all asse y. F10. a) Perché le quadriche F : y + z = 0, G : x + y + z = 0 sono cilindri? b) determinare la superficie ottenuta facendo ruotare attorno alla retta x y = z = 0 la curva Γ intersezione di G con il piano x y = 0. F11. a) Riconoscere il tipo della quadrica F : x y + 3z = 0; b) se A(0, 0, ), si rappresenti in forma cartesiana il luogo dei punti P di F tali che la retta P A intersechi il piano z = 1 in un punto della curva z = 1 ; x y = 0}. F1. a) Riconoscere il tipo delle quadriche Q : x + y z = 0 e Q : (x 1) + y z = 0; b) riconoscere il tipo della conica Γ intersezione di Q con il piano z = ; c) determinare in forma cartesiana il cilindro passante per Γ e avente le generatrici parallele alla direzione ( 1, 4, 3) d) dire se la curva Γ : x = 1 u, y = u, z = u 4 } è piana e giace su una delle quadriche Q, Q. F13. a) Riconoscere le quadriche Q : x z = 3y e Q : x z = 3y + z; b) se π è il piano x 3y + 5z + 4 = 0 e Γ = Q π, dire se la conica Γ proiezione di Γ sul piano x = 0 è di tipo ellittico, parabolico o iperbolico.

8 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 8 G: Curve e superfici G1. Data la curva L di equazioni parametriche x = t ; y = t t ; z = t + 1}: - dire se è piana e determinare il piano che la contiene; - scrivere la proiezione ortogonale di L sul piano z = 0 e sul piano x = y; - scrivere, se possibile, una rappresentazione cartesiana di L. G. Sia data la curva L di equazioni parametriche x = t + 1 ; y = t ; z = t 3 }: - dire se è piana e determinare il piano che la contiene; - scrivere la proiezione ortogonale di L sul piano z = 0 e sul piano x = y; - scrivere, se possibile, una rappresentazione cartesiana di L; - rappresentare in modo cartesiano e parametrico i cilindri contenenti L e con generatrici parallele all asse z, all asse x e alla retta x = y = z; - scrivere i coni contenenti L e con vertice in (0, 0, 0) e in (1, 1, ). G3. Sia L la linea di equazione cartesiana x + y xz = 0 ; x y = z}. - rappresentare in modo cartesiano e parametrico i cilindri contenenti L e con generatrici parallele agli assi x, y, z e alla retta r : x = y ; z = 0}; -esprimere, se possibile, L come intersezione di due cilindri. G4. a) Studiare le seguenti curve e scriverne, se possibile, una rappresentazione cartesiana, verificando se essa rappresenta esattamente lo stesso luogo: x = t 1 x = t x = 1 cos t L 1 y = t + 1 L y = t t L 3 y = tan t z = 3 z = t t z = cos t x = t 3 + t x = t x = t + 1 L 4 y = t 3 + t + 1 L 5 y = cos t L 6 y = 1. z = t 3 + t 1 z = sin t z = t 3 + t b) determinare gli eventuali punti comuni a L 1 e L c) scrivere una superficie contenente L 1 e L. G5. Determinare (se esiste) sulla linea x = t ; y = t ; z = 1 t } una corda parallela al vettore v(, 3, 4). G6. Scrivere una curva incidente la retta x = y = z e la cui proiezione ortogonale sul piano z = 0 sia la curva x = t ; y = t 6 ; z = 0}. G7. Scrivere il cono di vertice P (1, 1, ), luogo delle rette tangenti alla sfera dell esercizio E0. G8. Scrivere e studiare le superfici ottenute ruotando intorno all asse x le seguenti curve: a) la retta x = y = z} b) la retta y = 1 ; x = z} c) la retta x = ; y = z + 1} d) la parabola x = y ; z = 0} e) la parabola y = x ; z = 1} f) la circonferenza x + (y ) = 1 ; z = 0}. G9. Scrivere la superficie ottenuta facendo ruotare l asse x attorno alla retta r di equazione x = y +1 ; z = }. G10. Studiare le superfici e scriverne, se possibile, una rappresentazione parametrica, verificando se essa rappresenta esattamente lo stesso luogo: a) xy = 0 b) x + y = xy c) xy = z d) x 3 y + z = 0 e) e x +y +z = 0 f) x y = y g) x 3 + xyz z 3 = 0 h) xy x z = 0 i) x + y + z = x 3 l) x + y = xz. G11. Provare che sono rigate le superfici seguenti e scriverne tutte le rette: a) x y = xz b) xy = z c) x 3 y = zx + z d) x + 3y = z 3 e) (x z) x = y + z f) x = yz g) x = y z. G1. Sul cono x yz determinare (se esistono) generatrici incidenti la retta r : x = 1 t ; y = t ; z = t} e generatrici ortogonali a r. G13. Studiare le seguenti superfici e scriverne, se possibile, una rappresentazione cartesiana, verificando se essa rappresenta esattamente lo stesso luogo: x = u + v x = uv x = u + v x = u a. y = u v b. y = uv c. y = v 1 d. y = v z = v + 1 z = uv + u z = u + v z = uv

9 A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 9 x = u + v + 1 e. y = u + v + 1 z = 1 u v x = u/v f. y = 1/u z = v x = uv v + 1 g. y = uv v 3 + z = uv v + u v. G14. Sia data la superficie rigata S : x = u + v + 1 ; y = uv ; z = u uv}. a) su S esistono due rette tra loro ortogonali? b) su S esiste una retta incidente l asse z? c) su S esiste una retta parallela al vettore (, 1, 1)? d) su S esiste una retta avente distanza dall asse z? e) provare che P (0,, 6) e Q(1, 0, 0) sono punti di S f) scrivere tre diverse curve giacenti su S e passanti per P g) scrivere una curva PIANA giacente su S e contenente sia P che Q.