Circuito Simbolico. Trasformazione dei componenti

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1 Circuito Simbolico Principio di bae E poibile applicare a tutte le leggi matematiche che regolano un circuito la traformata di Laplace, in modo da ottenere un nuovo circuito con delle proprietà differenti. Si eeguono i calcoli ul nuovo circuito, e poi i antitraforma tutto il circuito nell originale. Caratteritiche del circuito Affinché i poa applicare la traformata di Laplace, è neceario che il circuito poieda due importanti caratteritiche: a) Linearità: il circuito deve eere lineare, cioè deve contenere olo elementi lineari. Non ono ammei elementi come il diodo, che invece hanno un comportamento non lineare b) TempoInvarianza: il circuito deve eere tempoinvariante, cioè tutte le ue cotanti devono manteneri empre uguali nel tempo. Un eempio di componente tempovariante è il potenziometro, e la ua reitenza viene modificata nell intervallo di tempo durante il quale è analizzato il circuito. Univocità dei circuiti La traformata di Laplace gode della proprietà di univocità. Ciò ignifica che: L[f(t)] = L [F()] t c, c Š Poichè traformata e antitraformata vengono applicate al circuito, il circuito nel dominio del tempo è equivalente al circuito nel dominio delle frequenze, e vicevera: L[ Circuito nel tempo ] = L [ Circuito nella ] E quindi poibile eeguire i calcoli indifferentemente u un circuito con dominio nel tempo t o nella, poiché ciacun circuito implica olo l altro. Variabili Notazione: Variabili: per convenzione i è celto di indicare con lettere minucole le variabili nel dominio del tempo, e con lettere maiucole le variabili nel dominio della Cotanti: le cotanti ono indicate con la medeima lettera ia nel dominio del tempo che nel domino della Eempio: =R $ d V()=R $ I() Unità di miura: Dominio delle variabili: poiché i applica la traformata di Laplace unilatera, il dominio delle variabili t e coincide con gli etremi dell integrale che da origine alla Traformata di Laplace: D(t, )=[0, ] Traformazione dei componenti Dominio del Tempo Dominio delle traformate Leggi e Teoremi generali (Leggi di Kirchoff, Teoremi di Thevenin, Norton, Millman, legge di Ohm, ecc.) Veri e direzioni di correnti e tenioni Generatori controllati Funzione imprea di generatori indipendenti Reitenze Circuiti operazionali Traformatori ideali Condenatori Induttori Invariato Traformata della funzione imprea del generatore indipendente Invariate Reitenza Generatore Indipendente Reitenza Generatore Indipendente

2 Elementi Tutti gli elementi adinamici retano invariati, perchè poiedono leggi matematiche tali che: f(t)=f() e perciò non cambiano formula. Generatori I generatori indipendenti generano una tenione o una corrente in bae a una funzione imprea che appartiene al generatore. Il generatore equivalente nel dominio delle frequenze genera corrente o tenione in bae alla traformata della corripondente funzione imprea nel dominio del tempo Eempio: E dato il generatore indipendente di tenione g(t), che genera una tenione ai uoi capi econdo la funzione: g(t)=5t 4 L elemento equivalente nel circuito traformato è un generatore indipendente di tenione che lavora econdo la funzione imprea: G()=L[5t 4] = Induttore E dato il eguente induttore nel dominio del tempo: V(t) Nel dominio del tempo, l induttore è regolato dalla eguente legge: v H (t)=h $ d dt Applicando la traformata di Laplace i ottiene: V H ()=L[v L (t)] = L H $ d dt V H ()=H $ $ I H () H $ I H (0 ) Ponendo la eguente uguaglianza con i due monomi della traformata di Laplace: V z = H $ $ I H () V 0 = H $ I H (0 ) Si può crivere che: V H ()=V z V 0 Per la ovrappoizione degli effetti, riulta evidente che V z e V 0 ono tenioni. Quindi, analizzando le due epreioni, i poono compiere delle coniderazioni: a) V z = H $ $ I H (): lega una tenione V z a una corrente I H () attravero un coefficiente H $. Dunque è una legge di Ohm imbolica, dove la reitenza imbolica vale H $, e prende il nome di impedenza. b) V 0 = H $ I H (0 ): è un prodotto di cotanti, e rappreenta quindi un valore fio di tenione. E un generatore cotante di tenione, che rappreenta le condizioni iniziali nelle quali i trovava il componente al momento dell inizio dell analii. La rappreentazione circuitale dell induttore è la eguente: I() H V(). H. H i(0)

3 E anche poibile ricrivere la traformata dell induttore in funzione di I H(). Coì facendo i ottiene una rappreentazione circuitale del tutto equivalente alla precedente. V H ()=H $ $ I H () H $ I H (0 ) I H ()= V H() H $ I H(0 ) Ponendo queta uguaglianza con i due monomi della traformata di Laplace: I z = V H() H $ I 0 = I H(0 ) Si può crivere che: I H ()=I z I 0 Per la ovrappoizione degli effetti, riulta evidente che I z e I 0 ono correnti. Quindi, analizzando le due epreioni, i poono compiere delle coniderazioni: a) I z = V H() H$ : lega una corrente I z a una tenione V H () attravero un coefficiente H $. Dunque è una legge di Ohm imbolica, dove la reitenza imbolica vale H $ e prende il nome di impedenza b) I 0 = I H(0 ) : è un prodotto di cotanti, e rappreenta quindi un valore fio di corrente. E un generatore cotante di corrente, che rappreenta le condizioni iniziali nelle quali i trovava il componente al momento dell inizio dell analii. La rappreentazione circuitale dell induttore può eere quindi anche è la eguente: H V() I() i(0). H Condenatore Per il condenatore i poono eeguire dei paaggi del tutto analoghi all induttore. Si ottengono le eguenti configurazioni: C V() I(). C v(0) V() I() C. v(0). C Generatore Reitenza Significato Contiene l informazione ulle condizioni iniziali dell induttore Rappreenta l induttore Induttore Config. in Parallelo Valore: i(0) Orientamento: oppoto Valore: $ H Config. in Serie Valore: H $ i(0) Orientameno: oppoto Valore: $ H

4 Generatore Reitenza Significato Contiene l informazione ulle condizioni iniziali dell induttore Rappreenta il condenatore Condenatore Config. in Parallelo Valore: $ C Orientamento: oppoto Valore: $ C Config. in Serie Valore: C $ v(0) Orientameno: oppoto Valore: v(0) Nota Bene: Le condizioni iniziali vanno calcolate nel dominio del tempo t, non nel dominio della. Impedenza e ammettenza Coa: con l applicazione della traformate di Laplace al circuito, induttore e condenatore nel dominio del tempo diventano delle reitenze imboliche nel dominio delle frequenze. La reitenza imbolica che aumono viene chiamata impedenza. Impedenza: Significato: reitenza imbolica di condenatore e induttore nel dominio della Notazione: z Unità di miura: Ohm Ammettenza: Significato: conduttanza imbolica di condenatore e induttore nel dominio della Notazione: y = z Unità di miura: Siemen

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