Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà

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1 Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà

2 ESERCIZIO

3 ESERCIZIO ESERCIZIO

4 ESERCIZIO ESERCIZIO

5 ESERCIZIO

6 ESERCIZIO ESERCIZIO

7 ESERCIZIO

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9 Esercizi di Matematica

10 CONSIDERAZIONI GENERALI Ad ogni funzione corrisponde un grafico, quindi studiare una funzione significa determinare il suo grafico. Per le conoscenze fin qui acquisite, di una funzione siamo in grado di studiare: TIPO DI FUNZIONE: stabilire se si tratta di una funzione algebrica (intera, fratta,irrazionale) o trascendente (non algebrica) SIMMETRIE: una funzione è pari (simmetrica rispetto all asse delle y) se f(-) f(); una funzione è dispari (simmetrica rispetto all origine) se f(-) - f() DOMINIO: rappresenta l insieme dei valori che può assumere la variabile indipendente, in corrispondenza dei quali la funzione y esiste, ossia assume valori che appartengono all insieme dei numeri reali R. FUNZIONI INTERE y f() - Il dominio è tutto l insieme R FUNZIONI FRATTE N() y Il dominio è tutto l insieme R senza i valori che annullano il D() denominatore, cioè dall insieme R bisogna eliminare i valori dell incognita che si ricavano dall equazione: D () FUNZIONI IRRAZIONALI y f () Se l indice della radice è pari, il dominio si determina ponendo maggiore o uguale a il radicando, cioè l espressione che compare sotto radice: Se l indice è dispari, il dominio è tutto R. f () INTERSEZIONE CON GLI ASSI CARTESIANI - Determinare i punti d intersezione della funzione con gli assi cartesiani: INTERSEZIONE CON L ASSE DELLE X y f () INTERSEZIONE CON L ASSE DELLE Y y y f () SEGNO DELLA FUNZIONE - Determinare per quali valori della variabile la f unzione y assume valori positivi e negativi, cioè stabilire in quale zona del piano cartesiano la funzione è positiva ed in quale è negativa. La condizione da porre è: cioè bisogna risolvere una disequazione. f () > COMPORTAMENTO DELLA FUNZIONE NEI PUNTI DI DISCONTINUITA Poiché nei punti discontinuità la funzione non esiste, ossia è infinita, bisogna capire se tende a + o -, cioè in termini matematici bisogna effettuare l operazione di limite: lim f () ± ±

11 ESERCIZIO N. Studiare la seguente funzione: y 3 SOLUZIONE. Tipo di funzione: funzione algebrica razionale intera. Simmetrie: f ( ) 3( ) 3 f () f () La funzione non è né pari e né dispari 3. Dominio: D R 4. Intersezione c on gli assi cartesiani: y 3 X : 3 La funzione interseca l asse delle nel punto A (/3; ) y 3 y 3 Y : y La funzione interseca l asse delle y nel punto B (; -). Segno: f () > 3 > > 3 L a funzione è negativa per i valori della appartenenti all intervallo (- ; /3) La funzione è positiva per i valori della appartenenti all intervallo (/3; + ) 6. Grafico della funzione:. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità: Non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.

12 ESERCIZIO N. Studiare la seguente funzione: SOLUZIONE 3 + y 4. Tipo di funzione: funzione algebrica razionale fratta. Simmetrie: f ( ) 3( ) + 4 ( ) 3 + f () f () 4 + La funzione non è né pari e né dispari 3. Dominio: 4. Intersezione con gli assi cartesiani: 4 4 D R { } 3 + y 3 + X : y La funzione interseca l asse delle nel punto A (-/3; ) 3 + y Y : 4 y La funzione interseca l asse delle y nel punto B (; /). Segno: f () 3 + > > 4 N : 3 + > > 3 D : 4 > < La funzione è negativa per i valori della appartenenti all intervallo (- ; -/3) e all intervallo (; + ) La funzione è positiva per i valori della appartenenti all intervallo (-/3; ) 6. Grafico della funzione:. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità: 3 + lim lim Asintoto verticale + 4

13 ESERCIZIO N. 3 Studiare la seguente funzione: y SOLUZIONE. Tipo di funzione: funzione algebrica irrazionale intera. Simmetrie: f ( ) ( ) f () f () La funzione non è né pari e né dispari 3. Dominio: 4. Intersezione con gli assi cartesiani: D ; + y X : y A ; y Y : y Poiché la radice quadrata di un numero negativo non esiste, non ci sono intersezioni con l asse delle y. Segno: f () > > > > La funzione irrazionale è positiva per i valori della appartenenti all intervallo (/; + ). Si ricordi che le funzioni irrazionali sono sempre positive 6. Grafico della funzione:. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità: Non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.

14 ESERCIZIO N. 4 Studiare la seguente funzione: y 4 SOLUZIONE. Tipo di funzione: funzione algebrica irrazionale fratta. Simmetrie: f () f () 4 ) 4( ) ( ) ( f + La funzione non è né pari e né dispari 3. Dominio: iani: hé la radice quadrata di un numero negativo non esiste, non ci sono intersezioni con l asse. Segno: 4 < > D N ; D 4 4. Intersezione con gli assi cartes 4 ; A y y : X 4 y y Y : Poic delle y 4 > 4 > > f () La funzione irrazionale è positiva per i valori della appartenenti all intervallo (/;/]. 6. Grafico della funzione:. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità: lim / Asintoto verticale

15 ESERCIZIO N. Studiare la seguente funzione: SOLUZIONE y Tipo di funzione: funzione algebrica irrazionale fratta. Simmetrie: f ( ) ( ) 4 + 4( ) 4 4 f () f () La funzione non è né pari e né dispari 3. Dominio: N D > > D ( ; )U ; + 4. Intersezione con gli assi cartesiani: y X : A ; y y Y : y 4 Poiché la radice quadrata di un numero negativo non esiste, non ci sono intersezioni con l asse delle y. Segno: f () > > > La funzione irrazionale è positiva per i valori della appartenenti all intervallo (- ;-)U[/;+ ).. Grafico della funzione:. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità: lim Asintoto verticale

16 ESERCIZIO N. 6 S tudiare la seguente funzione: SOLUZIONE y 4 +. Tipo di funzione: funzione algebrica irrazionale fratta. Simmetrie: 4 ( ) f ( ) f () f () La funzione non è né pari e né dispari ( ) + 3. Dominio: 4 + N 4 + D > < D ; 4. Intersezione con gli assi cartesiani: 4 + y X : 4 + A ; y 4 + y Y : y B ( ; ). Segno: f () > > > La funzione irrazionale è positiva per i valori della appartenenti all intervallo [-/;). Grafico della funzione:. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità: lim Asintoto verticale

17 ESERCIZIO N. Studiare la seguente funzione: y 3 SOLUZIONE. Tipo di funzione: funzione algebrica fratta in valore assoluto. Simmetrie: + 3 f ( ) f () f () La funzione non è né pari e né dispari 3. Dominio: { } ± D R ± A questo punto conviene esprimere la funzione valore assoluto come: y y 3 y 3 3 se < < se < < < > 3 N 3 D 3 > < > Non confondere questo grafico con il segno della funzione, in quanto la funzione valore assoluto, per definizione, è sempre positiva. Questo grafico ci dice dove si trovano le funzioni y e y, la cui unione dà luogo alla funzione valore assoluto. 4. Intersezione con gli assi cartesiani: X 3 y 3 A ; 3 3 y : 3 y : y / y R Y La funzione y non interseca l asse delle y in quanto il valore trovato y - è negativo e la funzione valore assoluto è sempre positiva. 3 y : + 3 A ; 3 3 y X 3 y : y B (;) Y. Segno: La funzione valore assoluto è sempre positiva.

18 6. Grafico della funzione:. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità: 3 lim ± + - Asintoto verticale 3 lim ± + Asintoto verticale

19 ESERCIZIO N. 8 Studiare la seguente funzione: y + SOLUZIONE. Tipo di funzione: funzione algebrica fratta in valore assoluto. Simmetrie: + f ( ) f () f () La funzione non è né pari e né dispari + 3. Dominio: + / R Poiché il denominatore non si annulla mai, in quanto è diverso da zero per qualunque valore della, non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali. A questo punto conviene esprimere la funzione valore assoluto come: y y se y se < < < + + N D ( ) + > R Non confondere questo grafico con il segno de lla funzione, in quanto la funzione valore assoluto, per definizione, è sempre positiva. Questo grafico ci dice dove si trovano le funzioni y e y, la cui unione dà luogo alla funzione valore assoluto. 4. Intersezione con gli assi cartesiani: y X : + ( ) ; A y ( ;) ;B ; y : + y C (;) Y y X : y + + ( + ) ; A ( ;) ;B ; Y : y C (;) y +. Segno: La funzione valore assoluto è sempre positiva.

20 Grafico della funzione: 8. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità: Non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:

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