Studio dei transitori con il metodo delle trasformate di Laplace

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1 Studio di traitori co il mtodo dll traformat di Laplac Apputi a cura dll Igg. Baoccu Gia Piro Marra Luca Tutor dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici A. A 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari (ultimo aggioramto //8 Apputi a cura dgli Igg. Gia Piro Baoccu Luca Marra, tutor dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari

2 STUDIO DEL TRANSITORIO CON IL METODO DELLE TRASFORMATE DI LAPLACE INTRODUZIONE Lo tudio di traitori i circuiti di corrt comporta la rioluzio di quazioi itgro-diffrziali l domiio dl tmpo di difficil rioluzio. Nlla ipoti di circuiti liari (pr i quali i paramtri ch carattrizzao il circuito, pooo r coidrati cotati il mtodo dll traformat di Laplac cot di mplificar otvolmt la rioluzio di tali circuiti. L fuzioi f(t itgro-diffrziali, dfiit l domiio dl tmpo t, vgoo traformat l domiio (variabil di Laplac i fuzioi F( algbrich: domiio t domiio f(t F(. La traformata di Laplac cot di calcolar la ripota di u circuito a (quai ogi tipo di ccitazio, prmttdo, di calcolar la ripota libra la ripota forzata, a partir da qualivoglia codizio iizial. Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari

3 La traformata di Laplac prmtt di tudiar fuzioi f(t dfiit pr t. Pr l gradzz lttrich i aum ch l itat t coicida co l itat i cui ha iizio il fomo fiico ch i itd tudiar. L codizioi ufficiti affiché ita la traformata di Laplac dlla fuzio f(t oo: a f(t pr t < f(t pr t, l'ipoti ch f(t pr t < ' caria pr garatir la uicità dlla L-Traformata b f(t prti u umro fiito di dicotiuità di prima pci (drivata iitra drivata dtra i u puto, oia ia cotiua tratto pr tratto, σt c f ( t dt ia u itgral covrgt. S tali codizioi oo vrificat pr la f(t, it la traformata di Laplac F(. Prl applicazio dlla traformata di Laplac ai circuiti, i upporrà: σ Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 3

4 Pr l fuzioi di uo comu (traformat otvoli i valori dll F( oo riportati i tabll. La traformata di Laplac è dfiita attravro l oprator di itgrazio, pr mzzo dl qual l itgral la drivata l domiio dl tmpo divtao ripttivamt ua moltiplicazio ua diviio l domiio di Laplac. I matmatica i particolar ll'aalii fuzioal la Traformata di Laplac di ua fuzio f (t, dfiita pr tutti i umri rali t, è la fuzio F ( coì dfiita: Sia f(t : R C, f(t pr t La L traformata di f(t ': F( f(t L [ ] L f(t La ati traformata di F( ': [ F( ] f(t π dt F( F( ' fuzio di σ ϖ σ σ t ϖ ϖ t d Empio: f(t u(t δ (t U( [ ] L u(t u(t t dt t dt t Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 4

5 Proprità dll traformat: Liarità La traformata di Laplac è u oprazio liar,cioè: Similitudi F K ( αf( αf ( t f K ( t S i otituic a co R F ( f ( t dt i ffttua il cambiamto di variabil tτ F( da cui: τ f τ F( τ f dτ Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 5

6 Tralazio dll origi S F( è la traformata di f(t, la traformata f(t- co f(t- pr t> è: f ( t F( 3 Drivazio S F( è l traformata di f(t, la traformata dlla drivata di ordi di f(t è data da: f ( t F( f ( f' (... f ( oia: d f ( t dt F( i i f i (. S f(t è ua ri f ( t f( t F( F ( co f ( t F ( N oia la traformata di Laplac i otti facdo la traformata di ciacu trmi dllo viluppo i ri dlla fuzio origial. Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 6

7 4 Itgrazio S F( è la traformata di f(t, la traformata dll itgral di f(t è dato da: f ( t dt F( f ( Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 7

8 5 Torma dl valor iizial: f ( lim { F( } Il valor iizial dlla fuzio f(t l domiio dl tmpo, oia f(, è ugual al limit pr dlla corripodt traformata F( moltiplicata pr. Torma dl valor fial: f ( lim { F( } Il valor fial dlla fuzio f(t l domiio dl tmpo, oia f(, è ugual al limit pr dlla corripodt traformata F( moltiplicata pr. (Quta rlazio può r applicata oltato quado tutt l radici dl domiator di F( hao part ral gativa. Quta limitazio clud dall applicazio dl torma l fuzioi applicat iuoidali, poiché la fuzio iuoidal ha limit ifiito idtrmiato. Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 8

9 Traformat di Laplac f(t t 3 at - 4 at 5 i t 6 co t 7 i ( t θ 8 co ( t θ 9 - at - at Tablla di covrio F( Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 9 a a t - ( it cot ih t coh t iθ coθ coθ - iθ ( a a ( a - -

10 t df ( ( F - f dt f -i i- d ( ( - F - Σ f dt i f ( τ dτ F( f(t - t -t F ( c t f( t c f ( t c F ( cf ( f( τ f ( t τ dτ ( F ( F Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari

11 Mtodi baati ulla dcompoizio S la fuzio traformata è ua fuzio razioal: F( N( D( b a m b a m b a m b a m dov N( D( poliomi lla variabil b i a i umri rali. Si dv comporr D( pr trovar l radici dl poliomio: r r rm D( ( α ( α...( α m co r, r,,r m ordi di moltplicità di igoli fattori m i r grado di D(. i L oluzioi di N( oo gli zri l oluzioi di D( oo i poli. Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari

12 La fuzio razioal può r pra com: F( mplici: N( ( i p i l cao di poli F( ( i N( p i A p B p... K p riducdo a domiator comu i otti u poliomio a umrator i fuzio di paramtri A,B, K,ch dv r ugual a N(, dal cofroto i dtrmiao l rlazioi pr dtrmiar i paramtri A, B,,K, oppur i moltiplica pr (-p i l uguagliaza: ( - pi F( A( - pi p B( - pi p K i... K( - pi p K i lim p i ( - pi F( Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari

13 S i poli oo multipli: D( ( p ( p... ( p r co r i grado dl poliomio F( ( - p ( - p ( - p r r ( - p ( ( r r - p r r - p r r pr dtrmiar,,., i moltiplica F( pr il trmi di potza più alto: ( - p F( ( - p ( - p, - ( - p ( - p r r i ( p i... i gu quidi il calcolo dll drivat di F( io all ordi -: F (, F (,., F - ( Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 3

14 Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 4 pr p i il trmi ch coti la ommatoria i i aulla. Si ottrrà: ( ( [ ] ( ( [ ] ( ( [ ] -r, -,, ' p -! lim... ' p - lim ' p - lim d F d d F d F p p p d S i poli oo compli coiugati: ( [ ] ( ( [ ] ( ( * ( * φ α φ α α α α α F F La traformata ivra arà dl tipo: [ ] ( [ ] ( * co R R * φ α α φ t t t t t t

15 Traformazioi dll rlazioi cotitutiv di compoti loro circuiti quivalti l domiio di Laplac Si coidrio i divri compoti dititi i tr catgori: gratori idipdti, compoti za mmoria, compoti co mmoria. Gratori idipdti Pooo r gratori di corrt o di tio carattrizzati dall avr la gradzza impra, ripttivamt corrt tio, coicidt co ua fuzio agata f(t. S la f(t è traformabil i ha ripttivamt: u(t U( i(t I( Dov l dimioi di u(t di i(t oo ripttivamt volt ampr, mtr, i ba all oprator traformata, l dimioi di U( I( oo ripttivamt volt codo ampr codo. Ifatti riulta ch ua traformata ha l dimioi dlla t [ ] F( L f(t f(t dt gradzza origiaria moltiplicata pr il tmpo. Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 5

16 Compoti za mmoria L rlazioi cotitutiv di tali compoti o cotgoo lgami di tipo itgro-diffrzial l domiio dl tmpo. Soo compoti za mmoria il ritor, i gratori cotrollati, il ullor il traformator idal. Tutt l loro rlazioi cotitutiv pooo r trafrit l domiio dlla variabil za alcua modifica, otto l ipoti di liarità prmaza. I paramtri rlativi matgoo l dimioi origiari. Pr mpio RU(/I( ha l dimioi di Ω. Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 6

17 Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 7

18 Compoti co mmoria Tali compoti oo carattrizzati da rlazioi cotitutiv di tipo itgro-diffrzial. La traformata di Laplac prmtt di ridurr tali rlazioi a mplici rlazioi algbrich. Soo lmti co mmoria il codator, l iduttor gli iduttori mutuamt accoppiati. Codator: v(o - rapprta il valor iizial dlla tio ai capi dl codator. Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 8

19 Iduttor i(o - rapprta il valor iizial dlla corrt ch prcorr l iduttor all itat iizial. Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari 9

20 Iduttori mutuamt accoppiati dov i (o - i (o - rapprtao l corrti iiziali ll iduttor L L ripttivamt. Pr i compoti co mmoria l rlazioi cotitutiv traformat oo di tipo algbrico ma o oo omog pr la prza di trmii oti rlativi all codizioi iiziali. L traformat dll rlazioi cotitutiv di compoti co mmoria covrtoo l oprazio di drivazio itgrazio i oprazioi di moltiplicazio diviio ripttivamt, prciò i compoti fittizi l domiio di i comportao com foro za mmoria. Apputi a cura dll Igg Baoccu Gia Piro Marra Luca, tutori dl coro di ELETTROTECNICA pr mccaici chimici pr A.A. 3/4 4/5 Facoltà di Iggria dll Uivrità dgli Studi di Cagliari

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