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1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza di ) e disegna i grafici delle due funzioni Stabilisci se sono iniettive e, quando esistono, determina le espressioni delle funzioni inverse È possibile fare la composizione f g? a) Il campo di esistenza di ) è dato da, ovvero. Il grafico di ) è quello di una iperbole a b a b equilatera traslata, infatti ) una funzione omografica avendo la forma con e c. c d c d d In generale, come è noto, la funzione omografica ha per asintoti la retta vertice = e la retta c a orizzontale. Nel nostro caso: a=, b=, c=, d= e pertanto gli asintoti sono = e y=, ovvero c gli assi cartesiani. Seguono i grafici delle curve. ) = funzione omografica g ( ) = se se = - h ( ) = Ecco un altro esempio di funzione omografica b) Come si vede dal grafico la ) è iniettiva ed è pertanto invertibile nella sua immagine. La funzione inversa si ottiene esplicitando la e quindi rinominando le variabili in modo che la variabile indipendente sia la e la variabile dipendente sia invece la y. Seguono i passaggi: - = f ( ) =. y La g() invece non è iniettiva in quanto assume lo stesso valore sia per =- sia per =, pertanto non è invertibile nel suo dominio. LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE - Prof. Enrico Sailis I. I.S. A. Gramsci E. Amaldi - Carbonia /6

2 c) La funzione composta h=f g a rigore non esiste in quanto g() assume il valore zero in =, che non appartiene al dominio di ), per tutte le altre però si può effettuare la composizione e questa ha per f[ ] se - se - ( ) espressione: h()=f[g()]= h()= f[] se = - se = - Q[] Data la funzione )= - 4-4: Trova il campo di esistenza, il condominio e disegna il grafico di ) ) trova il campo di esistenza, il condominio e disegna il grafico di ) trova il vettore v di una traslazione che rende ) pari. a) Il C.E. è l intero insieme dei numeri reali in quanto l espressione è polinomiale e il valore assoluto esiste per un qualunque numero. Il condominio è dato dall insieme dei numeri maggiori o uguali a 4 in quanto il valore assoluto diventa indefinitamente grande al crescere della ed assume il valore minimo zero. Per tracciare il grafico di ), disegno prima il grafico della parabola y=- 4 poi quella della curva z()= - 4 ribaltando rispetto all asse i tratti di curva sotto l asse, ed infine, per traslazione mi ricavo il grafico di ). Disegno quindi il grafico della parabola y=- 4. Determino prima le intersezioni con l asse risolvendo y = il sistema: Le soluzioni sono: = e =4 ovvero i punti () e (4). Determino il y = - 4 vertice della parabola che ha per ascissa il punto medio tra e ovvero =, quindi la sua ordinata è data da: )=-() 4()= -48=4. Dunque il vertice V ha coordinate (4). Tracciata la parabola mi ricavo i restanti grafici come specificato in precedenza. z()= - 4 )= y=- 4 Anche dal disegno si evince che il condominio della ) è l intervallo illimitato: [-4 [. ) b) Il campo di esistenza di è dato dai valori di per cui si ha: ). isolvo l equazione: ) - 4-4= - 4 =4 Questa equazione è equivalente alle due equazioni seguenti: () - 4=4 e () - 4=-4. Le soluzioni della () sono: = =, le soluzioni della () sono: = ±, pertanto il C.E. è: { }., LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE - Prof. Enrico Sailis I. I.S. A. Gramsci E. Amaldi - Carbonia /6

3 Il condominio di questo rapporto è dato dall insieme costituito solo dai due numeri ±. La funzione assume il valore per ) e il valore - per )<. Segue il grafico: c) Un vettore v che rende per traslazione ) pari è tale per cui la curva si presenta simmetrica rispetto all asse y. Dal disegno di prima si evince che traslando a sinistra di due unità il grafico di ), questa curva risulta simmetrica rispetto all asse y e quindi è pari. Il vettore v è i dove i è il versore dell asse (vettore di modulo unitario parallelo all asse e avente lo stesso verso dell asse). Da un punto di vista analitico possiamo giungere alle stesse conclusioni manipolando l espressione della funzione ) per renderla pari, previa una opportuna traslazione. Vediamo i passaggi: )= aggiungo e tolgo 4, senza alterare in alcun modo il valore della funzione e cambio di segno l argomento del valore assoluto, )= , porto il 4 all interno del valore assoluto )= , semplifico )=(-) -8, dall espressione ottenuta per la ) si evince che )= -8 è pari e che il suo grafico si ottiene da quello di ) mediante una traslazione a sinistra di unità. Q[4] Disegna il grafico della funzione, rappresenta graficamente le funzioni,, e. Per ciascuna indica il campo di esistenza, il condominio e il segno. Quale di esse è pari? Quale dispari? Quale ammette inversa? Studio di Dalla teoria sulle potenze con esponente reale conosciamo l andamento del grafico di tutte le funzioni del tipo potenza aventi cioè la forma y= α con α numero reale e un numero reale positivo. La funzione assegnata è del tipo potenza con esponente α = ½. Infatti si definisce la potenza di a con a, con esponente frazionario q p con p e q numeri interi ( ±, ±, ), e si indica con a p q q p, il numero a. Per queste potenze, che estendono la nozione di potenza ordinaria con esponente intero, valgono le stesse proprietà delle potenze ordinarie. I grafici delle funzioni potenza hanno il seguenti andamenti caratteristici: y = o o LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE - Prof. Enrico Sailis I. I.S. A. Gramsci E. Amaldi - Carbonia /6

4 Si osservi che se fissiamo con <<, α cresce al diminuire di α, mentre per α cresce al crescere di α, ciò si spiega con il fatto che se moltiplichiamo un numero per un numero n minore di uno il prodotto è minore di, mentre se moltiplichiamo per un numero n maggiore di uno, il prodotto è maggiore di. Dunque ha C.E. = [ [, codominio C = [ [, ed è sempre maggiore o uguale a zero. Non è né pari né dispari in quanto non è definita per le negative. Essendo iniettiva è invertibile nella sua immagine (codominio), la funzione inversa si ricava come al solito esplicitando la e scambiando poi il nome delle variabili. y y scambiando il nome delle variabili si ha : = = ovvero f - ()=. Si osservi che avendo per immagine (codominio) i numeri y per definizione stessa di radice quadrata, la sua funzione inversa che è ristretta a questa immagine, è definita per. Studio di Il C.E.= in quanto per definizione di valore assoluto, il codominio è dato da y, ovvero il segno della y è sempre positivo, tranne per = dove la funzione si annulla. Essendo -)= = =) la funzione è pari. Infine essendo non iniettiva, non ammette inversa. Segue il grafico della funzione. Essendo ) una funzione pari, il suo grafico per le negative si ottiene ribaltando lungo l asse y il grafico con le positive. Studio di Il C.E.= [ [, il codominio è dato da y, il segno della funzione è positivo per < e negativo per. La funzione si annulla per =, infatti: )= per = - = = = =, mentre ) per - < < < di conseguenza )< per tutti gli altri valori della dove è definita, tranne per = dove si annulla. La funzione non essendo definita per le negative non è né pari né dispari ed essendo iniettiva e suriettiva nella sua immagine è anche invertibile. La funzione inversa è data da: = y = ( - y) scambiando i nomi delle variabili si ottiene l espressione cercata: f - ()=(-) con la (il dominio della funzione inversa è uguale al codominio della funzione data). Seguono i grafici della funzione )= e della sua inversa f - ()=(-). f ( ) = ( ) Il grafico della funzione quello della funzione ) = si può ottenere da con due trasformazioni geometriche successive, prima si ottiene il grafico di g()=- ribaltando il grafico di rispetto all asse, poi traslando questo grafico di una unità verso l alto per ottenere quello della funzione assegnata. ) = LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE - Prof. Enrico Sailis I. I.S. A. Gramsci E. Amaldi - Carbonia 4/6

5 Studio di Il C.E.= [ [, il codominio è dato da y, il segno della funzione è sempre positivo, ) vale zero per =4, infatti: = = = = = 4. La funzione non essendo definita per le negative non è né pari né dispari. La funzione non è iniettiva poiché per esempio )=6)=, pertanto non ha inversa. Segue il grafico. )= g()= Il grafico della funzione assegnata si può ottenere con due trasformazioni geometriche successive, dal grafico della curva. Prima si trasla il grafico di questa curva di due unità verso il basso per ottenere il grafico di g()=, poi si ribalta il tratto negativo di questo grafico (quello sotto l asse ) lungo l asse per ottenere il grafico del valore assoluto della funzione g() cioè il grafico cercato. Q[5] Date le funzioni )= -5 g()=- h()=, trova: f g, g f, f h, g g (f h) g risolvi la disequazione g())g(). a) f[g()]=-)= (-) -5= -5 f[g()]= -5 g[)]=g( -5)= ( -5) = -7 g[)]= -7 f[h()]= )= ( ) -5 f[h()]= -5 g[g()]=g(-)=(-)-=-4 g[g()]=-4 b) (f h)[g()]=(f h)(-)= (-) (-) -5 (ho considerato la soluzione precedente per f h) (f g)[g()]= (f g)[g()]= - -5 c) -5(-) Dunque le soluzioni della disequazione -- si ottengono unendo le soluzioni dei due sistemi: () e () ( ) ( ) ove si è tenuto conto, per togliere il valore assoluto dalla disequazione, che: LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE - Prof. Enrico Sailis I. I.S. A. Gramsci E. Amaldi - Carbonia 5/6

6 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE - Prof. Enrico Sailis I. I.S. A. Gramsci E. Amaldi - Carbonia 6/6 = se se ( ) Soluzioni del sistema (): - < ) ( Soluzioni del sistema (): -<< < ) ( Le soluzioni della disequazione -- sono: ]- -] U ]- [ ossia ]- [ (oppure <)

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