ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2003

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 003 Il candidato riolva uno dei due problemi e 5 dei 0 queiti in cui i articola il quetionario. PROLEMA Si conideri un tetraedro regolare T di vertici A,, C, D. a) Indicati ripettivamente con V ed S il volume e l area totale di T e con r il raggio della fera incritta in T, trovare una relazione che leghi V, S ed r. b) Coniderato il tetraedro regolare T avente per vertici i centri delle facce di T, calcolare il rapporto fra le lunghezze degli pigoli di T e T e il rapporto fra i volumi di T e T. c) Condotto il piano, contenente la retta A e perpendicolare alla retta CD nel punto E, e poto che uno pigolo di T ia lungo, calcolare la ditanza di E dalla retta A. d) Coniderata nel piano la parabola p avente l ae perpendicolare alla retta A e paante per i punti A, ed E, riferire queto piano ad un conveniente itema di ai carteiani ortogonali e trovare l equazione di p. e) Determinare per quale valore di la regione piana delimitata dalla parabola p e dalla retta EA ha area cm. 3 PROLEMA È aegnata la funzione f (), dove m è un parametro reale. m m a) Determinare il uo dominio di derivabilità. b) Calcolare per quale valore di m la funzione ammette una derivata che riulti nulla per. c) Studiare la funzione f () corripondente al valore di m coì trovato e diegnarne il grafico in un piano riferito ad un itema di ai carteiani ortogonali (Oy), dopo aver tabilito quanti ono eattamente i flei di ed aver fornito una piegazione eauriente di ciò. d) Calcolare l area della regione finita di piano delimitata dal grafico, dall ae e dalla retta di equazione. QUESTIONARIO Dopo aver fornito la definizione di rette ghembe, i conideri la eguente propoizione: «Comunque i prendano nello pazio tre rette, y, z, due a due ditinte, e ed y ono ghembe e, coì pure, e ono ghembe y e z allora anche e z ono ghembe». Dire e è vera o fala e fornire un eauriente piegazione della ripota. Zanichelli Editore, 00

2 Un piano intereca tutti gli pigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: decrivere le caratteritiche dei poibili quadrilateri ezione a econda della poizione del piano ripetto alla piramide. Dal punto A, al quale è poibile accedere, è viibile il punto, al quale però non i può accedere in alcun modo, coì da impedire una miura diretta della ditanza A. Dal punto A i può però accedere al punto P, dal quale, oltre ad A, è viibile in modo che, pur rimanendo impoibile miurare direttamente la ditanza P, è tuttavia poibile miurare la ditanza AP. Diponendo degli trumenti di miura neceari e apendo che P non è allineato con A e, piegare come i può utilizzare il teorema dei eni per calcolare la ditanza A. Il dominio della funzione f () ln{ ( )} è l inieme degli reali tali che: A) 3; ) 3; C) 0 3; D) 0 3. Una ola ripota è corretta: individuarla e fornire una eauriente piegazione della celta effettuata. La funzione 3 3 ha un olo zero reale, vale a dire che il uo grafico intereca una ola volta l ae delle acie. Fornire un eauriente dimotrazione di queto fatto e tabilire e lo zero della funzione è poitivo o negativo. La derivata della funzione f () e t dt è la funzione f () e 4. Eeguire tutti i paaggi neceari a 0 giutificare l affermazione. Coniderati i primi n numeri naturali a partire da :,, 3,, n, n, moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi poibili. La omma dei prodotti ottenuti riulta uguale a: A) 4 n (n ) ; ) 3 n(n ); C) 4 n(n )(n )(3n ); D) 4 n(n )(3n ). Una ola ripota è corretta: individuarla e fornire una eauriente piegazione della celta operata. ed y ono due numeri naturali dipari tali che y. Il numero 3 y 3 : A) è diviibile per e per 3. ) è diviibile per ma non per 3. C) è diviibile per 3 ma non per. D) non è diviibile né per né per 3. Una ola ripota è corretta: individuarla e fornire una piegazione eauriente della celta operata. Si conideri una data etrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante ono le poibili cinquine che contengono i numeri e 90. Il valore dell epreione log 3 log 3 è. Dire e queta affermazione è vera o fala e fornire una eauriente piegazione della ripota. Durata maima della prova: ore È conentito oltanto l uo di calcolatrici non programmabili. Non è conentito laciare l Itituto prima che iano tracore 3 ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 00

3 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO 003 PROLEMA a) Detto lo pigolo del tetraedro T, i ha che AK e DK ono le altezze di due facce di T (figura ) e miurano 3. Le altezze D AK e DK ono anche biettrici e mediane. L altezza DH cade nel baricentro del triangolo AC, quindi HK 3 AK 3. L altezza DH i può calcolare con il teorema di Pitagora applicato al triangolo DHK (figura ): riulta DH 3. Figura. A O H P K C Le altezze del tetraedro i incontrano nel punto O, centro della fera incritta in T, D che ha raggio OH OP r. I triangoli rettangoli KOH e KOP ono congruenti, allora KO è la biettrice di HKˆP. Coniderando il triangolo OHK, i può crivere: rhktg 3 tg, ma tg D H, da cui, attravero le formule di biezione i giunge a: P H K tg O. In definitiva riulta: r. La uperficie del tetraedro è: S r γ 43. H K Il volume riulta: V r 3 83, da cui egue: V 3 S r. Figura. b) HP è uno pigolo del tetraedro T, con riferimento al triangolo HPK, nel quale i nota che KĤP KPˆH, i ha: H P HK HP HK en en. Dal valore di tg i ricava co en. Allora HP 3, da cui i ha: V V. D c) Con riferimento alla figura 3, detto F il punto medio di A, allora DF e CF ono le mediane delle facce AD e AC ripettivamente, il triangolo DFC è quindi iocele e l altezza EF è anche mediana: il piano intereca CD nel punto medio E. AE è la mediana della faccia CAD, E è la mediana della faccia CD, quindi AE è iocele e la mediana EF è anche altezza. Dal teorema di Pitagora per AEF : 3 EF AE AF. Figura 3. A F E C 3 Zanichelli Editore, 00

4 d) Scelto il itema di riferimento con origine nel punto F, ae delle acie coincidente con la retta orientata A, ae delle ordinate coincidente con la retta orientata FE (figura 4), i crive l equazione della. parabola y a b c, paante per i punti A ;0, ;0, E 0; Riulta: 0 a b c 0 a b c c a b 0 c y. y E A F Figura 4. e) L area del egmento parabolico AE è A 3 A EF, l area del triangolo AE riulta A A EF. L area delimitata dalla parabola e dalla retta EA è quindi: A (A A ) A EF, che riulta pari a cm quando cm Zanichelli Editore, 00

5 PROLEMA a) La funzione f (), dove m è un parametro reale i può crivere come: m m, per m 0 m R, per m 0 f (), f () è derivabile. R {0}, per m 0, per m 0 b) Per m 0 riulta: f () ( ) f () ( m) ( ) 4( m ) Per m > 0 riulta: f () f () 0 m. ( ( m) m) c) La funzione da tudiare è: f (). La funzione è definita u tutto R. Le interezioni con gli ai con l ae delle ordinate. ono: A ; 0 con l ae delle acie, 0; Si ha inoltre: lim f () 0 e lim f () 0. Il grafico ha l aintoto orizzontale y 0. La derivata prima riulta: f () ( ( ) ( ) ) ( ) ( )( ) (, ( ) ) f () 0, quindi (vedi anche figura 5) i ha un minimo nel punto m ; maimo nel punto M (; ). ed un + ma min Figura 5. Studiando la derivata econda i ottiene: ( )( ) ( ) ( 3 3 ) f (), ( ) 3 ( ) 3 f () , l equazione non i compone con la regola di Ruffini, ma i oerva che, per il teorema fondamentale dell algebra, ha al maimo tre radici, quindi tre flei. I riultati ottenuti in precedenza per i limiti negli etremi del dominio ed i valori dei punti di maimo e di minimo permettono di determinare che i flei devono eere almeno tre. In definitiva i flei ono proprio tre. In concluione i può tracciare il grafico della funzione (figura ). y M(; ) A( ; 0) m( ; ) (0; ) O Figura. 5 Zanichelli Editore, 00

6 d) L area richieta (figura 7) i ottiene dall integrale: A A 0 d d 0 d 0 d 0 d d 0 0 ma d d, allora A ln( ) arctg ln d, arctg arctg 4 0,9393. y O Figura 7. QUESTIONARIO Due rette i dicono ghembe e non giacciono u uno teo piano. La propoizione è fala. Coniderando infatti le rette r,, e t u cui giacciono gli pigoli di un parallelepipedo (figura 8), i verifica facilmente che r e ono ghembe, e t ono ghembe, ma r e t non lo ono, in quanto incidenti in un vertice del parallelepipedo. t r Figura 8. In generale i ottiene un quadrilatero ezione conveo, con i eguenti cai particolari: a) e il piano è parallelo alla bae, il quadrilatero ezione è un quadrato; b) e il piano è parallelo ad un lato del quadrato di bae, il quadrilatero ezione ha due lati paralleli e due no, i ottiene un trapezio iocele; c) e il piano è parallelo ad una diagonale del quadrato di bae, i ottiene un romboide. Zanichelli Editore, 00

7 3 Con riferimento alla figura 9 i miura direttamente la ditanza AP, quindi i miurano con un goniometro gli angoli e, poti nei vertici A e P ai quali è poibile accedere e dai quali è viibile anche. Si ricava indirettamente l angolo poto nel vertice :. A A P Per il teorema dei eni: A AP en. e n e n en β A α γ P Figura 9. 4 Il dominio della funzione f () ln{ ( )} i ottiene ponendo l argomento del logaritmo maggiore di zero, quindi ( ) 0 ( ). La diequazione è verificata per: quindi le oluzioni ono: 3 3, ovvero la ripota è eatta. 5 La funzione f () 3 3 è una cubica, quindi ha al più tre interezioni con l ae delle acie. La derivata prima riulta: f () 0 per 0 e. Lo chema di figura 0 motra che per 0 i ha un maimo e per i ha un minimo ma min Figura 0. y (0; ) Riulta poi f (0) e f (), quindi le coordinate dei punti di maimo e di minimo ono, ripettivamente: M (0; ) e m(; ). Coniderato che la funzione è continua in tutto R e che lim f(), e ne deduce che la funzione intereca l ae delle in un olo punto, di acia negativa, come riulta anche dal grafico di figura. Figura. (; ) Poto g () la funzione f () è una funzione compota e riulta: f () (g ()) g() e t dt. La derivata riulta: f () (g()) g (). 0 Si ha: g (), mentre, per il teorema fondamentale del calcolo integrale i ottiene: (g ()) e (g()), quindi f () e (g()) f () e 4. 7 Zanichelli Editore, 00

8 In generale riulta: ( n) n ( 3 n 3 n (n ) n) n k k n k k 0 kh hk n kh hk n k k n k k. Valgono le eguenti relazioni, che i dimotrano facilmente per induzione: n k n (n ) e k n Si ha infine: 0 quella eatta. k k n (n )(n ). kh hk n (n ) n (n )(n ) 4 n (n )(3n ). La ripota D è Coniderando che ( 3 y 3 ) ( y)( y y ) ( y y ), allora ( 3 y 3 ) è diviibile per. Inoltre y y y y 3 4, che equivale a: 3( ), che non è diviibile per 3. La ripota eatta è. Sono le poibili combinazioni di 3 oggetti celti tra 88 (i 90 numeri dell urna, tranne e 90). Le poibili cinquine ono quindi: C 88, ! ! 85! 3 Per la definizione di logaritmo: 3 log 3 ( log 3 ) log 3 log 3 log 3 log 3 log 3. Per eercitarti ancora ugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema Queito 3 pag. V 8 Problema 0 pag. π 39 (punti a, b) Problema pag. W 39 Problema Problema 8 pag. U 47 Problema 8 pag. W 53 (punti a, b) Queito Queito 7 pag. π 9 Queito Queito pag. π 9 Queito 4 Problema 3 pag. U 43 (punto a) Problema 0 pag. U 45 (punto a) Queito 5 Queito pag. iota Queito pag. iota Queito Queito 8 pag. W 3 Queito 7 Problema 7 pag. 4 Problema pag. 43 (punti a, f) Queito 9 Problema pag. 4 (punto a) Queito 0 Queito pag. N 95 Queito 7 pag. N 95 8 Zanichelli Editore, 00