6 Lezione. STATI LIMITE: Esempi di progetto/verifica

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2 6 Lezione STATI LIMITE: Eempi di progetto/veriica

3 SLU Applicazioni Progetto della ezione in c.a. PROBLEMA N Determinare: 1) Il valore dell armatura bilanciata. ) Il momento ultimo a leione emplice della ezione quando viene armata con ) Il valore dello orzo aiale neceario a portare la ezione del punto in condizioni di rottura bilanciata. M 3 60 A MATERIALI ck 30 MPa 440 MPa yk

4 SLU Applicazioni Campi di deormazione d 0 y c0 cu y n-b y n-lim c h d 1 3 y n-b 4 5 u d y 0 cu y ε n lim d 0, 59d ε + ε cu u ε cu ynb d 0,657d yd ε cu + E yk 440 MPa

5 SLU Applicazioni Progetto della ezione in c.a. b 40cm h 60cm d 3cm A 0 d G A σ 0,8b y cd cd 0,8y h Equazioni di equilibrio: N 0,8b y + A σ A Sd cd yd d b A yd M ( N ) 0,8 b y (0,5h 0, 4 y) + Rd Sd cd + A σ (0,5 h d ) + A (0,5 h d ) yd Fleione emplice: N Sd 0

6 SLU Applicazioni Progetto della ezione in c.a. Queito n. 1 (valore dell armatura bilanciata) Equazione di congruenza: d ynb ε cu ynb d 37,49cm ε cu + ε yd ε cu yd ε cu + E Equazione di equilibrio alla tralazione: 0 0,8b ynb cd Ab yd A b 0,8b ynb cd yd 49,97cm Armatura bilanciata

7 SLU Applicazioni Fleione emplice Queito n. (momento ultimo 6 0) 6φ0 A 18,84cm M 0,8 b y (0,5h 0, 4 y ) + Rd n cd n + A (0,5 h d ) 370, 9kNm yd A yd 0 0,8b yn cd A yd yn 14,14cm 0,8b 0 < y 0, 48d < 0, 59d ROTTURA IN CAMPO n cd

8 SLU Applicazioni Fleione emplice Queito n. 3 (orzo aiale per avere rottura bilanciata) A 18,84cm ynb 37,49cm N 0,8b y A 1190,6 kn b nb cd yd

9 SLU Applicazioni Veriica di un pilatro in c.a. PROBLEMA N. A Il pilatro in igura è oggetto ad una orza aiale N 1500 kn. Che tipo di rottura ci i attende? (DUTTILE o FRAGILE?) N M A 6 0 MATERIALI ck 30 N / mm yk 440 MPa

10 SLU Applicazioni Veriica di un pilatro in c.a. PROBLEMA N. Dall equazione di congruenza: y 0,657d 37, 49cm nb Campi di deormazione Dall equazione di equilibrio alla tralazione i ricava il valore della Forza aiale corripondente alla rottura bilanciata: N 0,8b y + A A b nb cd yd yd 1844,7kN > 1500kN ROTTURA DUTTILE

11 SLU Applicazioni Veriica di un pilatro in c.a. PROBLEMA N. 3 Calcolare i punti caratteritici del dominio di interazione M-N agli SLU, corripondenti alle ituazioni di: 1) Rottura bilanciata ) Trazione emplice 3) Compreione emplice 4) Curvatura limite 5) Fleione emplice A M 5 A MATERIALI ck 30 N / mm yk 440 MPa

12 SLU Applicazioni Punti notevoli del dominio M-N 1) ROTTURA BILANCIATA y 0,657d 36,17cm nb N 0,8b y + A A 1844,6kN Rd b nb cd yd yd M 0,8 b y (0,5h 0, 4 y ) + 0 nb cd n0 + A (0,5 h d ) + A (0,5 h d ) 587,01kN m yd yd ) TRAZIONE SEMPLICE ( ) 10,00 T A + A kn Rd yd 3) COMPRESSIONE SEMPLICE ( ) N 0,8b y + A + A 507,00 kn Rd b nb cd yd

13 SLU Applicazioni Punti notevoli del dominio M-N 4) Retta Limite: FRONTIERA CAMPO e CAMPO 3 ε ε ε y h d y h d cu u cu n lim n lim ε u ( ) Campi di deormazione ε ε y d ε ε σ E ε y d h d h d u n lim u n lim N 0,8b y + A σ A Rd n lim cd yd M 0,8 b y (0,5h 0, 4 y ) + Rd n lim cd n lim + A σ (0,5 h d ) + A (0,5 h d ) yd

14 SLU Fleione emplice armatura D.M. 96 y 0.45 e ck 35 d y 0.35 e ck > 35 d y d b 0.66 per Fe B 44 k Campi di deormazione d B cl compreo cl teo A y R 0.8 x cd T ck 0.4 y C (d-0.4 y) Equazione di equilibrio alla tralazione lungo l ae della trave: N Rd 0 C T B (0.8 y) (0.85 ) A cd yd y A yd B cd M A ( d 0.4 y) A ( ) d Rd yd yd

15 yn d SLU Applicazioni Altri punti notevoli del dominio M-N CAMPO : CONTRIBUTO NULLO DELL ARMATURA COMPRESSSA N 0,8bd A Rd cd yd M 0,8 bd (0,5h 0, 4 d ) + A (0,5 h d ) Rd cd yd CAMPO 4: CONTRIBUTO NULLO DELL ARMATURA TESA yn d N 0,8bd + A Rd cd yd M 0,8 b y (0,5h 0, 4 d ) + A (0,5 h d ) Rd cd yd Campi di deormazione

16 SLU Applicazioni Punti notevoli del dominio M-N armatura tea armatura comprea GEOMETRIA b 40 cm calcetruzzo h 60 cm ck 30 MPa y nb 36,17 cm y n-lim 14,59593 cm d' 5 cm! c 1,6 " ' 0,0030 " ' 0,007 d'' 5 cm cd 18,75 MPa #' 38,61 MPa #' 38,61 MPa ARMATURE N 0,8 b y + A )#) * A MATERIALI d b 0 mm " cu 0,0035 Rottura bilanciata $ 0,85 N b 1844,7 kn N -3 77, kn $ cd 15,94 MPa M b 587,01 kn m M ,19 kn m Trazione emplice A b 3,14 cm % 0,8 #' -38,61 MPa y n0 8, cm n b 5 acciaio T -10,00 kn # 38,61 MPa A 15,71 cm y 440 MPa M T 0,00 kn m #' 119,04 MPa d' b 0 mm! 1,15 Compreione emplice N 0 0,00 kn A' b 3,14 cm yd 38,61 MPa & 0,85 M 0 307,76 kn m n' b 5 E MPa # -38,61 MPa M 0-empl. 97,50 kn m A' 15,71 cm " yd 0,0018 #' 38,61 MPa Sd cd yd M R d ( N Sd ) 0,8 b y cd + (0,5h * 0, 4 y) A) # ) + (0,5 h * d) ) + A yd + (0,5 h * d ))) 1000 " ) " y * d cu 0, " ) ) " cu y * d ) y y d b " u 0,01000 C 507,00 kn y n1 5,00 cm N d 1500,00 kn & 0,7 M C 0,00 kn m N 1-346,00 kn Limitazione N M 1 1,65 kn m d b 44,73 cm ' & 3518,90 MPa y n1 55,00 cm h d1 49,73 cm ( & 78,19 MPa N 3406,00 kn h d 58,8 cm M 374,65 kn m N N d d h d 0,56 + b + 0, 4 + b + cd cd y nb /d 0, y n-lim /d 0,5959 PUNTI NOTEVOLI DOMINIO Retta Limite Fleione emplice Contributo nullo Arm. comprea Contributo nullo Arm. tea

17 SLU Applicazioni Punti notevoli del dominio M-N (eempio) Compreione emplice y n d 4000 Rottura bilanciata N Rd (kn) Fleione emplice approimato Trazione emplice Fleione emplice y n d y n y n-lim M Rd (kn m)

18 SLU Applicazioni Veriica di una ezione preoinlea CAMPO 3, CAMPO b y d h d ε y d + h d n b y n b ε y ε u + ε y ε u + ε y y y y n b n nb σ σ yd ( ) y nb ε cu ε + cu E yd d N 0,8b y + A A Rd n cd yd yd y n N A + A Rd yd yd 0,8b cd ( ) 0,8 (0,5 0, 4 ) M N b y h y + Rd Sd n cd n + A (0,5 h d ) + A (0,5 h d ) yd yd

19 Eempio di progettazione della trave di copertura di un ediicio per civile abitazione 5 m 5 m 5 m 5 m

20 Azioni di calcolo Valori caratteritici G k valore caratteritico delle azioni permanenti Q ik valore caratteritico delle azioni variabili (i 1,, n) Valori di calcolo G d g G k azioni permanenti Q id Q q ik i 1, azioni variabili (olaio di calpetio, carico neve) g 1.4 (1.0 e il uo contributo aumenta la icurezza) q 1.5 (0 e il uo contributo aumenta la icurezza)

21 Azioni di calcolo Combinazioni per le veriiche allo Stato Limite Ultimo F d g G k + q Q 1k + (i>1) q 0i Q ik G k valore caratteritico delle azioni permanenti Q 1k valore caratteritico dell azione variabile di bae di ogni combinazione Q ik valore caratteritico delle altre azioni variabili 0i coeicienti di contemp. allo tato limite ultimo (empre uguale a 0.7) Combinazioni per le veriiche allo Stato Limite di Eercizio Combinazioni rare: F d G k + Q 1k + (i>1) 0i Q ik Combinazioni requenti: Combinazioni quai permanenti: F d G k + 1i Q 1k + (i>1) i Q ik F d G k + i Q ik

22 Combinazioni di carico Coeicienti di combinazione (D.M. 9/1/96 Parte Gen., pt. 7, propetto 1) 1i i Carichi variabili per abitazioni per uici, negozi e cuole per autorimee Carichi da vento e neve Combinazioni di carico per il cao tudio trattato Tenioni ammiibili Stato limite ultimo Solo carichi verticali G k + Q k 1.4 G k Q k Carichi verticali + neve G k + Q k + Q neve,k 1.4 G k Q k (1.5 Q neve,k ) 1.4 G k (1.5 Q k ) Q neve,k

23 Analii dei carichi agenti ulla trave di copertura Peo proprio olaio: G k 5.3 x kn/m G d G x G k 1.4 x 5 35 kn/m Peo proprio trave emergente 30 60: G k 4.5 kn/m G d G x G k 1.4 x kn/m Carico variabile (accidentale) per olaio di calpetio: Q k,s.0 x kn/m Q d,s Q x Q k,s 1.5 x kn/m Carico neve: Q k,n 0.75 x kn/m Q d,n Q x Q k 1.5 x kn/m Combinazioni per lo Stato Limite Ultimo q d1 1.4 G k Q k (1.5 Q neve, k ) 59 kn/m q d 1.4 G k (1.5 Q k )+ 1.5 Q neve, k 56 kn/m

24 Dimenionamento trave Si coniderano le combinazioni di carico relative all azione di progetto agli S.L.U. q d1 59 kn/m q d1 59 kn/m A B C 5 m 5 m I maimi momenti per la combinazione aumono i valori: ( ) M Sd qd 1 M B 185 knm ( ) M Sd qd 1 M A B 105 knm APPOGGIO B I cond. II cond. G k 9.5 kn/m Q k 9.5 kn/m G k 9.5 kn/m Q k 9.5 kn/m M M M M 9 knm S, G B, G k M 30 knm S, Q B, Q k M 11 knm S, Q B, Q neve, k neve, k k k III cond. Q neve,k 3.5 kn/m Q neve,k 3.5 kn/m M 1.4 M M M 185 knm Sd S, G S, Q S, Q k k neve, k A B C 5 m 5 m M M M S, G A B, G k S, Q A B, Q k S, Q A B, Q neve, k neve, k CAMPATA A-B M 5 knm k M 17 knm k M 6 knm M 1.4 M M M 105 knm Sd S, G S, Q S, Q k k neve, k

25 RESISTENZE DI CALCOLO Le reitenze di calcolo i valutano mediante l epreione: d γ k m Stato Limite Acciaio Calcetruzzo c Ultimo di eercizio In particolare la reitenza di calcolo del calcetruzzo cd riulta pari a: cd γ ck c 0.83 R 1.6 ck

26 Caratterizzazione dei materiali D.M. 96 Calcetruzzo Reitenze di calcolo: cd γ ck ck 0.83 Rck γ 1.6 c R N mm 3 ctk 0.7 ctm ( ck ) ( / ) ck 1. Modulo elatico ctk Deormazioni limite E R N mm c 5700 ck ( / ) o o oo 3.5 oo Per un calcetruzzo C0/5 (R ck 5 N/mm ) c ctk ctk R cd ck o o oo 3,5 oo R cd ck o o oo 3,5 oo / cd Rck N mm ck 1.9 N/mm E c 8500 N/mm

27 Caratterizzazione dei materiali D.M. 96 Acciaio Reitenza di calcolo: yd yk γ γ yd Modulo elatico E N/mm 10 o oo Deormazione al limite elatico y ε yd E yd yd Per un acciaio FeB 44 k yk 430 N/mm yk N / mm γ 1.15 yd 374 ε yd E o 1.8 / oo

28 ε y0.45 d Progetto della trave B x 0.59 d R 0.8 x cd ck x C R 0.8 x cd ck x C d (0.9 d) y (0.8 d) A 0.01 T 0.01 T d per x d M 0.4 B 0.45 M B cd cd ( ) M Sd qd 1 M B 185 knm d per x d M 0.16 B 0.59 cd.5 M B cd B 30 cm d 47 cm A 4 φ cm Per gli SLE (eurazione) B 30 cm d 57 cm A 4 φ cm B 30 cm d 57 cm A 3 φ cm

29 S.L.U. per Taglio (elementi armati a taglio) 1) Veriica del conglomerato compreo V Sd V Rd 0,30 cd bw d (1 + cotα) ) Veriica dell armatura traverale d anima V cd 0.60 b d δ ctd w V Sd V Rd 3 Vcd + V wd V Aw 0. 9 d ywd ( + cot α ) enα wd 1 3) Veriica dell armatura longitudinale L armatura longitudinale deve eere dimenionata per reitere ad un momento di calcolo M* Sd pari a: M* Sd M Sd + V Sd a 1 a1 0.9 d (1 cotα) / ( 0. d )

30 Sollecitazioni di Taglio Combinazioni di carico relative all azione di progetto agli S.L.U. q d1 q d1 59 kn/m q d1 59 kn/m A B C 5 m 5 m Il taglio maimo combinazione aume il valore: VSd 180 kn

31 S.L.U. per Taglio: veriica del conglomerato Sezione 30 x 60 a emplice armatura con tae 8 pao 0 cd N / mm 1.6 ctk 1.6 N / mm ctd 1.01 N / mm yd yk 430 γ N / mm In preenza di ole tae ( 90 ): V Rd cd bw d 565 kn 180 kn V V 565 kn Sd Rd

32 S.L.U. per Taglio: veriica dell armatura traverale Sezione 30 x 60 a emplice armatura con tae 8 pao 0 cd yd N / mm 1.6 ctk yk N / mm γ 1.15 In aenza di orzo normale N / mm ctd 1.01 N / mm A w 1.00 cm (ogni 0 cm) V 0.60 b d δ 110 kn cd ctd w Aw Vwd 0.9 d yd 96 kn 90kN V Sd 180 kn V V V + V 06 kn Sd Rd 3 cd wd

33 S.L.E. (limitazione delle tenioni) Per il calcolo delle tenioni del calcetruzzo e dell acciaio, i aume un comportamento elatico lineare con ezione parzializzata. Il coeiciente di omogeneizzazione acciaio cl i aume convenzionalmente: n15. Si impongono alle tenioni le eguenti limitazioni: Tenioni Maime Materiale Combinazione rara Combinazione quai permanente Calcetruzzo compreo in ambiente aggreivo 0.50 ck 0.40 ck Calcetruzzo compreo in ambiente ordinario 0.60 ck 0.45 ck Acciaio teo 0.70 yk yk 430 N/mm ck 0.75 N/mm

34 S.L.E. (limitazione delle tenioni) Combinazioni rare: F d G k + Q 1k + (i>1) 0i Q ik 41.3 kn/m Combinazioni quai permanenti: F d G k + 0. x Q k,s Sollecitazioni dovute alle combinazioni di carico: 31.3 kn/m M Appoggio [kn m] M Campata [kn m] Combinazioni rare 19 7 Combinazioni quai permanenti B x C c σ M n d x I ci ( ) d c / n T σ c M B x d x ( 3)

35 S.L.E. (limitazione delle tenioni) Impiegando i metodi e le epreioni della teoria elatica del c.a. i riolve il problema determinando la poizione dell ae neutro e il momento d inerzia x n A B d mm B n A b I x + na ( d x ) mm ci c c x Tenioni di eercizio ull appoggio (in ambiente aggreivo): Calcetruzzo Acciaio c [N/mm ] 0.5 ck [N/mm ] [N/mm ] 0.7 yk [N/mm ] Combinazioni rare c [N/mm ] 0.4 ck [N/mm ] Combinazioni quai permanenti

36 S.L.E. (Controllo della eurazione) 1.Stato limite di decompreione E lo tato per il quale la minima tenione di compreione raggiunge il valore nullo.stato limite di ormazione delle eure E lo tato per il quale la maima tenione di trazione raggiunge il valore caratteritico della reitenza a trazione del conglomerato 3.Stato limite di apertura delle leioni E lo tato per il quale l apertura delle eure è pari ad un valore nominale preiato dalle norme. PROSPETTO 7 -I I valori nominali per la norma italiana ono: w mm w 0. mm w mm Gruppi di eigenze a b c Condizion i ambiente Poco aggreivo Moderat amen te aggreivo Molto aggreivo Armatura Combinazi on Senibile Poco enibile e di azioni Stato limite w k Stato limite w k requente ap. eure! w ap. eure! w 3 quai decomp. o! w 1 ap. eure! w permanente ap. eure requente ap. eure! w 1 ap. eure! w quai decompre. " ap. eure! w 1 permanente rara ap. eure e! w 1 ap. eure! w ormaz. eure requente decomp. " ap. eure! w 1

37 S.L.E. (Stato limite di ormazione delle eure) La veriica dello tato limite di ormazione delle eure conite nel controllare che il momento lettente agente riulti ovunque non maggiore del momento di eurazione M F, ovvero, con rierimento alla ezione, che la tenione agente al lembo teo riulti ovunque non maggiore della reitenza caratteritica a trazione ctk del calcetruzzo. Il valore medio della reitenza a trazione può eere aunto pari a: - trazione emplice: 3 ctm 0.7 ( Rck ) ( N / mm ) - trazione per leione: 1. ck ctk In entrambi i cai il valore caratteritico ctk, corripondente al rattile 5%, può aumeri pari a 0.7 volte il valore medio. ctk 0.7 ctm

38 S.L.E. (Stato limite di ormazione delle eure) La ezione è cotituita da tre materiali diveri: cl compreo, cl teo, acciaio M F va calcolato in ipotei di ezione interamente reagente, oia portando in conto anche la reitenza a trazione del cl. B cl compreo x Si omogeneizza ripetto al cl compreo introducendo: d cl teo n E / E c 15 n E ct / E c 0.5 acciaio La poizione dell ae neutro i determina dall equazione di equilibrio alla tralazione (in aenza di orzo aiale ea i traduce nell annullare il momento tatico totale della ezione reagente S n ripetto all ae neutro ). S n B x n A ( d x) n' B ( H x) 0

39 S.L.E. (Stato limite di ormazione delle eure) Riolvendo l equazione di II grado ripetto ad x e coniderando la radice poitiva: x ' B 1 n ' n A d n ' B H / n A + n B H mm B ( 1 n ') ( n A + n ' B H ) ( ) ( ) Il momento d inerzia della ezione omogeneizzata riulta: b I x n ' ( H x ) na ( d x ) mm ci c + c + c La tenione t al lembo teo della ezione vale : σ t n' M I ci ( H x ) c Il momento di prima eurazione i ottiene ponendo t ctk : ck Ici M F 88.8 knm M le 19 knm n ' H x ( ) c VERIFICA NON SODDISFATTA

40 S.L.E. (Stato limite di apertura delle eure) Il valore caratteritico di apertura delle eure non deve uperare il valore tabellato (propetto 7-I) in cui ono indicati i w i in unzione dell aggreività dell ambiente, della enibilità delle armature e della combinazione delle azioni di eercizio: σ σ β w 1.7 w 1.7 ε k m m rm La deormazione media dell acciaio riulta: 1 β E ε m deormazione media, rm ditanza media tra le eure ε m σ σ 1 β1 β E σ tenione nell'acciaio teo per eetto del momento agente per la combinazione in eame tenione nell'acciaio teo per eetto di un momento paria a quello di prima eurazione della ezione coeiciente dipendente dall'aderenza acciaio-cl ( 1.0acciaio ad ader. miglior. e 0.5acciaio licio) coeiciente dipendente dall'azione ( 1.0azione di breve durata, 0.5 azione di lunga durata o ripetute) modulo elatico dell'acciaio

41 c ρ k S.L.E. (Stato limite di apertura delle eure) Il valore caratteritico di apertura delle eure non deve uperare il valore tabellato (propetto 7-I) in cui ono indicati i w i in unzione dell aggreività dell ambiente, della enibilità delle armature e della combinazione delle azioni di eercizio: La ditanza media tra le eure riulta: coprierro, ditanza tra le barre, diametro barre A rm φ w 1.7 w 1.7 ε k m m rm ε m deormazione media, rm ditanza media tra le eure c + + k k φ 3 10 ρ r A area di acciaio teo, Ae area di cl che racchiude l'acciaio teo Ae coeiciente dipendente dall'aderenza acciaio-cl ( 0.4acciaio ad ader. miglior. e 0.8acciaio licio) r k 3 coeiciente dipendente dalla orma del diagramma delle tenioni prima della eurazione ( 0.15leione o preo-lex., 0.50trazione)

42 S.L.E. (Stato limite di apertura delle eure) Combinazione delle azioni di eercizio: RARA Ambiente: AGGRESSIVO (W k <0. mm) (M-19 knm) ε m deormazione media, rm ditanza media tra le eure ε m rm mm k k (acciaio ad ader. miglior.) 0.15 (leione) w 1.7 w 1.7 ε 0.18 mm < 0. mm k m m rm VERIFICA SODDISFATTA β β (acciaio ad ader. miglior.) (azione di breve durata)

43 6 Lezione FINE