Siano f e g due funzioni, allora x D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire

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1 Operazioni tra funzioni Siano f e g due funzioni, allora D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire f() ± g(), f() g(), f () g() se g() 0 Es. f() = 4, g() = 3 + D f D g = [-,] R = [-,] 4 ± 3 +, 4 (3 + ), per 3 In particolare se g()=c, cioè è una funzione costante (retta parallela all asse ) allora D f si ha cf()= c 4 Es. Funzioni polinomiali (somma algebrica di funzioni potenza) f() = a n n + a n- n- +.+a + a 0 grado n f()= funzione polinomiale di grado 5 Es. La parabola in rosso è il grafico della somma della parabola f() = e della retta g() = - h() = In generale si definiscono funzioni algebriche tutte quelle ottenute come somma,prodotto, quoziente o radici di funzioni polinomiali. Tutte le altre sono chiamate trascendenti.in particolare il rapporto di funzioni polinomiali si chiama funzione razionale.tra quelle viste fino ad ora, sono trascendenti la funzione esponenziale e la funzione logaritmo. Un altro esempio di funzione trascendente è dato dalle funzioni trigonometriche incontrate nel cap.3: π f : R y = sen [-, ], f : R y = cos [-, ], f : R - + k π y=tg R sen con tg = e k Z cos Seno e Coseno sono funzioni periodiche : f() = f( + T ), di periodo T = π La Tangente è periodica di periodo T = π

2 Grafici delle funzioni trigonometriche cos cos0=, cos π /= 0, cos π = -.. L immagine dell insieme R mediante le funzioni seno e - coseno è l intervallo [-,] tg tg0= 0, tgπ/ ±, tgπ=0 π π Composizioni di funzioni Date due funzioni f,g, la funzione composta fo g è definita da f(g()) il cui dominio è l insieme delle per cui g() D f. Es. Funzione Formula Dominio f [0, + ) g + R fo g f(g() = f(+) = + [-, + ) go f g(f() = g( ) = + [0, + ) fo f f(f()) = f( ) = = /4 [0, + ) go g g(g()) = g(g()) = (+)+=+ R Es. f() = cos, g() =, f(g()) = f( ) = cos D fo g = R Funzioni limitate Se il grafico di una funzione f è contenuto nel semipiano inferiore delimitato da una retta parallela all asse delle, per esempio y = M, la funzione si dice limitata superiormente

3 f limitata superiormente f() M Dominio. Analogamente f limitata inferiormente f() m D, grafico contenuto nel semipiano superiore delimitato dalla retta y =m parallela all asse delle. f limitata : Se lo è sia superiormente che inferiormente. Esempi: f() = 3 non è limitata. f() = non è limitata superiormente ma lo è inferiormente : 0 (retta y = 0)

4 f() = + 0 < R f limitata + (contenuta in una striscia orizzontale del piano y delimitata dalle rette y=0 e y=) f() =, 0 limitata inferiormente.

5 Limiti di funzioni Questa volta ci interessiamo al comportamento di una funzione f() quando si avvicina molto ad un numero, a, che non necessariamente appartiene al dominio di f. Domanda: Se si avvicina sempre più al numero, a, accade che f() si avvicina sempre più ad un numero, L?? Se la risposta è si, diremo che il limite di f() per che tende ad a è uguale ad L Notazione : lim a f() = L Es. Tangente ad una parabola y =, P(a,a ), Q(, ) Q La retta secante PQ ha coefficiente angolare m PQ = yq yp Q A = a a P La retta tangente in P si avrà facendo muovere il punto Q verso P e quindi il suo coefficiente angolare sarà m = lim a m PQ = lim a a a = lim a ( + a)( a) a con a = lim ( + a) a Quando si avvicina sempre più ad a si ha che ( + a) si avvicina sempre più ad (a + a) cioè a a. Quindi m = a. Es. y =f()= D = R - { 0 } Quanto più si avvicina allo zero tanto più cresce in valore assoluto e quindi non esiste alcun numero finito a cui f() tende.

6 LIMITE DESTRO e LIMITE SINISTRO f() Sia f() = - (semicirconferenza di raggio ) D f =[-, ] la funzione è definita a destra di - e a sinistra di - Quindi potrò avvicinarmi a - solo da destra lim f() = 0 + e a solo da sinistra lim f() = 0 Altro esempio: f() =, D f = R - 0 lim = lim = invece lim = lim = Teorema : Se una funzione f() ammette un valore limite in un punto 0 tale valore è unico e il limite destro e il limite sinistro sono uguali ad esso. Nell esempio,quindi, f () =, non ammette limite nel punto zero. Teorema : Permanenza del segno. Se una funzione f() ammette un limite L(positivo o negativo) quando tende a un valore o, allora esiste un intorno di o in cui la funzione ha lo stesso segno di L. ALGEBRA DEI LIMITI FINITI Il limite della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente di due funzioni è rispettivamente uguale alla somma, alla differenza, al prodotto e al quoziente(purchè il denominatore sia diverso da zero) dei due limiti.

7 Questi due esempi saranno utilizzati nell argomento sulla derivata di una funzione.