Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento"

Transcript

1 TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento di B. A f B A B L insieme B può coincidere con A. Analogamente, è detta controimmagine di. Spesso il dominio di una funzione viene indicato con la lettera D. Poiché una funzione fa corrispondere a ogni elemento di A un unico elemento di B, essa viene anche chiamata corrispondenza univoca. Indichiamo una funzione nel seguente modo f A " B, oppure A B, che si legge «f è una funzione da A a B». Si dice che A è l insieme di partenza della funzione e B l insieme di arrivo. Se a un elemento di A corrisponde un elemento di B, scriviamo f 7, oppure = f( ), che si legge «uguale a f di». è detta l immagine di mediante la funzione f. A f B C f L insieme di partenza A è detto dominio della funzione; il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio. Indichiamo il codominio con la lettera C. Vale la relazione C B. dominio codominio Figura Le funzioni numeriche Quando i due insiemi A e B sono numerici, le funzioni vengono dette funzioni numeriche. Esse possono essere descritte da un espressione analitica, ossia da una formula matematica. R è l insieme dei numeri reali. ESEMPI Consideriamo la funzione f R " R descritta dalla legge matematica = +. 6 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0

2 PARAGRAF. LE FUNZINI TERIA A ogni valore di la legge fa corrispondere uno e un solo valore di. Per esempio, per = il valore di è = $ + =. Possiamo anche dire che è l immagine di, cioè f() =. Il valore che assume dipende da quello attribuito a. Per questo motivo prende il nome di variabile dipendente e di variabile indipendente. Di una funzione numerica si cerca spesso di studiare il grafico, ossia l insieme dei punti P(; ) del piano cartesiano tali che è un numero reale nel dominio di f e è l immagine di, ossia = f(). Se la funzione f è definita da un equazione = f(), il suo grafico è una curva c, luogo di tutti i punti del piano che soddisfano l equazione. Il grafico viene anche detto diagramma cartesiano. C = codominio γ Alcuni grafici possono essere tracciati conoscendo anche pochi elementi, se si sanno le loro caratteristiche. Per esempio, il grafico di una funzione del tipo = m + q è una retta e per rappresentarla è sufficiente determinare due suoi punti. Quello che segue non è il grafico di una funzione. Spiega perché. D = dominio Figura Il grafico di una funzione = f(). Le funzioni definite per casi Esistono funzioni definite da espressioni analitiche diverse a seconda del valore attribuito alla variabile indipendente. Tali funzioni sono dette funzioni definite per casi. Si chiamano anche funzioni definite a tratti. ESEMPI La funzione + 6 = ( - + se #- se - = + 6 è una funzione definita per casi. Il suo grafico è rappresentato nella figura. Figura Un esempio di grafico di una funzione definita per casi. = = se + se > Anche la funzione valore assoluto può essere definita per casi = = = ' - se $ se Il suo grafico è rappresentato nella figura a lato. 0 0 = = Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0 6

3 TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI Il dominio naturale di una funzione Il dominio naturale viene anche chiamato campo di esistenza. Per brevità, chiamiamo il dominio naturale anche soltanto dominio e lo indichiamo con D. DEFINIZINE Dominio naturale Il dominio naturale della funzione = f() è l insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente affinché esista il corrispondente valore reale. Normalmente il dominio naturale non viene assegnato esplicitamente, perché può essere ricavato dall espressione analitica della funzione. Per esempio, consideriamo la funzione = -. Se sostituiamo a un valore minore di, la radice perde significato. Il dominio naturale di tale funzione è l intervallo $, con! R. In forma abbreviata scriviamo D $. Perciò, quando viene assegnata una funzione senza dominio, si sottointende che esso sia il dominio naturale. Gli zeri di una funzione e il suo segno Un numero reale a è uno zero della funzione = f( ) se fa ( ) = 0. zero zero = f() Gli zeri di una funzione sono le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione con l asse, quindi si determinano risolvendo il sistema = f( ) * " f ( ) = 0. = 0 Per studiare il segno di una funzione = f( ) risolviamo la disequazione f ( ) 0. ESEMPI Studiamo il segno della funzione f ( ) = Risolviamo la disequazione = + + Si ha -- 0 " f() > 0 " ( + )( -) 0" " -. Dunque f() < 0 f ( ) 0 se -, f ( ) 0 se -0. = - e = sono gli zeri della funzione. Figura 6 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0

4 PARAGRAF. LE FUNZINI TERIA La classificazione delle funzioni Se l espressione F(; ) = 0 di una funzione contiene soltanto operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice, la funzione è algebrica. Una funzione algebrica può essere razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un polinomio; in particolare, se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile, la funzione si dice lineare, se il polinomio in è di secondo grado, la funzione è detta quadratica; razionale fratta se è espressa mediante quozienti di polinomi; irrazionale se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice. L espressione analitica che descrive una funzione può avere due forme forma esplicita, del tipo = f(); per esempio, = - ; forma implicita, del tipo F(; ) = 0; per esempio, - - = 0. Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente. Studieremo in seguito alcune funzioni trascendenti, per esempio la funzione logaritmica e la funzione esponenziale. intere = 7 razionali algebriche trascendenti =, = cos irrazionali = + fratte = + FUNZINI Figura La classificazione delle funzioni reali di variabile reale della forma = f() e alcuni esempi. Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive DEFINIZINE Funzione iniettiva Una funzione da A a B si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A. Se una funzione è iniettiva, a due elementi distinti del dominio non corrisponde mai lo stesso elemento del codominio, cioè 6,! D,! & f( )! f( ). ESEMPI. La funzione = + è iniettiva perché ogni valore assunto da è immagine di un solo valore di.. La funzione = - + = + non è iniettiva. Scegliamo, per esempio, =. Sostituendo, otteniamo - + = " -- = 0 " = - =- + = Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0 6

5 TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI = + Il valore della è immagine di due diversi valori della, = - e =. Se una funzione non è iniettiva, esiste almeno una retta parallela all asse che interseca il grafico della funzione in più di un punto. Se una funzione è suriettiva, l insieme di arrivo B coincide con il codominio. DEFINIZINE Funzione suriettiva Una funzione da A a B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Figura 6 Se per la funzione = f() consideriamo come insieme di arrivo il suo codominio (l insieme dei reali tali che # # ), la funzione è suriettiva. ESEMPI La funzione rappresentata nella figura 6 è suriettiva se l insieme d arrivo è costituito dagli tali che # #. 8 = f() Una funzione biiettiva viene anche chiamata biiezione o corrispondenza biunivoca fra A e B. DEFINIZINE Funzione biiettiva (o biunivoca) Una funzione da A a B è biiettiva quando è sia iniettiva sia suriettiva e quindi a ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B e viceversa. ESEMPI. La funzione f [a; b] " [c; d] rappresentata nella figura 7a è biiettiva. gni valore di è il corrispondente di uno e un solo valore di.. La funzione g [a; b] " [c; d] della figura 7b non è biiettiva. Ci sono valori di che sono immagini di più valori di. Figura 7 d = f() d = g() c c a b a b a. La funzione = f() è biiettiva. b. La funzione = g() non è biiettiva perché non è iniettiva. 66 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0

6 PARAGRAF. LE FUNZINI TERIA Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti DEFINIZINE Funzione crescente in senso stretto Una funzione = f () di dominio D si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti e appartenenti a I, con, risulta f ( ) f ( ). f D,, < D f( ) f( ) f( ) < f( ) D ESEMPI La funzione = + è crescente in senso stretto in R. Infatti = + " + + ". Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f ( ) f ( ) con f ( ) # f ( ), otteniamo la definizione di funzione crescente in senso lato, o anche non decrescente. ESEMPI La funzione Si può anche dire che la funzione è debolmente crescente. - se 0# # = ) se è crescente in senso lato nel suo dominio, mentre è crescente in senso stretto in 0# #. = DEFINIZINE Funzione decrescente in senso stretto Una funzione = f () di dominio D si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti e appartenenti a I, con, risulta f ( ) f ( ). f D,, f( ) f( ) < D D f( ) > f( ) = Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f ( ) f ( ) con f ( ) $ f ( ), otteniamo la definizione di funzione decrescente in senso lato, o anche non crescente. In seguito, se diremo che una funzione è crescente (o decrescente), senza aggiungere altro, sarà sottinteso che lo è in senso stretto. In questo caso la funzione si può anche dire debolmente decrescente. Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0 67

7 TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI Una funzione si dice monotòna in un intervallo I del suo dominio se in I è sempre crescente o sempre decrescente. La funzione inversa DEFINIZINE Funzione inversa Sia fa " Buna funzione biiettiva, quindi tale che ogni in A ha una e una sola immagine = f( ) in B. La funzione inversa di f è la funzione biiettiva f B" A in cui ogni - in B ha per immagine il valore in A tale che = f(). A A = f () f biiettiva f B = f() B Nella funzione inversa f -, è l immagine di ; si ha quindi è la variabile indipendente, quella dipendente. = f - (), ma per poter rappresentare questa funzione nello stesso piano cartesiano di = f( ), operiamo la sostituzione " e ". ESEMPI Consideriamo la funzione biiettiva f R " R definita da f() = = -. Possiamo ottenere la sua inversa f - () nel seguente modo ricaviamo in funzione di dalla re lazione precedente = = = + ; indichiamo con la variabile di pen dente e con quella indipendente, ossia scambiamo con a = + f ( ) = = + -. Rappresentiamo la funzione e la sua inversa nello stesso piano cartesiano (figura a). I grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Se f non è biiettiva, e quindi non è invertibile, possiamo operare una restrizione del dominio a un sottoinsieme in cui f risulti biiettiva. ESEMPI La funzione f R " R tale che f() = = - non ammette la funzione inversa perché non è biiettiva (figura b). 68 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0

8 PARAGRAF. LE PTENZE CN ESPNENTE REALE TERIA Possiamo dedurre che la funzione non è biiettiva anche per via analitica, ricavando dalla relazione che esprime f() = + è soddisfatta per = + e =- +. sserviamo che le espressioni che definiscono hanno significato se e solo se $ -, pertanto, per - non si ricava alcun valore di la funzione non è suriettiva. Inoltre, ciascun valore di - è immagine di due diversi valori di, uno positivo e uno negativo = +, =- +. Quindi la funzione non è nemmeno iniettiva. Consideriamo allora la restrizione A del dominio e la funzione b = f A " B, con A = {! R / $ 0} e B = {! R / $ - }. Il grafico della funzione così definita è quello disegnato in colore rosso nella figura c la funzione è biiettiva e quindi invertibile. Il valore di dato da + appartiene al dominio A, mentre - + non appartiene ad A. Quindi l espressione = - si inverte in = +. Scambiando i ruoli di e otteniamo la funzione inversa Possiamo leggere così «A è l insieme dei reali tali che $ 0; B è l insieme dei reali tali che $ -». B - - f B" A, f ( ) = = +. = = Figura 8 I grafici della funzione = - e della sua inversa = + sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. c A = + = Il grafico di una funzione e quello della sua inversa sono sempre simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Se un punto P(; ) appartiene al grafico della funzione, il punto Pl(; ) appartiene al grafico della funzione inversa e, osservando la figura a lato, notiamo che tali punti individuano i triangoli rettangoli PH e PlHl congruenti. Allora il triangolo PPl è isoscele, la bisettrice del primo e terzo quadrante è bisettrice, altezza e mediana del triangolo e P e Pl sono simmetrici rispetto a tale retta. P'(; ) H' P(; ) H. LE PTENZE CN ESPNENTE REALE Le potenze con esponente intero o razionale Riassumiamo nelle tabelle seguenti le definizioni, già note, relative alle potenze di un numero reale con esponente intero o razionale e le proprietà delle potenze. Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0 69

9 PARAGRAF. LE FUNZINI ESERCIZI. LE FUNZINI Teoria a pag. 6 Le funzioni numeriche Dati gli insiemi A = {, 9, } e B = {,,,, } e la relazione R da A a B così definita R se = a) scrivi le coppie degli elementi che sono in relazione; b) R è una funzione? [a) (; ), (9; ), (; ); b) sì] Quali di queste equazioni rappresentano delle funzioni da R in R? a) - = 9, b) - = 0, c) + =-, d) = -. 6 a), b), Data la funzione f da R in R così definita f 7 6 -, trova f(0), f(), f( - ). [0,, - 8] Data la funzione = - + -, trova le immagini di - e e le controimmagini di -. sserva i seguenti grafici e stabilisci quali di essi rappresentano una funzione. -;-;-; D a b c 6 a b c 7 ESERCIZI GUIDA Data la funzione f R " R tale che = 6 -, completiamo le uguaglianze, scrivendo il valore mancante (se esiste) al posto dei puntini, nei seguenti casi. a) = f(); b) = f( ); c) -7 = f( ). a) Basta sostituire il valore a nell espressione analitica della funzione f() = 6() - = - =. b) Dobbiamo cercare il valore che, attribuito a, ha come immagine. Per farlo risolviamo l equazione = " 6 = " = = " =! =!. 6 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0 9

10 ESERCIZI CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI c) L equazione 6 - = -7 " 6 = -6 " = - non ha soluzioni, quindi non esistono valori che, attribuiti a, hanno come immagine -7. CMPLETA le uguaglianze per ogni funzione f R " R, scrivendo il valore mancante (se esiste) al posto dei puntini =, f = f( ); f = fb- l ; - 0 = f( f); = f( f). 6 =-, f = f( ); f = fb l ; = f( f); 6 = f( f). =--, f = fb- l ; f = fb- l ; 8 = f( f); = f( f). =, f = f( - 8); f = fbl ; 7 = f( f); - = f( f) = +, f = f( 0); 0 = f( f); f = f b l. =, - 7 = f( f); f = f( - ); f = f b- l. Date le funzioni = f( ) = - e = g( ) =, determina, se esistono, i valori (o il valore) di che hanno la stessa immagine nelle due funzioni. = D Come nell esercizio precedente, ma per le funzioni = f( ) =- - e = g( ) = +. [impossibile] Trova il codominio della funzione f A " R, con A = {-, 0,, } e f() = +. [C = {,, 9}] Data la funzione = 6 -, determina il suo codominio se il dominio è D = {-, -,,, 8}. [C = {-9, -,, 9, 7}] Trova i valori di a e b per la funzione f ( ) = a+ b- sapendo che f( 0) =- e f( - ) =. [a =, b = - ] Determina l espressione analitica della funzione che associa a ogni numero reale il suo triplo aumentato di e trova il suo codominio. [ = + ; R] Una funzione f() associa al numero reale la somma tra il doppio del quadrato del numero e il quadrato della somma tra il numero e. Scrivi f() e trova f(-) e f(). [ f ( ) = + + ; ; 7] È assegnata la funzione f Trova f( - ), f( + ), f( ). [- + ; ; - -8] Per la funzione f ( ) = - calcola f( ), f( ), f + b - - l. ; ; + - D Data la funzione = indica quale dei seguenti punti appartiene al suo grafico. A( -;-6), B( ; 8), C( 0; ), Db ; l. [A, C] 96 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0

11 PARAGRAF. LE FUNZINI ESERCIZI Date le funzioni f ( ) =- + e g ( ) =--, risolvi la disequazione f( - ) gb l. [ - 0 ] CMPLETA Utilizza il grafico della figura che rappresenta una funzione f per completare le uguaglianze. Codominio C = ; f () =, f (0) = ; f ( ) = 0, f ( ) = -, f ( ) = ; f (-) = ; $ f () = 6 7 Le funzioni definite per casi L espressione 6 8 f ( ) = ' - se se # $ non indica una funzione. Perché? Data la funzione f() R " R così definita f ( ) = se ' se $ - trova f(- ), f(- ), f(0), f(). [- ; 6; ; - ] È assegnata la funzione f() R "R così de finita 7 9 f ( ) a) calcola - = * - se - se - # # se f( -), f( -), fb- l, f(0), f(), f( ) ; b) trova i valori di per cui f ( ) =- e quelli per cui f () = 0. a) -, -, -, 0,, ; b) - ;0D 0 Data la funzione f ( ) = ' + - se se $ a) calcola le immagini di -, 0, e ; b) calcola le controimmagini di Considera la funzione f ( ) - ; ; -. 7 a),, b, -6; b) -,0,-7e D + se 0 = ' se $ 0 e indica quale dei seguenti punti appartiene al su grafico. A( -; -6), B( 0; ), C( ; -), D( ; ). Disegna il grafico delle seguenti funzioni e indica il codominio. se $ 0 =( se 0 = ( - - = se $ se + se - se - # # - + se * 6 = + se # 0 ( - - se 0 = - + se $ 0 ( - se 0-6 se - = * - + se -# # - se Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0 97

12 ESERCIZI CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI Disegna il grafico delle seguenti funzioni con il valore assoluto. 7 8 = - ; = -. = - ; = = + ; = -. = + ; = - +. sservando il grafico della figura che rappresenta una funzione f() trova a) il dominio e il codominio di f(); b) l equazione di f(). = f() = f() 6 = f() = f() Il dominio naturale di una funzione ESERCIZI GUIDA Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni a) = - ; - 9 b) = - 7; c) = - - ; d) = a) L espressione ha significato per - 9 ogni valore di che non renda nullo il denominatore, ossia 9-9! 0 " D!, cioè D R - & 9 0. b) L indice della radice - 7 è pari, quindi l espressione esiste soltanto se - 7 $ 0 " D # - 70 $ 7. c) L indice della radice - è dispari, quindi l espressione esiste per ogni valore reale D R. d) Affinché esista l espressione + + -, il valore di deve rendere contemporaneamente non negative le espressioni + e -, quindi dobbiamo risolvere il sistema + $ 0 ' - $ 0 D $ " $ - ' $ 98 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0

13 PARAGRAF. LE FUNZINI ESERCIZI Determina il dominio delle seguenti funzioni. 6 7 = - R? = + 9 [! 0] 8 = [! ] 9 = - + R? + 0 = - + [! 0 /!! ] = ( - ) [! ] = ( - ) [ ] = [! -/! 0 /! ] = R? = - 8 $ 8? - 6 = ( - ) - 7 = = = !?!!/! 0?! -/! D! 0/!? = - 0 # 00 $ 0? = R? = 7- R? = + 7 R? 6 =! D = + R? = - + 6! /!? = 9 - -# #? - 7 = - + R? = -- R? 70 = - +! 0? = - = 0/!? = - + $ D = + - 0/!? 7 = - 9! 0/!!? - 7 = + 6 $? 76 = - -! /!? + 77 = - + $-/!? - 78 = + - #? + 79 = - + -!? 80 = - 6-0? 8 = D = Q? - 8 = #? = = = - -! /!!? -0 $ D ; # 0 E se 87 = *! 0/!? + se + se # 0 88 = * se 0 $-/!? - = 89-9 = = 9 8 = 9 - # 00? -# 0? -# 00 8? - # 00 # D Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0 99

14 ESERCIZI CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI = Q? 6 - = -# 0 #? = # 80 8D 96 Considera la funzione = f() rappresentata dal grafico a lato. a) Indica il dominio e il codominio di f(). b) Trova f(0), f(), f(- ), f() e completa b ) f( ) =, f( ) =, f( ) = -. [a) D R, C {- # # } { }; b), -,, ] È data la funzione f() R " R = k determina k - f ( ) = * + se 0 in modo che il dominio sia R - {- }. [k = ] se $ 0 a) Calcola f(- ), f(0), f(), f(). b) Determina il dominio di f(). c) Il punto (; - ) appartiene al grafico della funzione? [ a) -! Y D; 6 ; ; 0; b) D # /! -; c) no] Data la funzione + a- 99 =, determina - b a e b in modo che il dominio sia R - {} e il grafico passi per il punto b ; l. [a = -, b = 8] Gli zeri di una funzione e il suo segno Trova gli zeri delle seguenti funzioni = - [0; ] = - 6 [0; ] = - + [] = + - -; D 0 - = - - = [ b! R]! D = - 9 [0; 9] = + -- [! ; - ] Studia il segno delle seguenti funzioni dopo averne determinato il dominio. 08 = [ D ; 0 00 ] -! 09 = - [D = R; 0 ] 600 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0

15 PARAGRAF. LE FUNZINI ESERCIZI 0 - = 6 + [D!-6; 0-6 ] = [D! -/! ; 0-00 ] ( + )( - ) 6 7 = 6+ + [D $ -6; 0 6! D] = [ D $ 0; 0 0] = + [D = R; 0 0] = [D = R; 0 0 ] + = + - D $ ; 0 6! D D - = D! /! ; 0-0 D - + La classificazione delle funzioni Per ognuna delle seguenti funzioni indica se è razionale (intera o fratta) o irrazionale o trascendente = - ; = - ; = + ; = +. = 0 + ; = ; = - 7; = -. 9 = + ; = ; = ; - = r. Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive gni grafico rappresenta una funzione f R " R. Indica per ognuno se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva. a b c d Per ognuna delle seguenti funzioni di R in R, indica quale sottoinsieme di R si deve prendere come insieme di arrivo se si vuole che la funzione sia suriettiva a b c d Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0 60

16 ESERCIZI CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI Indica quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione di R in R. Per ogni funzione indica se è una funzione iniettiva, suriettiva, biettiva, scrivi qual è il suo dominio, il codominio ed evidenzia per quali valori di la funzione è positiva. a b c a b c Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti Indica per ogni funzione se è crescente o decrescente (in senso stretto o in senso lato) in R. a b c 6 CMPLETA utilizzando i dati del grafico a) il dominio è ff; b) il codominio è ff; c) f() = f, f() = ff; d) f( f) =, f( f) = 0; e) la funzione è crescente negli intervalli fff; è decrescente in fff; f) f ( ) 0 per fff. 60 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0

17 PARAGRAF. LE FUNZINI ESERCIZI Rappresenta le seguenti funzioni e indica in quali intervalli sono crescenti e in quali decrescenti = - = = - 0 = se # = ' se - se 0 - = ( + se La funzione inversa Spiega perché ognuna delle seguenti funzioni ammette la funzione inversa e traccia il suo grafico. a b c gni grafico rappresenta una funzione. Considera opportuni insiemi di partenza e di arrivo in modo che la funzione ammetta la funzione inversa e disegnane il grafico. a b c 6 7 Data la funzione f ( ) - =, trova f - () e calcola f - () f ( ) = ; f () = 7D Dimostra che la funzione f ( ) = + è biunivoca. Trova la funzione inversa f - () e traccia i grafici di f() e f - - (). 6 f ( ) = Verifica che la funzione 6 = coincide con la sua inversa. In un diagramma cartesiano disegna le seguenti funzioni e le loro inverse, dopo aver considerato, se necessario, opportuni insiemi di partenza e di arrivo, tali che le funzioni siano biiettive. Scrivi l espressione analitica della funzione inversa. 8 9 =- + 7; = ; =- ; = -. 7 =- + ; = ; =- ; $ 0, = + 0 D = ; =- ; = ; =-. = ; =- ; $ 0, = ; # 0, = - D 9 Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.AZZURR - Modulo N+ Zanichelli 0 60

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione

Dettagli

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x) 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Le funzioni reali di variabile reale

Le funzioni reali di variabile reale Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un

Dettagli

Funzioni trascendenti

Funzioni trascendenti Funzioni trascendenti Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 17 novembre 007 Sommario Esponiamo la teoria fondamentale delle funzioni

Dettagli

31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando

31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando FUNZIONI MATEMATICHE Introduzione Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando tra le due esiste un legame di tipo matematico. La teoria

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

Programma di Matematica

Programma di Matematica Programma di Matematica Modulo 1. Topologia in R 2. Funzioni in R 3. Limite e continuità di una funzione Unità didattiche Struttura algebrica di R Insiemi reali limitati e illimitati Intorno di un punto

Dettagli

+... + a n. a 0 x n + a 1 x n 1. b 0 x m + b 1 x m 1. +... + b m 0. Funzioni reali di variabile reale. Definizione classica. Funzioni razionali

+... + a n. a 0 x n + a 1 x n 1. b 0 x m + b 1 x m 1. +... + b m 0. Funzioni reali di variabile reale. Definizione classica. Funzioni razionali Funzioni reali di variabile reale Una reale di variabile reale è una funzione nella quale il dominio d è un sottoinsieme di r e il condominio c è anch esso un sottoinsieme di r. F:r r Definizione classica.

Dettagli

Cos è una funzione? (x,y) Є f o y=f(x)

Cos è una funzione? (x,y) Є f o y=f(x) Cos è una funzione? Dati gli insiemi X e Y non vuoti, si chiama funzione da in una relazione f tale che per ogni x Є X esiste uno ed un solo elemento y Є Y tale che (x,y) Є f. Data la funzione f:x->r,

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2 CAPITOLO 2 Funzioni reali di variabile reale Nel capitolo precedente è stata introdotta la nozione generale di funzione f : A B, con A e B insiemi arbitrari. Nel presente capitolo si analizzeranno più

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

Capitolo 5. Funzioni. Grafici.

Capitolo 5. Funzioni. Grafici. Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE "L. EINAUDI" ALBA ANNO SCOLASTICO 2014/2015

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE L. EINAUDI ALBA ANNO SCOLASTICO 2014/2015 ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE "L. EINAUDI" ALBA ANNO SCOLASTICO 2014/2015 CLASSE 4^ B SETTORE TECNOLOGICO: Costruzioni, Ambiente e Territorio Disciplina: Matematica Testi in uso: Nuova Matematica a Colori-3

Dettagli

LICEO STATALE G. MAZZINI

LICEO STATALE G. MAZZINI LICEO STATALE G. MAZZINI LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO DELLE SCIENZE UMANE OPZIONE ECONOMICO-SOCIALE Viale Aldo Ferrari, 37 Tel. 0187743000 19122 La Spezia Fax 0187743208 www.liceomazzini.org

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA Istituto Istruzione Superiore A. Venturi Modena Liceo artistico - Istituto Professionale Grafica Via Rainusso, 66-41124 MODENA Sede di riferimento (Via de Servi, 21-41121 MODENA) tel. 059-222156 / 245330

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 LIBRO DI TESTO:L. Sasso Nuova Matematica a colori Algebra e Geometria 1 edizione Azzurra ed. Petrini TEMA A I numeri e linguaggio della Matemati Unità 1

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE "G. GALILEI" - MACERATA a.s. 2014-2015. Contratto formativo

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. GALILEI - MACERATA a.s. 2014-2015. Contratto formativo LICEO SCIENTIFICO STATALE "G. GALILEI" - MACERATA a.s. 2014-2015 Prof.: ANGELO ANGELETTI Disciplina: MATEMATICA Classe: 3M Contratto formativo 1. Analisi della classe Una prova d ingresso svolta all inizio

Dettagli

Funzioni e loro invertibilità

Funzioni e loro invertibilità Funzioni e loro invertibilità Una proposta didattica di Ettore Limoli Definizione di funzione Sono dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) Diremo che y=f(x) è una funzione, definita in A

Dettagli

IL CONCETTO DI FUNZIONE

IL CONCETTO DI FUNZIONE IL CONCETTO DI FUNZIONE Il concetto di funzione è forse il concetto più importante per la matematica: infatti la matematica e' cercare le cause, le implicazioni, le conseguenze e l'utilità di una funzione

Dettagli

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU) Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio

Dettagli

I.T.G. <> Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO RELAZIONE

I.T.G. <<G.C.Gloriosi>> Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO RELAZIONE I.T.G. Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO Prof. Lucia D Aniello, CLASSI 3 A, 4 A, 5 A GEOMETRI- SIRIO RELAZIONE Premesse La programmazione è stata redatta

Dettagli

Funzione logaritmo con. funzione inversa della funzione di

Funzione logaritmo con. funzione inversa della funzione di FUNZIONE LOGARITMO a è la base della funzione logaritmo ed è una costante positiva fissata e diversa da 1 x è l argomento della funzione logaritmo e varia nel dominio Funzione logaritmo con funzione inversa

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza

Dettagli

4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO

4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO 4 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO 4.0. Esponenziale. Nella prima sezione abbiamo definito le potenze con esponente reale. Vediamo ora in dettaglio le proprietà della funzione esponenziale a,

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi

Dettagli

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA

PROGRAMMA di MATEMATICA Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 3^ I a.s. 2014/15 - Docente: Marcella Cotroneo Libro di testo : Leonardo Sasso "Nuova Matematica a colori 3" - Petrini Ore settimanali

Dettagli

Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x))

Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x)) Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f (g()) notazione funzionale = f (g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene al

Dettagli

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane)

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane) 1/7 PRIMO ANNO Testo consigliato: BERGAMINI TRIFONE BAROZZI, Matematica.azzurro, vol. 1, Zanichelli Obiettivi minimi. Acquisire il linguaggio specifico della disciplina; sviluppare espressioni algebriche

Dettagli

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti Equazioni e Disequazioni Ripasso generale relativo alla risoluzione di equazioni, disequazioni,

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

I.I.S. "MARGHERITA DI SAVOIA" a.s. 20014-2015 LICEO LINGUISTICO classe I BL Programma di MATEMATICA

I.I.S. MARGHERITA DI SAVOIA a.s. 20014-2015 LICEO LINGUISTICO classe I BL Programma di MATEMATICA classe I BL Numeri naturali L insieme dei numeri naturali e le quattro operazioni aritmetiche. Le potenze. Espressioni. Divisibilità, numeri primi. M.C.D. e m.c.m. Numeri interi relativi L insieme dei

Dettagli

Programma di MATEMATICA

Programma di MATEMATICA MINISTERO DELL ISTRUZIONE, DELL UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA UFFICIO SCOLASTICO REGIONALE PER IL LAZIO ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Via Silvestri, 301 00164 ROMA - Via Silvestri, 301 Tel. 06/121127660 Fax

Dettagli

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si

Dettagli

Tavola riepilogativa degli insiemi numerici

Tavola riepilogativa degli insiemi numerici N : insieme dei numeri naturali Z : insieme dei numeri interi Q : insieme dei numeri razionali I : insieme dei numeri irrazionali R : insieme dei numeri reali Tavola riepilogativa degli insiemi numerici

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

4. Funzioni elementari algebriche

4. Funzioni elementari algebriche ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari algebriche A. A. 2013-2014 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante

Dettagli

Le nozioni fondamentali

Le nozioni fondamentali Le nozioni fondamentali Il concetto di funzione che abbiamo introdotto nel capitolo 5 di Algebra si è molto arricchito. Lavorando nel piano cartesiano, abbiamo familiarizzato con il passaggio dalla scrittura

Dettagli

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica Programma svolto di MATEMATICA Anno scolastico 2013/14 ELEMENTI DI RACCORDO CON LA SCUOLA MEDIA GLI INSIEMI CALCOLO LETTERALE GEOMETRIA - Ordinamento, proprietà,

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

DOMINIO di FUNZIONI. PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte.

DOMINIO di FUNZIONI. PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte. DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte. Tutorial di Barberis Paola - 2009 Definizioni: FUNZIONE e DOMINIO LA FUNZIONE

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti

Dettagli

4. Funzioni elementari

4. Funzioni elementari ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante

Dettagli

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3 livello A1 modulo A1.1 modulo A1.2 matematica livello A2 modulo A2.1 modulo A2.2 livello A insiemi e appartenenza interpretazione grafica nel piano traslazioni proprietà commutatività associatività elemento

Dettagli

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse

Dettagli

Programmi a.s. 2014-15

Programmi a.s. 2014-15 Docente BARO MAVIS Classi 4 ENOGASTRONOMIA sezione/i Ce 1. Disequazioni e loro applicazione: Le disequazioni e le loro proprietà; Le disequazioni di primo e secondo grado; Le disequazioni di grado superiore

Dettagli

matematica per le quinte

matematica per le quinte istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le quinte Dipartimento di Matematica Anno scolastico 2015-2016 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun-

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE H A.S. 14/ 15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE H A.S. 14/ 15 PROGRAMMA SVOLTO DOCENTE: Laura Marchetto CLASSE terza SEZIONE H A.S. 14/ 15 RIPASSO ARGOMENTI PROPEDEUTICI L insieme dei numeri razionali. Equazioni di primo e di secondo grado Sistemi di disequazioni di primo grado Equazione

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Richiami su alcuni concetti di base

Richiami su alcuni concetti di base PARTE I FUNZIONI DI UNA VARIABILE Capitolo Richiami su alcuni concetti di base Questo capitolo preliminare contiene una sintesi estremamente succinta delle principali nozioni e dei simboli matematici che

Dettagli

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10 FUNZIONE OMOGRAFICA ASINTOTO VERTICALE: ASINTOTO ORIZZONTALE: 1 abbiamo verificato che, applicando all iperbole equilatera base, la dilatazione verticale di coefficiente 7 e la traslazione di vettore di

Dettagli

I Insiemi e funzioni

I Insiemi e funzioni I Insiemi e funzioni 1. INSIEMI ED OPERAZIONI SU DI ESSI 1.1. Insiemi Dal punto di vista intuitivo, il concetto di insieme può essere fatto corrispondere all atto mentale mediante il quale associamo alcuni

Dettagli

Funzioni. Funzioni /2

Funzioni. Funzioni /2 Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15 Materia: FISICA 1) INTRODUZIONE ALLA SCIENZA E AL METODO SCIENTIFICO La Scienza moderna. Galileo ed il metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le funzioni nel discreto 3 1.1 Le funzioni nel discreto.................................. 3 1.1.1 La rappresentazione grafica............................

Dettagli

Quesiti di Analisi Matematica A

Quesiti di Analisi Matematica A Quesiti di Analisi Matematica A Presentiamo una raccolta di quesiti per la preparazione alla prova orale del modulo di Analisi Matematica A. Per una buona preparazione é consigliabile rispondere ad alta

Dettagli

PIANO DI LAVORO ANNUALE DI MATEMATICA. Prof. Angelo Bozza

PIANO DI LAVORO ANNUALE DI MATEMATICA. Prof. Angelo Bozza LICEO SCIENTIFICO STATALE A. GRAMSCI - IVREA ANNO SCOLASTICO 2013-2014 CLASSE 1^F - S.A. PIANO DI LAVORO ANNUALE DI MATEMATICA Prof. Angelo Bozza FINALITA SPECIFICHE DELLA DISCIPLINA E DIDATTICI Le finalità

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

matematica per le terze

matematica per le terze istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le terze Dipartimento di Matematica Anno scolastico 2015-2016 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun-

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE

PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE STATALE IRIS VERSARI - Cesano Maderno (MB) PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE Indirizzo: LICEO SCIENTIFICO MATERIA: MATEMATICA ANNO SCOLASTICO: 2014-2015 PROF: MASSIMO BANFI

Dettagli

Soluzione di equazioni quadratiche

Soluzione di equazioni quadratiche Soluzione di equazioni quadratiche Soluzione sulla Retta Algebrica Inseriamo sulla Retta Algebrica le seguenti espressioni polinomiali x e x 3 e cerchiamo di individuare i valori di x per i quali i punti

Dettagli