SOMMARIO I radicali pag I radicali aritmetici pag Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

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2 SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno sotto il segno di radice in R+ {0} pag..6 Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice in R+ {0} pag..7 Radice di un radicale aritmetico pag. 7.8 Radicali simili pag. 8.9 Razionalizzazione del denominatore di una frazione pag. 0.0 Radicali doppi pag. 8. Radicali in R pag.. Potenze ad esponente razionale pag. ESERCIZI pag. CAPITOLO : EQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Equazioni di secondo grado e loro classificazione pag. 79. Risoluzione di un equazione di secondo grado pag. 8. Relazione tra i coefficienti di una equazione di secondo grado e le sue soluzioni pag. 9. Equazioni parametriche di secondo grado pag. 98. Equazioni e problemi pag. 0.6 Equazioni di grado superiore al secondo pag. 0

3 .7 Equazioni binomie pag. 0.8 Equazioni trinomie pag Equazioni risolubili con particolari sostituzioni pag..0 Equazioni reciproche pag.. Equazioni riconducibili ad equazioni di primo e secondo grado mediante la scomposizione in fattori pag. ESERCIZI pag. 6 CAPITOLO : LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO. La funzione y a pag. 6. La funzione y a + b + c pag. 7. Equazioni di secondo grado in una variabile e parabola pag. 8. Disequazioni di secondo grado in una variabile e parabola pag. 8 ESERCIZI pag. 98 CAPITOLO 6: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA 6.. Introduzione pag. 6.. Elementi di base pag. 6.. Rappresentazioni grafiche pag Indici di posizione pag Indici di variabilità pag. ESERCIZI pag. 7

4 CAPITOLO RADICALI. I radicali Sicuramente, hai già affrontato problemi del tipo: a) La superficie di un quadrato misura m ; qual è la misura del suo lato? b) Il volume di un cubo misura 0 cm ; qual è la misura dello spigolo del cubo? c) Qual è quel numero che elevato alla terza dà 7? Formalizziamoli con i simboli della matematica: a) indicata con la misura del lato del quadrato, si ottiene: ; b) indicata con l la misura dello spigolo del cubo, si ottiene: l 0 ; c) indicato con n il numero da determinare, si ottiene: n Le equazioni alle lettere a) e b) non hanno soluzione nell insieme dei numeri razionali, (la loro soluzione è, infatti, un numero irrazionale); invece, l equazione alla lettera c) ha per soluzione un numero razionale. La soluzione dell equazione del problema a) è quel numero irrazionale il cui quadrato è ; 7 con i simboli che hai già conosciuto negli studi precedenti, si ha:. Come sai, il numero si legge radice quadrata di. Poiché è soluzione dell equazione, si ha ( ). La soluzione dell equazione del problema b) è quel numero irrazionale che elevato alla terza dà 0; si ha, quindi: l 0 l 0. Poiché 0 è soluzione dell equazione, si ha ( ) 0 0 Come sai, il numero 0 si legge radice cubica (o di indice ) di 0. La soluzione dell equazione del problema c) è il numero razionale. (completa), perché (...) 7. I numeri, 0 che abbiamo appena scritto si chiamano radicali. Ancora qualche esempio: Qual è quel numero che elevato alla quinta dà 6?

5 Formalizziamo la proposizione e risolviamo l equazione ottenuta: t 6 t 6 (il simbolo 6 si legge radice di indice di 6) Poiché 6 è soluzione dell equazione, si ha ( ) 6 6. Osserviamo che 6 è un numero positivo dal momento che una potenza con esponente dispari ha lo stesso segno della base della potenza stessa. Qual è quel numero che elevato alla terza dà 8? Formalizziamo la proposizione e risolviamo l equazione ottenuta: h 8 h 8 (il simbolo 8 si legge radice cubica, o di indice, di 8) Poiché 8 è soluzione dell equazione, si ha ( ) 8 8. Osserviamo che 8 è un numero negativo dal momento che una potenza con esponente dispari ha lo stesso segno della base della potenza stessa. Anche i numeri 6 e 8 sono dei radicali. Qual è quel numero che elevato alla quarta dà? Formalizziamo la proposizione e risolviamo l equazione ottenuta: h S Non esiste, infatti, alcun numero che elevato alla quarta, e in generale ad un esponente pari, dia per risultato un numero negativo. Introduciamo un po di terminologia per i simboli usati per indicare i radicali: il simbolo è chiamato simbolo di radice; il numero, scritto con carattere più piccolo, posto sopra il simbolo di radice si chiama indice di radice; il numero scritto dentro il simbolo di radice si chiama radicando. indice di radice Simbolo di radice radicando Da una prima analisi degli esempi precedenti, possiamo dire che un radicale è un numero che elevato all indice di radice dà il radicando; è evidente, però, che è necessario distinguere due casi: il radicando è un numero non negativo; il radicando è un numero negativo.

6 Possiamo, allora, dare la seguente definizione: Siano a R e n N0, si chiama radice nsima (o di indice n) di a quel numero b R tale che n b a. In simboli: In particolare: b n a. Se a 0, anche la radice nsima di a è un numero b 0. In simboli: a R + 0 n a R + 0. Se a < 0, dobbiamo distinguere due casi: o se n è dispari, anche la radice nsima di a è un numero b < 0, o se n è pari, la radice nsima di a non esiste. In simboli: Dalla definizione segue che ( a R ) n n a n a R se n dispari n a se n pari a (ovviamente quando esiste) e, quindi, possiamo affermare che la radice nsima di un numero è l operazione inversa dell elevamento a potenza. Come si può notare dal problema c), talvolta un radicale è un numero razionale; ad esempio: 7 8 perché 7 8; perché ( ) ; 9 perché ( ) 9. Casi particolari n Se a 0, 0 0. Se n, il simbolo di radice non si scrive: a a. Se n, si omette l indice di radice: a a.. I radicali aritmetici Si chiama radicale aritmetico un radicale nel quale il radicando è un numero non negativo. Un radicale aritmetico, quindi, è un numero non negativo qualunque sia l indice della radice. n a radicale aritmetico a R + { 0} Se il radicando è un espressione letterale, è necessario, allora, determinarne il dominio, cioè l insieme al quale devono appartenere le variabili contenute nel radicando affinchè esso sia non negativo.

7 Esempio Affinchè m + sia un radicale aritmetico, il suo radicando deve essere non negativo; è necessario determinarne il dominio ponendo il radicando maggiore o uguale a zero. Si ottiene: PROVA TU [ [ m + 0 m D, + Determina il dominio dei seguenti radicali aritmetici: ) a ; 6 m t ) h + ; 9 z Proprietà invariantiva Prima di parlare di questa importantissima proprietà dei radicali, diamo la seguente definizione: Due radicali aritmetici si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero. Osserva attentamente le seguenti uguaglianze e, in particolare, rifletti sugli indici delle radici e sugli esponenti dei radicandi: ; (per la proprietà transitiva) e sono due radicali equivalenti. ; 6 (per la proprietà transitiva). e sono due radicali equivalenti. Nella prima uguaglianza, indice di radice ed esponente del radicando di si possono ottenere dall indice di radice e dall esponente del radicando di dividendo entrambi per... (completa). 6 6, rispettivamente, Nella seconda uguaglianza, indice di radice ed esponente del radicando di si possono ottenere dall indice di radice e dall esponente del radicando di moltiplicando entrambi per... (completa)., rispettivamente, Questa proprietà è più generale e prende il nome di proprietà invariantiva: Se si moltiplicano o si dividono indice della radice ed esponente del radicando di un radicale aritmetico per uno stesso numero naturale, diverso da zero, si ottiene un radicale equivalente a quello dato. In simboli: a a oppure n t n h t h a a ( h N 0 ) n t n : h t : h 6

8 Quando viene usata questa proprietà? La proprietà invariantiva viene usata quando: è necessario avere due radicali aritmetici con lo stesso indice; è necessario semplificare un radicale aritmetico. Riduzione di due o più radicali allo stesso indice Ridurre due radicali aritmetici allo stesso indice significa determinare due radicali equivalenti a quelli dati aventi lo stesso indice di radice. Generalmente, si riducono i radicali al più piccolo indice comune. Vediamo come si opera con un esempio. Riduciamo allo stesso indice i radicali e. a) Determiniamo il minimo comune multiplo fra gli indici dei due radicali: mcm (, ) 0; (indice comune dei radicali equivalenti a quelli dati); b) si divide il mcm trovato (in questo caso0) per il vecchio indice di radice e si moltiplica l esponente del radicando per il quoziente così determinato. In questo caso 0 : ; 0 : ; si ottiene: ; Quindi, 0 e 0 Riduciamo allo stesso indice i radicali 9a e 6 8a. Osserviamo che a) mcm (, 6) ; 9a a e 8a a. 6 6 b) : : 6 a a a ; 6 9 a a a Quindi, 9a a 6 9 8a a È necessario, per esempio, ridurre due radicali allo stesso indice, quando essi devono essere confrontati. Qual è il più piccolo fra 8 e 0? Poiché 8 < 0, anche 8 < 0. Quindi, fra due radicali aritmetici aventi lo stesso indice è minore quello che ha radicando minore. 7

9 Qual è il più piccolo fra 8 e? Poiché sappiamo confrontare due radicali aritmetici aventi lo stesso indice di radice, per confrontare fra loro radicali aritmetici con indice diverso è necessario, prima, ridurli allo stesso indice; sarà più piccolo il radicale che ha radicando minore. a) mcm (, ) 6 b) 6 : ; 6 : e Stabiliamo, allora, qual è il più piccolo fra 6 e 6 9 : 6 6 < 9 < 9 In definitiva, si ha: 8 <. Semplificazione di un radicale In precedenza, abbiamo detto che si applica la proprietà invariantiva quando dobbiamo semplificare un radicale aritmetico; ma. cosa significa semplificare un radicale aritmetico? Osserva i seguenti radicali aritmetici: 8 a : indice della radice ed esponente del radicando hanno divisori comuni? SI NO 6 b : indice della radice ed esponente del radicando hanno divisori comuni? SI NO Si dice che semplificabile o riducibile. 8 a è un radicale aritmetico irriducibile; invece Si ha la seguente definizione: 6 b è un radicale aritmetico Un radicale aritmetico si dice irriducibile se indice della radice ed esponente del radicando sono coprimi; in caso contrario il radicale è semplificabile. Semplificare un radicale aritmetico, allora, vuol dire trovarne uno irriducibile ad esso equivalente. Esempi Semplifichiamo i seguenti radicali aritmetici: a) 8 8 ; b) 8 ; c) 6 8h 9 g ( + h, g R ) 0 a) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l indice della radice e l esponente del radicando. Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e l esponente del radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene: ; MCD(8,) ; 8 8: :

10 b) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l indice della radice e gli esponenti dei fattori del radicando. Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e gli esponenti dei fattori del radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene: 8 6 MCD(,6,) ; 6 ; 8 6 : 6: : 6 8. c) Scomponiamo in fattori il coefficiente numerico del radicando e determiniamo il MCD fra l indice della radice e gli esponenti dei fattori del radicando. Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e gli esponenti dei fattori del radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene: 8 8h g h g ; MCD(6,, 9) ; 6 9 h g 6: : 9 : : h g 6 9 8h g h g ATTENZIONE 8 Semplifichiamo il radicale ( z ) 6. Osserviamo che il dominio di questo radicale è l insieme dei numeri reali dal momento che il radicando ( z ) 6 è non negativo qualunque sia il valore attribuito alla variabile z. Procediamo con la semplificazione: MCD (8, 6) ; 6 6: 8 8: applichiamo la proprietà invariantiva: ( z ) ( z ) ( z ) 6 8 Abbiamo ottenuto l uguaglianza ( z ) ( z ) Siamo proprio sicuri che essa sia vera per qualunque valore attribuito alla variabile z? Proviamo: uguaglianza falsa! 8 8 z 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Come è possibile? Eppure siamo sicuri di aver applicato in maniera corretta la proprietà invariantiva! 9

11 Osservando i due radicali, notiamo che essi hanno come dominio insiemi diversi: 8 il dominio di ( z ) 6 è l insieme R il dominio di ( z ) è l insieme D [ + [,. Condizione necessaria affinchè due radicali siano equivalenti è che abbiano lo stesso dominio. Ora, affinchè l insieme R sia il dominio di ( z ), è necessario che il suo radicando sia sempre non negativo; per ottenere questo basta applicare l operazione di valore assoluto. z z. 8 Si ha, allora: ( ) 6 Un altro esempio. 6 Semplifichiamo il radicale aritmetico ( ). Prima di tutto, determiniamo il dominio. Deve essere ( ) Semplifichiamo, adesso, il radicale: MCD (6, ) 0 0 D, + : ; 6 6: Applichiamo la proprietà invariantiva: ( ) ( ) si ottiene l uguaglianza ( ) 6. Per stabilire se i due radicali sono equivalenti, determiniamo il dominio di. Deve essere 0 D, + I due radicali hanno lo stesso dominio; quindi, sono equivalenti. In questo caso non si applica l operazione di valore assoluto. In definitiva: ( ) PROVA TU 6. Riduci allo stesso indice le seguenti coppie di radicali aritmetici: a) 7 e 0 ; b) h e k ; c) ( ) 6 m 9 + e ( m) Inserisci, al poso dei puntini, i simboli >, < in modo che le relazioni siano vere: a). 0 ; b). ; c) 6 6. Semplifica, se possibile, i seguenti radicali aritmetici: 0 a) 6 6 ; b) 9 6a ; c) ( ) 6 8 t +

12 . Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici Fra radicali aritmetici si definiscono due operazioni: moltiplicazione e divisione. Il prodotto di due radicali aritmetici aventi indice di radice uguale è un radicale aritmetico che ha per indice di radice l indice dei due fattori e per radicando il prodotto dei radicandi dei due fattori. In simboli: n n n a b a b Se i radicali aritmetici hanno indice di radice diverso, prima di eseguire la moltiplicazione si riducono allo stesso indice. Il quoziente di due radicali aritmetici aventi indice di radice uguale è un radicale Esempi aritmetico che ha per indice di radice l indice del divisore (e del dividendo) e per radicando il quoziente dei radicandi. n n n n In simboli: a : b a : b a oppure n n b Se i radicali aritmetici hanno indice di radice diverso, prima di eseguire la divisione si riducono allo stesso indice. Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni e divisioni: a b a) ; b) ab ; c) 9 : 8 ; d) h t : t 6 6a a) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto: b) I due radicali hanno indice diverso: 0 riduciamo i due radicali allo stesso indice; eseguiamo la moltiplicazione. Si ottiene: 6 ( ) 6a ab a a b a a b a b In definitiva: 6 6a ab a b c) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto: 9 : 8 9 :8 9 8

13 d) I due radicali hanno indice diverso: riduciamo i due radicali allo stesso indice; eseguiamo la divisione. Si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) h t t h t t h t t h t : : : In definitiva: h t t h t 8 8 : PROVA TU Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali aritmetici: a) 8 ; 6 ; 8m s m 6 b) : ; 6 ; 9 z : 8z y. Potenza di un radicale aritmetico Come ben sai, l operazione di potenza è un caso particolare di moltiplicazione. Calcoliamo, allora, ( ) 7. Per definizione di potenza, si ha: ( ) ( moltiplicazione fra radicali con indice di radice uguale) ( ) per definizione di potenza 7. Dall esempio appena svolto, deduciamo che: La potenza di un radicale aritmetico è un radicale aritmetico che ha indice della radice uguale all indice della base e per radicando una potenza avente per base il radicando e per esponente l esponente della potenza. In simboli: ( ) k n k n a a PROVA TU Calcola le seguenti potenze: a) ( ) ; b) ( ) 8b ; c) ( m + )

14 . Trasporto di un fattore esterno sotto il segno di radice in R + 0 Affrontiamo anche questo argomento con alcuni esempi. Consideriamo l espressione Ricordando che nella quale il fattore esterno è un numero positivo., possiamo scrivere. Si tratta, allora, di eseguire una moltiplicazione fra due radicali con diverso indice di radice. Prima di eseguire la moltiplicazione, perciò, è necessario ridurre i due radicali allo stesso indice; si ottiene: Osservando l ultima uguaglianza, notiamo che il fattore esterno () si trova sotto il segno di radice ed ha esponente uguale all indice di radice. Consideriamo l espressione 7 nella quale il fattore esterno è un numero negativo. Ricordando che, possiamo scrivere 7 7. Siamo di fronte ad una moltiplicazione fra radicali con indice diverso. Dopo aver ridotto i due radicali allo stesso indice, eseguiamo la moltiplicazione; si ottiene: Osservando l ultima uguaglianza, notiamo che : fuori dal segno di radice è rimasto il segno ; 7 7. sotto il segno di radice troviamo. Dall analisi degli esempi svolti, possiamo dedurre la seguente regola: per portare un fattore esterno non negativo sotto il segno di radice è sufficiente elevarlo all indice di radice. In simboli: n n n a 0, a b a b per portare un fattore esterno negativo sotto il segno di radice si lascia il segno fuori dal simbolo di radice e si eleva il suo valore assoluto all indice di radice. In simboli: n n a < 0, a b a b n

15 ATTENZIONE Consideriamo l espressione m m nella quale il fattore esterno è una lettera. 6 Il dominio di 6 m è l insieme dei numeri reali; la variabile m, allora, può assumere valori sia non negativi che negativi. È necessario, quindi, distinguere i due casi: se m 0, lo si porta sotto radice elevandolo all indice della radice; se m < 0, si porta sotto radice il suo valore assoluto elevandolo all indice di radice. Si ottiene: Ricorda che m < 0 m m m 0, m m m m m m m ; 6 m < 0, 6 6 ( ) m m m m m m m. Consideriamo l espressione k k nella quale il fattore esterno è, ancora una volta, una lettera. Il dominio di + k è l insieme D R 0 (perché?); la variabile k, allora, è sicuramente non negativa. Quindi, si ha: 7 k k k k k k k. PROVA TU Porta sotto il segno di radice il fattore esterno dei seguenti radicali aritmetici: a) 7 ; b) 6 ; c) a 6a ; d) z z.6 Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice in R + 0 Ricordiamo che se a 0, b 0, n a n b n ab, oppure, in modo equivalente, n ab n a n b ; se a 0, b > 0, Rifletti, adesso, sulle seguenti uguaglianze: a a b a a. b n n n b, oppure, in modo equivalente, n n b n per la proprietà ricordata in precedenza a) ( ). b) 97

16 c) d) 7 7 Come puoi notare dalle uguaglianze ottenute, è stato possibile scrivere il radicale come prodotto fra un fattore esterno ed un radicale. Quali fattori è stato possibile portare fuori dal segno di radice? Completa: nell esempio a) è stato portato fuori dal segno di radice il fattore.; nell esempio b) è stato portato fuori dal segno di radice il fattore.; nell esempio c) sono stati portati fuori dal segno di radice i fattori. e. ; nell esempio d) sono stati portati fuori dal segno di radice i fattori. Che cosa hanno in comune questi fattori? Poni la tua attenzione su esponente dei fattori portati fuori dal segno di radice e indice di radice: tutti i fattori portati fuori dal segno di radice hanno esponente.. o. all indice di radice. Ogni volta che un fattore deve essere portato fuori dal segno di radice, è necessario eseguire tutti i passaggi degli esempi a), b), c) e d)? NO! È sufficiente seguire questo semplice procedimento: È possibile portare un fattore fuori dal segno di radice soltanto se il suo esponente è maggiore o uguale all indice di radice. n h Sia a ( h n). Indicati con q il quoziente e con r il resto della divisione fra h e n, si ha: q è l esponente di a fuori di radice; r è l esponente di a sotto radice. In simboli: n h q n r a a a Esempio Dato il radicale aritmetico 60, portiamo fuori di radice i fattori possibili. Scomponiamo in fattori primi il radicando: ; ( > ; ; < ) possiamo portare fuori di radice i fattori e ;

17 : con il resto di q, r ; : con il resto di 0 q, r 0 ; In definitiva: ATTENZIONE Come si procede se il radicando è un espressione letterale? Osserva gli esempi seguenti. Dato il radicale aritmetico 6 7k, portiamo fuori di radice i fattori possibili. Determiniamo, prima di tutto, il dominio del radicale: 6 7k 0 D R. È opportuno evidenziare, quindi, che a k possono essere attribuiti valori sia positivi che negativi oppure il valore nullo; ricordiamo, inoltre, che un radicale aritmetico è un numero non negativo. Applichiamo il procedimento esposto in precedenza: k k ; (, 6 ) < > possiamo portare fuori di radice solo il fattore k ; 6 : con il resto di q, r ; 7k k k 7k k 7k 7k k 7k Poniamoci, adesso, questa domanda: l uguaglianza ottenuta è vera per ogni valore di k appartenente al dominio del radicale? La risposta è NO! Osserviamo che k k k < 0 7 < 0 (perché?) e sappiamo che un numero positivo o nullo ( 6 7k ) è sicuramente diverso da un numero negativo. Dobbiamo, allora, fare in modo che l espressione ottenuta dopo aver portato fuori di radice il fattore k, sia non negativa per qualsiasi valore attribuito alla lettera k. Raggiungiamo il nostro obiettivo applicando al fattore esterno l operazione di valore assoluto. Si ha, quindi: 7k k 7k 6 6

18 Dato il radicale aritmetico 7 6t, portiamo fuori di radice i fattori possibili. Determiniamo, prima di tutto, il dominio del radicale: 7 6t 0 t 0 D Alla variabile t, allora, è possibile attribuire solo valori non negativi. Applichiamo il procedimento esposto in precedenza: t t ; (, 7 ) R. > > possiamo portare fuori di radice sia il fattore che il fattore t ; : con il resto di 0 q, r 0 ; 7 : con il resto di q, r 7 7 6t t t 0 t t t t t. Poniamoci, adesso, la domanda: l uguaglianza ottenuta è vera per ogni valore di t appartenente al dominio del radicale? La risposta è SI! Perché?.. In questo caso, allora, non dobbiamo applicare l operazione di valore assoluto al fattore esterno t. + 0 Si ha, quindi: 6 7 t t t Possiamo, allora, concludere che: dopo aver portato fuori di radice un fattore, è necessario applicare ad esso l operazione di valore assoluto se esiste almeno un valore, appartenente al dominio del radicale, per il quale l espressione è negativa. Osservazione 0 Dal momento che a ( a 0) radice. PROVA TU Porta fuori di radice i fattori possibili:, i fattori con esponente 0 non sono presenti sotto il segno di a) 96 ; b) 0000 ; c) 8a 9 ; d).7 Radice di un radicale 6 8b ; e) 8 Nel paragrafo. abbiamo detto che, se il radicando è un numero reale non negativo, un radicale aritmetico è, a sua volta, un numero reale non negativo. Può capitare, allora, che il radicando di un radicale aritmetico sia un altro radicale aritmetico; cioè sia del tipo n p a. 7

19 In questo caso, vale la seguente proprietà: La radice di indice n di un radicale aritmetico è un radicale aritmetico che ha come indice di radice il prodotto degli indici delle due radici e come radicando lo stesso radicando. In simboli: n p a n p a Esempi Calcoliamo 6. Si ha ( n ; p ) 0 n p 0 ; si ottiene: 6 6. Calcoliamo. Si ha ( ) portiamo sotto radice il fattore esterno 8 ; ( n p ) n p, 8 8. PROVA TU Calcola le seguenti radici di radicali aritmetici: a) ; b) 6 ; c) a a.8 Radicali simili Nei paragrafi precedenti abbiamo imparato a conoscere alcune proprietà dei radicali aritmetici e ad eseguire le operazioni di moltiplicazione e divisione fra di essi; non esiste, invece, una proprietà analoga per la somma algebrica fra radicali aritmetici. In generale, la somma algebrica fra due radicali aritmetici non è un radicale aritmetico: se a 0, b 0 a ± b a ± b n n n Prova, con un esempio, a giustificare questa disuguaglianza. Come al solito, però, esistono casi particolari! Consideriamo l espressione +. Osserviamo che: ciascuno dei due addendi è il prodotto fra un numero razionale ed un radicale aritmetico; i due addendi hanno un fattore uguale ( ). 8

20 Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica, si ottiene: + ( + ) In questo caso, dunque, abbiamo potuto calcolare la somma dei due radicali. Consideriamo l espressione Osserviamo che: ciascuno dei due termini della differenza è il prodotto fra un numero razionale ed un radicale aritmetico; i due termini hanno un fattore uguale ( 7 ). Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica, si ottiene: ( ) Anche in questo caso, quindi, abbiamo potuto calcolare la differenza fra i due radicali. Radicali come e, oppure come 7 e 6 7 si dicono radicali simili. I radicali 7 e 6 76 sono simili? Ad una analisi molto superficiale, diremmo che non sono simili; ma stiamo attenti! Osserviamo che: 7 portiamo fuori di radice il fattore ( ) Quindi, 7 ( ) E allora: semplifichiamo il radicale Quindi, 6 76 e ( ) portiamo fuori di radice il fattore sono simili. Si ha la seguente definizione: Due o più radicali si dicono simili se, dopo aver eventualmente semplificato e portato fuori di radice i fattori possibili, essi differiscono, al più, per il fattore esterno. Il fattore esterno prende il nome di coefficiente. Due radicali sono opposti se sono simili ed hanno coefficienti opposti. Osservando i due esempi precedenti possiamo affermare che: La somma algebrica di due o più radicali simili è un radicale simile a quelli dati che ha come fattore esterno la somma algebrica dei fattori esterni dei radicali dati. 9

21 Esempi Stabiliamo se i radicali e sono simili. 6 ; 6 6 fattore esterno radicale 6 6 fattore esterno radicale 6 i due radicali differiscono solo per il fattore esterno, pertanto sono simili. Semplifichiamo la seguente espressione: Scomponiamo in fattori primi i radicandi: (portiamo fuori di radice i fattori possibili) (individuiamo i radicali simili) ( ) PROVA TU ) Individua, fra i seguenti radicali aritmetici, quelli simili fra loro: 6 ; ) Semplifica le seguenti espressioni: a) + 8 ; 6 ; ; 6 ; 08 b) Razionalizzazione del denominatore di una frazione È possibile calcolare la differenza 9? Osservando i due radicali, probabilmente, la prima risposta che ci viene in mente è: NO, perché non sono simili. Siamo proprio sicuri che e Osserviamo che: 9 non siano simili? Pensiamoci bene!

22 Ora, se alla frazione applichiamo la proprietà invariantiva e, quindi, moltiplichiamo numeratore e denominatore per, otteniamo: ( ) In definitiva abbiamo ottenuto la seguente uguaglianza: 9 Dobbiamo, allora, ammettere di esserci sbagliati: i radicali e 9 sono simili! Possiamo, quindi, calcolare la differenza 9 ; si ottiene: ( ) 9 7 Come sicuramente avrai notato, nello svolgimento di questo esercizio, ci siamo trovati di fronte alla frazione che ha al denominatore un radicale. È stato utile, in questo caso, trasformarla, in una ad essa equivalente, in modo tale che il denominatore fosse un numero razionale. La trasformazione eseguita sulla frazione denominatore di una frazione. Abbiamo, allora, la seguente definizione: prende il nome di razionalizzazione del Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire rendere razionale il denominatore della frazione e, quindi, scrivere una frazione equivalente a quella data in modo tale che il denominatore della frazione sia un numero razionale. Per razionalizzare il denominatore di una frazione, allora, si moltiplicano numeratore e denominatore della frazione per un opportuna espressione. Analizziamo, adesso, i casi che si possono presentare. A n k b ) La frazione è del tipo ( m n) razionale ed un radicale. m <, cioè il denominatore è il prodotto fra un numero Osserva l esempio seguente.

23 Razionalizziamo il denominatore della frazione. Prima di tutto, scomponiamo in fattori primi il radicando; si ha:. Per rendere razionale il denominatore della frazione dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore in modo tale che il prodotto al denominatore sia, perché. Completa: per le proprietà delle potenze... ( ) ( ) per la regola sulla moltiplicazione fra radicali.... Moltiplichiamo, allora, numeratore e denominatore di per ; si ottiene: 8 In definitiva: 8 Poniamo la nostra attenzione sul fattore che ci ha consentito di razionalizzare il denominatore della frazione e confrontiamolo con (denominatore della frazione): i due radicali hanno indice di radice uguale; i radicandi di entrambi i radicali sono potenze aventi la stessa base; l esponente del radicando di è uguale alla differenza fra l indice di radice e l esponente del radicando di. Prova tu e completa Razionalizza il denominatore della frazione 8 a Prima di tutto, determina il dominio del radicale: a... Per rendere razionale il denominatore della frazione devi moltiplicare numeratore e denominatore in modo tale che il prodotto al denominatore sia , perché (...) 8 a a ( ) ( )... per le proprietà delle potenze a a ( ) 8 8 per la regola sulla moltiplicazione fra radicali a.... Moltiplica, allora, numeratore e denominatore di 8 a per ( ) 8... ; ottieni:

24 a ( ) (...) ( ) a a a In definitiva: 8 a. a a 8 Rifletti sul fattore 8 a che ti ha consentito di razionalizzare il denominatore della frazione e confrontalo con 8 a (denominatore della frazione): i due radicali hanno indice di radice ; i radicandi di entrambi i radicali sono potenze aventi la base; l esponente del radicando di 8 a è uguale alla. fra l indice di radice e l esponente del radicando di 8 a. Possiamo generalizzare e dare la seguente regola: A n k b per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo ( m n) moltiplicano numeratore e denominatore della frazione per un radicale che ha: indice di radice uguale all indice di radice del radicale al denominatore della frazione; m < si per radicando una potenza avente per base la stessa base del radicando del radicale al denominatore della frazione e per esponente la differenza fra l indice di radice e l esponente del radicando del radicale al denominatore della frazione. A n nm In simboli: se m < n, A n m k b Casi particolari b kb Se n si moltiplicano numeratore e denominatore della frazione per un radicale uguale al denominatore della razione. Se m > n, si porta fuori di radice il fattore possibile e così si ricade nel caso precedente. Esempi Razionalizziamo il denominatore della frazione 6. Il radicale al denominatore ha indice di radice uguale a. Moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per 6 ; si ottiene:

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