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1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è detto immagine di. L elemento è detto controimmagine di. Il dominio o insieme di definizione di una funzione, è l insieme di partenza formato da tutti gli elementi che hanno un immagine. In simboli ={ / = }. Il codominio o insieme immagine di una funzione, è il sottoinsieme C dell insieme di arrivo costituito da tutti gli elementi y B che sono immagini di almeno un elemento. In simboli ={ / = }. Funzione suriettiva Una funzione da a B è suriettiva quando ogni elemento dell insieme di arrivo B è immagine di almeno un elemento del dominio. x 1. x. x 4. x 5..y.y 4 C B Funzione iniettiva Una funzione da a B è iniettiva quando ogni elemento dell insieme di arrivo B è immagine al più di un elemento del dominio. Su ogni elemento di B arriva almeno una freccia x 1. x..y x 4..y 4.y 5 B C.y 6 Funzione biunivoca (o biettiva) Una funzione da a B è biunivoca quando è sia iniettiva sia suriettiva. x 1. Su ogni elemento di B arriva al più una freccia x..y x 4..y 4 C B Funzione inversa Se è una funzione biunivoca, allora esiste la funzione inversa che ad ogni associa uno e un solo tale che =. Su ogni elemento di B arriva una e una sola freccia B f B f -1 Matematica 1

2 Esempio 1 Siano ={ / è 1 } e ={ / è à } La relazione R: x è nato nella città y è una funzione da in B. x 1. x. Esempi di relazioni che non sono funzioni.y.y 4 B C.y 5.y 6 x 1. x. x 4..y B C.y 5.y 4 Non è una funzione perché all elemento corrispondono i due elementi, Non è una funzione perché all elemento non corrisponde alcun elemento Funzioni empiriche Una funzione empirica è una funzione in cui l immagine di un elemento è ottenibile per mezzo di misurazioni sperimentali (in fisica, in chimica, ) o di rilevazioni (in economia, statistica). Esempio Nella stazione meteorologica di Trebisacce, il giorno 18 maggio 01, sono state rilevate le seguenti temperature: Ora del giorno (h) Temperatura ( C) Matematica

3 Funzioni numeriche Una funzione numerica è una funzione definita fra due insiemi numerici. Le funzioni numeriche più importanti sono le funzioni reali di variabile reale. Una funzione reale di variabile reale è una funzione che ha per dominio e codominio sottoinsiemi dei numeri reali. Una funzione reale di variabile reale è definita solitamente tramite la sua espressione analitica = La variabile x è detta variabile indipendente. La variabile è detta variabile dipendente. Quando viene assegnata l espressione analitica di una funzione senza specificare il dominio e il codominio, si assume, per convenzione: come Dominio, l insieme costituito da tutti i numeri reali per cui le operazioni che compaiono nella sua espressione analitica si possono eseguire; come Codominio, l insieme R. Esempi La funzione = +1 ha per dominio l insieme R. La funzione = ha per dominio l insieme {3}. La funzione = +3 ha per dominio l insieme ={ / 0}. Funzioni particolari Una funzione si dice costante, se contiene un solo elemento. Una funzione è una identità, e si indica se ad ogni elemento associa l elemento stesso. Esempi La funzione =5 è costante, perché, per ogni valore di, risulta =5. La funzione = è un identità, perché, per ogni valore di, risulta =. Grafico di una funzione reale di variabile reale Il tipo di rappresentazione più idoneo per rappresentare una funzione reale di variabile reale è il grafico cartesiano. Il grafico cartesiano di una funzione è l insieme di tutti i punti del piano cartesiano le cui coordinate ; verificano l equazione della funzione =. Matematica 3

4 Funzioni notevoli Funzione della proporzionalità diretta La funzione di proporzionalità diretta è una funzione del tipo = 0 oppure = Il grafico cartesiano della funzione = è una retta passante per l origine degli assi cartesiani. Le variabili e legate da una funzione di proporzionalità diretta si dicono direttamente proporzionali. Due variabili direttamente proporzionali hanno rapporto costante. = Funzione della proporzionalità inversa La funzione di proporzionalità inversa è una funzione del tipo = 0 oppure = Il grafico cartesiano della funzione = è una iperbole equilatera. Le variabili e legate da una funzione di proporzionalità inversa si dicono inversamente proporzionali. Due variabili inversamente proporzionali hanno prodotto costante. Se >0 il grafico si trova nel I e III quadrante. Se <0 il grafico si trova nel II e IV quadrante. = Matematica 4

5 Funzione della proporzionalità quadratica Una funzione di proporzionalità quadratica è una funzione del tipo = Il grafico di = è una parabola con il vertice nell origine degli assi. Se <0 il grafico ha la concavità rivolta verso il basso. = 1 x y Funzione lineare Una funzione lineare è una funzione del tipo = +, = Matematica 5

6 Funzione quadratica Una funzione quadratica è una funzione del tipo,, Per disegnarla conviene determinare l ascissa del vertice Se <0 il grafico ha la concavità rivolta verso il basso. e le coordinate di un paio di punti a sx e a dx del vertice P x y V B 3 5 C 4 0 D 0 4 E 1 5 F 0 Funzione omografica La funzione omografica è una funzione del tipo Le rette 0 e sono gli asintoti della curva. con x y Matematica 6

7 Funzione valore assoluto Il grafico di = si ottiene simmetrizzando, rispetto all asse x, la parte del grafico di che si trova sotto l asse x. = Funzione valore assoluto Il grafico di = si ottiene operando nel seguente modo: nel semipiano x 0 il grafico non subisce modifiche; nel semipiano <0 il grafico è il simmetrico, rispetto all asse, del grafico di che si trova nel semipiano >0. = Funzione valore assoluto Il grafico di = si ottiene operando con uno dei due metodi precedenti: = Matematica 7

8 Riconoscimento di una funzione Il grafico di una funzione, è intersecato da una qualsiasi retta verticale al massimo in un punto. : 1,+ è una funzione Non è una funzione Riconoscimento del tipo di funzione Il grafico di una funzione suriettiva è intersecato da una qualsiasi retta orizzontale almeno in un punto. Il grafico di una funzione iniettiva è intersecato da una qualsiasi retta orizzontale al massimo in un punto Il grafico di una funzione biunivoca è intersecato da una qualsiasi retta orizzontale in un solo punto. è una funzione suriettiva, ma non iniettiva è una funzione iniettiva, ma non suriettiva è una funzione biunivoca non è una funzione biunivoca Matematica 8

9 Restrizioni del Dominio e del Codominio La funzione definita da = non è né iniettiva, nè suriettiva La funzione definita da = è suriettiva, ma non è iniettiva La funzione definita da = è iniettiva, ma non è suriettiva. La funzione definita da = è biunivoca. Matematica 9

10 Funzione inversa Data una funzione biunivoca, il grafico della funzione inversa si ottiene simmetrizzando il grafico della funzione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. Esempio 1 La funzione lineare = + è una funzione biunivoca. Pertanto esiste la sua funzione inversa. = +4 Determiniamo la funzione inversa: = +4 = 4 = 1 Per disegnarla nello stesso piano cartesiano occorre scambiare le variabili. Si ottiene pertanto: = 1 Esempio La funzione = considerata come funzione è una funzione biunivoca. Pertanto esiste la sua funzione inversa. = Determiniamo la funzione inversa: = = = con 0 Per disegnarla nello stesso piano cartesiano occorre scambiare le variabili. Si ottiene pertanto: = Matematica 10

11 Dominio e codominio di una funzione Il Dominio di una funzione è costituito da tutti i punti dell asse per i quali esiste il grafico della funzione. Il Codominio di una funzione è costituito da tutti i punti dell asse per i quali esiste il grafico della funzione. = { / } =,+ = { / 4} = 4,+ = / < 4 ; 3 = =, 4,+ 3 ={ / 3 ; 1 3} = =, 4,+ 3 Matematica 11

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