j Verso la scuola superiore +l calcolo letterale Monomi Polinomi e prodotti notevoli Equazioni

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1 j Verso l suol superiore +l lolo letterle Monomi Polinomi e prodotti notevoli Equzioni Monomi Il monomio x 4 y è simile : x 4 y 5 +x 4 y x y Due monomi sono simili se hnno l prte letterle ugule e, siome l prte letterle è un prodotto, per l proprietà ommuttiv l ordine dei fttori è ininfluente. L rispost orrett è quindi. Il monomio è di grdo: Il grdo omplessivo di un monomio è l somm dei grdi di isun letter, riordndo he se un letter non h esponente ess h grdo ugule ; in questo so h grdo 4, grdo 5, grdo, periò il grdo omplessivo è dto d = 0. Il risultto dell divisione 9 : è: Essendo i due monomi disordi, il risultto è negtivo; il oeffiiente è il quoziente tr e e l prte letterle si ottiene pplindo l proprietà 4 delle potenze reltiv l quoziente di due potenze on l stess se, quindi isogn eseguire l differenz degli esponenti Aimo quindi : = = L form normle del monomio + è: L form normle di un monomio prevede he il oeffiiente si unio e isun letter si presente un sol volt, quindi, pplindo le proprietà ommuttiv e ssoitiv ottenimo: =+ = Il risultto del prodotto 9xz x ( ) xzè: 9x z +9x z 9x z Applindo le proprietà ommuttiv e ssoitiv ottenimo: ( ) x x x z z= 9x z = 9x z A. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

2 Verso l suol superiore L potenz ( x yz ) vle: +9x 4 y z x 4 y z +9x 4 yz Riordimo he qulunque numero positivo elevto potenz dà ome risultto un numero positivo e he qulunque numero negtivo elevto potenz pri dà ome risultto un numero positivo, mentre elevto potenz dispri dà ome risultto un numero negtivo; quindi imo he elevndo l qudrto si ottiene +9; per lolre l potenz dell prte letterle si ppli l proprietà reltiv ll potenz di potenz e si ottiene: + 9( x ) y ( z ) =+ 9x y z =+ 9x y z 4. L potenz ( x 4 y z) vle: 8x y z 8x y 9 z +8x 4 y z Elevndo l uo si ottiene 8 perhé un se negtiv elevt d esponente dispri dà un risultto negtivo; per l prte letterle, pplindo l proprietà reltiv ll potenz di potenz si ottiene: 8( x 4 ) ( y ) ( z ) = 8x 4 y z = 8x yz 9. 8 Il monomio x è mggiore di 0: se x > 0. se x < 0. per qulunque vlore ssegnto ll x. Un uo è positivo se l se è positiv, è negtivo se l se è negtiv; l rispost orrett è quindi. 9 Il monomio x y è minore di 0: per qulunque vlore ssegnto x e y. se x < 0 e y 0. se x < 0 e y < 0. Essendo y sempre positivo (si nnull solo per y = 0), il segno del monomio dipende dl segno di x; siome un uo è negtivo se l se è negtiv l rispost orrett è. 0 Il monomio è mggiore di 0: per nessun vlore di. se > 0. se < 0. L prte letterle è sempre positiv (o null per = 0); essendo preedut dl segno meno, il monomio srà sempre negtivo o nullo. L rispost orrett è quindi. Il monomio è mggiore di 0: per qulunque vlore ssegnto d. se > 0. se < 0. L prte letterle è mggiore di 0 se è mggiore di zero, quindi il suo opposto è positivo se è minore di 0. A. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

3 +l lolo letterle Polinomi e prodotti notevoli Il prodotto ( )( + ) vle: Rionosimo he questo è un prodotto notevole (prodotto di un somm per un differenz). L regol dei prodotti notevoli prevede he il risultto si dto dl qudrto del termine he mntiene il segno nei due inomi meno il qudrto del termine he nei due inomi mi segno, quindi imo: () () = 9 4. Il prodotto ( x y 4 )( x + y 4 ) vle: 4x 4 y 4 4x 4 y 8 4x 4 y 8 Rionosimo he questo è un prodotto notevole (prodotto di un somm per un differenz). L regol dei prodotti notevoli prevede he il risultto si dto dl qudrto del termine he mntiene il segno nei due inomi meno il qudrto del termine he nei due inomi mi segno, quindi imo: ( x ) (y 4 ) = 4x 4 y 8. 4 Il prodotto ( + )( ) vle: Rionosimo he questo è un prodotto notevole (prodotto di un somm per un differenz). L regol dei prodotti notevoli prevede he il risultto si dto dl qudrto del termine he mntiene il segno nei due inomi meno il qudrto del termine he nei due inomi mi segno, quindi imo: ( ) ( ) = L potenz di inomio ( + ) vle: L regol del qudrto di un inomio prevede he il risultto si dto dll somm dei qudrti dei due termini e del doppio prodotto dei due termini stessi, quindi imo: ( ) + ( ) + ( )( ) = L potenz di inomio vle: L regol del qudrto di un inomio prevede he il risultto si dto dll somm dei qudrti dei due termini e del doppio prodotto dei due termini stessi, quindi si ottiene: = A. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

4 Verso l suol superiore Il prodotto ( + )( ) per = e = vle: 0 Sostituimo nell espressione ( + )( ) i vlori = e = : = [( ) + ( )] [( ) ( )] = = [+ ] [+ + ] = = 0 = 0 Il lolo può essere svolto dpprim ome lolo letterle e on l sostituzione finle dei vlori numerii ssegnti: ( + )( ) = ( ) = 4 Sostituimo quindi nell espressione ( 4 ) i vlori = e = : = [( ) 4 ( ) ] = = [+ (+)] = = [+ ] = 0 8 L potenz ( ) per = e = vle: 8 +8 Eseguimo il lolo letterle e poi sostituimo i vlori ssegnti = e = : ( ) = = + 4 = = ( ) + ( ) 4 ( ) ( ) = = +4 + ( 8) (+) = = = +8 9 Il risultto dell espressione ( ) + ( 4 ) ( + )( 5 ) ( ) è: = = 0 Il risultto dell espressione ( xy) 4 ( x) ( xy 4 ) ( xy) : (+xy) + ( x y ) è: x 4 y 4 x 4 y 4 9x 4 y 4 = +8x 4 y 4 ( 8x ) ( xy 4 ) (+4x y ) : (+x y ) + (+4x 4 y 4 ) = = +8x 4 y 4 8x 4 y 4 4x 4 y 4 + 4x 4 y 4 = x 4 y 4 Il risultto dell espressione [( x ) : ( x ) 4 + x 8 y 4 : ( xy) 4 ] : ( x) x è: x 8 x = [( x ) + x 8 y 4 : x 4 y 4 ] : 9x x = = [9x 4 + x 4 ] : 9x x = = 5x 4 : 9x x = 5 = x x = x Il risultto dell espressione x (x + 5y) 5xy (x y) y (5xy y ) y è: x + 0x y x x y A. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig = x + 5x y 5x y + 0xy 0xy +y y = x 4

5 +l lolo letterle x xy+ y L espressione per x = e y = è: x + y + x y+ xy ugule. ugule 4. impossiile. Sostituimo x e y i vlori inditi: ( ) + ( ) = + ( ) + ( ) + ( ) = = + = 0 L espressione è impossiile perhé è ugule un frzione vente denomintore ugule 0. 4 Il risultto dell espressione [( ) ( )( + )] : ( ) è: = [4 + 9 (4 )] : ( ) = = [ ] : ( ) = = [0 ] : ( ) = 5 5 Il risultto dell espressione x(x y ) 9(y x) + (y + x)(y x) è: x x 5y 8 x 4 y 4 = x 8xy 9(y 4 + x y x) + 9y 4 x = = x 8xy 9y 4 9x + 8y x + 9y 4 x = x Il risultto dell espressione x x x è: + x x = x x x x = = 4x + x 4x + + x = Il risultto dell espressione [( )( + ) ( + + )( ) + ] + 5 è: = [ + ( + + ) + ] + 5 = = [ ] + 5 = = [ 5 + ] + 5 = = 8 Il risultto numerio dell espressione ( )( + ) ( + ) + ( ) per = e = divent: A. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig = 4 ( ) + = = = = 4 Sostituimo i vlori = e = : 4 = ( ) 4 ( ) = = 4 5

6 Verso l suol superiore 9 Semplifi l espressione ( + ) per = + x e = x : x 4 x x 4 + x x 4 x Per prim os semplifihimo l espressione dt nelle vriili e : = = = Sostituimo d e le espressioni = + x e = x = ( + x ) ( x ) = = ( x x 4 ) = x + x 4 Equzioni 0 L equzione x x+ = x è: un identità. di primo grdo. frzionri. L equzione dt non è frzionri perhé l inognit non ompre l denomintore. Riduimo l equzione form normle: x x + = x x x x = x = L equzione si present nell form x = on 0 e 0 quindi è un equzione determint, e quindi non è un identità; l inognit è di primo grdo e quindi l equzione stess è di primo grdo. L rispost orrett è quindi. L equzione x 8 = 0 h soluzione nell insieme: N Q Z Risolvimo l equzione: x 8 = 0 x = 8 x = 8 L soluzione è un frzione e periò pprtiene ll insieme Q. L equzione 0x = è: indetermint. impossiile. determint. Un equzione del tipo x = on = 0 e 0 è impossiile: rgionndo sul signifito dell srittur 0x = possimo dire he non esiste lun numero x he moltiplito per zero di ome prodotto, quindi l equzione è impossiile. L equzione x = 0 h soluzione: + 0 Risolvimo l equzione: x = 0 x = 0 x = 0 Un frzione on numertore 0 vle zero, quindi l soluzione dell equzione è x = 0. A. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

7 +l lolo letterle 4 L equzione (x 4) =(x + ) h per soluzione: x = x = x = Svolgimo i loli: x 8 = x + Applihimo il primo prinipio di equivlenz e spostimo (mindo i segni) i termini ontenenti l inognit l primo memro e i termini noti l seondo: x x = + 8 5x = 5 Applihimo il seondo prinipio di equivlenz per mire i segni d entrmi i memri e trovre il vlore di x: 5x = 5 x = 5 5 x = 5 L equzione (k )x = 9 per k = divent: indetermint. impossiile. determint. Sostituimo k il vlore e ottenimo: ( )x = 9 0x = 9 Nessun vlore moltiplito per 0 può dre 9, periò l equzione è impossiile. L equzione (k )x = k 9 per k = divent: indetermint. impossiile. determint. Sostituimo k il vlore e ottenimo: ( )x = 9 0x = 0 Qulunque vlore, moltiplito per 0, dà ome risultto 0, periò l equzione è indetermint. L equzione (k )x = k 9 per k = : h soluzione x =. h soluzione x =. è impossiile. Sostituimo k il vlore e ottenimo: ( )x = ( ) 9 4x = 9 4x = 8 4x = 8 x = 8 L equzione (x ) = x x + h rdie x =? No. Non si può dire. Sì. Possimo pervenire ll rispost in due modi: : risolvendo l equzione : verifindo l equzione per il vlore dto. modo (x ) = x x + (4x + 4x) = x x + x + x = x x + x x x + x = + 0x = 0 l equzione è indetermint, mmette quindi infinite soluzioni tr le quli è nhe il vlore dto x =. modo ( ) = () + (4 ) = = = l uguglinz è verifit, quindi x = è soluzione dell equzione. A. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

8 Verso l suol superiore 9 Le due equzioni (x ) =4( x) e (x ) =( x) 8x: sono equivlenti on soluzione x =. sono equivlenti on soluzione x =. non sono equivlenti. Risolvimo l prim equzione: (x ) = 4( x) x = 4 8x x + 8x = 4 + 0x = 0 x = Risolvimo l seond equzione: (x ) = ( x) 8x x 4 = x 8x x + x + 8x = + 4 x = x = 40 L equzione (x ) =x + è: Le due equzioni, vendo l stess rdie, sono equivlenti. indetermint. impossiile. determint. Risolvimo l equzione: (x ) = x + x = x + x x = + x = Dt l equzione del tipo x =, essendo = 0 l equzione è determint. 4 L equzione ( x)( + x) =(x + x + )(x ) è verifit dll oppi di numeri: x = x = 0 x = 0 x = x = x = Verifihimo se le rdii ssegnte rendono il primo memro dell equzione ugule l seondo. Sostituimo nell equzione il vlore x = 0: ( 0)( + 0) = ( )(0 ) = ( ) 4 = = x = 0 è soluzione dell equzione. Sostituimo nell equzione il vlore x = : ( )( + ) = ( + + )( ) = 0 = 0 0 = 0 x = + è soluzione dell equzione. Sostituendo invee x = ottenimo: ( )( + ) = ( + + )( ) 0 4 = ( ) x = non è soluzione dell'equzione. L rispost orrett è. Risolvi le seguenti equzioni. 4 (x ) = ( x) 8x Svolgimo i loli: x 4 = x 8x Applihimo il primo prinipio: x + x + 8x = + 4 x = x = A. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig 8

9 +l lolo letterle 4 x + x x x = ( + )( ) Svolgimo i loli: x+ x x x = ( + )( ) ( x+ )( x ) ( x = + )( x ) x x+ 4x x x+ x = x + x x = + x x + x ( x + x ) = x + x = x + 4x 44 (x )(x + ) + x = (x )(x + ) + 4x 5 Semplifihimo e pplihimo il primo prinipio: x 4x= + x = 4 x = 4 Svolgimo i loli: x 9 + x = x 4 + 4x 5 Semplifihimo e pplihimo il primo prinipio: x 4x = x = x = x = 45 L frse il triplo di un numero diminuito dei suoi si trdue in: x Indindo on x il numero, il suo triplo è x e i suoi due settimi orrispondono x + x x; dovendo sottrrre le due quntità ottenimo x x x x. 4 L frse un numero sommto l suo doppio e l suo triplo dà 4 si trdue in: x + x + x = 4 x = x + x + 4 x + x + x = 4 Indindo on x il numero, il suo doppio è x e il suo triplo è x; dovendo sommre le tre quntità ottenimo: x + x + x = 4. A. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig 9

10 Verso l suol superiore Risolvi i seguenti prolemi. 4 L somm di un numero on il suo onseutivo è 9. Determin il numero. Indindo on x il numero, il suo onseutivo è x + ; spendo he l loro somm è 9, imo: x + x + = 9 x = 9 x = 8 x = 9 he è il numero erto. Verifihimo il risultto ottenuto. L somm del numero trovto 9 on il suo suessivo 0 è: = 9 48 Due numeri sono uno i dell ltro. Se l loro differenz è 5, quli sono i due numeri? Indindo on x il numero mggiore, il minore è x. L loro differenz è 5, periò imo: x x= 5 x x 45 = x x= 45 x = è il numero mggiore e quindi il minore è 45 = In un sin i sono ohe e onigli; si ontno 98 teste e 0 zmpe. Qule è il numero delle ohe? Il numero delle teste orrisponde l numero degli nimli presenti in sin. Indihimo on x il numero delle ohe, quindi il numero dei onigli è 98 x. Ogni o h zmpe, quindi il numero di zmpe delle ohe è x; ogni oniglio h 4 zmpe, quindi il numero delle zmpe dei onigli è 4(98 x). L equzione risolvente è dt d: n o zmpe di o + n o zmpe di oniglio = n o totle di zmpe x + 4(98 x) = 0 x + 9 4x = 0 x 4x = 0 9 x = x = x = è il numero delle ohe. A. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig 0