Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 7 Novembre Disequazioni irrazionali

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1 Esercitazioni di Matematica Generale AA 016/017 Pietro Pastore Lezione del 7 Novembre 016 Disequazioni irrazionali Risolvere le seguenti disequazioni 1 3x + 1 < x + 7 La disequazione é equivalente al seguente sistema x + 7 > 0 3x x + 1 < (x + 7) Risolviamo le disequazioni separatamente Dalla prima si ottiene x + 7 > 0 x > 7, dalla seconda 3x x 1 x 1 3 Risolvendo la terza disequazione si ricava 3x + 1 < (x + 7) 3x + 1 < x x x 14x + 3x < 0 x 11x 48 < 0 Risolvendo l equazione associata si ha x 11x 48 0 ( 11) 4( 1)( 48) Siccome il discriminante é negativo la parabola ha questo andamento 1

2 e quindi la disequazione x 11x 48 < 0 ha come soluzioni tutto l insieme dei numeri reali visto che il trinomio risulta essere sempre negativo Possiamo passare a rappresentare le soluzioni nel grafico finale del sistema per vedere le soluzioni comuni a tutte le disequazioni Dis A Dis B Dis C e si deduce che la soluzione del sistema é x 1 3 x + 3x 10 > x La disequazione é equivalente all unione delle soluzioni dei seguenti sistemi x < 0 x 0 x + 3x 10 0 x + 3x 10 > (x ) Nel primo sistema la soluzione della prima disequazione é x < 0 x <, invece la seconda é di grado quindi risolviamo l equazione associata x + 3x (1)( 10) x 1/ 3 ± 49 Il grafico della parabola é 3 ± 7 x 1 x 5

3 5 e quindi la disequazione é verificata per i valori di x per i quali la parabola si trova sopra l asse e cioè per x 5 x Rappresentando le soluzioni nel seguente grafico 5 Dis A Dis B si deduce la soluzione del primo sistema che é data da x 5 Nel secondo sistema la soluzione della prima disequazione é x 0 x, invece la seconda disequazione diventa x + 3x 10 > (x ) x + 3x 10 > x + 4 4x x x + 3x + 4x 10 4 > 0 7x > 14 x > Rappresentando le soluzioni nel seguente grafico Dis A Dis B 3

4 si deduce la soluzione del secondo sistema che é data da x > Allora unendo le soluzioni dei due sistemi si giunge alla soluzione x 5 x > Riassumendo possiamo dire che nel caso di disequazioni irrazionali bisogna risolvere i seguenti sistemi B(x) > 0 A(x) < B(x) A(x) 0 A(x) < [B(x)] A(x) > B(x) B(x) < 0 A(x) 0 B(x) 0 A(x) > [B(x)] Ulteriori esercizi consigliati 1 x + 5 > x + 3 x x < x (x + ) < 8 x 4 6x x 1 > x + 1 Potenze e proprietà Si chiama potenza di un numero un prodotto di più fattori uguali a quel numero L espressione 3 4 si chiama potenza: il 3 é la base e indica il fattore che deve essere ripetuto il 4 é l esponente e indica il numero di fattori uguali Proprietà delle potenze: 4

5 Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base é una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma degli esponenti a x a y a x+y Esempio: Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base é una potenza della stessa base con esponente uguale alla differenza degli esponenti Esempio: a x a y ax y La potenza di una potenza é una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti (a x ) y a xy Esempio: ( 3 ) 6 64 Inoltre valgono le seguenti relazioni: se l esponente é negativo abbiamo che ( ) n 1 a n 1 a a n Esempi: a) ( ) ( ) 3 b) se l esponente é frazionario entrano in gioco i radicali, infatti vale che a m n n a m Esempi: a)

6 b) Equazioni esponenziali Risolvere le seguenti equazioni 1 6x 3 6x 3 6x 5 6x 5 x 5 6 ( ) x+1 7 ( ) x 7 ( ) x+1 ( 7 7 ( ) x+1 ( 7 7 ) x ) +x x x x x 1 x 3 6

7 3 x+1 x x+1 x x+1 x x + 1 x x + 1 x x + 1 x x + x ( )(1) x 1/ 1 ± 9 1 ± 3 x 1 1 x 4 x 1 8 x 3 4 Usiamo una variabile ausiliaria t x e riscriviamo l equazione t 1 8 t 3 4 La condizione di esistenza é 8 t 0 t 8 Facciamo il minimo comune denominatore 4(t 1) 3(8 t) 4(8 t) 4(8 t) 4t 4 4 3t 4t + 3t t 8 t 4, che risulta accettabile visto che t 8 Ritornando alla x si ottiene x 4 x x 5 3 x 3 x 3 0 Anche in questo caso usiamo una variabile ausiliaria Ponendo y 3 x e osservando che 3 x (3 x ) 7

8 l equazione diventa y y 3 0 ( ) 4(1)( 3) y 1/ ( ) ± 16 ± 4 y 1 3 y 1 Segue allora che 3 x 3 3 x 1 La prima ha come soluzione x 1; la seconda é impossibile visto che la funzione esponenziale é sempre positiva nel suo dominio, quindi non può essere uguale ad un numero negativo 6 3 x + 3 x x+ 39 Possiamo riscrivere l equazione in questo modo 3 x + 3 x x 3 39 Quindi ponendo t 3 x abbiamo t + 3t + 9t 39 13t 39 t 3 e quindi 3 x 3 x 1 Ulteriori esercizi consigliati 1 3 4x 9 x ( 3 x) 3 x x+1 5+x 16 3x x x 5 x + 4 8

9 5 3 x 5 3 x 1 3x 1 3 x x 1 x Risolvere le seguenti disequazioni 1 7 x+1 49 x 3 < 1 7 Disequazioni esponenziali 7 x+1 49 x 3 < x+1 7 (x 3) < x+1+x 6 < x 5 < 7 1 Abbiamo scritto entrambi i membri in base 7 Siccome per basi più grandi di 1 la funzione esponenziale risulta crescente (ad esponente maggiore corrisponde valore della funzione maggiore), possiamo riscrivere la disequazione tenendo conto solamente degli esponenti e lasciando lo stesso verso, quindi 3x 5 < 1 3x < 4 x < 4 3 Osserviamo anche che, se la base fosse stata compresa tra 0 e 1 sarebbe stato necessario cambiare il verso della disuguaglianza, visto che in tal caso la funzione esponenziale risulta decrescente (ad esponente maggiore corrisponde valore della funzione minore) 1 8 x < 8 x (8 x 4) Usiamo una variabile ausiliaria Ponendo t 8x la disequazione diventa 1 t < t (t 4) (t 4) (t )(t 4) t(t ) (t )(t 4) < 0 t 8 t + t (t )(t + 4) < 0 t + 4t 8 (t )(t + 4) < 0 9

10 È una disequazione fratta perciò studiamo la positività dei fattori che compaiono al numeratore e al denominatore N : t + 4t 8 > 0 passiamo all equazione associata per vedere se la parabola attraversa o no l asse t + 4t ( 1)( 8) , quindi il trinomio é sempre negativo visto che la parabola non tocca l asse e si trova tutta al di sotto essendo a negativo Allora concludiamo che il numeratore é sempre negativo Passando al denominatore otteniamo D 1 : t > 0 t > D : t 4 > 0 t > 4 e rappresentando il segno nel seguente grafico 4 N D 1 D + risulta che la frazione é negativa quando t < t > 4 Ricordando che t 8 x si ha 8 x < 8 x > 4 3x < 3x > 3x < 1 3x > x < 1 3 x > x 10 x + 16 > 0 Ponendo y x si ha y 10y + 16 > 0 10

11 Passiamo all equazione associata y 10y ( 10) 4(1)(16) y 1/ ( 10) ± 36 e dal seguente grafico della parabola 10 ± 6 y 1 8 y 8 si ricava che il trinomio é positivo per y < y > 8 Ricordando che y x si ottiene x < x > 8 x < 1 x > 3 Ulteriori esercizi consigliati 1 3 x < 9 ( ) 3 x (3 x 7)( 3x 1) 5 7x 5 < 0 x + 1 x x x x + x+1 8 > 0 11