Com'è definita la funzione composta

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1 Tra le varie operazioni tra funzioni abbiamo introdotto la composizione di funzioni: lo scopo di questo articolo è definire la nozione di funzione composta e di spiegare come si calcola la composizione di due o più funzioni reali. Com'è definita la funzione composta Consideriamo due funzioni {tex}f:mathbb{r}rightarrowmathbb{r}, f:xmapsto y g:mathbb{r}rightarrowmathbb{r}, g:ymapsto z{/tex}. Intanto, non preoccupatevi se abbiamo indicato la seconda funzione, la g, come z=g(y). È semplicemente il solito modo per indicare l'azione di una funzione, in questo caso la g. Diversificare i nomi delle immagini serve solo a diversificare le azioni delle due funzioni: chiamo y il valore che la funzione f associa ad un generico valore x (questa è l'azione della funzione 1 / 11

2 f ) e chiamo z il valore che la funzione g associa ad un generico valore y. Avete notato che abbiamo indicato con y l'immagine della funzione f e ancora con y il generico elemento di partenza della g. Non è un caso, tra poco sarà chiaro il perché... :) Per non cadere in confusione, specifichiamo un paio di cose. Chiamiamo U=Dom(f) il dominio di f (al massimo U è tutto {tex}mathbb{r}{/tex}), e c hiamiamo V=Dom(g) il dominio di g (al massimo è tutto {tex}mathbb{r}{/tex}) che deve essere contenuto nel codominio di f. Quindi scriviamo per essere più precisi: {tex}f:uinmathbb{r}rightarrowmathbb{r}, f:xmapsto y{/tex}, 2 / 11

3 {tex}g:vinmathbb{r}rightarrowmathbb{r}, f:ymapsto z{/tex}. Ora date un'occhiata alle seguenti immagini che indicano in modo generale come si comportano f e g, dove "vivono" (partenza - dominio) e dove "arrivano" (arrivo - codominio). Vogliamo definire la funzione composta {tex}h(x)=g(f(x)){/tex} che si indica anche con {tex}h(x)=gcirc f (x){/tex}. Intanto vediamo cosa ci suggerisce la scrittura con la quale indichiamo la funzione composta: la funzione composta h è una funzione di 3 / 11

4 x. Vive nello stesso "livello" in cui vive la funzione f, e attenzione al fatto che "livello" non vuol dire dominio. Per definire la funzione composta h, diciamo come si deve comportare: - ad una generica x associa un valore y mediante l'azione (detta anche legge) di f; - al valore y=f(x) viene applicata l'azione di g, e quindi il valore y appena individuato viene fatto finire in un valore z d eterminato dalla funzione g. La funzione composta {tex}h:=gcirc f{/tex} (leggi g dopo f o anche g applicata a f) manda quindi un generico valore x in un generico valore z, secondo la precedente regola. Chiaro? Dovrebbe, e con la prossima figura lo sarà ancora di più 4 / 11

5 Repetita corrispondente fe z mediante yindividuata f. associa iuvant: g da alla mediante data una la x, la funzione {tex}h=gcirc f{/tex} prende la x, trova la ottengo Ci sono Esempi. La la composizione quattro stessa non prendere aspetti funzione è che un'operazione bidoni. composta)? dobbiamo trattare: commutativa (se cambio l'ordine di composizione y {loadposition Qual'è Come faccio il interlineaspecificolefpar2} dominio a comporre della funzione più di due composta? funzioni? Esempi di funzioni composte I) Consideriamo le funzioni {tex}y=f(x)=e^{x}{/tex} e {tex}z=g(y)=y+1{/tex}. La funzione composta è data da {tex}z=h(x)=g(f(x))=e^{x}+1{/tex}. II) Consideriamo le funzioni {tex}y=f(x)=x+5{/tex} e {tex}z=g(y)=e^{y}{/tex}. La funzione composta è data da 5 / 11

6 {tex}z=h(x)=g(f(x))=e^{x+5}{/tex}. III) Consideriamo le funzioni {tex}y=f(x)=sin(x){/tex} e {tex}z=g(y)=frac{y+sqrt{y}}{y^2}{/tex}. La funzione composta è data da {tex}z=h(x)=g(f(x))=frac{sin(x)+sqrt{sin(x)}}{(sin(x))^2}{/tex}. IV) Consideriamo le funzioni {tex}y=f(x)=ln(x){/tex} e {tex}z=g(y)=frac{1}{y^3+2y-4}{/tex}. La funzione composta è data da {tex}z=h(x)=g(f(x))=frac{1}{(ln(x))^3+2ln(x)-4}=frac{1}{(ln(x))^3+ln(x^2)-4}{/tex}. (Abbiamo usato nell' ultima uguaglianza una notissssssima proprietà dei logaritmi, vero?) 6 / 11

7 Come non prendere bidoni quando si compongono due funzioni Adesso cerchiamo di astrarre un po' la faccenda, come tanto piace fare ai Matematici, e cerchiamo di perdere la dipendenza dal modo di scrivere con preimmagini e immagini diversificate. OSSIA: se abbiamo capito cos'è la composizione di funzioni, non indichiamo più le funzioni di partenza diversificando come con y=f(x) e z=g(y). Scriviamo soltanto {tex}f:mathbb{r}rightarrowmathbb{r}, y=f(x), g:mathbb{r}rightarrowmathbb{r}, y=g(x){/tex}. senza fare distinzioni tra x, y e z. TANTO NON È UN PROBLEMA: il solo fatto di indicare la funzione composta con la dicitura {tex}h=gcirc f{/tex} ci impone l'ordine di composizione, che si legge g applicata ad f. Ad esempio: V) Consideriamo le funzioni {tex}y=f(x)=frac{x}{ln(x+1)}{/tex} e {tex}y=g(x)=cos(x){/tex}. La funzione composta è data da {tex}h=gcirc f=g(f(x))=cosleft(frac{x}{ln(x+1)}right){/tex}. 7 / 11

8 Se invece consideriamo la funzione composta {tex}s=fcirc g{/tex} con le stesse funzioni troviamo che {tex}s(x)=f(g(x))frac{cos(x)}{ln(cos(x)+1)}{/tex}. Questo inoltre basta per rispondere alla domanda La composizione di funzioni è un'operazione commutativa? No. L'esempio precedente mostra che in generale {tex}fcirc gneq gcirc f{/tex}. Qual è il dominio della funzione composta? La funzione composta è pur sempre una funzione di variabile reale a valori reali, dunque avrà un suo dominio (se non sapete cos'è il dominio, vi consigliamo di leggere l'articolo correlato; se non ve ne importa niente, continuate pure a vostro rischio e pericolo!). Se le funzioni y=f(x) e y=g(x) non hanno espressioni mastodontiche, basta trovare la funzione composta y=g(f(x)) oppure y=f(g(x)) a seconda di quello che è richiesto. Si ha così una funzione con variabile x, ok? Sarà sufficiente determinarne il dominio in modo standard! 8 / 11

9 Vediamo un esempio: consideriamo le funzioni {tex}y=f(x)=frac{1}{x-1}{/tex} e {tex}y=g(x)=ln(x){/tex}. La funzione composta {tex}gcirc f{/tex} è data da {tex}g(f(x))=ln(frac{1}{x-1}){/tex}, che ha dominio x>1 (devono valere simultaneamente la regola del denominatore e la regola del logaritmo, prova a trovarlo per esercizio!). Come faccio a comporre più funzioni? Niente di nuovo sul fronte occidentale: basta saper comporre tre funzioni {tex}y=f(x), y=g(x), y=h(x){/tex}. Se sapete comporne tre allora siete in grado di comporne quante vi pare. L'import ante è sempre capire l'ordine con il quale comporre, ricordatevi che si parte dalla funzione più interna fino ad arrivare a quella più esterna. Sostanzialmente, se ad esempio vogliamo calcolare {tex}y=f(g(h(x))){/tex} non dobbiamo fare altro che: - prendere l'espressione di {tex}h(x){/tex} e sostituirla al posto della x nell'espressione di {tex}g(x){/tex}; - siamo saliti di un livello: prendiamo l'espressione che abbiamo appena trovato (altro non è che g(h(x)) ) e sostituiamola al posto della x nell'espressione di {tex}f(x){/tex}; - abbiamo appena trovato l'espressione della funzione composta {tex}y=f(g(h(x))){/tex}! - Suggerimento: ad ogni passaggio, se potete semplificare qualcosa, fatelo! 9 / 11

10 Ad esempio, se ho {tex}y=f(x)=cos(x){/tex}, {tex}y=g(x)=x+1{/tex}, {tex}y=h(x)=ln(x){/tex}, ottengo {tex}f(g(h(x)))=cosleft(ln(x)+1right){/tex}. Con questo, carissime e carissimi, dovrebbe essere tutto. Se manca qualcosa o se volete spiegazioni potete tranquillamente aprire una discussione nel Forum, e cercare tra le migliaia di problemi che abbiamo risolto avvalendovi della fedelissima barra di ricerca. Sayonara, see you soon guys! Agente Ω 10 / 11

11 Esercizi sulle sulla funzioni funzione composte, composta, beginner advanced... Tags: funzioni. {loadposition composizione secondaposizionelefadspbam} interlineaspecificoleffunzfine} di funzioni - funzioni composte - come calcolare la composizione di due 11 / 11

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