Note sui numeri complessi

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1 Note sui numeri complessi Andrea Damiani 2 marzo 2015

2 Numero complesso Definiamo, senza ulteriori considerazioni, unità immaginaria la quantità i = 1 Definiamo poi il numero immaginario z = a + i b in cui a e b prendono il nome, rispettivamente di parte reale e parte immaginaria di z: a = Re(z) b = Im(z) L insieme dei numeri complessi si indica con C.

3 Complesso coniugato coniugato del numero complesso z = a + b i: z = a b i cioè con la parte immaginaria cambiata di segno. Ogni numero reale è coniugato di se stesso.

4 Il piano complesso (o piano di Argand, o di Gauss) Piano cartesiano in cui l asse delle ascisse è etichettato come asse reale e l asse delle ordinate come asse immaginario. Se allora z = a + b i Re(z) = a Im(z) = b Figura: Il piano complesso

5 Somma di numeri complessi Si sommano separatamente le parti reali e le parti immaginarie: (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i Sul piano complesso: somma di vettori.

6 Prodotto e quoziente di numeri complessi Prodotto due numeri complessi z = a + b i e w = c + d i: (a + b i)(c + d i) = (ac bd) + (ad + bc) i Quoziente di due numeri complessi: a + b i c + d i = a + b i c + d i c d i c d i = (ac + bd) + (bc ad) i c 2 + d 2 moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore.

7 Modulo di un numero complesso Modulo (o norma) del numero complesso z = a + b i: z = z = zz = a 2 + b 2 Nel piano complesso, corrisponde alla lunghezza del vettore che rappresenta z.

8 Forma polare dei numeri complessi Rappresentazione in forma polare con z = a + b i = ρ (cos θ + i sin θ) { ρ = a 2 + b 2 θ = arctan b a e { a b = ρ cos θ = ρ sin θ Figura: La forma polare del numero complesso

9 L esponenziale complesso Definizione: l esponenziale complesso e z è la funzione y(z) che risolve il problema di Cauchy: { y = y y(0) = 1 La funzione esponenziale nel campo complesso ha le proprietà già viste nei reali.

10 La formula di Eulero Una relazione sorprendente fra la funzione esponenziale e le funzioni goniometriche: e iθ = cos θ + i sin θ (Cotes 1714, Euler 1748).

11 Dimostrazione della formula di Eulero Consideriamo f (θ) = e iθ e g(θ) = cos θ + i sin θ allora: f (0) = 1 e f (θ) = ie iθ = if (θ) e inoltre g(0) = 1 e g (θ) = sin θ + i cos θ = ig(θ) Quindi g(θ) risolve lo stesso problema di Cauchy di f (θ), per cui f (θ) = g(θ) θ R

12 Conseguenze della formula di Eulero Ponendo θ = π nella formula di Eulero, e iπ = cos π + i sin π, cioè e iπ + 1 = 0 che è definita da molti la formula più bella della Matematica.

13 Conseguenze della formula di Eulero Il modulo di e iθ è 1. Due dimostrazioni fra le molte possibili: Dim.1: approfittando del fatto che il coniugato di e iθ è e iθ : e iθ = e iθ e iθ = = e iθ iθ = e 0 = 1 Dim.2: modulo: calcolando direttamente il e iθ = cos θ + i sin θ = = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 Figura: Il modulo dell esponenziale complesso

14 Conseguenze della formula di Eulero Forma polare del numero complesso: z = ρ (cos θ + i sin θ) si scrive ora così: z = ρe iθ con ρ = z e θ = Arg(z). Quindi per il prodotto di z 1 = ρ 1 e iθ 1 z 2 = ρ 2 e iθ 2 troviamo e z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(θ 1+θ 2 ) in pratica: si moltiplicano i moduli e si sommano le fasi.

15 Conseguenze della formula di Eulero e i(α+β) = e iα e iβ = = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = = (cos α cos β sin α sin β) + i(sin α cos β + cos α sin β) ma anche e i(α+β) = cos(α + β) + i sin(α + β) e quindi, eguagliando parti reali e parti immaginarie, troviamo le formule di addizione cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

16 Conseguenze della formula di Eulero Sussistono le importanti relazioni: e Inoltre cos x = eix + e ix 2 sin x = eix e ix 2i e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y) che si dimostrano tutte per sostituzione diretta.

17 La potenza in C: la formula di De Moivre Da z = ρe iθ segue z n = ρ n ( e iθ) n = ρ n e niθ quindi (formula di De Moivre, sicuramente già nota a Newton nel 1676): z n = ρ n (cos nθ + i sin nθ)

18 Teorema fondamentale dell Algebra e radici dell unità In C, ogni polinomio di grado n ha esattamente n radici (Gauss* 1800, Argand 1806). * Sia la prima dimostrazione di Gauss (la sua tesi di dottorato) che la seconda presentavano un errore. L equazione x n 1 = 0 ha esattamente n radici complesse, date da r k = cos 2πk n 2πk + i sin n = e2πik/n dimostrazione: dalla formula di Eulero. sul piano di Gauss: la prima radice è 1, le altre ai vertici del poligono regolare di n lati con centro nell origine.