1) Qual è il parallelogrammo di area massima tra quelli di lati assegnati? Giustificare la risposta.

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1 TEMA PROBLEMA k Sono assegnate le funzioni di equazione y = e, essendo k un numero reale. a. stabilire al variare di k il numero di punti stazionari e la loro natura b. stabilire per quali valori di k le funzioni presentano asintoti c. studiare e rappresentare la funzione che si ottiene per k = -. Tra le rette che passano per l origine degli assi determinare quali sono tangenti a questa funzione. PROBLEMA Un triangolo isoscele ABC ha base AB = a e altezza ad essa relativa uguale. Tracciare un segmento DE parallelo ad AB, prendendo E su BC e D su AC, prolungarlo di un segmento EL = DE. a. Indicate con H, K le proiezioni dei punti D, E su AB, verificare che i rettangoli DEKH hanno tutti lo stesso perimetro b. Tra i solidi generati dalla rotazione del trapezio DLBH attorno al lato AB, determinare quello di volume massimo. BC c. Indicato con P un punto di AB esprimere il rapporto. Studiare la funzione PC 4PB ottenuta, rappresentarla e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. QUESITI ) Qual è il parallelogrammo di area massima tra quelli di lati assegnati? Giustificare la risposta. ) Sono assegnate le funzioni di equazione y = ln( + ) se 0 ln(a b + c) se 0 <, a, b, c R determinare quella che soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. ) Le proposizioni che seguono sono riferite a funzioni definite sull intero asse reale Ogni funzione che interseca l asse in tre punti distinti ha due punti stazionari Ogni funzione continua che interseca l asse in tre punti distinti ha due punti stazionari Ogni funzione continua e derivabile che interseca l asse in tre punti distinti ha due punti stazionari Sono a) tutte vere b) una vera e due false c) una falsa e due vere d) tutte false individua quale è giusta tra a), b), c), d). Giustifica la scelta che hai fatto. 4) Il dominio della funzione di equazione y = è a) ; b) - ; c) < < ; d) l insieme vuoto; e) ±

2 . Individuare la risposta corretta e motivarla. 5) Ricavare tutte le soluzioni dell equazione a + =, con a R TEMA Prolema E assegnata una semircirconferenza γ di centro O e diametro AB =, traccia: una corda CD parallela al diametro e la tangente t parallela al diametro; indica con E, F le proiezioni, rispettivamente, di C, D su t. a) Esprimi in funzione della distanza della corda CD dal centro O il prodotto DE (OE OD ). Studia e rappresenta la funzione ottenuta, metti in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. b) Traccia le tangenti a γ nei punti C, D e indica con T il loro punto d intersezione. Esprimi in funzione della distanza della corda CD dal centro O la somma CT + CD. Studia e rappresenta la funzione ottenuta, metti in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. Problema Sono assegnate le parabole di equazione y = a + con a < 0; indica con M, N i suoi punti di ascisse, rispettivamente + e, traccia le tangenti alla parabola in M, N e indica con T il loro punto d intersezione. Determina per quale valore a l area del triangolo MNT vale, indica con p la parabola determinata. La parabola p interseca l asse delle ascisse nei punti A, B; la normale alla parabola p in un punto P dell arco AB interseca l asse y in C e l asse in D. a) Esprimi al variare di P sull arco AB la somma dell ordinata di C e dell ascissa di D. Rappresenta la funzione ottenuta e metti in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. b) Per quali posizioni di P sull arco AB la normale alla parabola passa per l origine? c) Per quali posizioni di P sull arco AB, C ha ordinata positiva? Per quali, C ha ordinata negativa? Per quali posizioni di P sull arco AB, D ha ascissa positiva? Per quali, D ha ascissa negativa? d) Esprimi al variare di P sull arco AB la somma OC + OD, classifica eventuali punti di non derivabilità della funzione. ) La radice quadrata di ogni numero positivo, diverso da, è minore del numero stesso E vera o falsa questa affermazione? Perché? ) E assegnato un cerchio γ che ha centro O e raggio r, indica con P un punto esterno al cerchio e con A, B i punti in cui le tangenti condotte da P toccano γ. Determina per quali posizioni di P la corda AB dista r da O. 5 ) E assegnata la funzione di equazione y = + ( + ) determina quanti sono i suoi punti stazionari. ln scrivi qual è il suo dominio e 4) Classifica i punti di non derivabilità della funzione di equazione y = e 4

3 5) E assegnata la funzione di equazione y = scrivi a) un sottoinsieme del dominio in cui la funzione è puntualmente crescente ma non globalmente crescente. Giustifica la risposta che hai dato. b) un sottoinsieme del dominio in cui la funzione è globalmente crescente. Giustifica la risposta che hai dato. TEMA Problema E assegnato un quadrato ABCD di lato a, indica con V un punto sulla perpendicolare in A al piano del quadrato. a) determina pe rquale posizione di V la superficie laterale della piramide VABCD vale 7a. b) Considerata la piramide VABCD che ha altezza a, calcola l angolo che ciascuno spigolo forma con il piano di base. c) Considerata la piramide VABCD che ha altezza 4a, traccia un piano parallelo π al piano di base e indica con A B C D la sezione che esso stacca sulla piramide. Proietta il poligono sezione sul piano di base in A B C D e determina per quale posizione di π è massimo il volume del prisma che ha per basi i due poligoni. Problema Sono assegnate le funzioni di equazione y = k + ln + a) verifica che tutte le funzioni hanno due flessi le cui ascisse non dipendono da k e che la congiungente i flessi passa per l origine degli assi b) determina per quali valori di k le funzioni non hanno estremanti c) determina la funzione che ha un estremante di ascissa. Studia e rappresenta la funzione ottenuta ( è facoltativo lo studio del segno). ) Il grafico sottostante rappresenta la derivata prima di una funzione di equazione y = f(). Scrivi tutte le caratteristiche della funzione che riesci a trarre dal grafico. 4 y

4 ) Spiega perché una funzione che ha derivata prima e seconda continue e presenta un massimo e un minimo relativi ha necessariamente un punto di flesso tra i due estremanti. ) Un cono ha raggio di base r e altezza congruente al raggio di base. Tra tutti i cilindri inscritti nel cono determina quello di volume massimo. 4) Enuncia e dimostra il teorema che dà una condizione necessaria per l esistenza di estremanti. 5) Sia y = f() l equazione di una funzione crescente. Sotto quali ocndizioni anche la funzione di equazione y = f ( ) è crescente? Giustifica la risposta che hai dato, mostra un esempio di funzione che è crescente e ha quadrato crescente. TEMA 4 Problema Si considerino le rette r di equazione y m = 0 e s di equazione my = 0, essendo m un numero positivo. a. Indicato con A il punto di r di ascissa, calcolare le coordinate del punto H proiezione di A su s. Proiettare H sugli assi cartesiani nei punti K, L. Esprimere, al variare di m, il perimetro del rettangolo OKHL, essendo O l origine degli assi. Studiare e rappresentare la funzione ottenuta al variare di m e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. b. Tracciare la retta t di equazione + y 4 = 0 e indicare con B, C le sue intersezioni con le rette r, s. Verificare che il punto medio di B, C sta sulla perpendicolare per O alla retta t. Di quali proprietà gode il triangolo OBC? Perché? Problema Sono assegnate le funzioni di equazione y = (k numero reale) + k a. Stabilire per i quali valori di k si hanno funzioni che presentano flessi e quanti sono i flessi. b. Determinare la funzione che ha un estremante di ascissa. Studiarla e rappresentarla. I flessi di questa funzione sono allineati? Giustificare la risposta, in caso di risposta affermativa ricavare l equazione della retta. c. Posto k =, calcolare la primitiva della funzione ottenuta che passa per A(0; ). Studiarla e rappresentarla.. Giustificare l affermazione: se una funzione è positiva ogni sua primitiva è crescente.. L equazione ln + + = 0 a. non ha radici maggiori di b. non ha radici negative c. ha una radice positiva Ci sono affermazioni vere tra a. b. c.? Perché?

5 . Indicato con P un generico punto interno a un triangolo equilatero ABC di lato a, dimostrare che la somma delle distanze di P dai lati del triangolo è costante e calcolarne il valore. 4. Dato un triangolo equilatero ABC di lato a, calcolare il lato del quadrato in esso inscritto con un lato su AB. Dalla rotazione del quadrato e del triangolo attorno all asse di AB si ottengono, rispettivamente, un cilindro e un cono. Il volume del cilindro è maggiore o minore del 5% del volume del cono? Perché? 5. Calcolare + 4 d TEMA 5 Problema 4 Studiare e rappresentare la funzione di equazione y = Indicare con: A il suo punto d intersezione con il semiasse delle ascisse positive, B il suo punto di ascissa. Ricavare l equazione della parabola p che ha asse verticale, passa per A e ha vertice in B. a. Calcolare l area della parte di piano limitata dal grafico della funzione assegnata e da p b. Calcolare l angolo formato dalle tangenti alle due curve in A c. Inscrivere nel segmento parabolico limitato da p e dall asse delle ascisse il rettangolo di area massima. Problema Dato il fascio di parabole di equazione y = ( a + ) + 4a a. Ricavare l equazione del luogo descritto dai fuochi delle parabole, rappresentarlo. Calcolare l area della parte di piano limitata dal luogo e dall asse delle ascisse. b. Ricavare l equazione della parabola p del fascio che è tangente nell origine degli assi alla retta di equazione 6 + y = 0. Indicati con A, B i punti in cui p interseca l asse delle ascisse, calcolare l area del triangolo limitato dalle tangenti in A e B e dall arco di parabola AB. c. Ricavare le equazioni delle parabole del fascio le cui tangenti nei punti d intersezione con l asse formano con l asse stesso triangoli equilateri. 4. Se p, q sono due numeri reali positivi allora + > p q p + q A. per tutti i p e q B. per ogni p, q tali che: 0 < p < e 0 < q < C. per ogni p, q tali che: p > e q > C è una risposta corretta tra quelle indicate? Perché?. In figura è rappresentato un triangolo rettangolo ABC. Dal punto D, che divide AB in due parti l una doppia dell altra, è tracciato il segmento DE perpendicolare al lato AB; dal punto E è tracciato il segmento EF parallelo al lato AB. I triangoli AED e EFC formano una figura scura, la cui area è brevemente indicata con S. L area del rettangolo DBFE è indicata con R. Quali tra le relazioni che seguono sono corrette? Perché?

6 A. R > S B. R è meno del 60% di S C. R è l 80% di S D. Il rapporto tra le due aree dipende dalle dimensioni del triangolo ABC. C E A D π. Calcola d 0 cos F B 4. Indicata con p la generica parabola che ha equazione canonica, considera la retta che passa per il fuoco F e che è parallela alla direttrice e indica con A, B i suoi punti d intersezione con la parabola. Dove si intersecano le rette tangenti alla parabola p nei punti A, B? Enuncia a parole la proprietà che hai verificato. 5. In figura è rappresentato un rettangolo ABCD di centro O e lati di misure AB = e BC =. Indicate con: p, p le parabole che hanno che hanno asse perpendicolare alla retta AB, vertice in O e passano l una per A, B e l altra per C, D, γ la circonferenza circoscritta al rettangolo, calcolare l area di ciascuna delle parti di piano in cui le parabole dividono γ. D C O A B TEMA 6 Prolema E assegnata una semircirconferenza γ di centro O e diametro AB =, traccia: una corda CD parallela al diametro e la tangente t parallela al diametro; indica con E, F le proiezioni, rispettivamente, di C, D su t. c) Esprimi in funzione della distanza della corda CD dal centro O il prodotto DE (OE OD ). Studia e rappresenta la funzione ottenuta, metti in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. d) Traccia le tangenti a γ nei punti C, D e indica con T il loro punto d intersezione. Esprimi in funzione della distanza della corda CD dal centro O la somma CT + CD. Studia e rappresenta la funzione ottenuta, metti in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. Problema Sono assegnate le parabole di equazione y = a + con a < 0; indica con M, N i suoi punti di ascisse, rispettivamente + e, traccia le tangenti alla parabola in M, N e indica con T il loro

7 punto d intersezione. Determina per quale valore a l area del triangolo MNT vale, indica con p la parabola determinata. La parabola p interseca l asse delle ascisse nei punti A, B; la normale alla parabola p in un punto P dell arco AB interseca l asse y in C e l asse in D. e) Esprimi al variare di P sull arco AB la somma dell ordinata di C e dell ascissa di D. Rappresenta la funzione ottenuta e metti in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. f) Per quali posizioni di P sull arco AB la normale alla parabola passa per l origine? g) Per quali posizioni di P sull arco AB, C ha ordinata positiva? Per quali, C ha ordinata negativa? Per quali posizioni di P sull arco AB, D ha ascissa positiva? Per quali, D ha ascissa negativa? h) Esprimi al variare di P sull arco AB la somma OC + OD, classifica eventuali punti di non derivabilità della funzione. ) La radice quadrata di ogni numero positivo, diverso da, è minore del numero stesso E vera o falsa questa affermazione? Perché? ) E assegnato un cerchio γ che ha centro O e raggio r, indica con P un punto esterno al cerchio e con A, B i punti in cui le tangenti condotte da P toccano γ. Determina per quali posizioni di P la corda AB dista r da O. 5 ) E assegnata la funzione di equazione y = + ( + ) determina quanti sono i suoi punti stazionari. ln scrivi qual è il suo dominio e 4) Classifica i punti di non derivabilità della funzione di equazione y = e 4 5) E assegnata la funzione di equazione y = scrivi a) un sottoinsieme del dominio in cui la funzione è puntualmente decrescente ma non globalmente crescente. Giustifica la risposta che hai dato. b) un sottoinsieme del dominio in cui la funzione è globalmente crescente. Giustifica la risposta che hai dato. TEMA 7 PROBLEMA Sono assegnate le funzioni di equazione y = ln + a ln + b, dove a, b sono due numeri reali ) determinare la funzione che ha un estremo relativo nel punto di coordinate ;0.Studiarla e e rappresentarla. Calcolare l area della parte di piano limitata dalla funzione ottenuta, dalla tangente nel punto di flesso e dall asse delle ascisse. ) Posto b = 0 ricavare l equazione del luogo descritto dagli estremi relativi della curva al variare di a, rappresentarlo. PROBLEMA Sono assegnate: la parabola di equazione tangente in O all asse delle ordinate. y = a, con a > 0, ed una circonferenza di raggio r

8 . Determinare come deve essere scelto r affinché la circonferenza intersechi la parabola, oltre che nell origine, in altri due punti A e B.. Determinare quale valore deve avere a affinché, fisso r, sia massima la corda AB.. Indicata con p la parabola che si ottiene per a =, sia P un suo punto; esprimere al variare PO di P il rapporto, dove F è il fuoco della curva. Rappresentare nel suo dominio la PF funzione ottenuta, e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema. Detta r la retta che passa per l origine e per il punto di flesso della funzione rappresentata, calcolare l area della regione di piano limitata dal grafico della funzione e dalla retta r. ) Le coordinate dei punti di una curva C sono descritte in funzione di un parametro reale t dalle equazioni t = e Ricavare l equazione cartesiana di C. Stabilire se nell intervallo I [e; e] la funzione y= t t è crescente o decrescente. ) Se una funzione è derivabile su un intervallo [a, b] allora è anche integrabile su [a, b]? Perché? ) Sia f () una funzione definita e continua sull intero asse reale. Si sa che f ( ) d = e che f ( ) d =. Per ciascuno dei seguenti integrali determinare se è calcolabile con le informazioni date sulla funzione e, in caso di risposta affermativa, calcolarlo 4 8 A) f d B) f d C) ( ) f d D) f d 4) Data la funzione e f ( ) = 6 a + ln < 0 0 b determinare a e b in modo che f() soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle in [ ln,b] e calcolare il punto 0 che verifica il teorema. t e sent 0 5) Calcolare lim 0