SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 1

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1 SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. Successioi RICHIAMI Ua successioe di elemeti di u isieme X è ua fuzioe f: N X. E covezioe scrivere f( ) = x, e idicare le successioi mediate la ifiitupla ordiata delle immagii di f : ( x, x, x,..., x,...) o ache compattamete co ( x ). La ozioe di ite (per ) di ua successioe è u caso particolare di ite di fuzio- N e. Seguedo la covezioe precedete: x = f( ) Ad esempio, se la successioe è ( x ) = 3 3 = (si ricordi che x x x 3 = ) Si ricordio le successioi: a) Progressioe geometrica di ragioe q. Sia q R. La progressioe geometrica di ragioe q è la seguete successioe: 3 (,,,,...,,...) qq q q. Si ha: se q > se q < q = se q = o esiste se q b) Successioe armoica (e armoica geeralizzata): La successioe armoica è la successioe degli iversi dei umeri iteri:,, 3, 4,...,...

2 cioè ( a ) =, co N \{}. Si ha: =. La successioe armoica geeralizzata è:,, 3, 4,...,,... p p p p cioè ( a ) = p, co N \ {} e p R \ {}. Si ha: =. p c) La successioe che coverge al umero e:,, 3 3, 4,...,,... 4 cioè ( a ) =. Si ha: : = e Si ricordi ache che, ab, R, a b = e ab SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag.

3 SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 3 ESEMPI. 6 = (si ricordi che x 6 x =) 3 4 x 3x 4 ( ) = = = ( ) (si ricordi la formula: 3... = ) 3. = 4. si = si = (Si ricordi che il prodotto di ua fuzioe ifiitesima per ua fuzioe itata è acora ua fuzioe ifiitesima.) : o esiste. Ifatti, se è pari, a =, metre se è dispari, a =. Poiché il ite di ua successioe, se esiste, 5. ( ) è uico, la successioe o ha ite ( ) 6. e = ( ) = = e ( ) 7. ( ) Distiguiamo i due casi: Se è pari: = = ( ( ) ) ( ) Se è dispari: = = = ( ( ) ) ( ) ( ) Quidi, i ogi caso: ( ( ) ) =

4 SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 4 Serie Numeriche RICHIAMI Ua serie umerica è la somma di u ifiità di umeri reali: a a... a... Si dice somma della serie il ite, se esiste della successioe delle ridotte (o successioe delle somme parziali): S = a S = a a S = a a... a Si poe cioè: a: = S = Si afferma che la serie a = coverge, diverge, o è idetermiata se la successioe ( S ) coverge, diverge o è idetermiata. Si ricordao le serie: se q è idetermiata k geometrica: q q... q... = q se q diverge k= se q < coverge a S = q armoica: : è divergete. 3 se p > coverge armoica geeralizzata: = (co p R ) p p p p 3 k= k se p diverge

5 Si ricordi la seguete importate proprietà geerale delle serie: Codizioe ecessaria di covergeza: Se ua serie I simboli: a = S R a =. = a = SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 5 coverge, allora ecessariamete il suo termie geerale tede a. Si osservi che la codizioe a = è ecessaria, ma o sufficiete, affiché la serie coverga. Come cotroesempio si cosideri la serie armoica ; il suo termie geerale tede a zero, ma la serie diverge, come visto egli = esempi precedeti. La proprietà precedete si utilizza molto spesso per vedere se ua serie o coverge, cioè: se il termie geerale di ua serie o tede a zero, la serie o può covergere. Per le serie a termii di sego costate (cioè o tutti positivi o tutti egativi, almeo da u certo idice i avati), si ricordio i criteri del rapporto, della radice e del cofroto. Criterio del rapporto Data la serie a =, co a > (almeo da u certo i poi) a (i) Se = l < allora la serie coverge a a (ii) Se = l > allora la serie diverge a Nulla si può dire se l = Criterio della radice a = a l a l Data la serie, co a > (almeo da u certo i poi) (i) Se = < allora la serie coverge (ii) Se = > allora la serie diverge Nulla si può dire se l =

6 SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 6 Criterio del cofroto Date le serie (i) Se (ii) Se b = a = = a e = b coverge, allora diverge, allora tali che a a = b = b (almeo da u certo i poi): coverge; diverge. Per le serie a termii di sego variabile si ricordi la seguete defiizioe: Si dice che la serie = a è assolutamete covergete se coverge la serie = a dei valori assoluti dei suoi termii. Si ricordi che la covergeza assoluta di ua serie e implica la covergeza, come stabilito dal seguete teorema: Criterio di assoluta covergeza: Se ua serie è assolutamete covergete, allora coverge. I simboli: = a coverge = a coverge. Per le serie a termii di sego altero si ricordi il criterio di Leibiz: Criterio di Leibiz Data la serie ( ) a = (co a >, N), se a a a... a... e se allora la serie coverge. a =

7 SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 7 ESEMPI. Dire se le segueti serie covergoo o divergoo (usare la serie geometrica, armoica ed il teorema del cofroto). a) b) c) d) ( ) log = ( ) = = = a) = ( log) è ua serie geometrica di ragioe q = log. Poiché log, < > ; duque q> e la serie diverge. log b) = = = è ua serie geometrica di ragioe q = < ; pertato la serie coverge. = La somma vale: S = = 9 3 c) = 3 è ua serie armoica geeralizzata co espoete p = >, e duque coverge. = = d) ( ) = Si osservi che > ( ) Pertato ( ) > ( ) La serie ( ) =.. è ua serie geometrica di ragioe > e duque diverge. Pertato ache la serie iiziale diverge (i quato maggiorate termie a termie di ua serie divergete).

8 . Provare che la seguete serie è covergete e calcolare la somma: π = -si 6 Si tratta di ua serie geometrica di ragioe π q = -si = - = < 6 Duque coverge. La serie π -si = 6 = = ha come somma: S = = = = Poiché: = = = = = = Si ha: 3 = S = = = SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 8

9 SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag Usado il criterio del cofroto dimostrare che la serie coverge = s = Si cosideri la serie = w = Poiché, s < w e poiché = w coverge (i quato serie armoica geeralizzata co espoete >), ache la serie data = = coverge. 4. Usado il criterio del cofroto (co la serie armoica) dimostrare che la seguete serie diverge: (cofrotare co ) 3 4 = = > 4 Poiché = diverge, ache la serie data diverge. 4 4 = = 5. Usado il criterio del rapporto, dimostrare che: 5 coverge. =! 5 5! 5! = = 5 ( ) 5! ( )! 5 = Poiché <, la serie coverge.

10 6. Usado il criterio del rapporto, dimostrare che: diverge. = ( ) SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. ( )( 3) ( ) ( ) = ( )( 3) Poiché > la serie diverge. = 7. Usado il criterio del rapporto, dimostrare che: 3 diverge. = log ( ) ( ) ( log ) 3 ( log ) = = > 3 log log Duque la serie diverge. 8. Dimostrare che la seguete serie coverge: = = Usiamo il criterio del rapporto = = ( ) ( ) Poiché < la serie coverge. 3

11 9. Dimostrare la covergeza della serie: = Usiamo il criterio della radice: a =, duque a = = Poiché a = = < la serie coverge. SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag.. Usado il criterio della radice, discutere la covergeza della serie: = k= k Si ha: a = - Duque: a = ( a ) = - = - - a = = e = < e Duque la serie coverge. k

12 SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag.. Dimostrare che la seguete serie diverge: = ( )( ) = = ( )( ) = Proviamo ad usare il criterio del rapporto: ( ) ( ) = = ( ) ( ) Duque o possiamo cocludere ulla. Proviamo a vedere se la serie data è ua maggiorate di ua serie divergete. < > > = Duque il termie geerale della seria data a = è strettamete maggiore del termie geerale della serie armoica, che diverge. Pertato la serie data è divergete.,,,. Dimostrare che la seguete serie coverge ( ) (serie armoica altera) = Si applica il criterio di Leibiz: poiché 3... > > > > >... e = la serie coverge (si dimostra che la somma vale log ).

13 3. Dire se covergoo le segueti serie: 3 4 a) = = SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 3 b) e = c) cos( π ) = d) = log Le serie a), b), c) o possoo covergere, i quato o soddisfao la codizioe ecessaria per la loro covergeza. Ifatti: a) = b) e = c) cos( ) = ( ) π o esiste (e duque o è ullo). La serie d) soddisfa tale codizioe (ifatti = ), ma questo o è sufficiete per cocludere che la serie coverga. I effetti, applicado il criterio del cofroto si trova che la serie diverge. log Si ha ifatti,, < log < e quidi > ; duque la serie diverge, i quato maggiorate della serie armoica, che è log = log divergete.

14 4. Dire se covergoo le segueti serie: ( ) a) = b) cos = = ( ) c) Si tratta di serie a termii di sego variabile. Si applichi il criterio di covergeza assoluta. a) Si ha ( ) =. Pertato la serie = ( ) SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 4 è assolutamete covergete e quidi coverge. cos b) Si ha ; poiché la serie = è covergete, per il criterio del cofroto lo è ache la serie cos. = Pertato la serie cos è assolutamete covergete e quidi coverge. = c) Si ha ( ) ( ) = =. Poiché la serie = o coverge (i quato serie armoica geeralizzata di espoete p = o è assolutamete covergete. Questo o autorizza a cocludere che la serie Ifatti, si applichi il criterio di Leibiz: > > >... > >... = 3 Duque si può cocludere che la serie = ( ) = ( ) coverge. o coverga. I effetti essa coverge. < ), la serie