POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI

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1 Roronoa Lillo (lillo) POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 8 June 2012 Abstract Inizialmente non doveva esserci alcun articolo, ma dovevo solo sfruttare l'implementazione delle formule Latex per scrivermi un glossario, o se volete un eserciziario, del mio corso di analisi. Poi ho pensato: "ma siii, ora lo pubblico anche, a qualcuno potrebbe servire". C'è poco da leggere, tanto integrare, e per quel che vale: buona lettura. La lettura è sconsigliata a persone avverse all'algebra, alla trigonometria, ad avvocati, a tutti coloro che pensano che la matematica non serve a niente e a Renzo Bossi. Il prodotto può avere effetti collaterali quali conati di vomito, dissenteria, pellagra e elezioni anticipate. Decreto Ministeriale 00/ 00, aut.min.rich. Integrali indefiniti Esercizio 1 integriamo per parti: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 1

2 Abbiamo ottenuto un identità, quindi possiamo scrivere: Esercizio 2 ma per quanto scritto nell'esercizio precedente: Esercizio 3 POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 2

3 ma l'integrale sulla destra rientra nel caso quindi: Esercizio 4 Portando l'integrale a primo membro: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 3

4 Esercizio 5 Integrali nella forma: Esercizio 6 integriamo per parti scegliendo 1 come fattore differenziale: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 4

5 l'integrale sulla destra è del tipo : Esercizio 7 Allo stesso modo di sopra risolviamo: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 5

6 Esercizio 8 Esercizio 9 integriamo per parti: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 6

7 Esercizio 10 integriamo per parti: Esercizio 11 Formule per ricorrenza POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 7

8 Esempio 1 Esempio 2 ma l'integrale a destra è stato precedentemente risolto: Esercizio 12 POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 8

9 Esercizio 13 effettuando la divisione tra polinomi otteniamo: quindi: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 9

10 Esercizio 14 effettuando la divisione tra polinomi otteniamo: quindi: Esercizio 15 Risoluzione attraverso fratti semplici Δ>0 Esempio 1 troviamo le radici del denominatore per scomporre in fratti semplici: quindi: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 10

11 da cui: torniamo all'integrale: Esempio 2 troviamo le radici del denominatore per scomporre in fratti semplici: quindi: da cui: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 11

12 tornando all'integrale: Δ=0 Esempio 1 calcoliamo le radici del denominatore: quindi: tornando all'integrale: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 12

13 Esempio 2 radici del denominatore: possiamo scomporre in fratti semplici: da cui: si tratta quindi di risolvere i seguenti integrali: Δ<0 Esempio 1 da cui: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 13

14 Esempio 2 l'integrale iniziale diventa: Esercizio 16 integriamo per sostituzione : POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 14

15 ma essendo : Esercizio 17 integriamo per sostituzione: quindi si tratta di risolvere: effettuando la divisione tra polinomi otteniamo: quindi si tratta di risolvere i seguenti integrali: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 15

16 risolviamo l'integrale rimasto attraverso i fratti semplici (Δ=0): che risolto ci porta a: la soluzione completa nella variabile t risulta: ed essendo, la soluzione all'integrale nella variabile x risulta: Esercizio 18 integriamo per sostituzione: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 16

17 ma essendo: il risultato nella variabile x risulta: Esercizio 19 integriamo per parti: occupiamoci dell'integrale sulla destra, essendo l'unico rimasto, e procediamo per fratti semplici: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 17

18 quindi: da cui: inseriamo nella quanto trovato: ancora fratti semplici all'integrale sulla destra: l'integrale diventa: ora inseriamo nella quanto trovato: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 18

19 ancora dobbiamo sviluppare l'ultimo integrale sulla destra: le radici del denominatore sono: quindi l'integrale può essere essere espresso nella forma: inseriamo quanto trovato nella e otteniamo la soluzione completa dell'integrale: Esercizio 20 POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 19

20 scomponiamo in fratti semplici per risolvere l'integrale sulla destra (Δ<0): da cui: l'integrale diventa: l'ultimo integrale può essere risolto trovando le radici del denominatore: In definitiva l'integrale vale: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 20

21 Integrali definiti Esercizio 1 [1] Esercizio 2 [2] Esercizio 3 [3] POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 21

22 Esercizio 4 [4] Esercizio 5 [5] Esercizio 6 POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 22

23 Esercizio 7 [7] Esercizio 8 integriamo per parti: reintegriamo per parti, scegliendo lo stesso fattore differenziale (e x ): nell'ultima espressione, portando fuori il segno meno dall'integrale, ritroviamo lo stesso integrale di partenza, quindi possiamo scrivere: Esercizio 9 POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 23

24 Esercizio 10 Esercizio 11 Discutere la convergenza del seguente integrale: non potendo trovare facilmente le primitive della funzione, utilizziamo il criterio del confronto per stabilire la convergenza dell'integrale; scegliamo per confrontare la funzione: che risulta maggiore di in. Questo non è un problema, in quanto stiamo studiando il comportamento dell' integrale all'infinito. Vediamo quindi se l'integrale di questa nuova funzione converge: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 24

25 La g(x) tende a un valore finito. Per il criterio del confronto anche tenderà a un valore finito, quindi convergerà. Esercizio 12 Discutere la convergenza dell'integrale improprio: La ricerca delle primitive della f(x) è a dir poco ardua, anche wolframalpha si rifiuta di mostrarci i passaggi. Utilizziamo il criterio del confronto asintotico e troviamo una g(x) che abbia lo stesso comportamento all'infinito: e calcoliamo il limite del rapporto: il limite è un numero finito diverso da 0, possiamo quindi studiare il carattere di g(x) per definire quello di f(x): POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 25

26 La convergenza dell'integrale di g(x) implica quella dell'integrale di f(x). Esercizio 13 Determinare la convergenza del seguente integrale: Potremmo risolvere l'integrale, ma visto che è solo da stabilire la convergenza di f(x) applichiamo il criterio del confronto asintotico, per cui scegliamo una g(x) il cui andamento all'infinito sia simile alla funzione data: calcoliamo il limite del rapporto: Limite finito e diverso da 0. Studiamo la g(x) per determinare il carattere di f(x): POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 26

27 divergendo l'integrale de g(x), anche l'integrale di f(x) diverge. Esercizio 14 Studiare il carattere di: Calcolare le primitive non mi sembra il caso, quindi studiamo quest'integrale attraverso l'assoluta integrabilità, applicabile a funzioni che cambiano segno: quindi studiamo: il che rende la funzione a termini positivi. Questo ci permette di applicare il criterio del confronto, e scegliamo come funzione di confronto: studiamone la convergenza: se tale integrale converge anche converge, ma per il criterio di assoluta convergenza anche converge. Esercizio 15 Un particolare integrale: L'integrale di Fresnel: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 27

28 e vediamo a discapito delle previsioni che quest'integrale converge. Non calcolo le primitive, ma eseguo un procedimento che dovrebbe portarmi a definire la convergenza: procedo per sostituzione: quindi l'integrale diventa: Da notare che anche gli estremi di integrazione subiscono il cambio di variabile. Integriamo per parti: soffermiamoci sull'integrale rimasto; un integrale di quel tipo è risolvibile allo stesso modo dell'esercizio precedente, ovvero applicando dapprima il criterio di assoluta convergenza, e poi quello del confronto. In linea di massima integrali impropri del tipo: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 28

29 convergono quando α > 1. Ed è il nostro caso, essendo. L'integrale di Fresnel converge. Esercizio 16 si tratta di trovare l'area di piano compresa tra l'asse x e la funzione data figura 1 dove gli estremi di integrazione non appartengono al dominio della funzione. Applichiamo quindi il limite, e dividiamo l'integrale in due integrali indicando con c un generico punto compreso nell'intervallo ]-1,1[: POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 29

30 Bibliografia e Sitografia Appunti di Analisi matematica. Elementi di Analisi matematica I e II ; Marcellini-Sbordone Metodi di integrazione ; Zeno Martini, EY Analisi matematica attraverso gli esercizi; Zeno Martini, EY Wolframalpha.com Estratto da " POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 30