Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

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1 Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio

2 à t i n U 1 Sistemi di primo grado Un sistema è un insieme di due o più equazioni che devono essere soddisfatte dagli stessi valori delle incognite. Le equazioni sono riunite in una parentesi graffa, simbolo che identifica un sistema in matematica. 1.1 Risoluzione di un sistema di primo grado 1.2 Metodo di sostituzione 1.3 Metodo del confronto 1.4 Metodo di riduzione 1.5 Metodo di Cramer 1.6 Sistemi fratti 1.7 Sistemi letterali 1.8 Risoluzione di problemi con sistemi

3 Unità Risoluzione di un sistema di primo grado Prof In questa Unità trattiamo sistemi di due equazioni con due incognite, x e y, a esponente 1, chiamati sistemi di primo grado di due equazioni a due incognite. Per risolvere un sistema, occorre prima ridurre le sue equazioni in forma normale; tale riduzione si svolge con i seguenti due passaggi: 1. si mettono i termini con le incognite x e y a primo membro e i termini noti a secondo membro; 2. si svolgono gli opportuni passaggi algebrici per giungere alla forma normale del tipo { a 11x + a 12 y = a 13 a 21 x + a 22 y = a 23 dove i termini a sono definiti coefficienti del sistema. Ogni coefficiente è indicizzato da due numeri: il primo indice è il numero dell equazione (1 per la prima, 2 per la seconda), il secondo indice è la posizione occupata nella singola equazione (1 per il coefficiente di x, 2 per il coefficiente di y, 3 per il termine noto). Attenzione: esistono sistemi di primo grado di tre equazioni a tre incognite. In questo caso il sistema si presenta nella forma normale dove le tre incognite sono x, y e z. Esempio { a 11x + a 12 y + a 13 z = a 14 a 21 x + a 22 y + a 23 z = a 24 a 31 x + a 32 y + a 33 z = a 34 Riduciamo il seguente sistema di primo grado di due equazioni a due incognite in forma normale x + 2y 3 = 8 2x { 2x y = 3 x 2y In entrambe le equazioni, portiamo i termini con x e y a primo membro e i termini noti a secondo membro x + 2x + 2y = { 2x + x y + 2y = 3 8 Eseguiamo i passaggi algebrici necessari per semplificare il più possibile le due equazioni: otteniamo la forma normale 3x + 2y = 11 { 3x + y = 3

4 Sistemi di primo grado La soluzione di un sistema di primo grado di due equazioni a due incognite x e y è una coppia ordinata di numeri (a, b) tale che la sostituzione di x con a e di y con b verifica contemporaneamente entrambe le equazioni del sistema. La soluzione finale di un sistema è dunque scritta come { x = a y = b o, più brevemente, (a, b). A riguardo, un sistema si definisce: determinato quando ammette un unica soluzione; impossibile quando non ammette alcuna soluzione; indeterminato quando ammette infinite soluzioni. Esempi Il sistema { x + y = 3 x y = 1 è determinato perché ammette come unica soluzione { x = 2 y = 1 Infatti, se sostituiamo all incognita x il valore 2 e all incognita y il valore 1 in entrambe le equazioni del sistema, otteniamo due uguaglianze. Il sistema { x + y = 3 x + y = 1 è impossibile perché non ammette soluzione. Infatti non esistono due coppie di numeri che sommati diano contemporaneamente due risultati diversi. Il sistema { x + y = 3 5x + 5y = 15 è indeterminato perché ammette infinite soluzioni; infatti, la soluzione del sistema è rappresentata da una qualsiasi coppia di numeri la cui somma algebrica dà come risultato 3, per esempio e infinite altre coppie. { x = 1 y = 2 oppure { x = 7 y = 4 In questa Unità descriviamo quattro metodi di risoluzione dei sistemi: sostituzione, confronto, riduzione e Cramer. È opportuno precisare che un sistema può essere risolto, in maniera equivalente, utilizzando uno qualsiasi dei metodi descritti. 9

5 Unità 1 Esercizi 1.1 Riduci i seguenti sistemi in forma normale. 7x + y 3x + 2 = 5 1. { 10x = 1 + 4y Somma algebricamente i termini simili e ottieni la forma normale del sistema... + y =... { 10x... = 1 2x + 5 = y { x 3 = y { 2 (x + y) = 3 (2x y 2) 4. 5x = 3 (x + y) { y 2x + 3 = 0 x 2 + 3y = (x + 3) {x 2 + y = 1 2x 1 2y + 1 = Puoi ridurre ogni equazione allo stesso denominatore e poi eliminarlo. Esegui quindi i passaggi algebrici per ridurre il sistema in forma normale. x + y 6. { 4 + x y 2 = 3 3x + y = 1 7. {1 8 6 y 12x 7y = 3 2x y 2 3x = 2x Verifica se la coppia (3, 2) è soluzione del sistema { 2x y = 4 x + 3y = 9 Sostituisci nelle due equazioni del sistema il valore 3 al posto dell incognita x e il valore 2 al posto dell incognita y 2 (...)... = 4 { (...) = 9 Esegui le operazioni. La coppia di valori (3, 2)... soluzione del sistema dato perché... entrambe le equazioni del sistema Verifica se la coppia ( 1, 1) è soluzione del sistema { x + y = 2 x y = Verifica se la coppia (2, 1) è soluzione del sistema { 4x + y = 2 3x y = 1

6 1.2 Metodo di sostituzione Sistemi di primo grado Prof Per risolvere un sistema col metodo di sostituzione, si eseguono i seguenti passaggi: 1. si ricava un incognita da una delle due equazioni, solitamente la più semplice (ipotizziamo la prima); 2. si sostituisce l incognita trovata nell altra equazione (la seconda); 3. si risolve la seconda equazione che è diventata a una sola incognita; 4. si sostituisce il valore dell incognita così trovata nella prima equazione, determinando il valore dell altra incognita. Esempio Risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione 2x + 5y = 3 { 3x 4y = 7 1. Scegliamo di ricavare l incognita x dalla prima equazione 5y + 3 x = 2 2. Sostituiamo l espressione della x nella seconda equazione, ottenendo il sistema = 5y + 3 {x 2 5y + 3 3( ) 4y = Eseguendo i passaggi algebrici, risolviamo la seconda equazione rispetto all incognita y = 5y + 3 {x 2 y = = 1 4. Sostituiamo il valore y = 1 nella prima equazione e troviamo il valore di x { x = 5 (1) + 3 = = 1 y = 1 La soluzione del sistema è dunque { x = 1 y = 1 11

7 Unità 1 Il metodo di sostituzione è utilizzato pure per risolvere sistemi di tre equazioni a tre incognite. 12 Esempio Risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione { x + y + z = 6 2x + y z = 1 2x 3y + z = 1 La strategia consiste nello scegliere un equazione per ricavare una incognita, per poi sostituirla nelle altre due equazioni; in questo modo ci riduciamo al noto sistema di due equazioni a due incognite che sappiamo risolvere. Scegliamo di ricavare l incognita z dalla prima equazione z = 6 x y e la sostituiamo nella seconda e terza equazione { z = 6 x y 2x + y (6 x y) = 1 2x 3y + (6 x y) = 1 Per il momento tralasciamo la prima equazione e consideriamo solo la seconda e terza equazione {... 2x + y (6 x y) = 1 2x 3y + (6 x y) = 1 Sviluppiamo i calcoli e, in entrambe le equazioni, teniamo i termini in x e y a primo membro, mentre spostiamo i termini noti a secondo membro {... 3x + 2y = 7 x 4y = 7 Abbiamo ottenuto il noto sistema di due equazioni a due incognite, quindi procediamo come nell esempio precedente. Scegliamo di ricavare l incognita x dall ultima equazione x = 4y 7 Sostituiamo x nell equazione 3x + 2y = 7 dalla quale, svolgendo i calcoli, otteniamo il valore finale di y {... y = 2 x = 4y 7

8 Sistemi di primo grado Sostituiamo il valore di y nell ultima equazione e, svolgendo i calcoli, otteniamo il valore finale di x y = 2 x = 1 {... A questo punto riconsideriamo il sistema completo { z = 6 x y y = 2 x = 1 e, sostituendo x e y nella prima equazione, otteniamo il valore di z e dunque la soluzione del sistema. { z = 3 y = 2 x = 1 Esercizi { x + y = 5 2x + y = 8 Ricava x dalla prima equazione { x =... 2x + y = 8 Sostituisci l espressione trovata nella seconda equazione { x =... 2 (...) + y = 8 Esegui i calcoli nella seconda equazione { x = = 8 e determina il valore di y { x =... y =... Sostituisci il valore di y nella prima equazione e trova il valore di x { x =... y =... La soluzione del sistema è (...,...). 12. { x + y = 0 x y = { x + 2y = 3 3x 2y = 1 13

9 Unità { 3x y = 2 x + 2y = 10 Conviene ricavare x dalla seconda equazione perché ha coefficiente 1 quindi non avremo una frazione { 3x y = 2 x =... Sostituisci l espressione trovata per x nella prima equazione { 3 (...) y = 2 x =... Esegui i calcoli nella prima equazione {... = 2 x =... e trova il valore di y. Sostituisci il valore di y nella seconda equazione e trova il valore di x { y =... x =... La soluzione del sistema è (...,...). 2x 3y = { x + 7y = { 2x + y = 3 6x y = 5 In questo caso conviene ricavare l espressione di y dalla prima equazione e sostituirla nella seconda. 2x 3y = x 2y = 6 { x + 2y = { 5x 3y = 12 x 2y = { 2x y = { x + 2y = 1 2x 4y = 2 Puoi ricavare x dalla prima equazione e sostituirla nella seconda. { x =... 2 (...) 4y = 2 Eseguendo i calcoli, ottieni { x = 2y y 2 4y = 2 I monomi in y sono opposti e l uguaglianza 2 = 2 è falsa. Il sistema risulta impossibile, quindi... soluzione. 21. { 2x y = 3 6x + 3y = 9 Puoi ricavare y dalla prima equazione e sostituirla nella seconda. 14

10 { y = 2x 3 6x + 3 (...) = 9 Eseguendo i calcoli, ottieni { y = 2x 3 6x + 6x 9 = 9 I monomi in x sono opposti e l uguaglianza 9 = 9 è vera. Il sistema risulta indeterminato, quindi... soluzioni. x + y { = 1 + x y 2 2x + 1 = y 3 Riduci dapprima il sistema in forma normale. Sistemi di primo grado { 23. x 4y = x 5y 3 x 2 = 6y + 4 { x + 2y + 3z = x + 4y + 6z = 3 10x + 5y 3z = 4 Ricava x dalla prima equazione { x =... 3x + 4y + 6z = 3 10x + 5y 3z = 4 Sostituisci l espressione trovata nella seconda e nella terza equazione { x =... 3 (...) + 4y + 6z = 3 10 (...) + 5y 3z = 4 Esegui le operazioni nella seconda e terza equazione, somma i termini simili e scrivile nella forma normale { x = y... z = y... z =... La seconda e la terza equazione costituiscono un sistema di due equazioni nelle due incognite y e z. Risolvilo (ricavando l espressione di y dalla prima equazione e sostituendola nella seconda) e determina i valori y =... e z =... Sostituisci tali valori nella prima equazione e calcola il corrispondente valore di x =... La soluzione del sistema è (...,...,...). 25. { x + y + z = 1 2x y + z = 5 { x y + z = x 5y + 2z = 2 x + 2y 2z = 6 2x + 3y 2z = 3 15

11 Unità Metodo del confronto Prof Per risolvere un sistema col metodo del confronto, si eseguono i seguenti passaggi: 1. si ricava da entrambe le equazioni la stessa incognita (la x oppure la y ); 2. si eguagliano le due espressioni ottenute, ricavando così un unica equazione in una sola incognita y o x ; 3. si risolve l equazione, ricavando il valore di y o x ; 4. si sostituisce il valore ottenuto in una delle due equazioni iniziali (la più semplice), determinando così il valore dell altra incognita. Esempio Risolviamo il sistema, già risolto con il metodo di sostituzione, utilizzando il metodo del confronto 2x + 5y = 3 { 3x 4y = 7 1. Scegliamo di ricavare l incognita x da entrambe le equazioni = 5y + 3 {x 2 4y 7 x = 3 2. Essendo entrambi uguali a x, possiamo uguagliare i secondi membri delle espressioni trovate, ottenendo così l equazione nella sola incognita y. 5y + 3 = 4y L equazione va messa a sistema con una delle due espressioni per x, ad esempio la prima (di solito si sceglie la più semplice), ottenendo il seguente sistema 16 5y + 3 = 4y 7 { 2 3 5y + 3 x = 2

12 3. Risolviamo la prima equazione rispetto all incognita y, e otteniamo = 23 {y 23 = 1 5y + 3 x = 2 Sistemi di primo grado 4. Sostituiamo il valore y = 1 { nella seconda equazione e calcoliamo il valore di x y = 1 5 (1) + 3 x = = = 1 La soluzione del sistema è dunque { x = 1 y = 1 ed è ovviamente uguale a quella ottenuta con il metodo di sostituzione. Esercizi 1.3 Risolvi i seguenti sistemi con il metodo del confronto. 2x + 5y = { 8x 3y = 1 Ricava x da entrambe le equazioni { x =... x =... Considera ora il sistema in cui la prima equazione è quella che si ottiene eguagliando le espressioni delle x e la seconda equazione è una delle due espressioni ricavate per la x, ad esempio la prima {... =... x =... Risolvi la prima equazione e determina il valore di y { x =... y =... Sostituisci il valore di y nella seconda equazione e trova il valore di x { x =... y =... La soluzione del sistema è (...,...). 3x 2y = { 29. 2x + 6y = 5 { 2x y = 9 3x + 2y = 4 17

13 Unità 1 5x 3y = { 2x 3y = 1 Conviene ricavare l incognita y perché ha lo stesso coefficiente in entrambe le equazioni { y =... y =... Considera ora il sistema in cui la prima equazione è quella che si ottiene eguagliando le espressioni delle y e la seconda equazione è una delle due espressioni ricavate per la y, ad esempio la prima {... =... y =... Risolvi la prima equazione e determina il valore di x { x =... y =... Sostituisci il valore di x nella seconda equazione e trova il valore di y { x =... y =... La soluzione del sistema è (...,...). 2x 3y = { x + 3y = 2 3x + 2y = { 4x 3y = 24 2 (3x 2) y + 1 = { 3 (x + y) + 2 (x y) 8 = 0 2 (x + y) = { 3x 2 ( y 4x) = { x 2 y 3 = 1 3x 2y = 6 Riduci dapprima il sistema in forma normale. Il sistema è..., quindi... soluzioni. 18 x { 3 + y = 2 5x + 4 y = 2 { y 1 = 3x 4 y y = 2x 4 3

14 1.4 Metodo di riduzione Sistemi di primo grado Prof Per risolvere un sistema col metodo di riduzione, si eseguono i seguenti passaggi: 1a. si moltiplicano i membri di una o di entrambe le equazioni per numeri (diversi da zero) in modo che i coefficienti della x nelle due equazioni risultino uguali e di segno contrario; 2a. si addizionano i rispettivi termini delle due equazioni, ottenendo un equazione con la sola y che, risolta, dà il valore di y ; 3a. si sostituisce il valore di y in una delle due equazioni iniziali del sistema (la più semplice) e si ricava il corrispondente valore di x. Oppure, in maniera equivalente 1b. si moltiplicano i membri di una o di entrambe le equazioni per numeri (diversi da zero) in modo che i coefficienti della y nelle due equazioni risultino uguali e di segno contrario; 2b. si addizionano i rispettivi termini delle due equazioni, ottenendo un equazione con la sola x che, risolta, dà il valore della x; 3b. si sostituisce il valore della x in una delle due equazioni iniziali del sistema (la più semplice) e si ricava il corrispondente valore della y. Esempio Risolviamo il seguente sistema con il metodo di riduzione 2x + 3y = 12 { 3x y = 7 1a. Per fare in modo che i coefficienti di x siano uguali e di segno contrario (+ 6 e 6), moltiplichiamo la prima equazione del sistema per 3 e la seconda per 2 6x + 9y = 36 { 6x + 2y = 14 2a. Addizioniamo termine a termine le due equazioni del sistema { 6x + 9y = 36 6x + 2y = y = 22 ottenendo un unica equazione nell incognita y, cioè 11y = 22, da cui ricaviamo il valore cercato di y y = 2 19

15 Unità 1 3a. Sostituiamo il valore 2 al posto della y in un equazione del sistema di partenza, per esempio nella seconda, 3x y = 7, e ricaviamo da cui e quindi 3x 2 = 7 3x = 9 x = 3 La soluzione del sistema è { x = 3 y = 2 Si poteva procedere in modo equivalente: 1b. Per fare in modo che i coefficienti di y siano uguali e di segno contrario (+ 3 e 3), è sufficiente moltiplicare la seconda equazione del sistema assegnato per 3 { 2x + 3y = 12 9x 3y = 21 2b. Addizioniamo termine a termine le due equazioni del sistema { 2x + 3y = 12 9x 3y = 21 11x = 33 ottenendo un unica equazione nell incognita x, cioè 11x = 33, da cui il valore cercato di x x = 3 3b. Sostituiamo il valore 3 al posto della x in un equazione del sistema di partenza, per esempio nella seconda, 3x y = 7, e ricaviamo da cui e quindi 3 (3) y = 7 9 y = 7 y = 2 La soluzione del sistema è dunque { x = 3 y = 2 20

16 Sistemi di primo grado Esercizi 1.4 Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di riduzione. 3x 2y = { 5x + 9y = 7 Per fare in modo che siano opposti i coefficienti della x, moltiplica tutti i termini della prima equazione per 5 e quelli della seconda equazione per 3 15x 10y =... { 15x... =... Addiziona termine a termine i membri delle due equazioni e ottieni l equazione in y, cioè... =... la cui soluzione è y =... Sostituisci il valore di y nella prima delle equazioni del sistema assegnato 3x 2 (...) = 19, esegui le operazioni e ottieni il valore di x =... La soluzione del sistema è (...,...). 4x 3y = { 6x y = 16 x + 2y = { 3x y = 7 6x + 5y = { 9x + 7y = 5 3x 4y = { 6x + 2y = 3 1 2x y 43. { 3 2 = 5 12 x 3 + y 2 = 2 + x Prima di procedere con il metodo di riduzione, devi ridurre il sistema in forma normale. Il sistema è..., quindi... soluzione. (x + 1) ( y 1) 4x xy = { (x + 2y) 2 5x 2y (1 + 2x + 2y) = (x 1) (x + 1) { 45. 6x + 10 x y 2 = 5 8 (x 2) + 3x = 41 6y 21

17 Unità Metodo di Cramer Prof Consideriamo il sistema in forma normale { a 11 + a 12 y = a 13 a 21 x + a 22 y = a 23 Per risolvere il sistema con il metodo di Cramer, si eseguono i seguenti passaggi: 1. si scrivono i coefficienti delle incognite x e y in una tabella, chiamata matrice quadrata del secondo ordine (perché costituita da due righe e due colonne) [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] 2. si calcola il determinante D della tabella sottraendo al prodotto dei numeri sulla diagonale principale il prodotto dei numeri sulla diagonale secondaria, cioè D = (a 11 a 22 ) (a 12 a 21 ) 3a. Se il determinante D 0, il sistema è determinato e si procede così: il valore della x è dato dalla frazione x = D x D dove il numeratore D x è il determinante ottenuto dalla matrice dei coefficienti sostituendo la prima colonna con quella dei termini noti, cioè a [ 13 a 12 a 23 a 22 ] e dunque D x = (a 13 a 22 ) (a 12 a 23 ) il valore della y è dato dalla frazione y = D y D dove il numeratore D y è il determinante ottenuto dalla matrice dei coefficienti sostituendo la seconda colonna con quella dei termini noti, cioè a [ 11 a 13 a 21 a 23 ] e dunque D y = (a 11 a 23 ) (a 13 a 21 ) 3b. Se il determinante D = 0, il sistema non è determinato e, in particolare: se D x = 0 il sistema è indeterminato; se D x 0 il sistema è impossibile. 22

18 Sistemi di primo grado Esempio Risolviamo il sistema, già risolto con il metodo di riduzione, utilizzando ora il metodo di Cramer 2x + 3y = 12 { 3x y = 7 1. Scriviamo i coefficienti delle incognite nella matrice 2. Calcoliamone il determinante D, cioè [ ] D = (2) ( 1) (3) (3) = 2 9 = Poiché D 0, il sistema risulta determinato. Procediamo, quindi, con il calcolo della sua soluzione. Sostituiamo la prima colonna della matrice dei coefficienti con quella dei termini noti, cioè e determiniamo D x e quindi il valore della x [ ] D x = (12) ( 1) (3) (7) = = 33 D x = x D = = 3 Sostituiamo la seconda colonna della matrice dei coefficienti con quella dei termini noti, cioè e determiniamo D y e quindi il valore il valore della y [ ] D y = (2) (7) (12) (3) = = 22 y = D y D = = 2 La soluzione del sistema è dunque { x = 3 y = 2 ed è ovviamente uguale a quella ottenuta con il metodo di riduzione. 23

19 Unità 1 Esercizi 1.5 Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di Cramer. 3x 2y = { 5x + y = 1 I coefficienti delle incognite sono 3 e 5 per la x e 2 e 1 per la y. I termini noti sono 5 e La matrice dei coefficienti delle incognite è Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di Cramer. [......] Calcola il suo determinante D = 3 (...) (...) (...) =... Poiché D 0, il sistema è... Costruisci la matrice che si ottiene sostituendo la prima colonna con la colonna dei termini noti [ 5 2 e calcola il suo determinante......] D x = 5 (...) (...) (...) =... Il valore della x è x = D x D =... Costruisci ora la matrice che si ottiene sostituendo alla seconda colonna la colonna dei termini noti [ 3 5 e calcola il suo determinante......] D y = 3 (...) (...) (...) =... Il valore della y è y = D y =... D La soluzione del sistema è (...,...). 3x + 2y = { 3x 4y = 1 { 2 (2x + y + 1) + 3 = x y 1 = 4 Riduci il sistema in forma normale, quindi procedi con la risoluzione con il metodo di Cramer { y 2x = x + 2y + 2 = 0 y {x 3 = {x 3 y + 1 = 0 x y = 0 x y = 0

20 Sistemi di primo grado 3x 2y = { 6x + 4y = 2 Il determinante D è D =... e, poiché D x =..., il sistema è... 3x 5y = { 6x + 10y = 14 Il determinante D è D =... e, poiché D x =..., il sistema è... { 54. x 3 2 = y 12 = 4 (x + 2y) 1.6 Sistemi fratti y = {x x 2 y 5 = 2x + y Prof I sistemi fratti contengono equazioni in cui almeno una delle incognite compare a denominatore in un equazione. Quindi, prima di procedere alla risoluzione del sistema, occorre determinare il campo di esistenza (C.E.). Eventuali soluzioni che sono escluse dal campo di esistenza non potranno essere accettate (Unità 6, Volume 1). Esempio Risolviamo il seguente sistema fratto + 1 y {x = 1 4 x y + 1 = 1 5 Nella prima equazione abbiamo a denominatore l incognita y e nella seconda un binomio di primo grado in y. Nel C.E. del sistema sono quindi esclusi i valori y = 0 e y = 1. Risulta dunque C.E.: y 1 y 0. Trasformiamo ora il sistema fratto in un sistema intero, cioè in un sistema dove le incognite non compaiono a denominatore. A questo scopo portiamo tutti i termini delle equazioni a primo membro + 1 y {x 1 4 = 0 x y = 0 25

21 Unità 1 Svolgiamo le sottrazioni a primo membro come indicato dalla teoria delle frazioni algebriche (Unità 6, Volume 1): sapendo che il m.c.m. della prima equazione è 4y e quello della seconda è 5 ( y + 1), otteniamo il sistema intero 4 (x + 1) y = 0 { 5x ( y + 1) = 0 Sviluppiamo i calcoli e scriviamo il sistema in forma normale { 4x y = 4 5x y = 1 Risolviamo il sistema con il metodo del confronto: ricaviamo y da entrambe le equazioni { y = 4 4x y = 1 5x da cui 4 4x = 1 5x Quindi x = 5, e di conseguenza, sostituendo nella seconda equazione del sistema, y = 24. Poiché tali valori appartengono al C.E. del sistema, la soluzione è { x = 5 y = 24 Esercizi 1.6 Risolvi i seguenti sistemi fratti. 56. { y 1 x 1 = 0 2 x + 2 y = 0 Il C.E. del sistema è x... y... x = 0... y = 0 Riduci le equazioni del sistema allo stesso denominatore {... Semplifica i denominatori e riduci il sistema in forma normale {... = =... Risolvi il sistema con uno dei metodi che hai studiato { x =... y =.... Tale coppia di valori non è accettabile, perché non appartiene al C.E. del sistema; quindi il sistema è... 26

22 Sistemi di primo grado x x { = y y 1 x 1 2y [2, 1] 58. { = 1 3x 4y x + 2y [impossibile] 59. { = 7 [9, 2] 1 x 3 = 2 y 1 y = x 2 (x y) 3x 5 = Sistemi letterali Prof I sistemi letterali includono equazioni che, oltre alle incognite, contengono lettere, chiamate parametri. Si devono quindi determinare i valori che, sostituiti ai parametri, rendono il sistema impossibile o indeterminato. Inoltre, se i parametri si trovano a denominatore di eventuali frazioni, occorre escludere i valori che annullano tali denominatori. Esempio Risolviamo il seguente sistema letterale 18x + 12y = 5 { ax + 4y = 6 Applichiamo il metodo di Cramer. La matrice dei coefficienti delle incognite è [ e il suo determinante vale a 4] D = 18 (4) 12 (a) = 72 12a Il sistema è quindi determinato se D = 72 12a 0, cioè a 6. Ipotizzando questo caso, procediamo con il calcolo delle soluzioni. Il termine D x è il determinante della matrice [ 5 12, cioè 6 4] D x = 5 (4) (12)( 6) = 92; pertanto x = D x D = a = (6 a) = 23 3 (6 a). Il termine D y è il determinante della matrice [ 18 5, cioè a 6] D y = 18 ( 6) (5)(a) = 108 5a; pertanto y = D y D = 108 5a 72 12a = 108 5a 12 (6 a). Se al contrario imponiamo a = 6, allora abbiamo D = 0 e D x 0, e di conseguenza il sistema è impossibile. Riassumendo: = 23 3 (6 a) se a 6, il sistema è determinato e la sua soluzione è {x y = 5a (a 6) se a = 6, il sistema è impossibile. 27

23 Unità 1 Esercizi 1.7 Risolvi i seguenti sistemi letterali. 60. { 2x y = a x + 3y = 4a Poiché non esistono condizioni sui valori che può assumere la lettera a, il sistema ammette soluzione (...,...) per qualsiasi valore di a. 2 (x 2a) = 3 ( y + 1) 62. x + 3y = 2a { x y = 2a { x + 4y = a 2x + y = 3a { ax (a + 1) y = 1 Il sistema è in forma normale. Risolvilo usando il metodo di Cramer. La matrice dei coefficienti delle incognite è [ ]. Calcola il suo determinante D = 2 (...) (...) (...) =... Il sistema è determinato se D..., cioè se a... In questo caso, considera la matrice che si ottiene sostituendo alla prima colonna la colonna dei termini noti [ e calcola il suo determinante......] D x = (...) (...) (...) (...) =... Dunque x = D x D =... Considera ora la matrice che si ottiene sostituendo alla seconda colonna la colonna dei termini noti [ e calcola il suo determinante......] D y = (...) (...) (...) (...) =... Scomponi D y con Ruffini e ottieni D y =... Dunque y = D y =... D Se invece a =..., allora D = 0 e D x =...: il sistema è... In sintesi: se a..., il sistema è... e la sua soluzione è (...,...); se a =..., il sistema è { ax + y = 0 2ax 2y = 0 2x + ay = 3a ax 2y = { 66. x 2ay = a { 2x + ay = 4

24 Sistemi di primo grado { 67. x a + y = 1 a y x + a = 1 Il sistema ha significato per i valori del parametro a che non annullano il denominatore delle equazioni, quindi a... Risolvi il sistema tenendo presente che deve valere questa condizione. x + y 68. { a + 1 = 1 2x a y a 1 2x + y a + 1 = 2 a Per quale valore di a il sistema { x y = 2 3x ay = 6 è determinato? Il sistema è determinato se il determinante D della matrice dei coefficienti delle incognite è D..., quindi a Per quale valore di a il sistema { ax + y = 2 4x + ay = 4 è determinato? 1.8 Risoluzione di problemi con sistemi Prof Esistono problemi che si risolvono utilizzando sistemi. Si tratta di problemi che richiedono di determinare due incognite, legate tra loro da due relazioni descritte nel testo. In generale si procede nel seguente modo: 1. si pongono come incognite x e y le grandezze richieste dal problema; 2. si trasformano in equazioni le due informazioni date dal problema che pongono in relazione le due grandezze da trovare; 3. si risolve il sistema di due equazioni a due incognite ottenuto; 4. si verifica se la soluzione del sistema è accettabile come soluzione del problema (se per esempio il problema richiede di determinare i due lati di un rettangolo, il relativo sistema deve fornire come soluzione due valori positivi, dato che la misura di un segmento non può essere negativa). 29

25 Unità 1 Esempio Consideriamo il seguente problema. Trovare due numeri sapendo che aggiungendo 12 al maggiore si ottiene il doppio della somma di 5 con il minore e che sottraendo 2 dal maggiore si ottiene il triplo della differenza tra il minore e 3. Indichiamo con x il numero maggiore e con y il numero minore. Il problema impone che: 1. aggiungendo 12 al numero maggiore, cioè alla x, si ottiene il doppio della somma di 5 con il numero minore, cioè con y; quindi 12 + x = 2 (5 + y) 2. sottraendo 2 dal numero maggiore, cioè da x, si ottiene il triplo della differenza tra il numero minore, cioè y, e il numero 3; quindi x 2 = 3 ( y 3) Le due equazioni ottenute formano dunque il sistema 12 + x = 2 (5 + y) { x 2 = 3 ( y 3) Sviluppiamo i calcoli e trasformiamo il sistema in forma normale { x 2y = 2 x 3y = 7 Possiamo applicare, per esempio, il metodo di sostituzione ricavando l incognita x dalla prima equazione { x = 2 + 2y x 3y = 7 per poi sostituirla nella seconda equazione { x = 2 + 2y ( 2 + 2y) 3y = 7 Sviluppando i calcoli nella seconda equazione, otteniamo il valore dell incognita y e dunque l incognita x { x = 2 + 2y y = 5 { x = (5) = 8 y = 5 30 Concludendo, i due numeri richiesti dal problema sono 8 e 5.

26 Sistemi di primo grado Esercizi 1.8 Risolvi i seguenti problemi. 71. Calcola i lati di un triangolo isoscele, sapendo che la base supera di 4 cm i 3/4 del lato obliquo e il perimetro è 26 cm. Considera il triangolo isoscele in figura. Dal testo del problema: AB = 4 cm + 3 BC AB + 2 BC = 26 cm 4 Se AB = x e BC = y, le due relazioni sono le equazioni del sistema C { x = x +... =... che ha soluzione { x =... y =... La base del triangolo è AB =... cm. Il lato obliquo è BC = AC =... cm. A B 72. Trova la lunghezza di due segmenti sapendo che la loro somma è 18 cm e che sono uno i 4/5 dell altro. [8 cm, 10 cm] 73. La somma di due numeri è 30. Se al secondo si aggiunge 6 si ottiene il doppio del primo. Trova i due numeri. [12, 18] 74. La differenza di due segmenti è 50 cm. Determina la loro somma sapendo che uno di essi è il triplo dell altro. 75. A una riunione partecipano 100 persone. Le donne sono 18 più degli uomini. Trova il numero degli uomini e delle donne partecipanti. [41, 59] 76. Determina due numeri sapendo che la differenza tra il primo e i 5/9 del secondo è 20 e che la somma di 5/6 del primo e 1/3 del secondo è 31. [30, 18] 77. In un triangolo rettangolo la somma dei 2/3 del cateto minore e dei 7/8 del maggiore è 11 cm e la differenza tra i 5/4 del cateto minore e i 3/8 del maggiore è 9/2. Trova i cateti del triangolo. [6 cm, 8 cm] 78. In un triangolo isoscele l angolo al vertice è i 2/3 della somma degli angoli alla base. Determina l ampiezza degli angoli. [72, 54, 54 ] 79. In un rettangolo la somma dei due lati è 22 cm e la loro differenza è 18 cm. Calcola l area del rettangolo. [40 cm 2 ] 80. Trova due numeri tali che il loro rapporto sia 3/5 e che la loro somma sia 80. Il sistema è fratto e il relativo C.E. è Trova la frazione che diventa uguale a 4/5 se si aumentano di 2 i suoi termini, mentre diventa uguale a 1/2 se si diminuiscono di 1 i suoi termini. [2/3] 31

27 Unità 1 Esercizi di riepilogo Risolvi i seguenti sistemi con il metodo indicato. 82. { 3x + y = 7 y sostituzione [ 1, 2] 2x + 5 = y + 1 { x + y 4 = 2 5 sostituzione [10, 4] x 2y = { x y + z = 6 2x + y z = 3 sostituzione [1, 2, 3] x y z = { x y + 2z = 1 2x + y z = 3 sostituzione x 4y + 7z = 2 { 2x + 3y z = x + 2y 4z = 0 sostituzione 2x + y 3z = 0 [impossibile] [indeterminato] x + y 87. { 2 + x y 3 = 7 6 x y 2 + x + y confronto [1, 12] 3 = 17 6 { x y 3 = 5x 4 6 confronto [1, 2] 2y x = 3 3x + 7y = { riduzione 4x 2y = 3 [ 1 2, 1 2 ] 4x + 5y 2x y = { riduzione 6x 16y 5x + 4y + = x 15 { 91. 9x + y = 4 y Cramer 3 2 x 6y = 6 y 4y 92. { 5 5 2x = Cramer x y 5 = 4 5 [impossibile] [ 2 3, 1 ] [indeterminato] 32

28 Sistemi di primo grado Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che ritieni più opportuno. 93. { 5x y + 1 = 0 (x + y) 2 (x y) 2 = 4x ( y 2) [0, 1] 94. { (2x + y) 2 8x ( y 1) = (2x y) 2 8 2x + 3y 1 = 0 [ 1, 1] 95. { (x 2) 2 + y = (x + 1) (x y) + (3 y) (2 x) x 4 = 2 + 2y [ 4, 3 2 ] { 6 x y = 1 2 x 2 5 {x (x + y) = y [ 1, 9 9 ] 97. y = 1 4 x y + 1 = 1 5 [5, 24] 2 (x 4y) x { 6x (x 2) + 2 (1 4y) x 2 3x y y 1 = 0 [impossibile] { x 1 = 3 + y x 1 3 y = 1 x + 9 xy 5 [ ] 100. { 2x y = 1 ax y = 1 ax + 2y = a 101. { ax 2y = 0 [ a 0, ( 1 2 [a 2, (0, 1); a = 2, indeterminato], a 4) ; a = 0, indeterminato ] Risolvi i seguenti problemi In un numero di due cifre, la cifra delle unità supera di 6 quella delle decine e la somma delle cifre è 8. Trova il numero. [17] 103. Determina due numeri sapendo che il maggiore supera di 7 il doppio del minore e che, dividendoli, si ottiene per quoziente 3 e per resto 2. [17, 5] 104. Determina gli angoli di un triangolo isoscele sapendo che l angolo al vertice è doppio di ciascuno degli angoli alla base. [90, 45, 45 ] 105. Determina le diagonali di un rombo sapendo che la maggiore è i 5/2 della minore e che la loro differenza è 15 cm. [10 cm, 25 cm] 106. La somma delle età di Paolo e Luca è 65 anni. 1/7 dell età di Paolo è uguale a 1/6 dell età di Luca. Trova le due età. [35, 30] 107. Calcola la lunghezza dei lati di un rettangolo, sapendo che il maggiore supera di 4 cm il minore e che, aumentando di 2 cm il maggiore e diminuendo di 1 cm il minore, l area diminuisce di 4 cm 2. [6 cm, 2 cm] 33

29 Unità 1 Test di autovalutazione Prof Per valutare il tuo livello di preparazione sugli argomenti dell Unità, risolvi i seguenti esercizi e confronta i risultati con quelli riportati a pagina 232. Se hai svolto correttamente almeno sei esercizi, la tua preparazione è sufficiente. Risolvi i seguenti sistemi con il metodo indicato a fianco. x 7y = x 1. { sostituzione 8x + y = 5 x + 2y 3x 2. { 3 4 = x 3 confronto y x 5 = 3y 5 1 x 2 y y 3. { x = 0 riduzione x 1 + 3y 2y 3 x = 0 3x y + x 2y = 5 4. { Cramer 2x + y x 3y = { x + y + 2z = 1 2x y + 2z = 4 sostituzione 4x + y + 4z = 2 Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che ritieni più opportuno. 6. { (x 1) 2 ( y 1) 2 = (x + y) (x y) 2x y 3 = 0 x 3y y 1 7. { + 2 = 0 4x + y y = 0 ax + y = 2a 8. { ax y = 3a 9. Trova due numeri sapendo che la loro somma è cinque volte la loro differenza e che i 7/9 del maggiore superano di 5 i 3/4 del minore. 10. La base di un rettangolo è i 3/8 del suo perimetro, mentre i 5/9 della base superano di 8 cm l altezza. Trova l area del rettangolo. 34

30 Cerca il testo completo in libreria oppure acquistalo su libreriarizzoli.it I contenuti di risolto! Indice: 2

31 Scopri tutte le novità B.I.T. su RcsEducation.it Edizioni del Quadrifoglio

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