7. Il piano cartesiano

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1 7. Il piano cartesiano Come è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra un punto appartenente a una retta e un numero reale, è possibile stabilirla tra un punto del piano e una coppia ordinata di numeri (; ), dette coordinate del punto. Per far questo, si possono considerare due rette orientate perpendicolari tra loro; la retta orizzontale è detta asse delle ascisse, e si indica solitamente con la, mentre quella verticale è l asse delle ordinate, o asse. L intersezione tra le due rette è detta origine degli assi, che si indica con la lettera O. bbiamo fissato così un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, o, più semplicemente, un piano cartesiano. Esso è suddiviso in quattro quadranti, come descritto nella figura seguente. Nel primo quadrante sia ascissa che ordinata sono positive (punto ); nel secondo l ascissa è negativa e l ordinata positiva (); nel terzo sono entrambe negative (C); nel quarto l ascissa è positiva mentre l ordinata è negativa (D). Il punto E dell esempio ha ordinata nulla (=0), e pertanto è sull asse delle ascisse; il punto F, invece, è sull asse delle ordinate, in quanto ha ascissa nulla (=0). Secondo quadrante (-;) Primo quadrante (;) - - O E(;0) C(-;-) Terzo quadrante - - F(0;-) D(;-) Quarto quadrante L unità di misura dei due assi può essere la stessa o diversa, a seconda dell applicazione; uno o entrambi gli assi possono anche avere una scala non lineare, come una scala logaritmica, come avviene ad esempio nell equalizzatore di un apparecchio riproduttore musicale hi-fi. Ogni schermo di smartphone o del televisore, inoltre, funziona grazie al piano cartesiano, in quanto ogni punto luminoso è individuato dal software mediante una coppia ordinata di numeri. Un applicazione interessante della geometria analitica è proprio la realizzazione di programmi di grafica al computer. 7. Distanza tra due punti Se due punti e hanno stessa ascissa, la distanza fra essi si calcola come la differenza tra le loro ordinate in valore assoluto: d Dall esempio della figura al lato possiamo scrivere: d ( ) Se due punti e hanno stessa ordinata, la distanza fra essi si calcola come la differenza tra le (-;) C(-;) - - (-;-) O D(;)

2 loro ascisse in valore assoluto: d CD C D Dall esempio di figura scriviamo: d CD C D In generale, se ascisse e ordinate sono diverse, per calcolare la distanza tra due punti e si può considerare il triangolo rettangolo C rappresentato nella figura seguente. L ascissa del punto C è la stessa del punto, mentre C e hanno stessa ordinata. Sappiamo quindi calcolare la lunghezza dei cateti C e C: C C C C Per il teorema di Pitagora, l ipotenusa è lunga C C In questo caso si avrà ( ) 9 (-;) C(-;) (;) O 7. Punto medio di un segmento Le coordinate del punto medio di un segmento sono uguali alla media aritmetica tra le coordinate estremi. Sia M( M, M ) il punto medio del segmento ; allora M e M. Disegna nel piano cartesiano i punti (;), (-;-), C(8;0), D(-;-), E(0;-), F(0;), G(-;6). Calcola la lunghezza dei segmenti aventi come estremi le seguenti coppie di punti: (;) e (;-); C(;0) e D(;); E(;) e F(-0;); G(;) e H(-0;-). Calcola inoltre le coordinate dei punti medi di quei segmenti.. Verifica se il triangolo di vertici (-;0), (-;-), C(;-8) è isoscele.. Verifica se il triangolo di vertici (-;-), (-;), C(;) è scaleno. 7. Verifica se il triangolo di vertici (;), ;, C ; 0 è rettangolo.

3 7. La retta passante per l origine Disegniamo nel piano cartesiano una retta passante per l origine degli assi. Notiamo che in ogni punto il rapporto tra ordinata e ascissa è costante, ovvero ascissa e ordinata sono proporzionali tra loro. Una equazione che corrisponde alla retta è quindi m Il coefficiente di proporzionalità m è detto coefficiente P(;) angolare, poiché dal suo valore dipende la pendenza della retta, e quindi l angolo compreso tra la retta e l asse delle ascisse. Nella figura al lato, in ogni punto l ordinata è metà O - dell ascissa (ad esempio per il punto P); l equazione della retta è allora m=- m= m=- Il coefficiente angolare vale pertanto m. m= Consideriamo ora l equazione. In questo caso m=/ m=-/ il coefficiente angolare è unitario; in ogni punto ascissa e ordinata assumono gli stessi valori. La retta è quindi la bisettrice di primo e terzo quadrante. Nell equazione il coefficiente angolare è pari a -; in ogni punto ascissa e ordinata assumono valori opposti. La retta è la bisettrice di secondo e quarto quadrante, ed è quindi decrescente. In generale, una retta crescente ha coefficiente angolare positivo, mentre una decrescente negativo. Per determinare l equazione della retta coincidente con l asse delle ascisse, basta notare che tutti i punti su quell asse hanno ordinata nulla; l equazione è quindi O m=0 0 asse Il coefficiente angolare è nullo; tutte le rette orizzontali, come vedremo, hanno m=0. Nell equazione dell asse delle ordinate non esiste coefficiente angolare; l equazione è infatti 0 asse poiché tutti i punti dell asse hanno ascissa nulla, mentre la può assumere un valore qualunque. La retta di equazione è crescente e ha una pendenza maggiore della bisettrice del primo e terzo quadrante; all aumentare di m aumenta la pendenza e può diventare grande a piacere. Se m tende a infinito, la posizione della retta tende a essere verticale. Nella figura in alto sono rappresentate diverse rette con i valori del coefficiente angolare m.. Disegna nel piano cartesiano le rette di equazioni a), b), c).. Scrivi l equazione della retta passante per l origine e per il punto P(;-). [ ]. Determina i coefficienti angolari delle rette di equazioni a) 0, b), c) 0 (Suggerimento: per a) e c) modifica le equazioni per portarle nella forma m ) [Risultati: ; -; ]

4 7. La retta in posizione generica L equazione generale della retta in posizione generica è la seguente: m q Il parametro q è detto ordinata all origine, ovvero è l ordinata del punto appartenente alla retta in corrispondenza di un ascissa nulla. Consideriamo ad esempio l equazione della retta O - Per disegnarla sul piano cartesiano (figura al lato), è sufficiente trovare le coordinate di due punti, poiché per due punti passa una sola retta. - - ssegniamo quindi due valori a piacere all ascissa (scegliamo 0 e ), e calcoliamo mediante l equazione scritta sopra il valore dell ordinata. Se =0, allora =; se =, allora =. Per comodità si può scrivere questo anche in una tabella: 0 bbiamo così due punti, di coordinate (0;) e (;), che possiamo segnare e unire per tracciare la retta. Notiamo che per una ascissa nulla, ovvero in corrispondenza dell origine, l ordinata della retta è proprio, che è appunto l ordinata all origine. Si può anche dire che la retta interseca l asse delle ordinate nel punto di ordinata. 7. Rette orizzontali e rette verticali Le rette orizzontali, come sappiamo, hanno coefficiente angolare nullo; l equazione generica, quindi, di una retta orizzontale è k dove k, numero reale, è l ordinata comune a tutti i punti della retta. Per le rette verticali, invece, non è definito il coefficiente angolare; tutti i loro punti hanno la stessa ascissa k, e l equazione generica è k. Disegna sul piano cartesiano le rette di equazioni: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f). Determina, quando esistono, coefficiente angolare e ordinata all origine delle rette di equazioni: a) 0 ; b) ; c) 7 ; d) ; e) [Soluzioni: a) m=0, q=0; b) m e q non esistono; c) m=7, q=-; d) m=0, q=; e) m=-, q=0] 7. Rette parallele e perpendicolari Due rette sono parallele se hanno stesso coefficiente angolare. Due rette sono perpendicolari tra loro se il prodotto tra i coefficienti angolari è pari a -: m r ms Si può anche dire che un coefficiente angolare è l antireciproco dell altro: mr m s

5 7.6 ppartenenza di un punto a una retta Un punto appartiene a una retta se soddisfa la sua equazione; le sue coordinate, quindi, sostituite al posto di e nell equazione, devono produrre una identità. d esempio, per verificare che il punto P(;) appartenga alla retta r di equazione, sostituiamo in essa le sue coordinate: da cui si ricava, che è falso; il punto P, pertanto, non appartiene alla retta r. Il punto Q(;), invece, appartiene ad essa; infatti, sostituendo le sue coordinate, si ricava, ovvero. Esempi.. Scrivi l equazione di una retta s a piacere perpendicolare alla retta r di equazione. Soluzione. La retta s ha coefficiente angolare pari all antireciproco di, ovvero m s. Scegliamo a piacere il valore della q e scriviamo:. (Disegna per esercizio le due rette sul piano cartesiano). Scrivi l equazione di una retta s passante per l origine e perpendicolare alla retta r di equazione 7. Soluzione. La retta s ha coefficiente angolare m s. L equazione ha q 0 ed è:. (Disegna per esercizio le due rette sul piano cartesiano). Scrivi l equazione della retta r parallela alla retta s:, e passante per il punto P (; ) Soluzione. La retta s ha coefficiente angolare m s. La retta r avrà stesso coefficiente angolare: m r. Possiamo scrivere l equazione in forma esplicita di r, ma non conosciamo ancora l ordinata all origine q: r: q Per determinare q, è sufficiente imporre che la retta r passi per il punto P; sostituiamo quindi le coordinate di P nell equazione di r: ( ) q. Otteniamo una equazione di primo grado nell incognita q; risolvendo si ottiene q. La retta r ha pertanto equazione r: (Disegna per esercizio le due rette e il punto P sul piano cartesiano) 6

6 . Scrivi l equazione della retta r perpendicolare alla retta s:, e passante per il punto P (;). Soluzione. La retta s ha coefficiente angolare m. La retta r avrà coefficiente angolare pari all antireciproco di quello di s, ovvero m r. Possiamo scrivere l equazione in forma ms esplicita di r, ma non conosciamo ancora l ordinata all origine q: r: q Per determinare q, è sufficiente imporre che la retta r passi per il punto P; sostituiamo quindi le coordinate di P nell equazione di r: q. 9 Otteniamo una equazione di primo grado nell incognita q; risolvendo si ottiene q. La retta r ha pertanto equazione 9 r:. Scrivi l equazione di una retta s passante per l origine e parallela alla retta r di equazione. Risultato:. Scrivi l equazione della retta r parallela alla retta s:, e passante per il punto P ( ; ). Risultato :. Scrivi l equazione di una retta s passante per l origine e perpendicolare alla retta r di equazione. Risultato:. Scrivi l equazione della retta r perpendicolare alla retta s:, e passante per il punto P (;). Risultato :. Stabilisci quali dei seguenti punti appartengono alla retta r di equazione : 7 (;); (0;); O(0;0); C ; ; D ;. [appartengono e C] (Per stabilire se un punto appartiene o no a una retta, basta sostituire le sue coordinate al posto di e nell equazione della retta; se l equazione diventa una identità, il punto appartiene) s 7

7 7.6 Coefficiente angolare della retta passante per due punti Se conosciamo le coordinate di due punti del piano ; e ;, possiamo calcolare il coefficiente angolare della retta passante per essi come il rapporto tra differenza delle ordinate dei punti e differenza delle ascisse: m Si noti che se i due punti hanno stessa ascissa, il coefficiente angolare non è definito (avremmo uno zero al denominatore, che non ha senso), mentre nel caso in cui abbiano stessa ordinata, esso è nullo. Esempi. Determina il coefficiente angolare della retta passante per i punti ; e 7;6 dopo averli disegnati sul piano cartesiano (vedi figura a destra). Soluzione. Disegniamo i due punti sul piano cartesiano. Ci aspettiamo un coefficiente angolare positivo, poiché la retta che passa per quei due punti è crescente; esso vale 6 m 7 Nota che avremmo avuto lo stesso risultato scambiando fra loro le coordinate di con quelle di : 6 m Questa retta ha la stessa pendenza della bisettrice di I e III quadrante.. Determina l equazione della retta passante per i punti ; e ; per esercizio). Soluzione. L equazione della retta incognita è, come sappiamo, il coefficiente angolare: 9 m ( ) L equazione è per ora 8 (disegna punti e retta m q. Sappiamo determinare 9 q. Dobbiamo determinare la q. Dal momento che entrambi i punti e appartengono alla retta, le loro coordinate devono soddisfare l equazione della retta stessa (vedi il par. 7.6). Scegliamo quindi uno dei due punti a piacere (ad es. ) e sostituiamo nell equazione della retta le due coordinate e : 9 q Risolvendo questa equazione di primo grado in una incognita, otteniamo il valore di q: q q. 9 7 L equazione della retta è quindi... Determina il coefficiente angolare della retta passante per i punti ; e 7;6 dopo averli disegnati sul piano cartesiano. Risultato : m 6 O

8 . Una retta ha coefficiente angolare pari a e passa per il punto ; ascissa 7. Determina l ordinata del punto. Risultato : 7. Determina l ordinata all origine della retta passante per i punti ; e ; e per un punto di. 7 Risultato : q Risultato :. (ttenzione: i due punti. Determina l equazione della retta passante per i punti C 0; e D ;0.. Determina l equazione della retta passante per i punti ; e D ; hanno stessa ascissa, pertanto ) 7.7 Equazione della retta passante per due punti Nell esempio n. del paragrafo precedente abbiamo calcolato la retta passante per due punti, calcolando prima il coefficiente angolare; esiste una formula per calcolarla direttamente. Conoscendo le coordinate dei due punti e, l equazione della retta passante per essi è data da Esempio. Determina l equazione della retta passante per i punti ; e ; Soluzione. Sostituiamo le coordinate di e nell equazione ( ) ( ) e con i seguenti passaggi l equazione della retta in forma esplicita: , ottenendo bbiamo ottenuto lo stesso risultato dell esempio n. del paragrafo Determina l equazione della retta passante per i punti 0; e 8;9. Determina l equazione della retta passante per i punti 7; e 6;. [Risultato: ]. Risultato : 9

9 7.8 Equazione della retta in forma implicita L equazione m q è detta equazione della retta in forma esplicita, poiché sono in evidenza i parametri m e q che ci danno informazioni sull andamento grafico della retta. Come sappiamo, esistono infinite equazioni equivalenti a una data; un altra forma importante dell equazione della retta in posizione generica è quella implicita: a b c 0 Possiamo ricavare la relazione tra coefficiente angolare, ordinata all origine e i valori di a, b e c. Trasformiamo l equazione in forma implicita: a c b a c, da cui, se b 0,. b b a c Le relazioni cercate sono quindi m e q. Per disegnare la retta nel piano cartesiano, b b comunque, è conveniente avere l equazione in forma esplicita. Esempi.. Metti in forma esplicita le seguenti equazioni di rette: a) 0 b) 0. Non è possibile metterla in forma esplicita, poiché manca la ; l andamento grafico della retta è più comprensibile se la si scrive così:, cioè ; è quindi una retta verticale, i cui punti hanno tutti ascissa pari a.. Calcola coefficiente angolare e ordinata all origine delle rette aventi le seguenti equazioni in forma implicita: a) 0 b) 0 c) 0.. Metti, se possibile, in forma esplicita le seguenti equazioni di rette: a) 0 ; b) 7 0; c) 0 ; d) 0 ; e) 0.. Calcola coefficiente angolare e ordinata all origine delle rette aventi le seguenti equazioni in forma implicita: a) 0 b) 0 c) 0. 0

10 7.9 Distanza da un punto a una retta Dati un punto P ( P, P) e una retta r di equazione a b c 0, la distanza dal punto alla retta è data dalla seguente formula: ap bp c d( P, r) a b Si noti che in questa formula è usata la forma implicita dell equazione della retta. Esempi.. Calcola la distanza dal punto P (;6) alla retta di equazione 0 Soluzione. La distanza sarà ap bp c d( P, r) a b 6 9. Calcola la distanza dal punto P ( ; ) alla retta di equazione Soluzione. Poniamo l equazione della retta in forma implicita: 0 La distanza sarà ap bp c ( )( ) 6 7 d( P, r) a b ( ) 9 7. Calcola la distanza dalla retta di equazione 0 all origine degli assi. Risultato :d. Calcola la distanza dalla retta di equazione 7 all origine degli assi. Risultato :d 0. Calcola la distanza dalla retta di equazione 0 al punto P ( ; ). Risultato :d. Calcola l area del triangolo di vertici (;), (; ) e C (7;8). (Suggerimento: calcola la lunghezza, l equazione della retta per e la distanza dal vertice C alla.) Risultato : 6. Calcola la lunghezza della mediana relativa al lato nel triangolo di vertici (; ), (0;) e (6;) Risultato : CM 6, C e disegna triangolo e mediana.

11 7.0 Un applicazione della retta: come trasformare un intervallo in un altro Un insegnante ha corretto dei compiti assegnando a ogni esercizio un certo punteggio; il totale, nel caso tutto sia perfetto, è 80, ma nella correzione ottenuto voti compresi tra il e il 68. Per riportare in decimi il cosiddetto punteggio grezzo relativo a ogni compito, espresso in ottantesimi, deve usare una formula. Come fare? Supponiamo che il prof. decida di assegnare il voto /0 al punteggio e il voto 8½ al punteggio 68. Egli disegna, quindi, il grafico a destra: sull asse delle ascisse ha riportato il v 8, punteggio grezzo p, compreso tra e 68, mentre su quello delle ordinate il voto in decimi v, compreso tra e 8,. Ha unito i due punti mediante un segmento, perché vuole riportare il punteggio grezzo al voto in maniera lineare. La formula che permette di trasformare qualsiasi punteggio grezzo in voto corrisponde all equazione della retta passante per e (vedi par. 7.7), in cui non usiamo e, bensì p e v: p p v v p p v v da cui si ricava O 68 p p p v, p v, p 0, v ,,, 76, v, p 76, v p v p, 7 0 chi ha totalizzato 0 punti nel punteggio grezzo, pertanto, dà un voto in decimi pari a v 0,7 6,7, arrotondato a 6½. 0 Negli esempi di programmazione in asic, abbiamo visto la funzione RND (random), che genera numeri casuali tra 0 e. Nell animazione che stavamo creando, ci serviva un numero a compreso tra -0 e 0, da cui dipendeva l angolo col quale la pallina animata partiva dalla parte superiore dello schermo. Per determinare la formula che trasformasse un numero compreso tra 0 e in un numero compreso tra -0 e 0, abbiamo disegnato il grafico a destra. La formula che ci serve corrisponde all equazione della retta passante per e ; questa, a 0 O RND come è evidente dal grafico, ha l ordinata all origine pari a 0, mentre il coefficiente angolare vale (vedi par. 7.6) a a 0 0 m 60 RND RND 0-0 L equazione della retta è quindi a 60 RND 0 (potevamo anche usare l equazione della retta passante per due punti, come nell esempio precedente). L espressione 60 RND 0, quindi genererà numeri casuali compresi tra -0 e 0.

12 7. Fascio proprio di rette Il fascio proprio di rette è l insieme costituito dalle rette che hanno in comune un punto. destra è rappresentato il fascio proprio di centro di coordinate (;). L equazione di tale insieme è la seguente: 0 m 0 l variare del coefficiente angolare, essa rappresenta infinite rette passanti per P ( ; 0 0). È utile per determinare l equazione di una retta conoscendo il suo coefficiente angolare e le coordinate di un suo punto. Esempi.. Determina l equazione della retta passante per il punto P (;6) e avente coefficiente angolare pari a. Soluzione. L equazione richiesta è 6, che in forma esplicita diventa.. Determina l equazione della retta r passante per il punto P (; ) e perpendicolare alla retta s di equazione 0. Soluzione. Il coefficiente angolare della retta s è m s ; di conseguenza il coefficiente angolare della retta r è m r. ms L equazione della retta s è data quindi da, cioè.. Calcola l equazione della retta parallela alla retta di equazione 0 e passante per il punto P (0;), utilizzando l equazione del fascio proprio di rette. Risultato :. Calcola l equazione della retta perpendicolare alla retta di equazione 0 e passante per il punto ( ; 7) Risultato : P, utilizzando l equazione del fascio proprio di rette. 7. Posizione reciproca tra rette Due rette possono essere incidenti, parallele o coincidenti tra loro. Se scriviamo il sistema costituito dalle due equazioni di rette, esso sarà

13 - determinato se le due rette sono incidenti, e il punto di intersezione è proprio la soluzione del sistema; - impossibile, se le due rette sono parallele e non hanno, quindi, alcun punto in comune; - indeterminato, se le due rette sono coincidenti, e hanno infiniti punti in comune. Esempi.. Determina la distanza dal punto di intersezione delle rette r, di equazione, ed s, di equazione, dall origine. Soluzione. Risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due rette, la soluzione rappresenterà il punto di intersezione: 6 Il punto di intersezione è P (;6). La distanza PO vale ( 0) (6 0) Stabilisci la posizione reciproca fra le due rette di equazioni 0 e 9 6. Soluzione. Scriviamo il sistema formato dalle equazioni delle due rette in forma normale: 9 6 Se scriviamo i rapporti tra coefficienti e tra termini noti, notiamo che il sistema è impossibile, pertanto le rette sono parallele: 9 6. Stabilisci la posizione reciproca fra le due rette di equazioni 7 e.. Stabilisci la posizione reciproca fra le due rette di equazioni 0 e Determina la distanza dal punto di intersezione delle rette r, di equazione, ed s, di 0 equazione, dall origine. Ris. : ;. Determina la distanza dal punto di intersezione delle rette r, di equazione, ed s, di equazione, dal punto (;6) P. Ris. : 60