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1 Funzioni continue Dal punto di vista intuitivo dire che una funzione è continua in un intervallo è come dire che nel disegnare il suo grafico non stacchiamo mai la penna dal foglio. Scriviamo adesso la definizione rigorosa di continuità in un punto: Sia f (x) una funzione definita in un intorno di x 0. La funzione si dice continua nel punto x 0 quando esiste il limite di f (x) per x x 0 e tale limite è uguale al valore f (x 0 ) della funzione calcolata in x 0, ovvero: lim f (x)=f (x 0 ) x x 0 In sostanza questo significa che affinché una funzione sia continua in un punto x 0 devono essere verificate tre condizioni: 1. deve esistere il valore della funzione nel punto x 0 (cioè deve essere possibile calcolare f (x 0 ) ) ; 2. deve esistere il limite, finito, della funzione per x tendente a x 0 ; 3. il valore di questo limite deve coincidere con f (x 0 ) Se anche una sola di queste condizioni non è verificata allora la funzione non è continua nel punto x 0 (in questi casi si dice che è discontinua nel punto x 0 ) Una prima immediata conseguenza della definizione è che se f (x) non è definita in x 0, la funzione stessa è discontinua nel punto x 0. Infatti, in questo caso, non possiamo calcolare f (x 0 ) perché esso non esiste. Esempio1 y= 1 x. Il dominio è D : R {0} page 1/14

2 La funzione è discontinua nel punto x=0 perché il valore della funzione nel punto 0, cioè f (0), non esiste. Esempio 2: Dal grafico si vede immediatamente che questa funzione è discontinua nel punto x=3. Analizziamo ora, per quanto riguarda questo esempio, la definizione rigorosa di continuità in un punto: 1) deve esistere il valore della funzione nel punto x 0, cioè deve esistere f (x 0 ). Nel nostro caso x 0 =3 e f (3)=2 (pallino pieno). Questa condizione è quindi soddisfatta. 2) Deve esistere il limite della funzione per x tendente a x 0. Nel nostro caso x 0 =3 e f (x)=1. Sia il limite destro che il limite sinistro esistono ed entrambi valgono 1. lim x 3 (Infatti, se x si avvicina a 3, sia da destra che da sinistra, la funzione si avvicina a 1). Anche questa condizione è quindi soddisfatta. 3) Il valore del limite deve coincidere con f (x 0 ). Nel nostro caso il limite è 1 mentre f (3)=2. Questa condizione non è soddisfatta. La funzione è quindi discontinua nel punto x=3 page 2/14

3 Esempio 3 Questa funzione è simile a quella di prima ma è diversa. Essa è infatti continua nel punto x=3. Vediamo perché: 1) deve esistere il valore della funzione nel punto x 0. Nel nostro caso x 0 =3 e f (3)=1 Questa condizione è quindi soddisfatta. 2) Deve esistere il limite della funzione per x tendente a x 0. Nel nostro caso x 0 =3 e f (x)=1. Sia il limite destro che il limite sinistro esistono ed entrambi valgono 1. lim x 3 (Infatti, se x si avvicina a 3, sia da destra che da sinistra, la funzione si avvicina a 1). Anche questa condizione è soddisfatta. 3) Il valore del limite deve coincidere con f (x 0 ). Nel nostro caso il limite è 1 e f (3)=1. La funzione è quindi continua nel punto x=3. page 3/14

4 Continuità a sinistra e a destra Continuità a sinistra f ( x) si dice continua a sinistra nel punto x 0 se f (x 0 ) coincide con il limite sinistro di f (x) per x che tende a x 0, ovvero se lim f (x )= f (x - 0 ) x x 0 Esempio 4 La funzione è continua a sinistra in x 0 Continuità a destra f (x) si dice continua a destra nel punto x 0 se f (x 0 ) coincide con il limite destro di f (x) per x che tende a x 0, ovvero se lim f (x)= f (x + 0 ) x x 0 page 4/14

5 Esempio 5 La funzione è continua a destra in x 0 Continuità in un intervallo Se la funzione risulta continua in ogni punto di un certo intervallo allora diciamo che la funzione è continua in quell'intervallo. L'intervallo può essere anche tutto R. In questo caso diciamo che la funzione è continua in R Esempio 6 Grafico di una funzione continua in un intervallo chiuso [a;b] page 5/14

6 Esempio 7 Grafico di una funzione continua in un intervallo aperto (a;b) Esempio 8 Grafico di una funzione continua in R page 6/14

7 Lasciamo al lettore il compito di fornire degli esempi di grafici di funzioni continue in intervalli del tipo (a;b] oppure del tipo [a;b). In base alla definizione di continuità in un intervallo, per quanto riguarda gli esempi 1,2 e 3, possiamo concludere che: nell'esempio 1 la funzione è continua ovunque tranne che in x=0, cioè l'intervallo di continuità coincide con il suo dominio. nell'esempio 2 la funzione è continua in tutti i punti del suo intervallo di definizione tranne che in x=3; nell'esempio 3 la funzione è continua in tutto l'intervallo di definizione. Alcune funzioni elementari 1. Funzione costante, y=k Il grafico della funzione costante è una retta orizzontale. Il suo dominio è D=R ed è continua in R Esempio 9 Grafico della funzione y=3 page 7/14

8 2. La funzione y=x Il grafico della funzione è una retta passante per l'origine. Il dominio è D=R e la funzione è continua in R Esempio 10 Grafico della funzione y=x 3. La funzione y=x 2 Esempio 11 Il grafico della funzione è una parabola. Il dominio è D=R e la funzione è continua in R Grafico della funzione y=x 2 page 8/14

9 4. La funzione y= x Il dominio è D=[0;+ ) e la funzione è continua in [0;+ ) Esempio 12 Grafico della funzione y= x page 9/14

10 5. La funzione esponenziale y=a x Il dominio è D=R e la funzione è continua in R Esempio 13 Grafici tipici di y=a x Esempio del caso a>1: grafico di y=2 x Esempio del caso 0<a<1 : grafico di y= ( 1 2) x 6. La funzione logaritmo y=log a x Il dominio è D=R + e la funzione è continua in R + Nota bene: un logaritmo molto importante è quello la cui base è il numero irrazionale e. Per scopi pratici si può porre e Per il logaritmo in base e, si usa la seguente notazione: lnx anziché log e x. page 10/14

11 Esempio 14 Grafici tipici di Esempio del caso a>1: y=log a x y=lnx Esempio del caso 0<a<1 : y=log 1 2 x page 11/14

12 Teoremi: Sfruttando la definizione di continuità non è difficile dimostrare i seguenti teoremi: 1. se due o più funzioni sono continue in un intervallo anche la loro somma algebrica è una funzione continua nell'intervallo. 2. Se due o più funzioni sono continue in un intervallo anche il loro prodotto è una funzione continua nell'intervallo. 3. Il rapporto di due funzioni continue in un intervallo è una funzione continua nell'intervallo con l'eccezione di quei valori per i quali si annulla il denominatore. Non dimostreremo questi teoremi ma vedremo alcune semplici applicazioni di essi. Esempio 15 a In base al primo teorema, essendo y=x, y= 2, y=x 2 delle funzioni continue possiamo dedurre che la funzione y=x 2+x 2 è una funzione continua. Esempio 15 b y= x, come già visto, è una funzione continua in [0;+ ), y=x è continua in R. In base al primo teorema, la funzione y=x+ x, come anche la funzione y=x x il cui dominio è D=[0;+ ) per entrambe, sono continue in [0;+ ) Esempio 16 a In base al secondo teorema, essendo y=x una funzione continua in R e y= 2 una funzione continua in R possiamo dedurre che la funzione y= 2x è continua in R Esempio 16 b y=x, y=3, y=x 2 sono delle funzioni continue in R. Possiamo dedurre che y=3x 3 è una funzione continua in R ( x 3 x 2 =3 x 3 ) In base al primo teorema e al secondo possiamo concludere che: ogni funzione del tipo y=a 0 x n +a 1 x n a n, il cui dominio è, evidentemente, D=R, è continua in R Queste funzioni si chiamano funzioni razionali intere. Ulteriori esempi di funzioni razionali intere: y=2x 4 5x 3 +x 1, y=2x 7 +3x 2 x+1 Esempio 17 In base al terzo teorema, essendo y= x una funzione continua e y=x 2 una funzione continua possiamo dedurre che y= x è una funzione continua in R {2}. x 2 page 12/14

13 In base al terzo teorema possiamo concludere che: ogni funzione del tipo y= a 0 xn +a 1 x n a n b 0 x m +b 1 x m 1 è una funzione continua in R con +...b m l'eccezione di quei valori per i quali si annulla il denominatore. Queste funzioni si chiamano funzioni razionali fratte. Ulteriori esempi di funzioni razionali fratte: y= 2x4 5x 3 +x 1 x+1 Il dominio è D=R {-1} e l'intervallo di continuità è R {-1} y= 2x7 +3x 2 x+1 x 2 4 Il dominio è D=R {-2,2} e l'intervallo di continuità è R {-2,2} y= 5x4 +2x 1 x 2 +9 Il dominio è D=R ( perché?) e l'intervallo di continuità è R Le funzioni più comuni hanno la seguente proprietà: gli intervalli di continuità coincidono con il dominio ma non è sempre così. Nell'esempio 2 di pagina 2, infatti, troviamo una funzione il cui dominio è: D=[0,4] ma l'intervallo di continuità è: [0,3)U(3,4]. Esempio 18 Studiare la continuità della seguente funzione f ( x)= { 4x+4 se x 1 x 2 +1 se x<1 Questa funzione è una retta per ogni x maggiore o uguale a 1 ed è una parabola per ogni x minore di 1. La funzione è sicuramente continua per x<1 (è una funzione razionale intera, parabola in questo caso) ed è continua anche per x>1 (è una funzione razionale intera, retta in questo caso). L'unico punto da studiare è x=1 1. f (1)=0 si trova osservando che se x=1 dobbiamo considerare la retta e non la parabola 2. Il limite in questo caso non esiste: il limite destro è diverso dal limite sinistro. Infatti risulta: lim f (x)=2 x 1 - lim f (x)=0 x 1 + page 13/14

14 N.B. Quando fai il limite destro devi avvicinarti partendo da valori più grandi di 1 e quindi devi considerare la retta. Quando fai il limite sinistro devi avvicinarti da sinistra e quindi devi considerare la parabola. La funzione è quindi discontinua nel punto x=1 e, pertanto, gli intervalli di continuità sono: ( ;1) ( 1;+ ). Si noti che il dominio è D=R. Abbiamo quindi stabilito gli intervalli di continuità senza disegnare il grafico. Possiamo, comunque, verificare quanto detto disegnando il grafico della funzione: page 14/14

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