Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo differenziale in IR N. Dott. Franco Obersnel

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1 Università di Trieste Facoltà d Ingegneria Esercizi sul calcolo differenziale in IR N Dott Franco Obersnel Esercizio 1 Si calcoli la derivata direzionale nell origine lungo la direzione y del versore v = v 1, v della funzione f, y) = + y se, y 0, 0 0 se, y = 0, 0 Sol v 1 v) Esercizio Si calcolino nel generico punto del dominio) le derivate parziali e il gradiente delle funzioni a) f, y) = log + y); b) g, y, z) = z y ; c) hs, t, u, v, w) = s + t + 3u + 4v 3 + stuvw; d) k, φ) = sinφ + 3) Sol 1 +y 1, 1)T, zy y 1, z y log, y, 1+tuvw, +suvw, 6u+stvw, 1v + stuw, stuv, sinφ + 3) + φ cosφ + 3), cosφ + 3) ) Esercizio 3 Si scriva nel generico punto del dominio) la matrice Jacobiana delle seguenti funzioni: a) f, y) = + y, e y ; b) g, y, z) = y cos z, + y ; c) h, y) = y + log y, y + log, y, y ; d) ku, v) = cos u sin u, v v ) ) ) 1 + y y cos z cos z ysen z Sol ye y e y,, 1 0 y + 1/y y + 1/ y cos y, u v v log v + 1) 1 1 Esercizio 4 Si consideri la funzione y f, y) = 4 + y se, y 0, 0 0 se, y = 0, 0 a) Si consideri la restrizione della f alla curva y = b) Si calcoli il limite per, y 0, 0 di tale restrizione c) Si deduca da b) che la funzione f non è continua nell origine d) Si verifichi che la funzione f è derivabile in ogni direzione cioè ammette finite tutte le derivate direzionali) nell origine Sol b) 1/ d) La derivata direzionale lungo la direzione del versore v 1, v è v 1/v se v 0, altrimenti è 0) ) ) 1

2 Esercizio 5 Si calcoli il differenziale nel punto e, 3) della funzione f, y) = y Sol dfe, 3)v 1, v ) = e 3v 1 + ev )) Esercizio 6 Si scriva l equazione del piano tangente la superficie di equazione z = ln + y) nel punto 1, 3, 0 Sol + y z 1 = 0) Esercizio 7 Si calcoli la derivata direzionale nel punto 1, 1, 1 lungo la direzione del vettore v = 1,, 3 della funzione f = f 1, f : f 1, y, z) = y logz); f, y, z) = y eyz Sol , 7e ) Esercizio 8 Si provi che è differenziabile nel suo dominio la funzione y se, y 0, 0 f, y) = + y 0 se, y = 0, 0 Sol Nel punto 0, 0 y il differenziale è 0, infatti lim,y 0,0 + y = 0 In alternativa si può utilizzare il teorema del differenziale totale) Esercizio 9 Si calcolino nell origine le derivate parziali e le derivate direzionali rispetto alla direzione del versore v = 1 1, 1 della funzione y f, y) = + y 4 se, y 0, 0 0 se, y = 0, 0 Vale la formula f f 0, 0) = v 0, 0) 1 + f y 0, 0) 1? Come si giustifica questo fatto? La formula non vale; si osservi che la funzione non è differenziabile) Esercizio 10 È data una funzione differenziabile f : A IR IR Si conoscono le derivate direzionali della f nel punto 0, y 0 lungo due direzioni non parallele) u = a, b e v = c, d : f u 0, y 0 ) = p ; f v 0, y 0 ) = q Si calcoli il gradiente della funzione f nel punto: f 0, y 0 ) Sol dp bq ad bc, aq pc ad bc )T )

3 Esercizio 11 Sono date le funzioni r, s, t) = rse t ; yr, s, t) = rs e t ; zr, s, t) = r s sin t ; u, y, z) = 4 y+y z 3 Si trovi il valore di u s Sol 19) quando r =, s = 1, t = 0 Esercizio 1 Si trovino il minimo e il massimo assoluti della funzione f : IR \ {0, 0 } IR f, y) = y + y Sol 1, 1 ) Esercizio 13 Si scriva la matrice Hessiana della funzione f, y, z) = z y ; precisando l insieme su cui è definita Sol z 1+y 1+ +y ) 3/ yz 1+ +y ) 3/ yz 1+ z 1+ +y ) 3/ 1+ +y ) 3/ y 1+ +y 1+ +y y 1+ +y 1+ +y 0 Esercizio 14 Si verifichi che la funzione u, t) = 1 t e 4t è soluzione dell equazione differenziale alle derivate parziali u t u = 0 Questa è l equazione del calore, che modella la temperatura u di un corpo che scambia calore con l ambiente; una soluzione dell equazione data è una funzione u, t) che, sostituita all equazione data, la soddisfa per ogni, t) A, dove A è un opportuno dominio di IR ) Esercizio 15 Si consideri la funzione { ) f, y) = y arctg y se y 0 0 se y = 0 3

4 Si verifichi che la funzione f ammette tutte le derivate parziali del primo ordine e che queste sono continue su IR Si calcolino poi le derivate seconde nell origine e si facciano opportune osservazioni alla luce del teorema di Schwarz Esercizio 16 Si trovino i punti di massimo e minimo relativo per la funzione f, y) = 4 + y 4 4y Sol 0, 0 punto di sella, ±1, 1 punti di minimo) Esercizio 17 Si studino i punti critici della funzione f, y) = ye 1 +y ) Sol 0, 0 punto di sella; ±1, 1 punti di massimo relativo; ± 1, 1 punti di minimo relativo) Esercizio 18 Determinare i punti critici della funzione f, y) = 3 3 )3y y 3 ); classificandoli come punti di minimo o di massimo relativo o punti di sella Stabilire se la funzione ammette massimo e/o minimo assoluti Sol 0, 0, ±0, 3, ± 3, 0, ± 3, ± 3 punti di sella; ±1, 1 punti di massimo relativo, ± 1, 1 punti di minimo relativo) Esercizio 19 Si calcoli l approssimante quadratico polinomio di Taylor di ordine ) della funzione ) f, y) = 3 siny) + log y nel punto 1, π Sol P, y) = logπ) + 1 3π) 1) π )y π) 1 1) 3 1)y π) + 1 π y π) ) Esercizio 0 Sia f : IR IR una funzione continua su tutto IR; è possibile per f avere punti di massimo relativo e nessun punto di minimo relativo? Si discuta tale questione confrontando con quanto avviene per funzioni in più variabili, considerando e studiando la funzione f, y) = 1) y 1) Sol No, se si considera minimo in senso debole La cosa non vale più per funzioni definite su IR Per la funzione proposta 1, e 1, 0 sono punti di massimo relativo e assoluto; la funzione non ammette nessun punto di minimo relativo) Esercizio 1 Uno scatolone a base rettangolare senza coperchio deve contenere un volume di 3000 cm 3 Si trovino le dimensioni altezza, larghezza e profondità) che minimizzano la quantità di cartone impiegato 4

5 Sol 0,40,40) Esercizio a) Si provi che esistono massimo e minimo assoluti della funzione f, y) = siny) nella palla unitaria chiusa D = {, y IR : + y 1} b) Si osservi che per ogni, y D si ha y 1 c) Si determini l unico punto critico di f nella palla aperta, e si verifichi che non è un punto di estremo d) Si concluda che i punti di minimo e di massimo devono avere norma 1 e) Si calcolino massimo e minimo di f su D Sol Ma sin 1, min sin 1 ) Esercizio 3 Si trovino eventuali punti estremali locali e assoluti della funzione f, y) = y 8 + y y Sol 1, 4)T punto di massimo relativo; non vi sono estremi assoluti) Esercizio 4 Si studino i punti critici della funzione f, y, z) = + y + 3z + z + yz y z + 3 Sol 6, 4, 7 )T punto di minimo relativo) Esercizio 5 Classificare i punti critici della funzione f, y, z) = + y 4 + y + z 3 z Sol 3, 0, 3 )T punto di minimo relativo, 0, 0, 0 punto di sella) Esercizio 6 Sia f : B0, 1) IR N IR una funzione differenziabile definita nella palla-aperta di raggio 1 centrata nell origine Supponiamo che f 1 per ogni B0, 1) Sia inoltre f0) = 0 Si dimostri che la funzione f è limitata su B0, 1) e che si ha f) 1 per ogni B0, 1) Sol f) = f) f0) = fξ), fξ) 1) Esercizio 7 Si trovino i punti dell ellissoide + y + 3z = 1; 5

6 nei quali il piano tangente è parallelo al piano π di equazione Sol ±1 50 6, 1, ) 3 y + 3z = 1 Esercizio 8 Si trovino gli estremi della funzione f, y) = e y ; nella regione E = {, y IR : + 4y 1} Sol Ma e 1 4, min e 1 4 ) Esercizio 9 Si trovino i punti della superficie di equazione che sono più vicini all origine Sol 3 1 4, 4 3 ) 1 4, , 4 3 ) 1 4, ) y z 3 =, 3 1 4, 4 3 ) 1 4, Esercizio 30 Sia γ : [0, π] IR 3 la curva γt) = cos t sin t, sin t, t, 3 1 4, 4 3 ) 1 4, 3 1 4, Si dica se γ è una curva regolare semplice Si disegni uno schizzo della curva Si trovino le equazioni del vettore tangente la curva nel punto γt) Sol È regolare e semplice γ t) = cos t sen t, sen t cos t, ) Esercizio 31 Sia γ : IR IR la curva γt) = t t, t 3 3t + t Si dica se γ è una curva regolare, semplice Si trovino le equazioni del vettore tangente la curva nel punto γt) Si trovino i valori del parametro t per i quali la curva è contenuta nel semipiano 0 Si dica se il sostegno dell arco di curva 6

7 contenuto in tale semipiano è un insieme limitato di IR Si dica se la curva γ è limitata Si disegni uno schizzo della curva Sol È regolare ma non è semplice γ0) = γ1)) γ t) = t 1, 6t 6t + 1 t [0, 1] Il sostegno dell arco di curva contenuto nel semipiano 0 è un insieme limitato perché immagine continua di un compatto La curva non è limitata perché ad esempio lim t + t t) = + ) 0,5 0,5-1,5-1 -0,75-0,5-0,5 0 0,5 0,5 0,75 1 1,5-0,5-0,5 Esercizio 3 Si stabilisca che esistono e si calcolino massimo e minimo assoluti della funzione f, y) = y + 1 sull insieme Sol Ma 1, min 1 ) E = {, y IR y = 0} Esercizio 33 Si provi che due curve regolari equivalenti hanno versori tangenti con la stessa direzione Sol Immediato applicando la regola di derivazione della funzione composta) Esercizio 34 Si trovino gli estremi della funzione f, y) = y ; vincolata all insieme E = {, y IR : y = 1 a } a IR+ Sol Punto di massimo a, a, punto di minimo a, a ) Esercizio 35 Si trovino massimo e minimo assoluti della funzione f, y) = 4y y y 3 : ristretta al triangolo di vertici 0, 0, 0, 6, 6, 0 Sol Ma 4, min -64) Esercizio 36 Si trovino i valori massimo e minimo assoluti per la funzione f, y) = 3 +y +1 nel dominio a forma di mezza luna costituito da tutti i 7

8 punti del disco 1) + y 1 posti alla sinistra del ramo destro dell iperbole y = 1 3 Sol Min=1 7 nel punto 3, 0)T, Ma= nei punti 3 3, ± ) Esercizio 37 Si consideri il pentagono in figura, costituito da un triangolo isoscele sovrapposto ad un rettangolo Il pentagono ha perimetro fisso P Si trovino le lunghezze dei lati del pentagono che massimizzano l area Sol base= P 3), altezza= P 3 3 6, lato obliquo= P ) Esercizio 38 Si trovino gli estremi della funzione f, y, z) = + y; vincolata alla curva definita dall intersezione delle superfici di equazioni: + y + z = 1; y + z = 4 Sol Ma 1 +, min 1 ) Esercizio 39 Sia h C IR) tale che h0) = 0, h 0) = 1, h 0) = Si verifichi che l equazione h) + y 3 + y = 0 definisce implicitamente una funzione ϕ : U V in un intorno U di = 0, V essendo un opportuno intorno di y = 0) Si scriva l approssimante quadratico di ϕ nel punto = 0 Sol ) Esercizio 40 Si verifichi che l equazione y + z y 3 + arctg z = definisce implicitamente una funzione ϕ : U V in un intorno U di, y = 1, 1, V essendo un opportuno intorno di z = 0) Si calcoli la derivata direzionale della funzione ϕ nel punto 1, 1 nella direzione del versore 1 1, 1 8

9 Sol 3 ) Esercizio 41 Si verifichi che l equazione sen + log1 + y ) z z 0 e t dt = 0 definisce implicitamente un unica funzione ϕ : U V in un intorno U di, y = 0, 0, V essendo un opportuno intorno di z = 0) Si verifichi che 0, 0 è punto di minimo locale per ϕ Sol ϕ0, 0) = 0, 0, d ϕ0, 0)u, v) = u + v ) Esercizio 4 Sia g C 1 IR 3 ) tale che g0, 0, 0) = 0 e g0, 0, 0) = 1,, 3 Si consideri la curva di IR 3 ottenuta intersecando la superficie definita dall equazione g, y, z) = 0 con il piano di equazione + y + z = 0 Si provi che la curva ammette una parametrizzazione regolare in un intorno di 0, 0, 0 e si calcoli la direzione del vettore tangente la curva in tale punto Sol ± 1 6 1,, 1 ) Esercizio 43 Si verifichi che lim y e y y d 1 0 lim e y 0 + y ) y d Si facciano opportune osservazioni alla luce del teorema di inversione del limite con il segno di integrazione Sol 1 0) Esercizio 44 Si verifichi che 0 è punto di minimo relativo per la funzione Sol f 0) = 0, f 0) = ) f) = 1 cos e y dy 9