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1 FUNZIONI MATEMATICHE Le relzioni mtemtihe utilizzte per desrivere fenomeni nturli, in iologi ome in ltre sienze, possono ovvimente essere le più svrite. Per lo più si trtt di equzioni lineri, qudrtihe, esponenzili o logritmihe. Per esempio, il numero di luertole in un determint re rese linermente mn mno he i si ddentr nell stgione riproduttiv, e quindi tle resimento è desritto d un equzione di primo grdo; il numero di tteri in un rodo di oltur rese esponenzilmente (lmeno per un po ) e quindi si riorre d un equzione esponenzile. Un funzione mtemti è un legge di ntur mtemti he mette in relzione un vriile on un ltr. Per esempio possimo dire he il tsso di mortlità è un funzione dell densità di popolzione, intendendo he il tsso di mortlità e l densità di popolzione (quntità he vrino di popolzione in popolzione, o nhe entro un popolzione in diversi momenti) sono in qulhe modo legte l un ll ltr. Per onvenienz si design un delle vriili ome vriile indipendente e l ltr ome vriile dipendente (diremo he l seond dipende dll prim). Ad esempio potremo ffermre he il tsso di mortlità dipende dll densità di popolzione. Se un vriile è hirmente l us di un ltr, indiheremo l us ome l vriile indipendente e l effetto ome vriile dipendente. In molti si però le relzioni us ed effetto non sono ovvie, ed ogni vriile può essere in qulhe senso l us o l effetto dell ltr: in tli si l designzione ome dipendente o indipendente è hirmente un questione di onvenienz o onvenzione. Un funzione linere è del tipo: y = + il ui grfio è un rett. Il numero, detto oeffiiente ngolre, è l pendenz, ossi l inlinzione dell rett rispetto ll sse delle sisse; è l interett dell sse y e indi il livello rispetto ll origine degli ssi, ioè l ordint del punto in ui l rett interse l sse delle ordinte. Se = 0 l rett pss per l origine degli ssi. 1

2 Un funzione qudrti è un funzione dell form y = + + on il oeffiiente diverso d zero. Il suo grfio è un prol, il ui vertie si trov nel punto di siss =. Tle prol interse l sse y in y = e l sse nei punti orrispondenti lle soluzioni dell equzione qudrti + + = 0 (se queste esistono); è simmetri rispetto ll rett vertile pssnte per il vertie. Se il oeffiiente di negtivo è onv. è positivo, l prol è onvess (ome in figur 1), se è Figur 1 Un funzione potenz è del tipo on, k e p ostnti. p y = + k Proprietà delle potenze Se e y sono positivi, e sono numeri reli, vlgono le seguenti proprietà: - 0 = = - ( ) 1 = = = + - ( ) y = y - = y y

3 Si him funzione esponenzile un funzione del tipo y = on > 0 ostnte ( è l se dell funzione esponenzile). Il dominio dell funzione, ioè l insieme dei vlori he si possono ttriuire è tutto R. Il odominio, ioè l insieme dei vlori he l funzione ssume è R + (l funzione esponenzile è sempre strettmente positiv). Per lo studio di tle funzione doimo distinguere tre si: 0 < < 1: l funzione h le seguenti rtteristihe, oltre quelle già elente y è sempre deresente ( > y < ) lim = 0 quindi l sse delle è sintoto orizzontle destro + interse l sse y nel punto (,1) 0. Il grfio dell funzione è rppresentto nell figur. Figur : Funzione esponenzile 0 < <. on 1 = 1: in questo so l funzione è ostnte ( = 1 per ogni R) e il grfio è quello dell rett y = 1. > 1: l funzione h le seguenti rtteristihe y è sempre resente ( > y > ) il dominio è R, odominio R + lim = 0 quindi l sse delle è sintoto orizzontle sinistro interse l sse y nel punto (,1) 0. 3

4 Il grfio dell funzione è quello rppresentto nell figur 3. Figur 3: Funzione esponenzile on > 1. Si noti l differenz tr le funzioni esponenzili e quelle potenz: le funzioni esponenzili hnno un se ostnte elevt d un esponente vriile, mentre le funzioni potenz hnno un se vrile elevt d un esponente ostnte p. Si him funzione logritmo ogni funzione del tipo y = log, on > 0 e 1 ostnte ( è l se dell funzione logritmo). Il dominio dell funzione è R +, il odominio R. Per lo studio di tle funzione doimo distinguere due si: 0 < < 1: l funzione h le seguenti rtteristihe: è sempre deresente è definit solo per vlori positivi dell limlog = +, quindi l sse y è sintoto vertile 0 il punto (1,0) è sempre di intersezione fr l urv e l sse delle per > 1 l urv derese molto lentmente. Il grfio dell funzione è rppresentto nell figur 4. 4

5 Figur 4: Funzione logritmo on 0 < < 1. > 1: l funzione h le seguenti rtteristihe: è sempre resente è definit solo per vlori positivi dell limlog =, quindi l sse y è sintoto vertile 0 il punto (1,0) è sempre di intersezione fr l urv e l sse delle per > 1 l urv rese molto lentmente. Il grfio dell funzione è rppresentto nell figur 5. Figur 5: Funzione logritmo on se > 1. Proprietà dei logritmi y - log y = log + log y - log = y log - log = log log y - y 5 log log = log

6 L figur sottostnte riprodue il grfio delle funzioni esponenzile e logritmi, entrme on se e. Si noti he sono simmetrihe rispetto ll rett y =. Figur 6: Funzione esponenzile e logritmo on se e. 6

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