Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti

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1 Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti I Equazioni e disequazioni algebriche 3 Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo Esercizi sulle disequazioni razionali Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto II Equazioni e disequazioni trascendenti 9 Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche Esercizi su equazioni e disequazioni esponenziali Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche

2 Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti

3 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) + x + x = x x [ ] ± (b) x + x = 3 x + x + [ x R] (c) 5 x x 3 + x + x 5 [ ] 3 x + 3 = 0. 4 Svolgimento (a) Per ogni x 0,, si ha + x + x = x x x + x = x + x (x + )(x ) = (x + )( x) 3

4 4 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche 4x = 0 x = ±. Quindi le soluzioni dell equazione sono ±. (b) Per ogni x,,, 3 si ha x + x = 3 x + x + 3 (x + )(x ) = 5 (3 x)(x + ) 3(3 x)(x + ) = 5(x + )(x ) x, = ± 5 x x + 8 = 0 x x + 4 = 0 Quindi l equazione non ammette soluzioni reali. x R. (c) Per ogni x ±3, si ha 5 x x 3 + x + x 5 x + 3 = 0 x + x + 3 x x 3 + x + x 5 x + 3 = 0 x + x + 3 x 3 (x ) + x + x 5 x + 3 = 0 4x 5x + 39 (x + 3)(x ) = 0

5 Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado: esercizi svolti 5 4x 5x + 39 = 0 x, = 5 ± 8 Quindi la soluzione dell equazione è 3 4. = { 3 non accettabile 3 4. Esercizio. (a) Dato il polinomio P (x) = x + ax + b, con a, b R, risolvere l equazione [ P (x) = ] 0 ± 5 sapendo che P () = e P ( ) =. (b) Dato il polinomio P (x) = x + ax + b, con a, b R, determinare il segno del polinomio P (x) al variare di a e b sapendo che P () = 0. b = P (x) 0, x R b < P (x) 0, x b, x b > P (x) 0, x, x b (c) Siano a, b R tali che a + b = q, q R dato. Determinare per quali [ valori di a e b il prodotto p = a b è massimo. a = b = q ] (d) Siano a, b 0 tali che a b = p, p dato. Determinare per quali valori di a e b la [ somma q = a + b è minima. a = b = ] p 4 (e) Quante sono le soluzioni intere positive dell equazione x y = 60? Quante sono quelle intere? [; 8] Svolgimento (a) Essendo P () = e P ( ) =, si ha che { a + b = 0 a + b = { a = b =. Quindi si ha che P (x) = x + x e le soluzioni dell equazione P (x) = 0 sono x, = ± 5.

6 6 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche (b) Essendo P () = 0 si ha che a + b =, ossia b = a. Dette x = e x le radici del polinomio P (x), si ha che { x + x = a x x = b Se b <, allora il segno di P (x) è x = a = b. b + + Quindi P (x) 0 per ogni x (, b] [, + ). Se b =, allora P (x) = (x ) 0 per ogni x R. Se b >, allora il segno di P (x) è b + + Quindi P (x) 0 per ogni x (, ] [b, + ). (c) Cerchiamo a, b R tali che { a + b = q ab = p. Quindi a e b sono le soluzioni dell equazione x qx + p = 0. Questa equazione ammette soluzioni reali se e solo se q 4p 0, cioè se p q 4. Quindi il massimo valore di p è q 4 e si ottiene per a = b = q. Alternativamente, si ha che (a + b) = (a b) + 4ab. Quindi essendo a + b = q e ab = p si ha q = (a b) + 4p p = q (a b). 4

7 Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado: esercizi svolti 7 Quindi p è massimo se (a b) è minimo, cioè per a b = 0. Pertanto si ha che il massimo valore di p è q 4 e si ottiene per a = b = q. (d) Cerchiamo a, b R tali che { a + b = q ab = p. Quindi a e b sono le soluzioni dell equazione x qx + p = 0. Questa equazione ammette soluzioni reali se e solo se q 4p 0. Essendo p, q 0 essa ammette due soluzioni reali se q p. Quindi il minimo valore di q è p e si ottiene per a = b = p 4. Alternativamente, si ha che (a + b) = (a b) + 4ab. Quindi essendo a + b = q 0 e ab = p 0 si ha q = (a b) + 4p q = (a b) + 4p. Quindi q è minimo se (a b) è minimo, cioè per a b = 0. Pertanto si ha che il minimo valore di q è p e si ottiene per a = b = p 4. (e) Poniamo { x + y = a x y = b. Quindi x y = 60 equivale a ab = 60. Se cerchiamo soluzioni x, y N allora, 0 < b < a. Le coppie di numeri naturali (a, b) tali che ab = 60 sono: Essendo (60, ), (30, ), (0, 3), (5, 4), (, 5), (0, 6). x = a+b y = a b e dovendo essere x, y N, si ha che a e b devono essere entrambi pari. Quindi si ottengono (30, ) e (0, 6). Pertanto i numeri x, y N cercati sono { x = 6 y = 4, { x = 8 y =.

8 8 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche Se x, y N sono tali che x y = 60, allora anche ±x, ±y risolvono la stessa equazione e appartengono a Z. Pertanto avendo in precedenza determinato due coppie distinte di soluzioni intere positive, si ha che le soluzioni intere dell equazione x y = 60 sono 8.

9 . Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo 9 Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) x 6 5x 5 + 6x 4 + 4x 3 4x + 6x + 3 = 0 [ ; ; ± ] 5 (b) x 8 + 3x 4 = 0 [ ± ] 4 (c) 3x + x = 3x x [ x R] (d) (x 3) = 0 [; ] (x 3) (e) ( ) x + 4 ( ) x = 0. x 4 x 4 [; 5 ; 7; 0 ] Svolgimento (a) Si ha che x = è una soluzione dell equazione. Infatti, posto P (x) = x 6 5x 5 + 6x 4 + 4x 3 4x + 6x + 3 = 0, si ha che P ( ) = 0. Procedendo con la regola di Ruffini, si ottiene Quindi si ha che P (x) = x 6 5x 5 +6x 4 +4x 3 4x +6x+3 = (x+)(x 5 6x 4 +x 3 8x 6x+3). Si ha che x = è un altra soluzione dell equazione. Infatti, P () = 0. Procedendo con la regola di Ruffini, si ottiene

10 0 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche Quindi si ha che x 5 6x 4 + x 3 8x 6x + 3 = (x )(x 4 4x 3 + 4x 6). Ne segue che P (x) = x 6 5x 5 +6x 4 +4x 3 4x +6x+3 = (x+)(x 5 6x 4 +x 3 8x 6x+3) = Osserviamo che = (x + )(x )(x 4 4x 3 + 4x 6). x 4 4x 3 + 4x 6 = x (x 4x + 4) 6 = x (x ) 6 = Quindi si ha che = [x(x ) 4][x(x ) + 4] = (x x 4)(x x + 4). P (x) = x 6 5x 5 +6x 4 +4x 3 4x +6x+3 = (x+)(x )(x x 4)(x x+4). Si ha che x x 4 = 0 x, = ± 0 x x + 4 = 0 x, = ± 6 = ± 5, Quindi le soluzioni dell equazione P (x) = 0 sono,, ± 5. R. (b) L equazione x 8 + 3x 4 = 0 è di secondo grado in x 4. Si ha che x 8 + 3x 4 = 0 (x 4), = 3 ± 5 4 = 3 ± 5 4 = {. L equazione x 4 = non ha soluzioni reali mentre x 4 = ± 4. Quindi le soluzioni dell equazione sono ±. 4 ammette come soluzioni

11 Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo: esercizi svolti (c) Per x si ha 3x + x = 3x x 3x(x ) + = 3x x x 3x 3x + = 3x 3x 6x + 3 = 0 3(x ) = 0 x = non accettabile. Quindi l equazione non ammette soluzioni reali. (d) Posto t = (x 3), l equazione diventa (x 3) 4 + (x 3) 3 = 0 t + t 3 = 0 t, = ± 6 = ± 4 = { 3 L equazione = 3 non ammette soluzioni reali, mentre l equazione (x 3) { (x 3) = = ± x 3 = ± x = x 3. Quindi le soluzioni dell equazione sono,.. (e) Posto t = diventa ( x+ x 4), l equazione ( ) x + 4 ( ) x = 0 x 4 x 4 t 3t + 36 = 0 t, = 3 ± 5 = 3 ± 5 Si ha che ( ) x + = 4 x + x 4 x 4 = ±. L equazione x+ x+ x 4 = ha soluzione ; l equazione x 4 = ha soluzione 0. Inoltre, si ha che ( ) x + = 9 x + x 4 x 4 = ±3. L equazione x+ x 4 = 3 ha soluzione 5 x+ ; l equazione x 4 = 3 ha soluzione 7. Quindi le soluzioni dell equazione sono, 5, 7, 0. = { 4 9.

12 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche 3 Esercizi sulle disequazioni razionali Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) x x + x + x < 3 x(x ) [x <, 0 < x <, x > 3] (b) ( + x x)( 6x)(6x x ) < 0 [x < 0, 6 < x < 6, x ] (c) x(x 4) < x(x ) + 3 > 4x x + x >. [ < x <, 3 < x < 6 ] Svolgimento (a) x x x x + x + x < 3 x(x ) + x + x 3 + x(x ) < 0 (x ) + x(x + ) 3x(x ) + x(x ) x x + + x + x 3x + 3x + x(x ) x + x + 3 x(x ) x x 3 x(x ) Studiamo il segno del numeratore. Si ha che < 0 > 0. < 0 < 0 x x 3 = 0 x, = ± 6 = ± 4 = { 3. Lo schema del segno del numeratore è il seguente Lo schema del segno del denominatore è il seguente

13 Esercizi sulle disequazioni razionali: esercizi svolti Lo schema del segno della frazione è il seguente numeratore denominatore + + frazione Quindi si ha che x x 3 x(x ) > 0 x <, 0 < x <, x > 3. Ne segue che la soluzione della disequazione è: x <, 0 < x <, x > 3. (b) La disequazione diventa (x ) (6x )[x(x 6)] < 0. Lo schema del segno dei singoli fattori e del polinomio è il seguente: (x ) 0 / x x(x 6) + + (x ) (6x )[x(x 6)] + + Quindi si ha che (x ) (6x )[x(x 6)] < 0 x < 0, 6 < x < 6, x. Ne segue che la soluzione della disequazione è: x < 0, 6 < x < 6, x. (c) Risolviamo separatamente le singole disequazioni del sistema: x(x 4) < x(x ) + 3 > 4x x + x >.

14 4 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche Si ha che x(x 4) < x 4x < 0. Si ha che x 4x = 0 x, = 4 ± 64 = 4 ± 8 = { 6. Lo schema del segno di x 4x è il seguente Quindi la soluzione della disequazione x(x 4) < è < x < 6. Graficamente si ha 6 Si ha che x(x ) + 3 > 4x x 5x + 3 > 0. Si ha che x 5x + 3 = 0 x, = 5 ± 4 = { 3. Lo schema del segno di x 5x + 3 è il seguente 3/ + + Quindi la soluzione della disequazione x(x ) + 3 > 4x è x <, x > 3. Graficamente si ha

15 Esercizi sulle disequazioni razionali: esercizi svolti 5 3/ Si ha che x + x > x + x + > 0 x R. Quindi lo schema grafico del sistema di disequazioni è il seguente 3/ 6 x(x 4) < x(x ) + 3 > 4x x + x > sistema Ne segue che la soluzione del sistema è < x <, 3 < x < 6.

16 6 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche 4 Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) (b) x + x = 6 [4] x x + 6 = 5 [ 0 9 ; 0 ] (c) 3 + x 3 x = [ ] 3 ± 6 (d) x + x = x x. [x > ] Svolgimento (a) Si ha che l equazione x + x = 6 è equivalente al sistema { 6 x 0 x = 6 x { x 6 x = (6 x) { x 6 x 3x + 36 = 0 { x 6 x 6 { x, = 3± 5 = 3±5 4 x, = 9 x = 4. Quindi la soluzione è x = 4. (b) L equazione x x + 6 = 5 è equivalente al sistema { x x ( x = x x = x { 4(x + 6) 5 x = 4(x + 6) x + 6 { x { 4 x 4 400(x + 6) = (3x + 50) { x 4 9x 00x + 00 = 0 Quindi le soluzioni dell equazione sono x = 0 9 e x = 0. { x 4 ) 0 x + 6 = 3x x = 9x + 300x x 4 { 0 x, = 50± = 50±40 9 = 9 0.

17 Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali: esercizi svolti 7 (c) L equazione 3 + x 3 x = si può scrivere come 3 + x 3 = x+ ed è equivalente a + x 3 = (x + ) 3 + x 3 = x 3 + 3x + 3x + 3x + 3x = 0 x, = 3 ±. 6 Quindi le soluzioni dell equazione sono x = 3± 6. (d) Si ha che x + x = x x ( x ) + x = x x = x x x x e questa equazione è sempre verificata, purchè x >. Quindi le soluzioni dell equazione sono tutti i numeri reali x >. Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) x < x 3 4x + 3 [ + 3 x <, x > ] (b) x + 3 > 4x x 6 [ 0 < x <, 3 < x < + ] 0 (c) [ x + < 6 x 5 x x < ] 55 5 (d) [ 4 x x 0. < x < 0, ] x <

18 8 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche Svolgimento (a) La disequazione x < x 3 4x + 3 ha per soluzione l unione delle soluzioni dei due sistemi (S ) { x < 0 x 3 4x + 3 0, (S ) { x 0 (x ) < x 3 4x + 3. Consideriamo inizialmente il sistema (S ). Si ha che (S ) { x < 0 x 3 4x + 3 0, { x < (x )(x + x 3) 0. Si ha che x + x 3 = 0 x, = ± 3. Lo schema del segno del polinomio x 3 4x + 3 = (x )(x + x 3) è il seguente x x + x x 3 4x Lo schema grafico del sistema (S ) è il seguente x < x 3 4x (S ) Quindi la soluzione del sistema (S ) è 3+ x <. Consideriamo ora il sistema (S ). Si ha che (S ) { x 0 (x ) < x 3 4x + 3 { x 0 x 3 x x + > 0

19 Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali: esercizi svolti 9 { x 0 (x )(x ) > 0. Lo schema del segno del polinomio x 3 x x + = (x )(x ) è il seguente x + + x + + x 3 x x Lo schema grafico del sistema (S ) è il seguente x x 3 x x + > 0 (S ) Quindi la soluzione del sistema (S ) è x >. Ne segue che la soluzione della disequazione è 3+ x <, x >. (b) La disequazione x + 3 > 4x x 6 è equivalente al sistema x x x 6 0 x + 3 > 4x x 6. Quindi si ha x 3 4x x 6 0 4x 4x 9 < 0. Studiamo il segno del polinomio 4x x 6. Si ha che 4x x 6 = 0 x, = ± 5 4 = ± 5 4 = { 3.

20 0 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche Quindi 4x x 6 0 x, x 3. Studiamo il segno del polinomio 4x 4x 9. Si ha che 4x 4x 9 = 0 x, = ± 40 4 = ± 0 4 = ± 0. Quindi Allora si ha che 4x 4x 9 < 0 0 x x x 6 0 4x 4x 9 < 0 < x < + 0. x 3 x, x 3 0 < x < + 0. Osserviamo che 3 < 0 < 3 < + 0. Lo schema grafico del sistema è il seguente x x x 6 0 4x 4x 9 < 0 sistema Quindi la soluzione della disequazione è 0 < x, 3 x < + 0. (c) La disequazione x + < 6 x 5 x è equivalente al sistema x x 0 5 x 0 ( ) x + < 6 x 5 x.

21 Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali: esercizi svolti Quindi si ha x x 6 x 5 x + < x x x + 30 { x 5 4(x x + 30) < 9x 54x + 8 { x 5 x x + 30 < 9 3x { x 5 Studiamo il segno del polinomio 5x 0x 39. Si ha che 5x 0x 39 > 0. 5x 0x 39 = 0 x, = 5 ± 0 5 = ± Quindi 5x 0x 39 > 0 x < 5 55, x > Allora si ha che x x 0 5 x 0 ( ) x + < 6 x 5 x { x 5 x < 5 55, x > Lo schema grafico del sistema è il seguente x 5 5x 0x 39 > 0 sistema Quindi la soluzione della disequuazione è x < (d) Si ha che 4 x x 0 x 4 x x 4 x 0.

22 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche Studiamo il segno del numeratore. Si ha che x 0 x 0 x 4 x 0 4 x x 4 x 0 x 4 4 x x x 4 x 0 x 0 x x x x, x x. Studiamo il segno del denominatore. Si ha che { x > 0 { x > 0 x 4 x > 0 4 x > 0 < x < 0 < x <. Quindi lo schema grafico del segno della frazione è numeratore 0 + denominatore + + frazione + + Quindi la soluzione della disequazione è < x < 0, x <.

23 5. Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto 3 5 Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) x = x [0 x ] (b) x + = 4 x [ x R] (c) 3x + x + 3 x [ ] 4 x = 0. 3 Svolgimento (a) La soluzione dell equazione x = x è data dall unione delle soluzioni dei sistemi { x 0 { x < 0 (S ) x = x, (S ) x = x. Consideriamo inizialmente il sistema (S ). Si ha che (S ) { x 0 x = x { x x = x { x x = x x =. Consideriamo ora il sistema (S ). Si ha che (S ) { x < 0 x = x { x < x = x { x < x 0 0 x <. Quindi la soluzione dell equazione è 0 x. (b) La soluzione dell equazione x + = 4 x è data dall unione delle soluzioni dei sistemi x 0 x < 0 (S ) x + = 4 x, (S ) x + = 4 x +. Consideriamo inizialmente il sistema (S ). Si ha che x 0 (S ) x + = 4 x x 0 x + 4 x = 0 x 0 3x 5 (x + )(x ) = 0

24 4 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche { x 0 x = 5 3 Consideriamo ora il sistema (S ). Si ha che x 0 (S ) x + = 4 x + Quindi l equazione non ammette soluzioni. x R. x R. (c) La soluzione dell equazione 3x + x + 3 x x = 0 è data dall unione delle soluzioni dei sistemi x 0 x < 0 (S ) 3x + x + 3 = 0, (S ) 3x + x = 0. Consideriamo inizialmente il sistema (S ). Si ha che x 0 x 0 (S ) 3x + x + 3 = 0 3x + 3 x + x + = 0 { x 0 { x 0 3x + 3 x + = 0 3 x + = 3x + 9(x + ) = (3x + ) x = 4 3. Quindi la soluzione del sistema (S ) è x = 4 3. Consideriamo ora il sistema (S ). Si ha che x < 0 (S ) 3x + x = 0 x < 0 3x x + x + = 0 { x < 0 3x x + = 0 { x < 0 3 x + = 3x x < 0 x < 0 3x 0 x 3 9(x + ) = (3x + ) x = 4 3 x R. Quindi il sistema (S ) non ammette soluzioni. Ne segue che la soluzione dell equazione è x = 4 3.

25 Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto: esercizi svolti 5 Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) x > 0 [ < x < 0, 0 < x < ] (b) (c) x > 0 [ < x < 0, 0 < x < ] + x x + [x ] (d) x x x + 3 x +. [ x ] Svolgimento (a) La disequazione x > 0 si può scrivere come x < ed è equivalente al sistema { x < { x > 0 { x 0 x > x < < x < < x < 0, 0 < x <. Quindi la soluzione della disequazione è < x < 0, 0 < x <. (b) La disequazione x > 0 si può scrivere come x < ed è equivalente al sistema { x < { x < { < x < x > x > 0 x 0 < x < 0, 0 < x <. Quindi la soluzione della disequazione è < x < 0, 0 < x <.

26 6 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche (c) La disequazione + x x + si può scivere come x + + x. Le soluzioni sono date dall unione delle soluzioni dei sistemi (S ) { x + < 0 x + x, (S ) { x + 0 x + + x. Consideriamo inizialmente il sistema (S ). Si ha che (S ) { x + < 0 x + x { x + > x + x + { x <, x > 0 x + x +. Se x <, allora la disequazione x + x + diventa x x + + x R. Se x > 0, allora la disequazione x + x + diventa x + x + x x x. Quindi la soluzione del sistema (S ) è x. Consideriamo ora il sistema (S ). Si ha che { x + 0 { x + (S ) x + + x x x + x R. Quindi il sistema (S ) non ammette soluzioni. disequazione è x. Ne segue che la soluzione della (d) La soluzione della disequazione x x x + 3 x + è data dall unione delle soluzioni dei sistemi x < 0 x 0 (S ) x x x + 3 x, (S ) x x x + 3 x +.

27 Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto: esercizi svolti 7 Consideriamo inizialmente il sistema (S ). Si ha che x < 0 x < 0 x (S ) x x x + 3 x + 3 x ( x )( x) x x < x < x + 3 x x 0 x x 3 0 x { x < x x + 3. Consideriamo la disequazione x x + 3 per x <. dall unione delle soluzioni dei sistemi { x + 3 < 0 { x La soluzione è data x < x (x + 3). Si ha che { x + 3 < 0 { x x (x + 3) essendo 7 7 < 3, x < { x 3 x + 7x x < 3, 3 x { x x 7+ 7 Quindi la soluzione della disequazione x x + 3 è data da x Ne segue che la soluzione del sistema (S ) è x Consideriamo ora il sistema (S ). Si ha che x 0 (S ) x x x + 3 x + x > x + 3 x + x + 0 { x > x + x + 3. x 0 x x + 3 (x )(x + ) x + x > x + x 3 x + Consideriamo la disequazione x + x + 3 per x >. La soluzione è data da x + (x + 3) x + 5x x R. 0 Quindi il sistema (S ) non ammette soluzione. disequazione è x Ne segue che la soluzione della

28 8 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche

29 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) log x = log (x ) [] (b) log (x ) + log (x + 3) = log (x ) [ x R] (c) 3 (log x ) (log x ) 3 = 0. [ e ] Svolgimento (a) L equazione log x = log (x ) è equivalente al sistema x > 0 x > 0 x = x x > 0 x <, x > x x = 0 Quindi la soluzione dell equazione è x =. x > x, = ± 9 = ±3 = {. (b) L equazione log (x ) + log (x + 3) = log (x ) è equivalente al sistema x > 0 x > x + 3 > 0 x <, x > x > 0 (x )(x + 3) = (x ) log [(x )(x + 3)] = log (x ) 9

30 30 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti { x > (x )(x + 3) (x )(x + ) = 0 { x > (x )(x x + ) = 0 { x > x = x R. Quindi l equazione non ammette soluzioni. (c) Posto t = log x, l equazione 3 (log x ) (log x ) 3 = 0 diventa 3t t 3 = 0 3 t = 3t t = (3t ) 3 7t 3 54t + 35t 8 = 0. Si ha che 7t 3 54t + 35t 8 = (t )(7t 7t + 8). Quindi 7t 3 54t + 35t 8 = 0 t =. Ne segue che log x = log x = { x > 0 x = e x = e. Quindi la soluzione dell equazione è x = e. Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) log 3 (6 + 5x) 0 4 [ 6 5 < x ] (b) log (x 3) log (3x ) > log ( + x ) [ x R] ( ) ( ) (c) log 36 x x > log + x x [ 35 < x < ] 35 (d) log x 7x+6 ( ) x > 0. 3 [ < x < 3, < x < 5, x > 3 ]

31 Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche: esercizi svolti 3 Svolgimento (a) Poichè 3 4 <, si ha che la disequazione log 3 (6 + 5x) 0 è equivalente al sistema 4 { 6 + 5x > x { x > 6 5 x 6 5 < x. Quindi la soluzione della disequazione è 6 5 < x. (b) La disequazione log (x 3) log (3x ) > log ( + x ) è equivalente al sistema x 3 > 0 x > 3 3x > 0 x > + x > 0 3 (x 3) (x 3) log 3x > log ( + x ) 3x > + x x > 3 { x > 3 (x 3) ( + x )(3x ) > 0 (x 3) 3x ( + x )(3x ) > 0 { { x > 3 x > 3 3x 3 x + 9x 0 < 0 (x )(3x + x + 0) < 0 { x > 3 x R. x < Quindi la disequazione non ammette soluzioni. ( ) ( ) (c) La disequazione log 36 x x > log + x x è equivalente al sistema 36 x x > 0 36 x > x + x x > 0 + x 36 x x > > x + x x 36 x > + x 36 x > x 36 x > x 36 x > x + x > x + x > x + x > x 36 x > + x x < < x < 35. Si ha che le soluzioni della disequazione 36 x > x sono date dall unione delle soluzioni dei sistemi { x < 0 { x 0 36 x 0, 36 x > x.

32 3 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti Si ha che { x < 0 { x < 0 x 36 6 x 6 6 x < 0, { x 0 { x 0 x < 8 3 < x < 3 0 x < 3. Quindi 36 x > x 6 < x < 3. Inoltre si ha che + x > x x R. Poichè 6 < 35 < 35 < 3, si ha che 36 x > x 6 < x < 3 + x > x < x < 35 < x < < x <. Quindi la soluzione della disequazione è 35 < x < 35. (d) La soluzione della disequazione log ( x ) x 7x+6 3 > 0 è data dall unione delle soluzioni dei sistemi x 3 > 0 x 7x + 6 > 0 (S ) x 7x + 6 < x 3 > 0 x 7x + 6 > 0 (S ) x 7x + 6 > x 3 <, x 3 >. Consideriamo inizialmente il sistema (S ). Si ha che x 3 > 0 x 7x + 6 > 0 (S ) x 7x + 6 < x 3 < x > 0 x 7x + 6 > 0 x 7x + 5 < x < 3 0 < x < 3 x < 3, x > < x < 5 < x < 3, < x < 5. Quindi la soluzione del sistema (S ) è < x < 3, < x < 5.

33 Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche: esercizi svolti 33 Consideriamo ora il sistema (S ). Si ha che x 3 > 0 x 7x + 6 > 0 (S ) x 7x + 6 > x 3 > { x > 3 { x > 3 x 7x + 6 > x <, x > 5 Quindi la soluzione del sistema (S ) è x > 3. disequazione è < x < 3, < x < 5, x > 3. x > 3. { x > 3 x 7x + 5 > 0 Ne segue che la soluzione della

34 34 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti Esercizi su equazioni e disequazioni esponenziali Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) e x 6e x + 3 = 0 [ ( )] 3 ± 3 log (b) 5 x = 5 5 x [ ; 0] (c) e x + e x = 0. [ ( log 4 + )] Svolgimento (a) Posto t = e x l equazione e x 6e x + 3 = 0 diventa Quindi si ha t 6t + 3 = 0 t, = 3 ± 3. e x = 3 3 e x = ( ) 3 3 x = log ( ) x = log. ). Quindi le soluzioni dell equazione sono x = log ( 3± 3 (b) L equazione 5 x = 5 5 x si può scrivere come 5 x = 5 x + x = x + x, = { 0. Quindi le soluzioni dell equazione sono x =, 0. (c) L equazione e x + e x = 0 si può scrivere come e x = e x ed è equivalente al sistema { e x 0 4 e x = (e x ) { x log 4e x 4 = e x 4e x + 4 { x log e x 8e x + 8 = 0.

35 Esercizi su equazioni e disequazioni esponenziali: esercizi svolti 35 Posto t = e x si ha che l equazione e x 8e x + 8 = 0 diventa t 8t + 8 = 0 t, = 4 ±. Quindi si ha e x = 4 ( x = log 4 ) e x = 4 + ( x = log 4 + ). Ne segue che { x log e x 8e x + 8 = 0 x log x = log Quindi la soluzione dell equazione è x = log ( 4 ± ( 4 + ). ( ) x = log 4 + ). Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) (b) e x + e x < 3 3 x < 3 4x x [ ( log 3 ) ( < x < log 3 + )] [x < 4, x > 0 ] (c) x x ( x ) x. [ x 4] Svolgimento (a) Si ha che Posto t = e x si ha Quindi si ha che e x + e x < 3 e x + e x 3 < 0 e x 6e x + e x < 0 e x 6e x + < 0. t 6t + < 0 3 < t < < e x < 3 + ( log 3 ) ( < x < log 3 + ). ( Ne segue che la soluzione della disequazione è log 3 ) ( < x < log 3 + ).

36 36 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti (b) Poichè 3 > si ha che 3 x < 3 4x x x < 4x x 4x 3x > 0 x < 0, x > 3 4. Quindi la soluzione della disequazione è x < 0, x > 3 4. (c) La disequazione x x ( x) x si può scrivere come x x ( ) x x x x x x. Le soluzioni sono date dall unione delle soluzioni dei sistemi 0 < x < x x x, x x. Si ha che 0 < x < 0 < x < { 0 < x < x x x 4 x x 4x 0 { 0 < x < x 0, x 4 x R, x x { x x x x 4 x { x x 4x 0 0 x 4 x 4. Quindi la soluzione della disequazione è x 4. Osservazione. Si può procedere anche nel seguente modo: essendo x x = e x log x, ( x) x = e x log x = e x log x, la disequazione diventa e x log x e x log x che implica x log x x log x ( x x ) log x 0 la cui soluzione è data dall unione delle soluzioni dei due sistemi { { 0 < x < x x x 0, x x 0 che sono proprio quelli che si ottenevano con il metodo precedente.

37 3. Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche 37 3 Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) cos x sin x = 0 [x = kπ, x = ( ) k 3 π + kπ, k Z ] (b) cos x sin x = 0. [x = kπ, x = kπ arctan, k Z ] Svolgimento (a) Poichè cos x = sin x, si ha che l equazione cos x sin x = 0 diventa sin x + sin x = 0 sin x(sin x + ) = 0 sin x = 0, sin x =. Si ha che sin x = 0 x = kπ, k Z, sin x = x = ( ) k 3 π + kπ, k Z. Quindi le soluzioni dell equazione sono x = kπ, x = ( ) k 3 π + kπ, k Z. (b) Poichè cos x = tan x + tan x, sin x = tan x + tan x, posto t = tan x, si ha che l equazione cos x sin x = 0 diventa Si ha che t + t t + t = 0 t + t + t = 0 t =, 0. tan x = x = arctan +kπ x = arctan +kπ, k Z tan x = 0 x = kπ x = kπ, k Z. Quindi le soluzioni dell equazione sono x = kπ, x = kπ arctan, k Z.

38 38 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: 3 (a) sin x > [ π 3 + kπ < x < 3 π + kπ, k Z ] (b) ( cos 3x π ) > 3 [ π kπ < x < 3 π + 3 kπ, k Z ] (c) sin x(sin x + cos x) 0, con π x π [ π 4 x 0, 3 4 π x π ] (d) sin x + > 0, con π x π. ( + sin x) [ π < x < 5 6 π, π 6 < x < 7 6 π, ] 6 π < x < π Svolgimento (a) Graficamente la disequazione sin x > come 3 si può rappresentare nell intervallo [0, π] Fig. a: Grafici di y = sin x, y = 3 e della soluzione nell intervallo [0, π]. Quindi nell intervallo [0, π] la soluzione è π 3 < x < 3π. Ne segue che la soluzione complessiva è π 3 + kπ < x < 3π + kπ, k Z.

39 Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche: esercizi svolti 39 (b) Posto t = 3x π 3 la disequazione cos ( 3x π ) 3 > diventa cos t > che si può rappresentare nell intervallo [ π, π] come Fig. b: Grafici di y = cos x, y = e della soluzione nell intervallo [ π, π]. Quindi nell intervallo [ π, π] la soluzione di cos t > è 3 π < t < 3π. Ne segue che la soluzione complessiva è 3 π + kπ < t < 3π + kπ, k Z. Quindi si ha che 3 π + kπ < 3x π 3 < 3 π + kπ π kπ < x < 3 π + kπ, k Z. 3 Quindi la soluzione della disequazione è π kπ < x < 3 π + 3kπ, k Z. (c) Consideriamo la disequazione sin x(sin x + cos x) 0 con π x π. Si ha che sin x 0 0 x π; sin x + cos x 0 sin x cos x che si può rappresentare nell intervallo [ π, π] come

40 40 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti Fig. c: Grafici di y = sin x, y = cos x e della soluzione di sin x cos x in [ π, π]. Quindi sin x cos x in [ π, π] se π 4 x 3 4 π. Lo schema grafico del segno di sin x(sin x + cos x) è π π π π sin x + + sin x + cos x sin x(sin x + cos x) + + Quindi la soluzione della disequazione è π 4 x 0, 3 4 π x π. (d) Consideriamo la disequazione Poichè sin x, è equivalente a sin x + > 0, con π x π. ( + sin x) sin x + > 0 sin x > che si può rappresentare nell intervallo [ π, π] come

41 Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche: esercizi svolti Fig. d: Grafici di y = sin x, y = e della soluzione nell intervallo [ π, π]. Quindi la soluzione della disequazione è π < x < 5 6 π, π 6 < x < 7 6 π, 6 π < x < π.

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