Teoria dei numeri 2. Alberto Saracco. Università di Parma Udine, 18 ottobre 2015
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- Gianmaria Simone Di Pietro
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1 Teoria dei numeri 2 Alberto Saracco Università di Parma alberto.saracco@unipr.it Udine, 18 ottobre 2015 Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
2 Esercizio Es. 12 gara distrettuale Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n? Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
3 Esercizio Es. 12 gara distrettuale Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n? Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
4 Esercizio Es. 12 gara distrettuale Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n? Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora n = 5 2x = 6 2y = 7 2x Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
5 Esercizio Es. 12 gara distrettuale Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n? Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora n = 5 2x = 6 2y = 7 2x n = 5 (x + 2) = 3 (2y + 5) = 7 (x + 3) Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
6 Esercizio Es. 12 gara distrettuale Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n? Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora n = 5 2x = 6 2y = 7 2x n = 5 (x + 2) = 3 (2y + 5) = 7 (x + 3) Quindi n è multiplo di 3, 5, 7 ma non di 2: = 105, quindi n = 315. In effetti: Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
7 Esercizio Es. 12 gara distrettuale Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n? Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora n = 5 2x = 6 2y = 7 2x n = 5 (x + 2) = 3 (2y + 5) = 7 (x + 3) Quindi n è multiplo di 3, 5, 7 ma non di 2: = 105, quindi n = 315. In effetti: n = = n = Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
8 Divisione euclidea - fattorizzazione Divisione euclidea Dati a, b Z tali che a 0, allora esistono (unici) due interi q, r con 0 r < a tali che b = aq + r r si dice resto. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
9 Divisione euclidea - fattorizzazione Divisione euclidea Dati a, b Z tali che a 0, allora esistono (unici) due interi q, r con 0 r < a tali che b = aq + r r si dice resto. Se r = 0 si dice che a è un divisore di b: a b. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
10 Divisione euclidea - fattorizzazione Divisione euclidea Dati a, b Z tali che a 0, allora esistono (unici) due interi q, r con 0 r < a tali che b = aq + r r si dice resto. Se r = 0 si dice che a è un divisore di b: a b. Numeri primi Un numero p N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 e p). Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
11 Divisione euclidea - fattorizzazione Divisione euclidea Dati a, b Z tali che a 0, allora esistono (unici) due interi q, r con 0 r < a tali che b = aq + r r si dice resto. Se r = 0 si dice che a è un divisore di b: a b. Numeri primi Un numero p N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 e p).n.b. 1 ha un solo divisore positivo, non è primo! Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
12 Divisione euclidea - fattorizzazione Divisione euclidea Dati a, b Z tali che a 0, allora esistono (unici) due interi q, r con 0 r < a tali che b = aq + r r si dice resto. Se r = 0 si dice che a è un divisore di b: a b. Numeri primi Un numero p N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 e p).n.b. 1 ha un solo divisore positivo, non è primo! Fattorizzazione in numeri primi Ogni n N, n > 1 si scrive in maniera unica (a meno dell ordine) come n = k i=1 p α i i Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
13 MCD - mcm Massimo Comun Divisore Dati n interi positivi a 1,..., a n si dice massimo comun divisore di a 1,..., a n il più grande intero positivo che divide tutti gli a i : MCD(a 1,..., a n ) Per due numeri a 1, a 2 si indica anche con (a 1, a 2 ). Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
14 MCD - mcm Massimo Comun Divisore Dati n interi positivi a 1,..., a n si dice massimo comun divisore di a 1,..., a n il più grande intero positivo che divide tutti gli a i : MCD(a 1,..., a n ) Per due numeri a 1, a 2 si indica anche con (a 1, a 2 ). La fattorizzazione del MCD contiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli a i, elevati all esponente minimo. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
15 MCD - mcm Massimo Comun Divisore Dati n interi positivi a 1,..., a n si dice massimo comun divisore di a 1,..., a n il più grande intero positivo che divide tutti gli a i : MCD(a 1,..., a n ) Per due numeri a 1, a 2 si indica anche con (a 1, a 2 ). La fattorizzazione del MCD contiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli a i, elevati all esponente minimo. Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
16 MCD - mcm Massimo Comun Divisore Dati n interi positivi a 1,..., a n si dice massimo comun divisore di a 1,..., a n il più grande intero positivo che divide tutti gli a i : MCD(a 1,..., a n ) Per due numeri a 1, a 2 si indica anche con (a 1, a 2 ). La fattorizzazione del MCD contiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli a i, elevati all esponente minimo. Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi. minimo comune multiplo Dati n interi positivi a 1,..., a n si dice minimo comune multiplo di a 1,..., a n il più piccolo intero positivo che è diviso da tutti gli a i : mcm(a 1,..., a n ) Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
17 MCD - mcm Massimo Comun Divisore Dati n interi positivi a 1,..., a n si dice massimo comun divisore di a 1,..., a n il più grande intero positivo che divide tutti gli a i : MCD(a 1,..., a n ) Per due numeri a 1, a 2 si indica anche con (a 1, a 2 ). La fattorizzazione del MCD contiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli a i, elevati all esponente minimo. Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi. minimo comune multiplo Dati n interi positivi a 1,..., a n si dice minimo comune multiplo di a 1,..., a n il più piccolo intero positivo che è diviso da tutti gli a i : mcm(a 1,..., a n ) La fattorizzazione del mcm contiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di almeno un a i, elevati all esponente massimo. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
18 Esercizio Es.8 gara distrettuale 1999 Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale dei seguenti è un divisore di M? (A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020 Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
19 Esercizio Es.8 gara distrettuale 1999 Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale dei seguenti è un divisore di M? (A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020 Bisogna sfruttare la fattorizzazione in numeri primi! Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
20 Esercizio Es.8 gara distrettuale 1999 Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale dei seguenti è un divisore di M? (A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020 Bisogna sfruttare la fattorizzazione in numeri primi! 1990 = = = = = = Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
21 Esercizio Es.8 gara distrettuale 1999 Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale dei seguenti è un divisore di M? (A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020 Bisogna sfruttare la fattorizzazione in numeri primi! E = = = = = = Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
22 Teorema di Bezout Siano a, b Z e d = (a, b). Allora esistono due interi m, n tali che ma + nb = d Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
23 Teorema di Bezout Siano a, b Z e d = (a, b). Allora esistono due interi m, n tali che ma + nb = d Come si calcolano m, n? Con l algoritmo delle divisioni euclidee iterate. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
24 Congruenze Sia m > 1 intero. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
25 Congruenze Sia m > 1 intero. Definizione Se a, b Z si dice che a b (m) (a è congruo a b modulo m) se e solo se a = b + km per un qualche k Z, ovvero se e solo se a e b, divisi per m danno lo stesso resto r (0 r < m). r si dice rappresentante privilegiato della classe di congruenza di a (o di b) modulo m. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
26 Congruenze Sia m > 1 intero. Definizione Se a, b Z si dice che a b (m) (a è congruo a b modulo m) se e solo se a = b + km per un qualche k Z, ovvero se e solo se a e b, divisi per m danno lo stesso resto r (0 r < m). r si dice rappresentante privilegiato della classe di congruenza di a (o di b) modulo m. Comportamento rispetto a somma e prodotto. Se a 1 a 2 e b 1 b 2 allora a 1 b 1 a 2 b 2 dove l operazione può essere la somma, la differenza o il prodotto. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
27 Esercizio Es.8 - gara distrettuale 2004 Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a 1,..., a n N, ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza è multipla di 10. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
28 Esercizio Es.8 - gara distrettuale 2004 Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a 1,..., a n N, ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza è multipla di 10. Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, la loro differenza è multipla di 10. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
29 Esercizio Es.8 - gara distrettuale 2004 Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a 1,..., a n N, ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza è multipla di 10. Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, la loro differenza è multipla di 10. Inoltre se a 10 b(10) allora la loro somma è multipla di 10. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
30 Esercizio Es.8 - gara distrettuale 2004 Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a 1,..., a n N, ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza è multipla di 10. Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, la loro differenza è multipla di 10. Inoltre se a 10 b(10) allora la loro somma è multipla di 10. L insieme 0, 1, 2, 3, 4, 5 non ha tale proprietà. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
31 Esercizio Es.8 - gara distrettuale 2004 Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a 1,..., a n N, ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza è multipla di 10. Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, la loro differenza è multipla di 10. Inoltre se a 10 b(10) allora la loro somma è multipla di 10. L insieme 0, 1, 2, 3, 4, 5 non ha tale proprietà. Ogni insieme con almeno sette elementi ricade in uno dei primi due casi: o ci sono due numeri congrui modulo 10 o mancano al più tre classi di resto, quindi c è almeno una coppia tra (1, 9), (2, 8), (3, 7), 4, 6). Quindi n = 7 Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
32 Congruenze Divisione La divisione tra classi di resto non è ben definita: 14 2(4) e 5 1(4) ma 14 2 = = 2 1 (4) Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
33 Congruenze Divisione La divisione tra classi di resto non è ben definita: 14 2(4) e 5 1(4) ma Inverso 14 2 = = 2 1 (4) b si dice inverso di a modulo m se ab 1 (m). a è invertibile modulo m se e solo se (a, m) = 1. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
34 Congruenze Divisione La divisione tra classi di resto non è ben definita: 14 2(4) e 5 1(4) ma Inverso 14 2 = = 2 1 (4) b si dice inverso di a modulo m se ab 1 (m). a è invertibile modulo m se e solo se (a, m) = 1. Infatti il teorema di Bezout ci dice che (a, m) = 1 se e solo se h, k Z tali che ah + km = 1 ovvero se e solo se h è l inverso di a modulo m. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
35 Criteri di congruenza In questa pagina n N è scritto in base n è congruo modulo 2 alla sua ultima cifra. 3 n è congruo modulo 3 alla somma delle sue cifre. 4 n è congruo modulo 4 al naturale costituito dalle sue ultime 2 cifre. 5 n è congruo modulo 5 alla sua ultima cifra. 9 n è congruo modulo 9 alla somma delle sue cifre. 10 n è congruo modulo 5 alla sua ultima cifra. 11 n è congruo modulo 11 alla somma a segni alterni delle sue cifre, usando il segno positivo per la cifra delle unità. 2 k n è congruo modulo 2 k al naturale costituito dalle sue ultime k cifre. 5 k n è congruo modulo 5 k al naturale costituito dalle sue ultime k cifre. 10 k n è congruo modulo 10 k al naturale costituito dalle sue ultime k cifre. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
36 Esercizio Differenze di numeri Sia A n l insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno n cifre 0, n cifre 4, n cifre 8. Ad esempio: A 1 = {048, 084, 408, 480, 804, 840} e sia B n l insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeri in A n. Trova il massimo comun divisore degli elementi di B 10 Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
37 Esercizio Differenze di numeri Sia A n l insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno n cifre 0, n cifre 4, n cifre 8. Ad esempio: A 1 = {048, 084, 408, 480, 804, 840} e sia B n l insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeri in A n. Trova il massimo comun divisore degli elementi di B 10 Notiamo che tutti gli elementi di A n sono multipli di 4, e che due elementi di A n hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di resto modulo 9. Pertanto tutti gli elementi di B n sono multipli di 36. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
38 Esercizio Differenze di numeri Sia A n l insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno n cifre 0, n cifre 4, n cifre 8. Ad esempio: A 1 = {048, 084, 408, 480, 804, 840} e sia B n l insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeri in A n. Trova il massimo comun divisore degli elementi di B 10 Notiamo che tutti gli elementi di A n sono multipli di 4, e che due elementi di A n hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di resto modulo 9. Pertanto tutti gli elementi di B n sono multipli di 36. Notiamo che per ogni n, 36 = xxxxxxx40 xxxxxxx04 B n, pertanto il massimo comun divisore cercato è 36. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
39 Esercizio Differenze di numeri Sia A n l insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno n cifre 1, n cifre 5, n cifre 9. Ad esempio: A 1 = {159, 195, 519, 591, 915, 951} e sia B n l insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeri in A n. Trova il massimo comun divisore degli elementi di B 10 Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
40 Esercizio Differenze di numeri Sia A n l insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno n cifre 1, n cifre 5, n cifre 9. Ad esempio: A 1 = {159, 195, 519, 591, 915, 951} e sia B n l insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeri in A n. Trova il massimo comun divisore degli elementi di B 10 Notiamo che tutti gli elementi di A n sono congrui alle loro ultime due cifre modulo 4, ovvero a uno fra 15, 19, 51, 59, 91, 95 e che questi sono tutti nella stessa classe di resto modulo 4: k A n k 3 (9) e che due elementi di A n hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di resto modulo 9. Pertanto tutti gli elementi di B n sono multipli di 36. Come prima concludiamo che il massimo comun divisore cercato è 36. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
41 Teorema Cinese del resto Sistema di congruenze Siano m 1,..., m k N maggiori di 1 e a 1,..., a k Z. Risolvere il sistema di congruenze x a 1 (m 1 )... x a k (m k ) significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte le congruenze. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
42 Teorema Cinese del resto Sistema di congruenze Siano m 1,..., m k N maggiori di 1 e a 1,..., a k Z. Risolvere il sistema di congruenze x a 1 (m 1 )... x a k (m k ) significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte le congruenze. Osservazioni 1 Un tale sistema può non aver soluzioni: le condizioni x 0 (2) e x 3 (4) sono incompatibili, dato che x non può essere simulaneamente pari e dispari. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
43 Teorema Cinese del resto Sistema di congruenze Siano m 1,..., m k N maggiori di 1 e a 1,..., a k Z. Risolvere il sistema di congruenze x a 1 (m 1 )... x a k (m k ) significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte le congruenze. Osservazioni 1 Un tale sistema può non aver soluzioni: le condizioni x 0 (2) e x 3 (4) sono incompatibili, dato che x non può essere simulaneamente pari e dispari. 2 Se x è una soluzione, è una soluzione modulo m 1 m k ; Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
44 Teorema Cinese del resto Sistema di congruenze Siano m 1,..., m k N maggiori di 1 e a 1,..., a k Z. Risolvere il sistema di congruenze x a 1 (m 1 )... x a k (m k ) significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte le congruenze. Osservazioni 1 Un tale sistema può non aver soluzioni: le condizioni x 0 (2) e x 3 (4) sono incompatibili, dato che x non può essere simulaneamente pari e dispari. 2 Se x è una soluzione, è una soluzione modulo m 1 m k ; 3... anzi: modulo mcm(m 1,..., m k ) Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
45 Teorema Cinese del resto Teorema Cinese del resto Se m 1,..., m k sono a due a due coprimi, allora il sistema ammette un unica soluzione modulo m 1 m k qualunque siano a 1,..., a k. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
46 Teorema Cinese del resto Teorema Cinese del resto Se m 1,..., m k sono a due a due coprimi, allora il sistema ammette un unica soluzione modulo m 1 m k qualunque siano a 1,..., a k. E come la trovo? Per i = 1,..., k sia b i = j i m j e c i l inverso di b i modulo m i. Allora una soluzione è x = k a i b i c i i=1 Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
47 Teorema Cinese del resto Teorema Cinese del resto Se m 1,..., m k sono a due a due coprimi, allora il sistema ammette un unica soluzione modulo m 1 m k qualunque siano a 1,..., a k. E come la trovo? Per i = 1,..., k sia b i = j i m j e c i l inverso di b i modulo m i. Allora una soluzione è x = k a i b i c i i=1... ovviamente a volte le cose sono più semplici... Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
48 Esercizio Le uova Andando al mercato il contadino dispone le sue uova in fila per 7, ma vede che nell ultima fila ne dispone solo 6, poi le dispone in fila per 6 e nell ultima fila gliene avanzano 5, infine in fila per 5 e nell ultima fila gliene avanzano 4. Sapendo che erano meno di 400, quante uova aveva? Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
49 Esercizio Le uova Andando al mercato il contadino dispone le sue uova in fila per 7, ma vede che nell ultima fila ne dispone solo 6, poi le dispone in fila per 6 e nell ultima fila gliene avanzano 5, infine in fila per 5 e nell ultima fila gliene avanzano 4. Sapendo che erano meno di 400, quante uova aveva? Il problema consiste nel trovare 0 < x < 400 che risolva il seguente sistema: x 6 (7) x 5 (6) x 4 (5) Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
50 Esercizio Le uova Andando al mercato il contadino dispone le sue uova in fila per 7, ma vede che nell ultima fila ne dispone solo 6, poi le dispone in fila per 6 e nell ultima fila gliene avanzano 5, infine in fila per 5 e nell ultima fila gliene avanzano 4. Sapendo che erano meno di 400, quante uova aveva? Il problema consiste nel trovare 0 < x < 400 che risolva il seguente sistema: x 6 (7) x 5 (6) x 4 (5) Poiché 5, 6, 7 sono a due a due coprimi, il sistema ammette una e una sola soluzione modulo = 210. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
51 Modificando il sistema in x 6 1 (7) x 5 1 (6) x 4 1 (5) Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
52 Modificando il sistema in x 6 1 (7) x 5 1 (6) x 4 1 (5) ci accorgiamo che x = 1 risolve il sistema, così come 209, Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
53 Modificando il sistema in x 6 1 (7) x 5 1 (6) x 4 1 (5) ci accorgiamo che x = 1 risolve il sistema, così come 209, Con il vincolo dato, 209 è l unica soluzione possibile. Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre / 16
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