Genova, 27 Marzo 2013

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1 DTM, DTM, formati formati e e cenni cenni ai ai metodi metodi di di interpolazione interpolazione Genova, 27 Marzo 2013

2 I modelli digitali del terreno - 1 Evoluzione nella rappresentazione del terreno: punti quotati: informazione puntuale curve di livello: informazione lineare DTM: informazione areale - continuità della superficie - possibilità di manipolazione/integrazione/visualizzazione

3 I modelli digitali del terreno - 2 generazione: campionamento del terreno; costruzione del modello manipolazione: modifica e raffinamento; derivazione di modelli intermedi interpretazione: analisi; estrazione di informazioni visualizzazione: rendering grafico del DTM e DEM derivati applicazioni: ortofoto mappe rischio idrogeologico delimitazione bacini idrografici, mappe di tempi di corrivazione, modelli di piena, evoluzione delle sezioni trasversali in corsi d acqua studi impatto visivo geomorfologia microclima progettazione stradale calcolo di variazioni di quota e volume nel tempo

4 I modelli digitali del terreno - 3 DTM = Digital Terrain Model quota del terreno "naturale", cioè senza edifici e alberi attributi del terreno naturale (ad es. uso) DSM = Digital Surface Model altezza della superficie terreno che comprende case e alberi attributi della superficie considerata (ad es, inquinante) DEM = Digital Elevation Model quota, quindi terreno naturale DTM elevazioni = (DSM DTM)

5 Generazione di un DTM - 1 Il principio: da un insieme discreto di dati d altezza si stimano i parametri di una funzione z = f(x,y) che rappresenta la superficie Acquisizione dati (e riduzione ad un unico sistema di riferimento) Metodi di acquisizione dati: topografia tradizionale GPS fotogrammetria laser a scansione digitalizzazione carte Per potere assegnare un valore anche ai punti non campionati Definizione del modello di DTM e dell algoritmo di interpolazione griglia regolare di attributi (raster georeferenziato o modello matrix) TIN = Triangulated Irregular Network curve di livello

6 Generazione di un DTM 2 metodi di acquisizione dati

7 DTM a griglia regolare - 1 I dati (quote del terreno) possono essere acquisiti in modo irregolare I valori delle quote del terreno vanno determinati secondo una griglia regolare: ciò è possibile grazie ad algoritmi di interpolazione raster dati memorizzati creando una griglia regolare in cui ad ogni cella (pixel) viene assegnato un valore alfanumerico attributo

8 DTM a griglia regolare - 2 Vantaggi L organizzazione dei dati è molto semplice, basta fissare: origine (coordinate tipo X, Y) passo della griglia (solitamente X = Y) e registrare la quota dei punti posizionati solitamente al centro delle celle Le elaborazioni del modello sono piuttosto semplici E facile eseguire confronti fra diversi DTM Svantaggi Gli algoritmi di interpolazione presentano comportamenti anomali in prossimità dei bordi della regione Occorre fare attenzione alla ricerca del passo ottimale della griglia Nel caso di terreno uniforme i dati possono rivelarsi ridondanti ( oversampling ) e viceversa

9 TIN Triangulated Irregular Network Si triangolano i punti campionati. Ne risulta un modello del terreno a facce triangolari, solitamente considerate piane, che però possono essere anche rappresentate da superfici più complesse. Vantaggi Svantaggi I punti originariamente rilevati fanno parte dei dati, e solo loro la densità dei dati corrisponde a quella dei dati rilevati La struttura dei dati non è semplice Gli algoritmi di interpolazione sono complessi

10 Triangolazione di Delauney Si ottiene unendo i punti interni dei poligoni di Thiessen adiacenti -La triangolazione di Delauney è unica, indipendentemente dal punto di partenza -I triangoli che ne derivano risultano essere il più possibile equiangoli -Una circonferenza passante per i tre vertici di un triangolo non contiene nessun altro vertice della triangolazione

11 DTM

12 Modello di DTM a griglia regolare

13 Modello di DTM a TIN

14 Modello di DTM a curve di livello

15 Interpolazione ed estrapolazione Si deve potere assegnare un valore anche ai punti non campionati Si cerca di ricostruire la variabilità spaziale persa con il campionamento. Si assegna un valore ai punti attraverso: interpolazione, per i punti all interno dell area coperta dai punti noti; estrapolazione, per i punti al di fuori dell area coperta dai punti noti. Osservazione: mediamente i punti vicini hanno valori simili ( più simili rispetto a punti lontani) Ad esempio: modelli digitali delle altezze: punti vicini hanno quote simili; mappe vegetazionali: punti vicini hanno composizione specifica simile. Ci sono eccezioni discontinuità del campo Es. pareti verticali per i DTM, variazione di esposizione-pendenza per la vegetazione

16 Interpolazione o approssimazione? Spesso quello che è indicato come interpolazione in realtà è: INTERPOLAZIONE: la funzione interpolante passa per i valori dei punti noti APPROSSIMAZIONE: minimizza le differenze rispetto ai valori dei punti noti, secondo un criterio prefissato, ma in generale non passa per i punti stessi.

17 Definizione di interpolazione L interpolazione è una procedura di predizione dei valori di attributi di punti non campionati, a partire dalle misure eseguite in determinati punti all interno della stessa area L utilità dell interpolazione nel trattamento di dati geografici è di convertire i dati, acquisiti sotto forma di osservazioni in punti sparsi, in campi continui (discretizzati), in modo tale che i modelli dello spazio definiti dalle osservazioni stesse possano essere confrontati con altri modelli dello spazio derivati da altre entità spazialmente distribuite.

18 L interpolazione è necessaria quando: La superficie discretizzata ha un livello di risoluzione, un orientamento differente da quella richiesta. Es: conversione di immagini digitalizzate tramite scanner da un grigliato con una data dimensione e orientamento ad un altro. La superficie continua è rappresentata da un modello di dati differente da quello richiesto. Es: trasformazioni di superfici continue da un formato ad un altro (da TIN a raster o da raster a TIN)

19 Metodi di interpolazione - 1 Il problema dell interpolazione consiste in: trovare un modello plausibile per esprimere il fatto che punti vicini abbiano mediamente valori simili Tipi di modelli di interpolazione: Deterministici il legame fra punti vicini è espresso da una legge esplicita i cui parametri hanno significato fisico. Stocastici il legame fra punti vicini è espresso da un legame statistico (covarianza) che può non avere significato fisico.

20 Metodi di interpolazione - 2 L interpolazione può essere effettuata globalmente o localmente Metodi globali tutte le informazioni (valori) sono usate per costruire il modello non possono modellare bene gli andamenti locali e sono quindi usati per individuare eventuali trend trend; serie di Fourier. Metodi locali solo le informazioni (valori) dei punti vicini sono usate per costruire il modello nearest neighbour media mobile inverse distance weight (IDW); spline; collocazione (kriging).

21 Trend - 1 Consiste nell approssimare i dati con un polinomio (1D) o una superficie polinomiale (2D) (regressione polinomiale) In generale è una approssimazione, non una interpolazione; Si usa un polinomio di grado n, calcolandone i coefficienti a partire dai valori dei punti noti, minimizzando una funzione delle differenze (distanze) rispetto ai loro valori; z Il criterio secondo cui si minimizzano le differenze rispetto ai punti noti è solitamente quello dei minimi quadrati. x

22 Trend - 2 Vantaggi Modella bene andamenti globali dei dati; Si può modellare una grande mole di dati con polinomi di ordine basso; Fornisce indicazioni sul grado di approssimazione. Svantaggi È difficile dare significato fisico a polinomi di ordine alto; Non fornisce valori ragionevoli al di fuori dell area coperta dai dati; I minimi quadrati presuppongono la distribuzione Normale degli scarti; I minimi quadrati non sono un criterio di stima robusto. Per questi motivi sono di solito usati per rimuovere trend globali prima di applicare un interpolatore locale.

23 Interpolazione al più vicino (nearest neighbour) - 1 Consiste nell assegnare ad ogni punto del dominio il valore del punto campionato più vicino si tracciano regioni a valori costanti attorno ai punti campionati: tassellazione (Poligoni di Thiessen o di Voronoi, celle di Dirichlet); la configurazione delle regioni (poligoni) è univocamente determinata dalla posizione dei punti; se i punti sono distribuiti regolarmente le regioni sono rettangolari.

24 Interpolazione al più vicino (nearest neighbour) - 2 Si può migliorare il metodo usando medie pesate proporzionali alle aree delle regioni; È un metodo adatto per valori non numerici (categorie) ad es. specie vegetale dominante. Vantaggi Approccio molto semplice; Soluzione unica; Procedura automatizzabile; Stima in un punto uguale al valore del poligono di appartenenza. Svantaggi La dimensione e la forma delle regioni dipende dai campioni; Non da indicazioni sull errore di stima; Assume implicitamente una distribuzione omogenea e isotropa.

25 Media mobile - 1 Il valore in un punto è dato da una media dei valori attorno al punto di interesse. Si usa una finestra simmetrica centrata sul punto: finestra circolare finestra quadrata Ipotesi implicita: isotropia.

26 Media mobile - 2 z 1 n ( x, y) = z( x i, y i ) n i= 1 n numero di punti nella finestra mobile; x i, y i coordinate dei punti noti. La dimensione della finestra è determinante per il risultato: finestre piccole esaltano le alte frequenze; finestre grandi riducono le alte frequenze (smoothing). Usa solo punti vicini, ma li tratta tutti allo stesso modo.

27 Inverse distance weighted (IDW) - 1 Il valore in un punto è dato da una media dei valori attorno al punto di interesse pesati con una funzione della distanza reciproca z n ( x, y) = λiz( xi, yi ) i= 1 n x i, y i λ i numero di punti nella finestra mobile; coordinate dei punti noti; peso del punto i-esimo. Imposto il seguente vincolo: λ = 1 Il peso più usato è l inverso della distanza al quadrato: n i= 1 z i ( x ) j n z i= 1 = n i= 1 la media globale rimane inalterata ( x ) i d d 2 i, j 2 i, j

28 Inverse distance weighted (IDW) - 2 Vantaggi Svantaggi calcolo veloce; implementa direttamente l idea di influenza dei valori campionati in funzione della distanza; il risultato (superficie) dipende da: funzione peso usata; dimensione della finestra (numero di punti) usata. risente della presenza di trend globali nei dati. OSS: Il numero di punti usati è un compromesso fra precisione e carico computazionale. Si usano 4-12 punti, solitamente 6-8 (soprattutto per punti campionati regolarmente). Più la potenza dell inverso della distanza è alta, più la superficie risultante sarà liscia Richiede generalmente dati distribuiti uniformemente

29 ESEMPIO DI APPLICAZIONE 4 punti 4 punti Z=60 Z= Z=10 Z=60 100

30 IDW al variare della potenza Appendice Nearest - 12 punti power # Power = 1 Power = 2 Power = 3

31 Appendice Nearest 12 punti power=2 -power=1 Nearest 12 punti power=2 -power=3 Il valore di z nelle mappe originali varia da 10 a 100 variazioni del 10%

32 Appendice ESEMPIO DI APPLICAZIONE 4 file di punti Z=10 Z=

33 IDW al variare della potenza Appendice Nearest - 12 punti power # Power = 1 Power = 2 Power = 3

34 IDW al variare del numero di punti Appendice Nearest - # punti - power =2 4 punti 12 punti 24 punti

35 Spline regularized al variare del n. di punti Appendice Regularized Regularized w=0.1 p=4 Regularized w=0.1 p=12 Regularized w=0.1 p=24

36 Confronto tra alcuni metodi d interpolazione Metodo Stocastico/ Deterministic o Locale/ Globale Transiz. Interp. esatto Limiti procedura Migliore per Struttura dei dati di output Carico comput azionale Ipotesi del modello Visivo Soggettivo/ deterministico Globale Brusca No Soggettiva, non riproducibile Immagini aeree Poligoni nessuno Conoscenza intuitiva dei processi, omogeneità nelle aree Ricerca dei contorni Deterministico Globale Brusca No Richiede frome predef. (artificiali) Remote sensing Raster Moderato Omogeneità nelle aree al più vicino (tassellaz.) Deterministico Locale Brusca Sì Un dato per cella, no stima errore, dipende dalla disp. dei punti Dati non numerici Poligoni Basso / Moderato Il più vicino fornisce l informazion e migliore Trend Stocastico Globale Graduale No Effetti di bordo, non robusto, no significato fisico. Rimozione di trend per altri interp. Punti su un raster Basso / Moderato Trend con signif. fisico, errori gauss. Serie di Fourier Stocastico Globale Graduale No Dati periodici. Dune o manufatti Punti su un raster Moderato Periodicità fenomeno Spline Deterministico Locale Graduale Sì No stima dell errore. Superfici lisce Punti su un raster Basso / Moderato Variazioni graduali IDW Deterministico Locale Graduale No (+ vincoli: sì) Dipende dalla conf. dei punti e finestra, no stima dell errore Calcolo veloce di dati lisci Punti su un raster Basso / Moderato Isotropia, continuità, differenz. Collocazione kriging Stocastico Locale Graduale Sì Dati stazionari, computazionalment e pesante Stime prec. di funzione e errore Punti su un raster Pesante / molto pesante Ipotesi intriseche, medie: trend

37 Bibliografia - 1 Ahlberg J H, Nilson E N, Walsh J L The theory of splines and their applications. Academic Press, New York. Barzaghi R., Sansò F Sulla stima empirica della funzione di covarianza, Bollettino di geodesia e scienze affini, anno XLII, n.4. Benciolini B Il metodo degli elementi finiti e le sue applicazioni ai modelli digitali delle altezze. I Sistemi Informativi Territoriali, L. Mussio e F. Crosilla Eds. CISM Udine, Borrough P.A Principles of geographical information systems for land resources assesment, Oxford University Press. Brovelli MA, Sansò F, Triglione D Different approaches for outliers detection in digital terrain models and gridded surface within the GRASS Geographic Information System environment. The International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing, XXXII, Part 4W12: 1-8. Brovelli MA, Reguzzoni M, Sansò F, Venuti G Modelli matematici del terreno per mezzo di interpolatori a spline. Bollettino SIFET, supplemento speciale al n. 2/2001: Cosso T, Federici B, Sguerso D DTM e interpolazioni in GRASS: applicazione ad un alveo intrecciato. Geomatic Workbooks, Crippa B, Forlani G Il calcolo con il metodo degli elementi finiti. Ricerche di geodesia, topografia e fotogrammetria, CLUP Ed., Davis JC Interpolation and approximation. Dover, New York. Federici B, Sguerso D DTM of a braided river: how to reproduce it? Free and Open Source Software for Geoinformatics: GIS-GRASS User Conference, Bangkok, Thailand, Sept 12-14,

38 Bibliografia - 2 GRASS6.2 Reference Manual: Greville T.N.E. (editor) Theory and applications of spline functions, Proceedings of an advanced seminar at University of Winsconsin, Madison, october 7-9, 1968, Academic press- New York. Kolbl (2001), Technical Specifications for the Elaboration of Digital Elevation Models, Centro Interregionale, Krige, D. G Geostatistics and the definition of uncertainty. Inst. Min. Met. Trans., Vol. 93, Sect. A, pp. A Matheron G Principles of geostatistics, Economic Geology, 58, p Mitas L, Mitasova H Spatial Interpolation, Geographical Information Systems: Principles, Techniques, Management and Applications, GeoInformation International, P.Longley, M.F. Goodchild, D.J. Maguire, D.W.Rhind Eds., Wiley, Mitasova H, Mitas L Interpolation by Regularized Spline with Tension: 1. Theory and Implementation. Mathematical Geology, 25 (6): Moritz H Introduction to interpolation and Approximation, Approximation Methods in Geodesy, H. Moritz e H. Sunkel Eds, Herbert Wichmann Verlag Karlsruhe, Neteler M, Mitasova H Open source GIS: a GRASS GIS Approach. Third Edition. The International Series in Engineering and Computer Science: Vol. 773, pp. 406, Springer, New York Pietre, G., Kennie, T.J.M Terrain modelling in surveying and civil engineering. Computer Aided Design, 19 (4), pp Wackernagel H Multivariate geostatistics. An introduction with applications. Springer-Verlag, Berlin.

39 Via Greto di Cornigliano 6r Genova Quest opera é distribuita con licenza Creative Commons Attribuzione - Condividi allo stesso modo 3.0 Unported.

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