SYLLABUS DI ANALISI 5B DON BOSCO

Transcript

1 SYLLABUS DI ANALISI 5B DON BOSCO Si precisa che, con questo syllabus, l intenzione non è quella di ridurre l apprendimento della matematica allo studio mnemonico di una serie di procedure. Al contrario, di seguito vengono elencate le abilità basilari richieste in analisi, quelle che lo studente deve saper applicare anche in contesti diversi dall esercizio standard. Queste abilità sono come degli strumenti con i quali lo studente deve aver acquisito sufficiente confidenza, e che tiene ordinati nella propria cassetta degli attrezzi in modo da saperli scegliere e utilizzare con abilità nei problemi di analisi. Lo studio mnemonico delle procedure risolutive dei problemi elencati qui di seguito, oltre ad essere impossibile, è anche controproducente: meglio piuttosto focalizzarsi su pochi ma significativi punti chiave che ricorrono spesso nel ragionamento alla base delle seguenti procedure. FUNZIONI 1 Riconoscere se una data equazione rappresenta una funzione pag es. 3 2 Determinare il dominio di una funzione - In presenza di radici pag es. 35,36 - In presenza di valori assoluti pag es ) - In presenza di funzioni goniometriche (tangente, secante ) e inverse (arcoseno, arcocoseno ) pag es In presenza di esponenziali e logaritmi pag es In presenza di una funzione definita per casi pag es Determinare il codominio di una funzione (in casi semplici) 4 Riconoscere se una funzione è pari o dispari pag es Riconoscere se una funzione è iniettiva, suriettiva o biiettiva (in casi semplici) 6 Riconoscere se una funzione è invertibile pag es. 280 (in casi semplici) 7 Determinare il grafico della funzione inversa di una funzione invertibile pag es Determinare l equazione della funzione inversa di una funzione invertibile pag es Tracciare il grafico di una funzione - Di equazione nota - Rette - Parabole con asse parallelo all asse y - Funzioni omografiche - Archi di circonferenza (in particolare y = 1 x 2 ) - Archi di parabola con asse parallelo all asse x (in particolare y = x) - Con modulo (in particolare y = x ) - Mediante l utilizzo delle trasformazioni pag es traslazione di dato vettore lungo l asse x - traslazione di dato vettore lungo l asse y - dilatazione di dato fattore lungo l asse x - dilatazione di dato fattore lungo l asse y - riflessione rispetto all asse x - riflessione rispetto all asse y

2 - trasformazione del tipo f( x ) - trasformazione del tipo f(x) - Reciproco, quadrato e radice di una funzione pag es La cui equazione si ottiene a partire da: - Somma e sottrazione di funzioni dal grafico noto - Moltiplicazione di funzioni dal grafico noto 10 Determinare la funzione che si ottiene dalla composizione di due funzioni pag es Calcolare l immagine o l antiimmagine di un valore tramite una funzione di equazione assegnata 12 Riconoscere il massimo e il minimo di un insieme 13 Riconoscere l estremo superiore e l estremo inferiore di un insieme 14 Riconoscere i punti di accumulazione di un insieme LIMITI 15 Dedurre il limite di una funzione a partire dal grafico pag es Utilizzando la definizione (con gli intorni) - In particolare, limite sinistro e destro - In particolare, limite per eccesso e per difetto - Riconoscere il caso in cui il limite non esista 16 Tracciare il grafico di una funzione che soddisfi ad alcuni limiti dati pag es Calcolare limiti algebricamente - Forme determinate - In presenza di funzioni goniometriche (tangente, arcotangente ) pag es In presenza di esponenziali e logaritmi pag es Forme indeterminate, in particolare: - Funzioni polinomiali per x tendente a infinito (regola dei gradi) - Funzioni razionali fratte per x tendente a un valore finito (teorema di Ruffini) - Funzioni razionali fratte per x tendente a infinito (regola dei gradi) - Funzioni irrazionali fratte per x tendente a un valore finito (razionalizzazione) pag es Funzioni irrazionali fratte per x tendente a infinito (razionalizzazione o raccoglimento con val. ass.) pag es Funzioni contenenti funzioni goniometriche (formule) - Usando il teorema del confronto pag es Usando limiti notevoli - Anche in forma non standard pag es Discutere limiti dipendenti da parametri pag es Determinare il valore di un parametro in modo tale che verifichi un certo limite pag es Scrivere l equazione di una funzione che verifichi alcuni limiti dati CONTINUITÀ 21 Studiare la continuità di una funzione, classificando i punti di discontinuità pag es pag es In particolare in presenza di valore assoluto pag es In particolare nei punti di raccordo x=c, quando la funzione è definita per casi pag es In particolare nei punti di frontiera del dominio 22 Determinare il valore di un parametro in modo tale che una funzione sia continua pag es Dimostrare che un equazione ammette almeno una soluzione, utilizzando il teorema degli zeri - In un intervallo limitato pag es. 698

3 - In un intervallo illimitato (teorema degli zeri generalizzato) 24 Calcolare la soluzione approssimata di un equazione tramite il metodo di bisezione pag es Risolvere graficamente un equazione pag es Dimostrare che un equazione ammette massimo o minimo assoluto, utilizzando il teorema di Weierstrass 27 Determinare gli asintoti verticali di una funzione 28 Determinare gli asintoti orizzontali di una funzione 29 Determinare gli asintoti obliqui di una funzione pag es Scrivere l equazione di una funzione che presenti alcuni asintoti dati DERIVATE 31 Calcolare la derivata di una funzione in un dato punto, utilizzando la definizione - Algebricamente pag es Calcolare la derivata destra o sinistra di una funzione in un dato punto, utilizzando la definizione pag es In particolare in un punto di raccordo x=c, quando la funzione è definita per casi pag es Riconoscere un punto di non derivabilità di una funzione, utilizzando la definizione di derivata pag es pag Calcolare la funzione derivata di una funzione, utilizzando la definizione pag es Calcolare la funzione derivata di una funzione, utilizzando l algebra delle derivate - Nel caso in cui la funzione sia somma, prodotto o quoziente di funzioni elementari pag es In particolare, nel caso in cui sia prodotto di tre o più funzioni elementari pag es Nel caso in cui la funzione sia composizione di funzioni elementari pag es Nel caso in cui la funzione sia del tipo f(x) g(x) pag es Studiare la derivabilità di una funzione utilizzando l algebra delle derivate, classificando i punti di non derivabilità pag es In particolare in presenza di valore assoluto pag es In particolare nei punti di raccordo x=c, quando la funzione è definita per casi pag es In particolare nei punti di frontiera del dominio pag es Determinare il valore di un parametro in modo tale che una funzione sia derivabile pag es Calcolare la derivata di una funzione inversa in un punto, senza disporre dell equazione della funzione inversa pag es Disegnare il grafico di y = f (x) di y = f(x), in modo qualitativo pag es di y = f(x) 40 Determinare i punti di una funzione aventi una data derivata pag es Determinare il valore di un parametro in modo che una funzione abbia in un punto una data derivata pag es Determinare l equazione di una retta tangente al grafico di una funzione - Passante per un dato punto appartenente alla funzione pag es Passante per un dato punto esterno alla funzione pag es Determinare l equazione di una retta tangente al grafico di due funzioni pag es Determinare se i grafici di due funzioni sono tangenti pag es. 693

4 45 Determinare il valore di un parametro in modo che i grafici di due funzioni siano tangenti pag es Svolgere problemi applicati alla fisica (spazio e velocità, lavoro e potenza, carica e corrente ) pag es Svolgere problemi in cui si descrive la velocità di variazione di una grandezza tramite la derivata TEOREMI SULLE DERIVATE 48 Determinare se una data funzione verifica le ipotesi del teorema di Rolle, e determinare il punto di cui parla il teorema pag es In particolare, nel caso in cui la funzione sia definita per casi pag es Determinare se una data funzione verifica le ipotesi del teorema di Lagrange, e determinare il punto di cui parla il teorema pag es In particolare, nel caso in cui la funzione sia definita per casi pag es Studiare la crescenza e la decrescenza di una funzione tramite lo studio del segno della derivata prima pag es Trovare i massimi relativi, i minimi relativi e i flessi orizzontali di una funzione pag es Tramite lo studio del segno della derivata prima pag es Tramite lo studio degli zeri della derivata prima e il teorema delle derivate successive pag es Trovare i massimi e i minimi assoluti di una funzione - Nel suo dominio - In un intervallo limitato - Nel suo dominio - In un intervallo limitato pag es Dimostrare l invertibilità di una funzione tramite il segno della derivata prima pag es Dimostrare che un equazione ammette una e una sola soluzione, utilizzando il teorema degli zeri e lo studio del segno della derivata - In un intervallo limitato pag es In un intervallo illimitato (teorema degli zeri generalizzato) pag es Trovare i flessi e determinare la concavità di una funzione tramite lo studio del segno della derivata seconda pag es Saper ricavare informazioni sulla derivata prima a partire dal grafico della funzione 57 Saper ricavare informazioni sulla funzione a partire dal grafico della derivata prima 58 Determinare se una dato limite verifica le ipotesi del teorema di De L Hospital 59 Risolvere le forme indeterminate 0/0 e / con il teorema di De L Hospital pag es Risolvere la forma indeterminata 0 con il teorema di De L Hospital pag es Risolvere le forme indeterminate 0 0, 0 e 1 con il teorema di De L Hospital pag es Risolvere problemi di massimo e minimo - Di geometria piana - Nel caso in cui la variabile rappresenti la lunghezza di un segmento pag es Nel caso in cui la variabile rappresenti l ampiezza di un angolo pag es Di geometria solida pag es Di geometria analitica pag es Di altro tipo pag es Disegnare il grafico probabile di una funzione pag es Dominio - Parità o disparità - Continuità - Intersezioni con gli assi

5 - Studio del segno della funzione - Asintoti verticali - Comportamento agli estremi del dominio - Derivabilità - Studio del segno della derivata prima - Studio del segno della derivata seconda INTEGRALI 64