UNIVERSITA DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA STRUTTURALE ELABORATO DI LAUREA Analisi sismica di edifici esistenti in muratura con metodo RAN RELATORE ch.mo prof. ing. Nicola Augenti CANDIDATO Stefano Carozza matr. 520/604 CORRELATORE dott. ing. Fulvio Parisi ANNO ACCADEMICO 2007/2008

2 Alla mia famiglia

3 Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe, e finché sono certe, non si riferiscono alla realtà (Sidelights on Relativity) A. Einstein

4 Indice Indice Sommario Capitolo 1 - L analisi sismica degli edifici esistenti Premessa Criteri generali per la verifica di strutture in muratura secondo il DM Valutazione della sicurezza Considerazioni in presenza di azioni sismiche Criteri per la verifica di strutture in muratura secondo la circolare attuativa Requisiti di sicurezza Analisi sismica globale e criteri di verifica Analisi dei meccanismi locali Classificazione degli interventi L analisi sismica secondo il DM Pericolosità sismica Modellazione dell azione sismica Forze sismiche equivalenti adottate nell analisi statica lineare Capitolo 2 - Metodi di analisi sismica Considerazioni generali Metodi di analisi previsti dal DM Analisi statica lineare

5 - Indice Analisi dinamica modale Analisi statica non lineare Analisi dinamica non lineare Analisi strutturale in campo non lineare Non linearità geometrica Non linearità del materiale Ulteriori considerazioni Capitolo 3 - Il metodo di calcolo RAN Ipotesi di base e fasi del procedimento Ripartizione dell azione sismica Le sollecitazioni agenti sul pannello di maschio Domini di resistenza dei pannelli di maschio Domini di resistenza a presso-flessione Domini di resistenza a taglio Curve caratteristiche V-δ Curva caratteristica di un pannello di maschio Curve caratteristiche di piano Verifica dei pannelli di maschio Verifica per carichi di progetto Verifica della capacità portante Verifica dei pannelli di fascia Equilibrio delle fasce di piano Crisi dei pannelli di fascia non armati Crisi per presso-flessione dei pannelli di fascia armati Capitolo 4 - Verifica di un edificio esistente in muratura Descrizione dell edificio

6 - Indice Modellazione Modello geometrico Elementi strutturali verticali Elementi strutturali orizzontali Organizzazione strutturale Modello delle azioni Caratterizzazione dell input sismico Combinazioni di carico Modello dei materiali Stima del fattore di confidenza Resistenze di progetto Verifiche per azioni non sismiche Analisi manuale con il metodo RAN Ulteriori verifiche Analisi automatica con il codice RAN Dati di input Dati di output Capitolo 5 - Analisi parametriche Introduzione Definizione dei parametri Parametri di input Definizione delle analisi Parametri di output nell analisi per azioni non sismiche Parametri di output nell analisi statica lineare Parametri di output nell analisi statica non lineare Tasso di sollecitazione non sismico Analisi statica lineare Tasso di sollecitazione sismico dei pannelli

7 - Indice Analisi della parete 3 per la combinazione n.23 allo SLV Analisi delle pareti 5 e 8 per la combinazione n.32 allo SLV Tasso di sollecitazione sismico delle pareti Indice di danno e duttilità Vulnerabilità sismica in termini di PGA Moltiplicatore di crisi Rigidezza secante alla traslazione orizzontale Analisi statica non lineare Periodo proprio dell oscillatore elasto-plastico equivalente Rapporto di sovraresistenza αu/α1 e fattore di struttura qsnl Fattore di struttura dell oscillatore elasto-plastico equivalente Tasso di sollecitazione sismico delle pareti Tasso di sollecitazione sismico dei pannelli di maschio Duttilità e indice di danno Vulnerabilità sismica in termini di PGA CONCLUSIONI Risposta sismica parametrica della struttura Analisi lineare e non lineare Riferimenti Bibliografici Indice delle figure Indice delle tabelle

8 Sommario Il presente elaborato di tesi ha quale obiettivo primario l esecuzione di analisi sismiche lineari e non lineari di edifici in muratura esistenti attraverso il metodo RAN che, aggiornato secondo i criteri più evoluti della moderna Ingegneria Sismica, consente di descrivere in maniera accurata il comportamento di strutture dotate anche di irregolarità significative, sia in pianta che in altezza. Lo studio si articola attraverso cinque capitoli distinti in una prima parte, dedicata ai fondamenti teorici e alla discussione delle recenti Norme Tecniche per le Costruzioni, e in una seconda parte, contenente le analisi condotte per un edificio esistente in muratura, assunto quale caso di studio. Il Capitolo 1 tratta sinteticamente i criteri forniti dal DM e dalla relativa Circolare Attuativa per la verifica degli edifici esistenti in muratura, con particolare riferimento alla condizione sismica. Nel Capitolo 2 sono discussi i metodi di analisi sismica contemplati dalla normativa italiana, evidenziandone prerogative e limiti. Il Capitolo 3 descrive le fasi principali in cui si articola il metodo di calcolo RAN impiegato per condurre l analisi strutturale, sia per azioni gravitazionali che per azioni sismiche, di edifici lapidei modellati attraverso macro-elementi di diverso tipo a seconda che siano impiegati quali elementi portanti verticali (pannelli di maschio) o orizzontali (pannelli di fascia). Nel Capitolo 4 viene effettuata la verifica di un edificio esistente in muratura, nel rispetto dei criteri e delle regole contenute nella normativa italiana. In particolare, partendo dalla modellazione geometrica, meccanica e delle azioni, si conduce prima un analisi manuale attraverso l impiego di semplici fogli elettronici e poi un analisi automatica, estesa anche al campo non lineare, con l ausilio del Codice di calcolo RAN. Il Capitolo 5 tratta l esecuzione di analisi parametriche sull edificio preso in esame, al fine di verificare come e quanto alcuni dati di input relativi alle azioni, alla geometria e ai - 8 -

9 - Sommario - materiali influiscono sul comportamento della struttura, descritto sinteticamente mediante opportuni parametri di controllo definiti in maniera diversa nell analisi statica lineare e in quella non lineare. Tale modo di procedere ha consentito di confrontare i risultati ottenuti, non solo nell ambito di uno stesso metodo di analisi, ma anche tra i due procedimenti impiegati. I risultati maggiormente significativi evidenziati mediante le analisi parametriche, sono scaturiti dall osservazione dei valori di output globali della struttura, valutati sia attraverso l analisi statica lineare che con quella non lineare. In particolare si è osservato che: il periodo proprio di oscillazione ottenuto dall analisi statica non lineare risulta circa del 12% maggiore rispetto a quello della statica lineare; il fattore di struttura fornito dalla normativa per l analisi statica lineare supera di circa il 20% quello ottenuto con l analisi statica non lineare, a conferma del fatto che il valore assunto nell analisi statica lineare può condurre ad una sovrastima del comportamento duttile globale dell edificio, soprattutto nel caso di edifici esistenti irregolari in pianta. Attraverso le analisi parametriche si sono conseguiti, inoltre, alcuni risultati significativi: la similitudine che sussiste, in termini di andamento, tra duttilità richiesta e tasso di sollecitazione; un legame diretto tra massima PGA sopportabile dall edificio ed il moltiplicatore α1 (valutabile anche attraverso un analisi statica lineare); un legame tra la PGAmax ed il moltiplicatore αu (valutabile esclusivamente attraverso un analisi statica non lineare); l incidenza quantitativa dei parametri di pericolosità sismica e di modellazione meccanica della muratura sui tassi di sollecitazione e sui fattori di duttilità; livelli significativamente diversi di vulnerabilità sismica (in termini di PGA) tra le due metodologie di analisi statica

10 Capitolo 1 - L analisi sismica degli edifici esistenti 1.1 Premessa Nel presente capitolo vengono illustrati i criteri stabiliti dalle Norme Tecniche per le Costruzioni di cui al DM e delle relative istruzioni applicative (attualmente disponibili in forma di bozza) per la definizione della pericolosità sismica e delle azioni di origine non sismica, al fine di valutare la sicurezza nei confronti degli stati limite. 1.2 Criteri generali per la verifica di strutture in muratura secondo il DM Il capitolo 8 del DM illustra le metodologie disponibili per la verifica di sicurezza delle strutture esistenti, nelle diverse condizioni possibili nell arco della vita utile. Nelle costruzioni esistenti le situazioni concretamente riscontrabili sono sempre diverse per cui è molto complicato definire a priori regole comuni di validità generale. Ne consegue che spetta al progettista definire e giustificare il modello strutturale più idoneo per compiere le verifiche di sicurezza nel rispetto dei criteri forniti dalla normativa

11 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti Valutazione della sicurezza Per valutare la sicurezza di una costruzione esistente la normativa descrive in maniera dettagliata le operazioni da compiere per delineare lo stato di conoscenza attraverso parametri sintetici legati alla modellazione e alle verifiche di sicurezza da effettuare. - L analisi storico-critica mira a conoscere il sistema strutturale dell edificio attraverso la ricostruzione del suo processo di realizzazione, delle successive modificazioni subite nel tempo e degli eventi che lo hanno interessato. - Il rilievo consente di conoscere lo stato e la geometria dei singoli elementi strutturali e dei relativi sistemi costruttivi in modo da individuare i meccanismi resistenti, la qualità dell opera, le condizioni di vincolo. Tra i principali obiettivi di tale operazione vi è anche l individuazione dei quadri fessurativi e degli eventuali dissesti in atto. - La caratterizzazione meccanica dei materiali va effettuata mediante le documentazioni disponibili, verifiche e indagini sperimentali. Particolare importanza riveste la valutazione anche dello stato conservativo dei materiali in funzione dell ambiente in cui si trovano e della loro natura. - Le azioni dovute ai carichi permanenti si determinano per mezzo di un rilievo geometrico e dei materiali mentre, per quelle accidentali e straordinarie si fa riferimento ai valori dettati dalla normativa. Sulla base delle informazioni ricavate per la struttura è possibile definire un livello di conoscenza (LC) e associarvi un fattore di confidenza (FC) da utilizzare come un ulteriore coefficiente parziale di sicurezza. La normativa italiana definisce tre livelli di conoscenza contrassegnati dai simboli LC1, LC2, LC

12 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti Considerazioni in presenza di azioni sismiche Nelle costruzioni esistenti in muratura soggette ad azioni sismiche si possono manifestare due tipi di meccanismi che definiscono altrettante modalità di collasso strutturale: - i meccanismi locali, che interessano singoli pannelli murari o insiemi di essi quando sono assenti o scarsamente efficaci i collegamenti tra le pareti o tra esse e gli orizzontamenti; - i meccanismi globali, che interessano l intera costruzione ed impegnano i pannelli murari prevalentemente nel loro piano di massima inerzia e resistenza. La sicurezza della struttura dev essere valutata nei confronti di entrambi i tipi di meccanismo. Per quanto riguarda l analisi sismica nei riguardi dei meccanismi locali si può far ricorso a metodi di analisi dell equilibrio limite delle strutture murarie tenendo conto, tra l altro, anche dei collegamenti tra le pareti quali catene e tiranti. Con questi metodi è possibile valutare la sicurezza della struttura, sia in termini di resistenza che di spostamenti. L analisi sismica globale deve considerare, invece, per quanto possibile un modello strutturale che sia sufficientemente rappresentativo del reale comportamento esibito dalla struttura, prestando particolare attenzione alle rigidezze esplicate, all esistenza e all efficacia dei collegamenti e a tutto quanto possa caratterizzare la struttura nella sua interezza. 1.3 Criteri per la verifica di strutture in muratura secondo la circolare attuativa La Circolare Attuativa del DM , attualmente in fase di riesame prima della sua emanazione, ribadisce al capitolo 8 l importanza dell adozione di adeguati modelli di verifica degli edifici esistenti. Il 42% del patrimonio edilizio italiano si compone di

13 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti - costruzioni in muratura e ben il 72% di esse necessita di adeguamenti antisismici, sia per garantire la sicurezza e la salvaguardia della vita umana, sia per estendere la vita di tali costruzioni soprattutto se dotate di un valore storico, architettonico, artistico o ambientale. La valutazione della sicurezza ed il progetto degli interventi degli edifici esistenti sono normalmente affetti da un grado di incertezza diverso rispetto a quello corrispondente alle nuove costruzioni. Di fatto l esistenza della struttura comporta la possibilità di determinare le effettive caratteristiche meccaniche dei materiali e delle diverse parti strutturali che, soprattutto per le costruzioni in materiale lapideo, possono essere estremamente variabili da un punto all altro della struttura. D altro canto, una corretta e accurata valutazione riduce le incertezze che in una nuova costruzione sono insite nel passaggio dal dato di progetto alla realizzazione. Le modalità di verifica per le nuove costruzioni sono basate sull uso di coefficienti parziali di sicurezza da applicare alle azioni e alle caratteristiche meccaniche dei materiali concepiti, calibrati dal legislatore per tener conto dell intero processo che va dalla progettazione alla realizzazione. Nelle costruzioni esistenti è cruciale ottenere una conoscenza dettagliata della struttura. È per tale motivo che viene introdotta un altra categoria di coefficienti, i fattori di confidenza (vedi appendice C8A della Circolare), strettamente legati al livello di conoscenza conseguito con indagini condotte. Essi riducono preliminarmente i valori medi delle proprietà dei materiali costituenti la struttura esistente che possono essere ulteriormente ridotti attraverso i coefficienti parziali di sicurezza Requisiti di sicurezza La valutazione della sicurezza delle costruzioni esistenti in muratura richiede la verifica degli Stati Limite definiti al delle Norme Tecniche per le Costruzioni di cui al DM , di seguito riportate con l acronimo NTC. In particolare si farà riferimento allo

14 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti - Stato Limite di Danno (SLD) e allo Stato Limite di salvaguardia della Vita (SLV) assumendo che il soddisfacimento della verifica nei riguardi del secondo implichi quello della verifica relativa allo Stato Limite di Collasso (SLC). Per la valutazione degli edifici esistenti, oltre all analisi sismica globale da effettuarsi con i metodi previsti dalle norme di progetto per le nuove costruzioni, va condotta anche l analisi dei possibili meccanismi locali Analisi sismica globale e criteri di verifica L analisi della risposta sismica globale può essere effettuata con uno dei metodi riportati nel 7.3 delle NTC, di cui si parlerà ampiamente nel seguito. Per le verifiche di sicurezza nei riguardi del comportamento sismico globale si applica quanto prescritto al 7.8 delle NTC. Tali metodi di verifica sono quelli utilizzati per la verifica degli edifici di nuova costruzione Analisi dei meccanismi locali Negli antichi edifici in muratura sono spesso assenti elementi di collegamento tra le pareti a livello degli orizzontamenti di piano; ciò comporta una possibile vulnerabilità nei riguardi di meccanismi locali che possono interessare il collasso di singoli pannelli murari o di intere porzioni della costruzione in direzione ortogonale al piano di massima inerzia e resistenza. Un possibile modello di riferimento per la valutazione della sicurezza nei confronti di tali meccanismi è quello dell analisi limite dell equilibrio delle strutture murarie, considerate come corpi rigidi non resistenti a trazione. L appendice C8D della Circolare Attuativa alle NTC propone un metodo che, mediante l applicazione del principio dei lavori virtuali ad

15 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti - ogni meccanismo locale, consente di valutare la capacità sismica in termini di resistenza o di spostamento Classificazione degli interventi La Circolare Attuativa prevede tre categorie di interventi. Indipendentemente dalla categoria di appartenenza è opportuno che essi, anche se non antisismici, siano finalizzati principalmente all eliminazione o alla riduzione significativa delle possibili gravi carenze legate ad errori di progetto o di esecuzione, al degrado, a danni o a trasformazioni e al successivo rinforzo della struttura esistente. Gli interventi previsti sono di seguito descritti: - Intervento di adeguamento. La valutazione della sicurezza in questo caso è finalizzata a stabilire se la struttura, a seguito dell intervento, è in grado di resistere alle azioni di progetto dettate dalle NTC con il grado di sicurezza richiesto dalle stesse. Non è necessario il soddisfacimento delle prescrizioni sui dettagli costruttivi per gli edifici nuovi purché si dimostri che siano garantite comunque le prestazioni in termini di resistenza, duttilità e deformabilità previste. - Intervento di miglioramento. La valutazione della sicurezza in tale caso è finalizzata a determinare la massima entità delle azioni considerate nelle combinazioni di progetto previste, cui la struttura può resistere con il grado di sicurezza richiesto. Tale valutazione riguarderà necessariamente i meccanismi globali e quelli locali. - Riparazione o intervento locale. In questa categoria ricadono tutti gli interventi di riparazione, rafforzamento o sostituzione di singoli elementi strutturali non adeguati alla funzione strutturale che devono svolgere, a condizione che l intervento non cambi significativamente il comportamento globale della struttura, soprattutto ai fini della resistenza alle azioni sismiche, a causa di una variazione non trascurabile di rigidezza o di peso

16 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti L analisi sismica secondo il DM Pericolosità sismica Il DM adotta un approccio prestazionale nella progettazione e nella verifica delle strutture controllando nei riguardi dell azione sismica il danneggiamento subito dalla costruzione. La valutazione dell azione sismica si esegue a partire dalla pericolosità sismica di base definita in condizioni di suolo rigido e superficie topografica piana e orizzontale. Per coerenza con le NTC, la pericolosità sismica deve essere valutata: - in termini di massima accelerazione orizzontale al suolo ag e dei parametri che permettono di definire gli spettri di risposta; - in corrispondenza dei vertici di un reticolo definito dalla norma per l intero territorio nazionale; - per diversi valori della probabilità di superamento e del periodo di ritorno. Le forme spettrali previste dalle NTC sono univocamente definite una volta determinati i valori dei seguenti parametri di pericolosità: - ag : massima accelerazione orizzontale al suolo; - F0 : valore massimo di amplificazione dell accelerazione spettrale orizzontale; - T * c : periodo di inizio del ramo a velocità costante dello spettro in termini di accelerazione orizzontale. Le forme spettrali previste sono caratterizzate da prescelte probabilità di superamento in un periodo di riferimento per cui occorre fissare: - il periodo di riferimento della struttura VR; - la probabilità di superamento nel periodo di riferimento, PVR, associata a ciascuno degli Stati Limite considerati

17 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti Modellazione dell azione sismica Dopo aver illustrato i parametri con cui le NTC definiscono la pericolosità sismica si passa, ora, ad esaminare i procedimenti attraverso i quali è possibile valutare l azione sismica su una generica struttura esistente o da progettare. Nei confronti delle azioni sismiche gli Stati Limite di Esercizio (SLE) e Ultimo (SLU) sono individuati riferendosi alle prestazioni della costruzione sia quelle offerte dalla struttura sia quelle esibite dagli impianti. La norma individua quattro Stati Limite, due di esercizio (Stato Limite di Operatività, SLO, e Stato Limite di Danno, SLD) e due ultimi (Stato Limite di salvaguardia della Vita, SLV, e Stato Limite di Collasso, SLC). Per le costruzioni ordinarie è sufficiente verificare: - lo SLD cui si associa PVR = 63% e per il quale, a seguito del sisma, la costruzione nel suo complesso (elementi strutturali e non) e le apparecchiature subiscono danni tali da non mettere a rischio gli utenti e non compromettere significativamente riduzioni di resistenza nei confronti di azioni orizzontali e verticali; - lo SLV cui si associa PVR = 10% e per il quale, a seguito del sisma, la struttura subisce rotture e crolli degli elementi non strutturali, conserva una buona resistenza per le azioni verticali e conserva parte della resistenza (come margine di sicurezza) nei confronti del collasso per azioni sismiche. Per definire l azione sismica è necessario caratterizzare il suolo in termini di: - caratteristiche stratigrafiche dei depositi di terreno superficiali, per valutare la possibile amplificazione del moto sismico nella propagazione dal bedrock alla superficie; - condizioni topografiche, le quali sono responsabili delle amplificazioni del moto al suolo dovute a onde sismiche a fenomeni di riflessione delle onde sismiche. Secondo le NTC l azione sismica è caratterizzata da due componenti orizzontali e una verticale indipendenti tra loro. La domanda del sisma sulla struttura può essere descritta, in campo elastico, attraverso lo spettro di risposta elastico in termini di accelerazione la cui forma è riferita ad uno smorzamento convenzionale del 5% e va

18 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti - definita mediante la massima accelerazione orizzontale al suolo, ag, su un sito di riferimento rigido orizzontale e i parametri Fo e T*C. Lo spettro di risposta elastica in termini di accelerazione orizzontale è così definito: per 0 T TB T 1 S e ( T ) = a g S η F0 + 1 TB η F0 per TB T TC S e ( T ) = a g S η F0 T T B per TC T TD ( T ) = a S η F Se g 0 T T C per TD T TE TC TD Se ( T ) = ag S η F0 2 T essendo: - Se l accelerazione spettrale ricercata; - T il periodo proprio di oscillazione della struttura che nel caso specifico di una costruzione in muratura, può essere ricavato in forma approssimata come segue: T = 0,05 H η lo smorzamento viscoso, che per edifici in muratura si assume pari a 0,82; - S il coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni topografiche: S = Ss ST ove Ss è il coefficiente di amplificazione stratigrafico desumibile dalla tabella 3.2.V del DM in funzione della categoria di sottosuolo ed ST è il coefficiente di amplificazione topografica, desumibile dalla tabella 3.2.VI del sopracitato Decreto. - Fo il fattore che quantifica l amplificazione spettrale massima. Esso è ottenibile, unitamente alla massima accelerazione orizzontale, ag, e al periodo in corrispondenza del quale ha inizio il ramo a velocità costante, T * C, dalla tabella contenuta nell Allegato B alla norma in funzione delle coordinate geografiche del sito, avendo prima definito il periodo di riferimento della struttura VR e il periodo di ritorno del sisma TR. Il periodo di riferimento della struttura è dato dal prodotto della vita nominale VN per il coefficiente d uso Cu

19 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti - - TC il periodo corrispondente alla fine del ramo ad accelerazione costante, assunto pari al prodotto tra T * C e il coefficiente CC desumibile dalla tabella 3.2.V di normativa in funzione della categoria di sottosuolo. - TB il periodo corrispondente all inizio del ramo ad accelerazione costante dello spettro, definito dalla norma pari a Tc /3. - TD il periodo corrispondente all inizio del ramo a spostamento costante dello spettro. ag Esso è definito mediante la seguente relazione: T = 4,0 + 1, 6 g D. Risulta possibile a questo punto ricavare lo spettro di risposta elastico lineare Se(T) per una struttura con comportamento elastico Forze sismiche equivalenti adottate nell analisi statica lineare In realtà le strutture esibiscono generalmente un comportamento elastoplastico dissipando parte dell energia di input rilasciata dal sisma. Ciò avviene grazie alla duttilità dei materiali di cui si compone la struttura, cioè grazie al rapporto che esiste tra deformazioni plastiche correnti e deformazioni al limite elastico della struttura, nonché alla sua sovraresistenza, legata alla ridistribuzione delle sollecitazioni all interno di essa. Prima dell avvento delle norme di nuova generazione le strutture si progettavano solo in campo elastico considerando le risorse plastiche esclusivamente una riserva di sicurezza. Si è poi capito che progettare una struttura in campo elastoplastico, sfruttando la duttilità dei materiali, ci consente di prendere in considerazione, a parità di spostamento, forze esterne minori di quelle considerate per un comportamento elastico lineare. Tale nuovo modo di ragionare ha portato a definire uno spettro di progetto per mantenere ancora valide le analisi lineari. Per quanto riguarda lo Stato Limite di Esercizio, coincide con lo spettro elastico corrispondente alla probabilità di superamento PVR nel periodo di riferimento VR considerato. Per quanto concerne invece lo Stato Limite Ultimo le capacità dissipative della struttura ai fini sia del progetto che della verifica possono essere prese in

20 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti - considerazione attraverso l impiego dello spettro di progetto Sd(T) ottenuto riducendo le ordinate dello spettro elastico Se(T) mediante il termine 1/q (con q>1) posto in luogo del fattore η che tiene conto dello smorzamento viscoso. Il coefficiente q è definito dalla norma come fattore di struttura e consente di effettuare analisi statiche lineari considerando, in maniera indiretta, il comportamento post-elastico evolutivo delle strutture. Al il DM definisce il fattore di struttura q con la seguente relazione: q = q 0 dove q0 rappresenta il valore massimo di q e KR un coefficiente che vale 1 per le strutture regolari e 0,8 per le strutture irregolari, in pianta e/o in altezza. Il fattore q è tabellato per le diverse tipologie costruttive e per le costruzioni in muratura ordinaria vale K R α 0 2, 0 u q = dove : α 1 - α1 è il moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale, mantenendo costanti le altre azioni, il primo pannello murario raggiunge la sua resistenza ultima per crisi da taglio o da pressoflessione (se la crisi avviene per pressoflessione e si adotta un approccio alle deformazioni, si può far corrispondere α1 all attingimento di una deformazione estensionale massima peri a quella al limite elastico εk); - αu è il 90% del moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale, mantenendo costanti le altre azioni, la costruzione raggiunge la massima forza resistente. Il rapporto di sovraresistenza αu/α1 è fornito al delle NTC in funzione del numero di piani dell edificio. Nota l azione sismica attraverso lo spettro di progetto, si deve determinare per ogni stato limite considerato la forza equivalente al sisma, cioè quell azione statica che produce gli stessi effetti delle forze di inerzia generate a ciascun livello dall eccitazione sismica applicata alla base della struttura

21 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti - Considerando una generica costruzione, la forza orizzontale equivalente al sisma è valutabile, secondo il del DM nel seguente modo: essendo: F = ( S ( T ) / g w λ h d ) F i = F h z i j w z j i w j In tale relazione: - Fi è la forza equivalente al sisma da applicare nel baricentro della massa i-esima. Nell ipotesi di impalcato rigido nel proprio piano le masse e le inerzie della struttura possono assumersi concentrate al livello degli orizzontamenti, per cui Fi rappresenta la forza statica equivalente al sisma applicata nel baricentro dell impalcato i-esimo. - Sd(T) è l accelerazione spettrale di progetto. - wi e wj sono, rispettivamente, il peso sismico della massa i-esima e della massa j- esima valutati secondo la combinazione di carico considerata. - w è il peso sismico complessivo della costruzione valutato secondo la combinazione di carico considerata. - zi e zj sono le quote, rispetto al piano di fondazione delle masse i e j. - g è l accelerazione di gravità. - λ è un coefficiente pari a 0,85 se la costruzione ha almeno tre orizzontamenti e se T Tc, pari a 1,0 in tutti gli altri casi. Si fa osservare che il termine wi z i rappresenta un coefficiente di distribuzione z w j j j dell azione sismica lungo l altezza dell edificio. La sua introduzione è scaturita dal fatto che gli spettri di risposta valgono per sistemi ad un grado di libertà (oscillatore semplice) mentre le strutture possiedono in realtà infiniti gradi di libertà. Questo coefficiente regola la condizione secondo la quale due masse di pari entità poste in verticale in un sistema a due gradi di libertà non possono subire lo stesso spostamento e, quindi, la stessa accelerazione orizzontale. Senza la presenza di questo coefficiente l azione sismica

22 - Capitolo 1 L analisi sismica degli edifici esistenti - verrebbe ripartita tra gli impalcati solo in proporzione alle masse senza considerare la quota a cui esse risultano applicate. Se gli impalcati non possono essere considerati rigidi nel proprio piano è necessario ripartire i pesi sismici in maniera che essi agiscano sugli elementi strutturali a cui sono vincolati (nel caso di un solaio esso viene ripartito per aree di influenza sulle pareti), ricavare tante forze equivalenti quanti sono i pesi sismici ed applicarle nei baricentri degli elementi cui sono applicate

23 Capitolo 2 - Metodi di analisi sismica 2.1 Considerazioni generali L analisi strutturale rappresenta quell insieme di operazioni che consentono di descrivere il comportamento reale (o quanto più vicino ad esso) di una struttura attraverso un modello teorico e di studiarne il presumibile stato di sollecitazione attraverso la sua risoluzione con metodi analitici. Quest insieme di operazioni può essere suddiviso in tre fasi distinte: - modellazione; - calcolo; - verifica. La modellazione consiste tradurre un qualcosa di reale in un modello che ne rappresenti il comportamento in un contesto noto attraverso ipotesi di base, semplificazione di realtà complesse in fenomeni più semplici attraverso la scomposizione e sovrapposizione di cause-effetti e utilizzo di risultati ottenuti dall esperienza. Esistono diversi modelli rappresentativi. Il modello geometrico prevede la definizione della composizione della struttura schematizzandola in elementi geometrici di dimensioni note. Gli elementi strutturali saranno così rappresentati da sistemi monodimensionali (travi, pilastri), sistemi bidimensionali (piastre, pareti) o sistemi misti, dove esistono sia elementi monodimensionali che bidimensionali. Oltre alla schematizzazione degli elementi strutturali, il modello geometrico deve contemplare anche le condizioni di vincolo (interne ed esterne), cercando rappresentare al meglio la reale configurazione della struttura

24 - Capitolo 2 Metodi di analisi sismica - Il modello meccanico, invece, consiste nella definizione del comportamento dei materiali di cui la struttura è costituita. In particolare esso consiste nella definizione dei moduli elastici o dei legami costitutivi dei materiali, della loro resistenza. Tale modello, insieme a quello delle azioni, è quello cui si associano le maggiori incertezze in quanto sono evidenti le difficoltà legate al dover esprimere analiticamente il comportamento meccanico dei materiali mediante un limitato numero di parametri, semplici da definire ma, al contempo, significativi. Il modello delle azioni, a sua volta, considera tutti i carichi a cui la struttura è o sarà sottoposta durante la propria vita valutando, in maniera opportuna, il modo in cui tali azioni sono applicate e distribuite sui diversi elementi strutturali. La certezza di tale modello è requisito essenziale per la valutazione delle condizioni in cui versa o potrebbe versare una struttura: la mancata o errata considerazione di un azione può essere causa di collassi, dissesti o comunque esigui margini di sicurezza. Il calcolo, ovvero l analisi strutturale propriamente detta, altro non è che un insieme di operazioni condotte secondo la logica della metodologia adottata, con lo scopo di conoscere lo stato di sollecitazione e di deformazione della struttura sottoposta alle azioni previste in fase di modellazione. I risultati del calcolo strutturale non costituiscono il reale stato della struttura, ma solamente una sua rappresentazione molto sfocata la cui approssimazione dipende, sia dagli strumenti utilizzati nel calcolo, sia dalle ipotesi di base assunte nelle fasi di modellazione e di calcolo. La verifica consiste, infine, nel confrontare le sollecitazioni e le deformazioni applicate alla struttura con quelle sopportabili da essa. In particolare, nell ambito del metodo semiprobabilistico agli stati limite, si verifica che risulti soddisfatta la seguente disequazione: Sd R d dove Sd sono le sollecitazioni di progetto indotte dai carichi applicati ed Rd le resistenze di progetto. Le sollecitazioni di progetto si ottengono amplificando e combinando tra loro i valori caratteristici delle azioni (dirette e indirette) applicate alla struttura, mentre le

25 - Capitolo 2 Metodi di analisi sismica - resistenze di progetto si ricavano riducendo i rispettivi valori caratteristici. In condizione sismica si parla, più in generale, rispettivamente di domanda (D) e di capacità (C) verificando che risulti: D C. 2.2 Metodi di analisi previsti dal DM Il DM prevede quattro metodi di analisi, che di eseguito sono ordinati in senso crescente per complessità e precisione dei risultati forniti: - analisi statica lineare; - analisi dinamica modale; - analisi statica non lineare; - analisi dinamica non lineare. La scelta tra un metodo e l altro dipende dalle caratteristiche e dall importanza della struttura che si intende analizzare. L analisi dinamica non lineare è sicuramente in grado di fornire la migliore predizione della risposta strutturale alle azioni sismiche Analisi statica lineare L analisi statica lineare consiste nel rappresentare l azione sismica attraverso un sistema di forze statiche applicate in corrispondenza degli impalcati di un edificio (dove si ipotizzano concentrate le masse della struttura) e nel calcolare sollecitazioni e spostamenti considerando la struttura come un sistema elastico lineare. Il metodo prevede di considerare applicate alla struttura una distribuzione di forze proporzionale al suo primo modo di vibrazione linearizzato e la conoscenza del suo periodo consente di calcolare il tagliante alla base della struttura la cui distribuzione

26 - Capitolo 2 Metodi di analisi sismica - lungo l altezza rappresenta proprio il sistema di forze statiche da applicare. Il periodo fondamentale T1 può essere determinato facendo ricorso ai metodi della dinamica strutturale oppure attraverso formule approssimate indicate dalla normativa. Se masse e altezze d interpiano sono uguali ai diversi piani la distribuzione delle azioni sismiche risulta essere di tipo triangolare inversa. Questo tipo d analisi è in grado di fornire risultati soddisfacenti nel caso di strutture la cui risposta non è significativamente influenzata dai modi superiori di vibrazione, circostanza che si presenta quando sono rispettate le condizioni di regolarità in altezza previste dalla normativa. Utilizzare l analisi statica per lo studio di strutture irregolari può portare, infatti, a stime di sollecitazioni e spostamenti significativamente lontane dai valori reali; valutazione molto imprecisa della risposta che, pur essendo talvolta in favore di sicurezza, possono condurre a strutture molto costose e meno compatibili con esigenze architettoniche ed impiantistiche Analisi dinamica modale L analisi modale (o dinamica lineare o multi-modale) è un metodo di valutazione convenzionale di sollecitazioni e spostamenti di progetto in base al quale la risposta di un sistema ad n gradi di libertà (supposto a comportamento elastico lineare) viene riguardata come sovrapposizione delle risposte di n sistemi ad un grado di libertà, ciascuna di essa pesata attraverso un coefficiente opportunamente definito. A ciascun oscillatore semplice sono associati una forma modale (ovvero un modo di vibrazione naturale), un coefficiente di partecipazione, un periodo proprio di oscillazione ed una massa partecipante. L impiego di uno spettro di progetto consente, poi, di calcolare la massima accelerazione alla base della struttura per ciascun modo e, dunque, le forze applicate ai diversi livelli. Gli effetti (sollecitazioni e spostamenti) dei singoli modi di vibrare vanno, infine, combinati tra loro per ottenere quelli della struttura reale

27 - Capitolo 2 Metodi di analisi sismica - La maggiore differenza con l analisi statica equivalente è legata alla considerazione dei modi propri di vibrazione della struttura per tenere conto, nel calcolo dei parametri di risposta, delle sue caratteristiche dinamiche. Per poter svolgere questo tipo di analisi le masse dei piani della struttura possono essere definite, attraverso uno dei seguenti approcci: - calcolo dell inerzia traslazionale, pari alla somma di tutte le masse assunta uguale in tutte le direzioni e dell inerzia rotazionale (momento d inerzia delle masse) del piano concentrata nel baricentro; - calcolo delle inerzie traslazionali, supposte uguali in tutte le direzioni, dei diversi elementi strutturali concentrate nei rispettivi nodi, sicché la distribuzione delle masse concentrate nel piano tiene implicitamente conto dell inerzia rotazionale; - attribuzione ad ogni elemento della massa per unità di lunghezza che gli compete, tenendo in conto implicitamente, sia l inerzia traslazionale, sia quella rotazionale. L accoppiamento dell analisi modale con lo spettro di progetto in termini di accelerazione espresso in g consente di calcolare i vettori massimi delle forze statiche equivalenti relative ai vari modi, attraverso opportune relazioni. Questo modo di procedere non è chiaramente sufficiente qualora si sia interessati ad analizzare la risposta evolutiva della struttura. In tal caso, selezionato un gruppo di accelero grammi spettro-compatibili, si può effettuare l analisi dinamica lineare risolvendo l equazione del moto per ciascun oscillatore individuato mediante decomposizione modale Analisi statica non lineare La capacità di una struttura di resistere all evento sismico dipende fortemente dalla sua capacità di deformazione e dalla sua duttilità. I metodi di analisi elastica lineare analizzati (statico e dinamico modale) tengono conto del comportamento non lineare della struttura tramite il fattore di struttura che permette di ridurre lo spettro di risposta elastico e, quindi, le richieste di resistenza. Questi metodi non possono, però, cogliere cambiamenti

28 - Capitolo 2 Metodi di analisi sismica - nella risposta della struttura qualora i suoi elementi superino il limite elastico; da ciò consegue l assoluta mancanza di informazioni sulla distribuzione delle domande di anelasticità. L analisi statica non lineare consiste nel sottoporre una struttura ai carichi gravitazionali e ad un sistema di forze laterali che simulano le forze d inerzia e che, mantenendo i rapporti relativi tra di esse, sono variate in conseguenza di un incremento monotono dello spostamento orizzontale di un punto di controllo della struttura (ad es. il baricentro dell ultimo piano) sino al raggiungimento di uno spostamento di target che rappresenta la domanda sismica valutata mediante lo spettro elastico di normativa. Il risultato finale dell analisi è la curva 1 taglio alla base (somma di tutte le forze orizzontali) -spostamento del punto di controllo, che rappresenta la capacità della struttura. Essa va confrontata con la domanda, individuata sulla curva stessa in corrispondenza di valori dello spostamento orizzontale ottenuti sullo spettro di spostamento fornito dalla normativa. Con tale analisi è possibile verificare la sicurezza della struttura sia in termini di resistenza che di deformabilità tenendo conto, sia delle non linearità geometriche, sia di quelle meccaniche. Questo tipo di analisi permette, inoltre, di ricavare interessanti informazioni sulla risposta di sistemi strutturali soprattutto se impiegato per la verifica di edifici esistenti o per ottimizzare la progettazione di costruzioni nuove. In particolare l analisi statica non lineare può essere effettuata per gli scopi seguenti: - valutare i rapporti di sovraresistenza α u α 1 ; - verificare l effettiva distribuzione della domanda anelastica negli edifici progettati con il fattore di riduzione q = q 0 K ; R - come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione 2 sostitutivo dei metodi d analisi lineari; - come metodo per la valutazione della capacità sismica di edifici esistenti. 1 In realtà è una successione di punti ottenuti con un metodo numerico. 2 Nella letteratura scientifica si parla di Displacement-Based Design, DBD

29 - Capitolo 2 Metodi di analisi sismica - La metodologia proposta dalle norme si basa sull assunzione che la risposta di un sistema a più gradi di libertà possa essere correlata alla risposta di un sistema equivalente ad un grado di libertà con un appropriata caratteristica isteretica. Il metodo si articola nei passi seguenti: - determinazione di un legame forza-spostamento generalizzato tra la risultante delle forze applicate ( taglio alla base V b ) e lo spostamento orizzontale Δ t di un punto di controllo, usualmente scelto coincidente con il baricentro dell ultimo impalcato; - determinazione delle caratteristiche di un sistema ad un grado di libertà a comportamento bi-lineare equivalente; - determinazione della massima domanda in termini di spostamento attraverso l impiego dello spettro di risposta elastico; - conversione dello spostamento del sistema equivalente così determinato nella configurazione deformata effettiva dell edificio e verifica della compatibilità degli spostamenti (elementi/meccanismi duttili) e delle resistenze (elementi/ meccanismi fragili). Figura 2.1 Distribuzione di forze orizzontali Figura 2.2 Curva di capacità V Δ In conclusione va osservato che l analisi statica non lineare, pur utilizzando sempre forze applicate alla struttura (direttamente se l analisi è in controllo di forza o indirettamente se l analisi è in controllo di spostamento), considera in modo esplicito il ruolo fondamentale dello spostamento e della deformazione, che sono le reali cause distruttive del sima

30 - Capitolo 2 Metodi di analisi sismica - Gli elementi chiave di un analisi non lineare sono la capacità, la domanda e la prestazione. La domanda è una rappresentazione della richiesta di prestazione del moto sismico alla struttura. La capacità è l abilità della struttura di resistere alla domanda sismica. La prestazione rappresenta la misura dell incontro tra capacità e domanda; la struttura deve avere la capacità di resistere alla domanda sismica in modo che la prestazione sia compatibile con gli obiettivi di progetto Analisi dinamica non lineare Nell analisi dinamica non lineare la risposta della struttura è calcolata integrando direttamente l equazione del moto del sistema non lineare utilizzando un modello tridimensionale dell edificio ed un sufficiente numero di accelerogrammi come definito dalla normativa italiana ed europea. Questo è sicuramente il metodo di analisi più raffinato perché consente di conoscere sollecitazioni e deformazioni della struttura nel tempo, ma anche quello più complesso e richiede per questo una particolare attenzione. Due sono gli aspetti significativi: il primo consiste nell individuazione di un modello che sia in grado di descrivere il comportamento post-elastico degli elementi sotto cicli di carico e la relativa dissipazione di energia; il secondo consiste nella scelta degli accelerogrammi da utilizzare come input, che devono essere rappresentativi degli eventi attesi nella zona in cui è situato l edificio oggetto di studio e, al contempo, compatibile con lo spettro di normativa. L esecuzione di un analisi dinamica si articola nelle seguenti fasi: - Definizione del modello geometrico tridimensionale della struttura tenendo conto delle particolari indicazioni del codice di calcolo automatico utilizzato per descrivere particolari condizioni quali, ad esempio, piani rigidi e nodi travecolonna. Modelli definiti in maniera grossolana possono produrre risultati. 3 Nella letteratura scientifica si parla di Performance-Based Desig, PBD

31 - Capitolo 2 Metodi di analisi sismica - - Definizione delle masse che possono essere eccitate dinamicamente dall evento sismico e loro applicazione nel modello. - Definizione dello smorzamento della struttura che, nel problema di equilibrio, dinamico governato dall equazione del moto, è rappresentato dalla matrice degli smorzamenti da dedurre necessariamente in base al comportamento non lineare dei materiali costituenti. - Definizione dei legami costitutivi non lineari isteretici (evolutivi e non degradanti) dei materiali oppure della posizione e del diagramma momento-curvatura delle cerniere plastiche, qualora si effettui una modellazione a plasticità concentrata; - Definizione dell input sismico (set di accelerogrammi). - Verifica della struttura. Svolta l analisi e calcolata la risposta nel tempo della struttura sollecitata da un evento sismico rappresentato da un gruppo di accelerogrammi, è possibile conoscere in ogni istante su ogni elemento della struttura gli effetti del sisma (momenti, tagli, spostamenti), controllando la compatibilità degli spostamenti negli elementi che presentano un comportamento duttile e delle resistenze negli elementi con comportamento fragile. Se nel procedimento di calcolo è stato utilizzato un gruppo di tre accelerogrammi le verifiche degli elementi strutturali, riguarderanno i valori massimi degli effetti, mentre se sono stati considerati più accelerogrammi (in numero almeno pari a 7) le verifiche riguarderanno i valori medi delle azioni calcolate. 2.3 Analisi strutturale in campo non lineare Il passaggio tra analisi statica lineare e analisi statica non lineare, con il metodo RAN o qualsiasi altro metodo di calcolo, avviene nel momento in cui si rimuove l ipotesi di azione sismica applicata con una forza statica equivalente e si considera il sisma come

32 - Capitolo 2 Metodi di analisi sismica - applicato gradualmente alla struttura. Tale considerazione fa si che ad ogni variazione dell azione sismica nel tempo corrisponde una soluzione statica diversa per l istante di tempo considerato dove in ognuno di questi istanti oltre a variare le sollecitazioni variano anche i parametri che nell input di un analisi statica lineare risultano essere costanti. Nel passaggio tra le due analisi si riscontrano due tipologie di non linearità: - non linearità geometrica - non linearità del materiale Non linearità geometrica Quando un corpo elastico si deforma in maniera significativa non è più valida ipotesi della teoria della elasticità lineare secondo la quale è possibile, in un processo deformativo, confondere la configurazione finale con quella iniziale. Questa ipotesi implica, in termini di modellazione, di utilizzare un sistema di riferimento che rimane invariato durante l analisi e, in termini di soluzione, una linearità tra cause ed effetti. Un analisi in grado di cogliere le non linearità geometriche prevede due passi successivi: - la scomposizione della struttura nei suoi elementi e la ricerca per ciascun elemento, nel sistema di riferimento locale associato alla deformata corrente, della nuova configurazione di equilibrio; - la trasformazione di questa configurazione e degli effetti conseguenti (azioni interne) dal sistema di riferimento locale a quello globale, in modo che sia possibile procedere all assemblaggio, ovvero alla ricostruzione dell intera struttura e alla definizione della risposta globale. È possibile individuare due cause di non linearità geometrica. 1) Grandi deformazioni. Data l elevata deformabilità del materiale, lo sviluppo in serie di Mac Laurin delle deformazioni va arrestato ad un termine di ordine superiore al primo

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